第十三、十四、十五章检测 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦人教版八年级数学上册第十三至十五章，以围棋文化、荡秋千等情境题（如第1、21题）融合轴对称、三角形全等知识，突出文化传承与实际应用，培养抽象能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称、三角形三边关系|结合围棋文化考查轴对称（第1题）| |填空题|6/18|等腰三角形、垂直平分线|等腰三角形分类讨论（第13题）| |解答题|8/72|全等证明、动态几何、实践测量|分层设计（第24题分基础/应用/拓展），实践情境（第22题测量池塘距离方案）|

第十三、十四、十五章检测2026-2027学年上学期人教版八年级数学上册（解析版） 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图形中， 是轴对称图形的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的定义是解决问题的关键． 根据轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形就是轴对称图形，直接由轴对称图形的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意； B、选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意； C、选项中的图形不是轴对称图形，不符合题意； D、选项中的图形是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 2．如果一个三角形的两边长分别为2和5，则此三角形的第三边长可能为（　 　） A．2 B．3 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可求得第三边的取值范围，再进一步选择即可得答案． 【详解】解：设第三边长为x， ∵三角形的两边长分别为2和5， ∴，即， ∴此三角形的第三边可能是6， 故选：C． 3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了判断三条线段是否能构成三角形，解决此题的关键是掌握三角形的三边关系． 根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边，分别计算各选项是否满足条件即可． 【详解】解：A：∵， ∴不能组成三角形，不符合题意； B：∵， ∴能组成三角形，符合题意； C：∵， ∴不能组成三角形，不符合题意； D：∵， ∴不能组成三角形，不符合题意． 故选B． 4．下列命题中，其逆命题是假命题的是（　 　） A．若，则 B．若，则a与b互为倒数 C．直角三角形两个锐角互余 D．角平分线上的一点到角的两边距离相等 【答案】A 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】解：A、逆命题是“若，则”，因为当时，可以相等，也可以互为相反数，故为假命题； B、逆命题是“若与互为倒数，则”，是真命题； C、逆命题是“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题； D、逆命题是“到角两边距离相等的点在角的平分线上”，是真命题． 故选：A． 5． 如图，在中，，分别是边上的中线和高，点在点的左侧， 已知，，，（　 　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】C 【分析】利用三角形的中线平分三角形面积得出cm2，进而利用三角形面积公式得出CD的长，即可得出CE的长． 【详解】解：AD， AE分别是边BC.上的中线和高，AE= 2cm， ， ， ， 解得： CD= 4 (cm)， ， CE= 4-1= 3(cm) ． 故选：C 6． 如图，某同学做了一个角平分仪，其中， 将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上， 过点画一条射线就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是本题的关键．由“”可证，可得，可证就是的平分线，即可求解． 【详解】解：在和中， ， ， ， 是的平分线， 故选：B． 7． 如图，平分，于点C，点D在上，若，， 则的面积为（　 　） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，过点P作于E， 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，即可解答． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵平分，，， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且， 则阴影部分的面积为（　 　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形边中点，三角形面积，解决问题的关键是熟练掌握三角形中线的定义，等高（或底）的两个三角形面积之比等于底边（高）之比．因为点是的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高，可得的面积等于的面积的一半；同理，、、分别是、的中点，可得的面积是面积的一半；利用三角形的等积变换可解答． 【详解】解：，，分别为边，，的中点， 的底是，的底是，即，而高相等， ， 是的中点， ， ， ， ， ，即阴影部分的面积为． 故选：C． 9． 如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分， 则图中等腰三角形的个数是（　 　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据题意可得，进而可得，得出，根据垂直平分线的性质可得，进而得出，根据角平分线的定义得出，进而可得，，得出，，得出，进而即可求解． 【详解】解：在中，， 是等腰三角形； ， ， ， 点在的垂直平分线上， ， 是等腰三角形； ， ， 平分， ， ， ， 是等腰三角形； ，， ， ， 是等腰三角形； ， ， 是等腰三角形； ， ， 是等腰三角形， 综上所述，等腰三角形有，，，，，共个， 故选：D． 10. 如图，， 点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时， 点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． 当与全等时，x的值是（　 　） A．2 B．1或1.5 C．2或1.5 D．1或2 【答案】B 【分析】由题意知分时和时两种情况，再根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵点P在线段上以的速度由点A向点B运动，点Q在线段上以的速度由点B向点D运动， ∴，， ∴． ∵， ∴可分类讨论：①当时， ∴， ∴， 解得：； ②当时， ∴， ∴， 解得：． 综上可知x的值是1或． 故选B． 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．如图，，若要使与全等， 则添加的条件可以是： ．（写出一个条件即可）    【答案】（答案不唯一） 【分析】根据两个直角三角形全等的判定添加条件即可得到答案． 【详解】解：在与中，，， 要使与全等，只需添加，再由两个直角三角形全等的判定定理即可判定， 故答案为：（答案不唯一）． 12．命题：“若，，则”的逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】根据逆命题的定义：把原命题的结论作为命题的条件，把原命题的条件作为命题的结论，所组成的命题叫做原命题的逆命题，进行求解即可． 【详解】解：“若，，则”的逆命题为： “若，则，”，这是一个假命题， 故答案为：假． 13.等腰三角形的周长为26cm,一边长为6cm,那么腰长为_______ 【答案】10cm 【分析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解． 【详解】解：①当6cm为腰长时，则腰长为6cm，底边=26﹣6﹣6=14cm，因为14＞6+6，所以不能构成三角形； ②当6cm为底边时，则腰长=（26﹣6）÷2=10cm，因为6﹣6＜10＜6+6，所以能构成三角形； 故答案为：10cm 14.如图，在中，，是的中线，若的周长比的周长大， 则________． 【答案】/8厘米 【分析】本题考查了三角形中线以及周长，属于基础题，熟练掌握三角形中线性质是解题关键． 根据三角形中线得定义可得，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 15．如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，，则的周长___________． 【答案】8 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质的应用，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵，分别是边，的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴的周长为8． 故答案为：8 16.如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是_____． 【答案】/76度 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再根据三角形的外角性质可得，则可得和的大小，据此建立等式，化简求解即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，已知中，平分交于点，于． 若，，求的度数． 【答案】的度数是． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，垂直定义，由三角形内角和定理可得，通过角平分线定义可得，根据，则，从而求得，最后通过角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 18．如图，点E、F在线段上，．求证：. 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质可得，进而根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 19.．如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，且，连接． (1) 若，求的度数． (2) 若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，即可得出答案； （2）根据已知能推出，即可得出答案． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ，， ， ∴， ∴． （2）解；由（1）知：， ． ， 的周长为． 答：的周长为17cm． 20．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且，，． (1) 求证：； (2) 若，，求AD的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）直接利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又∵， ∴． 21. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直， 两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她． 若妈妈与爸爸到的水平距离、的长度分别为和，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 【答案】(1) ，理由如下： 由题意可知， ∵， ∴． ∴， ∴． (2)小丽距地面的高为 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键． （1）由直角三角形的性质得出，根据可证明，即可解答； （2）由全等三角形的性质得出，求出的长即可解答． 【详解】（1）解：略； （2）∵， ∴， ∵分别为和， ∴， ∵， ∴． 即小丽距地面的高为． 22． 某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离， 甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，， 并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____， 接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____， 这时只要测出的长即为A，B的距离． (1) 请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2) 请你选择其中一种方案进行说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键． （1）结合甲同学的“边角边”，乙同学的“角边角”，丙同学的“角边角”证明全等三角形，填空即可； （2）甲同学利用的是“边角边”，乙同学利用的是“角边角”，丙同学利用的是“角边角”证明两三角形全等，分别证明即可． 【详解】（1）解：乙：如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为，的距离； 丙：如图③，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． 故答案为：，； （2）解：答案不唯一． 选甲：在和中， ， ∴， ； 选乙：，， ， 在和中， ， ∴， ； 选丙： 在和中， ， ∴， ． 23．（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；    （2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________； （3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________； （4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），理由见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和为，三角形的外角和定理，则，，，即可； （2）根据三角形的内角和为，三角形的外角和定理，则，，，即可； （3）根据（1）和（2）可知，，根据，即可； （4）根据折叠的性质，则，根据全等三角形的性质，三角形内角和，平角的性质，则，，，再根据等量代换，即可． 【详解】（1）为直角三角形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：．    （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：．    （3）由（1）和（2）得，， ∵， ∴， ∴． （4），理由见下： 由题意得，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．【基础巩固】 （1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】 （2） 如图2，在与中，，，， B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点， ① 求的大小； ② ，求的面积； 【拓展提高】 （3） 如图3，与中，，，，与交于点F， ，，的面积为18，求的长．    【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）6 【分析】（1）首先得到，然后证明出即可； （2）首先由得到，然后证明出，得到，进而求解即可； （3）连接，首先得到，然后证明出，然后得到，设的长度为a，列方程求解即可． 【详解】解：（1） ∴ 在和中    ∴ （2）① ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ②作 ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ （3）连接 ∵且 ∴ 在和中 ∴ ∴ 是公共部分， ∴ 设的长度为a， 则，， 故的长度为6． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三、十四、十五章检测2026-2027学年上学期人教版八年级数学上册 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑、白棋子摆成的图形中， 是轴对称图形的是（　 　） A． B． C． D． 2．如果一个三角形的两边长分别为2和5，则此三角形的第三边长可能为（　 　） A．2 B．3 C．6 D．7 3．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　 　） A． B． C． D． 4．下列命题中，其逆命题是假命题的是（　 　） A．若，则 B．若，则a与b互为倒数 C．直角三角形两个锐角互余 D．角平分线上的一点到角的两边距离相等 5． 如图，在中，，分别是边上的中线和高，点在点的左侧， 已知，，，（　 　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 6． 如图，某同学做了一个角平分仪，其中， 将仪器上的点与的顶点重合，调整和，使它们分别落在角的两边上， 过点画一条射线就是的平分线．此角平分仪的画图原理是（　 　） A． B． C． D． 7． 如图，平分，于点C，点D在上，若，， 则的面积为（　 　） A．6 B．9 C．12 D．18 8. 如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且， 则阴影部分的面积为（　 　） A． B． C． D． 9． 如图，在中，，，点在的垂直平分线上，平分， 则图中等腰三角形的个数是（　 　） A．3 B．4 C．5 D．6 10. 如图，， 点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时， 点Q在线段上以的速度由点B向点D运动，它们运动的时间为t（s）． 当与全等时，x的值是（　 　） A．2 B．1或1.5 C．2或1.5 D．1或2 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．如图，，若要使与全等， 则添加的条件可以是： ．（写出一个条件即可）    12．命题：“若，，则”的逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 13.等腰三角形的周长为26cm,一边长为6cm,那么腰长为_______ 14.如图，在中，，是的中线，若的周长比的周长大， 则________． 15．如图，在中，，分别是边，的垂直平分线，，则的周长___________． 16.如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是_____． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 如图，已知中，平分交于点，于． 若，，求的度数． 18．如图，点E、F在线段上，．求证：. 19.．如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，且，连接． (1) 若，求的度数． (2) 若，求的周长． 20．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且，，． (1) 求证：； (2) 若，，求AD的长． 21. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直， 两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她． 若妈妈与爸爸到的水平距离、的长度分别为和，． (1)与全等吗？请说明理由； (2)当爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面有多高？ 22． 某校七年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A，B的距离， 甲、乙、丙三位同学分别设计出如图所示的三种方案． 甲：如图①，先在平地取一个可直接到达A，B的点C，再连接，， 并分别延长至D，至E，使，，最后测出的长即为A，B的距离． 乙：如图②，先过点B作的垂线，再在上取C，D两点，使_____， 接着过点D作的垂线，交的延长线于点E，则测出的长即为A，B的距离． 丙：如图③，过点B作，再由点D观测，在的延长线上取一点C，使_____， 这时只要测出的长即为A，B的距离． (1) 请你分别补全乙、丙两位同学所设计的方案中空缺的部分． 乙：　　　；丙：　　　． (2) 请你选择其中一种方案进行说明理由． 23．（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；    （2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________； （3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________； （4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由． 24．【基础巩固】 （1）如图1，在与中，，，，求证：； 【尝试应用】 （2） 如图2，在与中，，，， B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点， ① 求的大小； ② ，求的面积； 【拓展提高】 （3） 如图3，与中，，，，与交于点F， ，，的面积为18，求的长．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $