2026-2027学年苏科版数学八年级上学期第一次阶段检测（测试范围：第1章）

**基本信息** 聚焦三角形核心知识，通过钢缆中点、电线杆固定等生活情境与最短路径、动点全等几何探究，分层考查抽象能力、推理意识与应用意识，适配八年级月考诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/16|三角形三边关系、全等判定、等腰三角形性质|结合钢缆中点（中位线）、电线杆固定（三线合一）考查几何直观| |填空|10/20|三角形高、垂直平分线、等腰三角形高夹角|以太阳能热水器（三角形稳定性）、尺规作图（SSS全等）体现数学应用| |解答题|9/64|作图、全等证明、最短路径、动点问题|综合题如等边三角形步道设计（模型意识）、动点全等探究（推理能力），呼应中考命题趋势|

2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形） 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1 2 3 4 5 6 7 8 B C A B A D A B 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 三角形具有稳定性 10. 11. 35 12. 1.5 13. 或 14. 2 15. 16. 17. 18. 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)7 【分析】本题主要考查了利用格点作平行线、垂线、三角形的面积等知识点，理解相关性质成为解题的关键． （1）通过平移画出平行线即可解答； （2）根据网格的结构特点画出垂线即可； （3）利用割补法解答即可． 【详解】（1）解：如图：直线即为所求． （2分） （2）解：如图：直线即为所求．（4分） （3）解：三角形的面积为：．（6分） 20．（6分） 【答案】证明：∵， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】先证明，再解答即可 【详解】略（6分） 21．（6分） 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由等角对等边得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明：略；（6分） 22．（6分） 【答案】详见解析 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线定理和全等三角形的判定与性质，先证明，，可得到，再根据全等三角形即可证明． 【详解】证明：连接，如图所示， ，分别是的中点， ， ， ， ， ， ．（6分） 23．（6分） 【答案】(1)见详解 (2)①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等． 【分析】本题考查作角平分线和垂直平分线，以及角平分线和垂直平分线的性质； （1）作的角平分线和线段的垂直平分线，两线的交点即点G； （2）根据角平分线和垂直平分线的性质作答即可． 【详解】（1）解：如图，点G即为所求， （3分） （2）解：作图依据①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等．（6分） 24．（8分） 【答案】(1)证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 点和点在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)30 【分析】（1）证明，可得，从而得到点和点在的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）略（4分） （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的周长为30．（8分） 25．（9分） 【答案】(1)如图①，点P即为所求（答案不唯一）； (2)如图②，即为所求（答案不唯一）； (3)如图③，等腰即为所求（答案不唯一）． 【分析】（1）取格点P，连接，点P的位置即为所求； （2）根据同底等高三角形的面积相等，找出点D的位置即可； （3）根据等腰三角形的作法，可根据找出点F的位置． 【详解】（1）解：如图①，取格点D，E，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；（3分） （2）解：∵与的底边都是，高均为4格， ∴；（6分） （3）解：点B与点F关于点C所在的水平格线对称，此时， ∴为等腰三角形，即为所求．（9分） 26．（8分） 【答案】(1)如图，点P为所求； (2)证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； (3)元． 【分析】（1）过点作关于直线l的对称点（过点作关于直线l的垂线，以垂足为圆心，垂足到点的距离长为半径在直线l的另一侧画弧，交垂线于点），连接交直线l于点P，即可使得的值最小； （2）由和可得，从而，故； （3）延长交于点，连接，过点作交于点，连接，故，，由和得，故，故，，由和得，从而，故，从而，因此，故点作关于的对称点为，由（1）得的最小值为，由点是的中点得，米，计算可得安装灯带的最少费用． 【详解】（1）略；（2分） （2）略；（5分） （3）解：如图③，延长交于点，连接，过点作交于点，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 点作关于的对称点为， 点在上， 在和中， ， ， ， ，当且仅当点三点共线时，取等号． 点是的中点， ， 为边上的高，长度为米， 安装灯带最短为米， 元， 答：安装灯带的最少费用是元．（8分） 27．（9分） 【答案】(1)；； (2)或； (3)Q运动的速度为或或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）利用速度乘时间求出路程，即可得出的长度； （2）根据线段中点的定义，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，分类进行解答即可； （3）设点Q的运动速度为，然后分四种情况：当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴； 当时，运动路程为：，此时点P在上， ∴， 故答案为：；（3分） （2）解：如图，当P在中点时，点到点与点的距离相等， ∵， ∴， 即当时，点到点与点的距离相等， 当P在的点时，连接，由点到点与点的距离相等得， ∴， ∴，且平分， 即，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点从的路程为， ∴， 即当时，点到点与点的距离相等； 故答案为：或；（6分） （3）解：设点Q的运动速度为， 当点P在上，点Q在上，时，， ∴； 当点P在上，点Q在上，时，， ∴； 当点P在上，点Q在上，时，， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴； 当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴； ∴Q运动的速度为或或或．（9分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形） 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，一根长为8米的钢缆斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，垂足为点．若点是钢缆的中点，则，两点间的距离为（     ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 3．如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，，点、、、在同一直线上．若，，则的长为（     ） A．12 B．8 C．9 D．10 5．为了使电线杆垂直于地面，如图所示，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳，，当固定点，到电线杆底端的距离相等且点，，在同一直线上时，电线杆就垂直于了，工程人员这种操作方法的依据是（     ） A．等腰三角形“三线合一”的性质 B．垂线段最短 C．等角对等边 D．垂直平分线上的点到两个端点的距离相等 6．如果等腰三角形的周长是，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（     ） A．或 B．或 C． D． 7．如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．7 8．如图，是的边上的中线，点E在线段上，且，F是延长线上一点，，连接、、，G是的中点，连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．如图，太阳能热水器的斜杆，竖直杆与地面构成了一个三角形，这种设计应用了一个重要的数学原理：___________________________________．    10．在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 11．如图，在中，是斜边上的高，，则为______． 12．如图，已知，点，，，依次在同一条直线上．若，，则的长为______． 13．已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个三角形的顶角的度数是______． 14．如图，在中，，平分，若，，则_________． 15．如图所示，在中，的垂直平分线交于点N， 交于点M，若的周长为12厘米，的周长为17厘米，则的长为__________厘米． 16．如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；再以点为圆心，大于的长为半径画弧，分别交，于点，，连接，，则，其全等的依据是________．（填“”或“”或“”或“”）． 17．在中，，和的平分线分别交于点，若，，求______． 18．如图，在等边中，D为上一点，连接，在左侧作，且，连接，过点D作交延长线于点F．若，，则AF的长度为_______． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）如图，在正方形网格中所有小正方形的边长都为1个单位，A，B，C，D均在格点上． (1)过点D画线段的平行线，交于点E； (2)过点C画线段的垂线，垂足为点F； (3)连接，则的面积为_________个平方单位． 20．（6分）如图，已知，，．试说明：． 21．（6分）如图，在中，，，点D在边上，连接，过点C作，连接，且，求证：． 22．（6分）如图，四边形中，，，分别是的中点．求证：． 23．（6分）作图题： 如图，是某地区地图周边的简略图，其中点C为公路、的交叉点，点D为该地区的一所小学，点E为该地区政府办事点． (1)若要在该地区开一家超市G，使其到点D与点E的距离相等，到两条公路、的距离也相等，且点G在内，你能确定超市G应建在什么位置吗？请在所给图中画出你的设计方案．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)请写出你的作图依据： ①________； ②________． 24．（8分）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 25．（9分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）． (1)在图①中找一点P，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中以为边画一个等腰． 26．（8分）探究最短路径与等边三角形几何问题，并完成以下问题 问题探究 (1)如图①，在直线l的同侧有A，B两点，在直线l上画出一点P，使得的值最小； (2)如图②，已知在等边中，点D，E，F分别在边，，上，且满足，，求证：； 问题解决 (3)某高校里有一块等边三角形的景观湖，如图③所示，学校要在湖边打造休闲步道，点D、E分别在边、上，满足；以为边作等边，点F在内部；计划在和处安装装饰灯带，其中G是AC中点，已知点B到的距离为米，灯带每米造价元，为了节约成本，要求安装灯带的费用最少，请你求出安装灯带的最少费用是多少元？ 27．（9分）在Rt中，，动点从点出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点停止，设运动时间为．（） (1)如图1，当时，___________，当时，___________． (2)如图1，当___________时，点到点与点的距离相等； (3)如图2，在中，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等．求点的运动速度． 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形） 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，一根长为8米的钢缆斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，垂足为点．若点是钢缆的中点，则，两点间的距离为（     ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 3．如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，，点、、、在同一直线上．若，，则的长为（     ） A．12 B．8 C．9 D．10 5．为了使电线杆垂直于地面，如图所示，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳，，当固定点，到电线杆底端的距离相等且点，，在同一直线上时，电线杆就垂直于了，工程人员这种操作方法的依据是（     ） A．等腰三角形“三线合一”的性质 B．垂线段最短 C．等角对等边 D．垂直平分线上的点到两个端点的距离相等 6．如果等腰三角形的周长是，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（     ） A．或 B．或 C． D． 7．如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．7 8．如图，是的边上的中线，点E在线段上，且，F是延长线上一点，，连接、、，G是的中点，连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．如图，太阳能热水器的斜杆，竖直杆与地面构成了一个三角形，这种设计应用了一个重要的数学原理：___________________________________．    10．在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 11．如图，在中，是斜边上的高，，则为______． 12．如图，已知，点，，，依次在同一条直线上．若，，则的长为______． 13．已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个三角形的顶角的度数是______． 14．如图，在中，，平分，若，，则_________． 15．如图所示，在中，的垂直平分线交于点N， 交于点M，若的周长为12厘米，的周长为17厘米，则的长为__________厘米． 16．如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；再以点为圆心，大于的长为半径画弧，分别交，于点，，连接，，则，其全等的依据是________．（填“”或“”或“”或“”）． 17．在中，，和的平分线分别交于点，若，，求______． 18．如图，在等边中，D为上一点，连接，在左侧作，且，连接，过点D作交延长线于点F．若，，则AF的长度为_______． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）如图，在正方形网格中所有小正方形的边长都为1个单位，A，B，C，D均在格点上． (1)过点D画线段的平行线，交于点E； (2)过点C画线段的垂线，垂足为点F； (3)连接，则的面积为_________个平方单位． 20．（6分）如图，已知，，．试说明：． 21．（6分）如图，在中，，，点D在边上，连接，过点C作，连接，且，求证：． 22．（6分）如图，四边形中，，，分别是的中点．求证：． 23．（6分）作图题： 如图，是某地区地图周边的简略图，其中点C为公路、的交叉点，点D为该地区的一所小学，点E为该地区政府办事点． (1)若要在该地区开一家超市G，使其到点D与点E的距离相等，到两条公路、的距离也相等，且点G在内，你能确定超市G应建在什么位置吗？请在所给图中画出你的设计方案．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)请写出你的作图依据： ①________； ②________． 24．（8分）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 25．（9分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）． (1)在图①中找一点P，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中以为边画一个等腰． 26．（8分）探究最短路径与等边三角形几何问题，并完成以下问题 问题探究 (1)如图①，在直线l的同侧有A，B两点，在直线l上画出一点P，使得的值最小； (2)如图②，已知在等边中，点D，E，F分别在边，，上，且满足，，求证：； 问题解决 (3)某高校里有一块等边三角形的景观湖，如图③所示，学校要在湖边打造休闲步道，点D、E分别在边、上，满足；以为边作等边，点F在内部；计划在和处安装装饰灯带，其中G是AC中点，已知点B到的距离为米，灯带每米造价元，为了节约成本，要求安装灯带的费用最少，请你求出安装灯带的最少费用是多少元？ 27．（9分）在Rt中，，动点从点出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点停止，设运动时间为．（） (1)如图1，当时，___________，当时，___________． (2)如图1，当___________时，点到点与点的距离相等； (3)如图2，在中，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等．求点的运动速度． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年八上第一次阶段检测 考试范围：第1章（三角形） 总分：100分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列长度的三条线段能组成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：选项A：，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，不符合题意； 选项B：，满足三角形三边关系，能组成三角形，符合题意； 选项C：，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，不符合题意； 选项D：，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，不符合题意. 2．如图，一根长为8米的钢缆斜拉在竖直的电线杆与地面之间，电线杆与地面垂直，垂足为点．若点是钢缆的中点，则，两点间的距离为（     ） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】C 【分析】连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：连接， ∵电线杆与地面垂直， ∴， ∵点D是的中点， ∴在中，（米）， 即，两点间的距离为4米． 3．如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、和的对边分别是和，符合，不能判定，故A符合题意； B、由推出，而，，由判定，故B不符合题意； C、，而，，由判定，故C不符合题意； D、，而，，由判定，故D不符合题意． 4．如图，，点、、、在同一直线上．若，，则的长为（     ） A．12 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】先求出的长，再求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．为了使电线杆垂直于地面，如图所示，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳，，当固定点，到电线杆底端的距离相等且点，，在同一直线上时，电线杆就垂直于了，工程人员这种操作方法的依据是（     ） A．等腰三角形“三线合一”的性质 B．垂线段最短 C．等角对等边 D．垂直平分线上的点到两个端点的距离相等 【答案】A 【分析】根据题意，得到，三线合一得到. 【详解】解：由题意，工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”的性质. 6．如果等腰三角形的周长是，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题需分两种情况讨论，即已知边长为腰长或已知边长为底边长，再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证，排除不符合的情况即可得到结果. 【详解】解：分两种情况讨论： 若为腰长，则底边长为； ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴此情况舍去； 若为底边长，则腰长为； ∵，满足三角形三边关系，可以构成三角形， ∴该等腰三角形底边长为. 7．如图，在中，，，为边上的高，，P为上一动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D．7 【答案】A 【分析】由题意可知当时，的值最小，再根据等面积法求出的长即可． 【详解】解：如图，当时，的值最小， ， ． 8．如图，是的边上的中线，点E在线段上，且，F是延长线上一点，，连接、、，G是的中点，连接．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形中线可得，再根据全等三角形判定定理及性质可判断A；根据全等三角形性质可得，根据角之间的关系，结合三角形内角和定理可判断D；根据三角形面积之间的关系及全等三角形性质可判断C；根据三角形中线求三角形面积，结合三角形面积公式，即可判断B． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故A正确，不符合题意， ∵， ∴， ∴ ，故D正确，不符合题意； ， ∵， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∴，故B错误，符合题意． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9．如图，太阳能热水器的斜杆，竖直杆与地面构成了一个三角形，这种设计应用了一个重要的数学原理：___________________________________．    【答案】三角形具有稳定性 【详解】解：这种设计应用了一个重要的数学原理是三角形具有稳定性． 10．在中，已知：，用“>”连接、、应为_______． 【答案】 【分析】本题考查三角形的边角关系，利用三角形中大边对大角的性质，确定各边对应的对角，即可比较三个角的大小． 【详解】解：在任意三角形中，大边对大角，在中，边的对角为，边的对角为，边的对角为， ， ． 11．如图，在中，是斜边上的高，，则为______． 【答案】35 【分析】利用直角三角形两锐角互余，先推导与的关系，再推导与的关系，等量代换即可得到． 【详解】解：是直角三角形，， ， 是斜边上的高， ，即， ， 根据同角的余角相等，可得：， ， ． 12．如图，已知，点，，，依次在同一条直线上．若，，则的长为______． 【答案】 1.5 【分析】先根据全等三角形的对应边相等得，再根据求出，最后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 13．已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个三角形的顶角的度数是______． 【答案】或 【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质计算顶角的度数． 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时， 两腰上的高所在直线相交得到的夹角为， 由高的定义可知，高与腰垂直，因此可得两个直角都为， 根据四边形内角和为，可得顶角为： ； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时， 两腰上的高所在延长线相交得到的邻补角为， 由高的定义可知，高与腰垂直，因此可得两个直角都为， 根据四边形内角和为，可得顶角为： ； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 14．如图，在中，，平分，若，，则_________． 【答案】2 【分析】过D作于H，根据角平分线的性质求出，然后计算的面积即可． 【详解】解：如图，过作于， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴． 15．如图所示，在中，的垂直平分线交于点N， 交于点M，若的周长为12厘米，的周长为17厘米，则的长为__________厘米． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，结合的周长和的周长求出的长，进而求出的长． 【详解】解：是的垂直平分线 ， 的周长为厘米 ，即 的周长为厘米 ． 16．如图，已知，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，；再以点为圆心，大于的长为半径画弧，分别交，于点，，连接，，则，其全等的依据是________．（填“”或“”或“”或“”）． 【答案】 【分析】根据作图过程和全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图过程得，， 在和中， ∴． 17．在中，，和的平分线分别交于点，若，，求______． 【答案】 【分析】先运用平行线的性质推出，，再运用角平分线的性质推出，，运用等量代换结合等角对等边的性质推出，，最后根据，代入数值即可求解． 【详解】∵， ∴，， ∵平分， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴． 18．如图，在等边中，D为上一点，连接，在左侧作，且，连接，过点D作交延长线于点F．若，，则AF的长度为_______． 【答案】 【分析】如图：连接，易证是等边三角形可得，再证明可得，，进而得到、，最后根据含30度直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接 ， ∵等边， ∴，， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题：本题共9小题，共64分. 19．（6分）如图，在正方形网格中所有小正方形的边长都为1个单位，A，B，C，D均在格点上． (1)过点D画线段的平行线，交于点E； (2)过点C画线段的垂线，垂足为点F； (3)连接，则的面积为_________个平方单位． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)7 【分析】本题主要考查了利用格点作平行线、垂线、三角形的面积等知识点，理解相关性质成为解题的关键． （1）通过平移画出平行线即可解答； （2）根据网格的结构特点画出垂线即可； （3）利用割补法解答即可． 【详解】（1）解：如图：直线即为所求． （2分） （2）解：如图：直线即为所求．（4分） （3）解：三角形的面积为：．（6分） 20．（6分）如图，已知，，．试说明：． 【答案】证明：∵， ∴即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】先证明，再解答即可 【详解】略（6分） 21．（6分）如图，在中，，，点D在边上，连接，过点C作，连接，且，求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴． 【分析】由等角对等边得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】证明：略；（6分） 22．（6分）如图，四边形中，，，分别是的中点．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线定理和全等三角形的判定与性质，先证明，，可得到，再根据全等三角形即可证明． 【详解】证明：连接，如图所示， ，分别是的中点， ， ， ， ， ， ．（6分） 23．（6分）作图题： 如图，是某地区地图周边的简略图，其中点C为公路、的交叉点，点D为该地区的一所小学，点E为该地区政府办事点． (1)若要在该地区开一家超市G，使其到点D与点E的距离相等，到两条公路、的距离也相等，且点G在内，你能确定超市G应建在什么位置吗？请在所给图中画出你的设计方案．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)请写出你的作图依据： ①________； ②________． 【答案】(1)见详解 (2)①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等． 【分析】本题考查作角平分线和垂直平分线，以及角平分线和垂直平分线的性质； （1）作的角平分线和线段的垂直平分线，两线的交点即点G； （2）根据角平分线和垂直平分线的性质作答即可． 【详解】（1）解：如图，点G即为所求， （3分） （2）解：作图依据①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等．（6分） 24．（8分）如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 点和点在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)30 【分析】（1）证明，可得，从而得到点和点在的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）略（4分） （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的周长为30．（8分） 25．（9分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）． (1)在图①中找一点P，使得； (2)在图②中画出一个，使，D为格点（点D不与点C重合）； (3)在图③中以为边画一个等腰． 【答案】(1)如图①，点P即为所求（答案不唯一）； (2)如图②，即为所求（答案不唯一）； (3)如图③，等腰即为所求（答案不唯一）． 【分析】（1）取格点P，连接，点P的位置即为所求； （2）根据同底等高三角形的面积相等，找出点D的位置即可； （3）根据等腰三角形的作法，可根据找出点F的位置． 【详解】（1）解：如图①，取格点D，E，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；（3分） （2）解：∵与的底边都是，高均为4格， ∴；（6分） （3）解：点B与点F关于点C所在的水平格线对称，此时， ∴为等腰三角形，即为所求．（9分） 26．（8分）探究最短路径与等边三角形几何问题，并完成以下问题 问题探究 (1)如图①，在直线l的同侧有A，B两点，在直线l上画出一点P，使得的值最小； (2)如图②，已知在等边中，点D，E，F分别在边，，上，且满足，，求证：； 问题解决 (3)某高校里有一块等边三角形的景观湖，如图③所示，学校要在湖边打造休闲步道，点D、E分别在边、上，满足；以为边作等边，点F在内部；计划在和处安装装饰灯带，其中G是AC中点，已知点B到的距离为米，灯带每米造价元，为了节约成本，要求安装灯带的费用最少，请你求出安装灯带的最少费用是多少元？ 【答案】(1)如图，点P为所求； (2)证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； (3)元． 【分析】（1）过点作关于直线l的对称点（过点作关于直线l的垂线，以垂足为圆心，垂足到点的距离长为半径在直线l的另一侧画弧，交垂线于点），连接交直线l于点P，即可使得的值最小； （2）由和可得，从而，故； （3）延长交于点，连接，过点作交于点，连接，故，，由和得，故，故，，由和得，从而，故，从而，因此，故点作关于的对称点为，由（1）得的最小值为，由点是的中点得，米，计算可得安装灯带的最少费用． 【详解】（1）略；（2分） （2）略；（5分） （3）解：如图③，延长交于点，连接，过点作交于点，连接， ，， 是等边三角形， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 点作关于的对称点为， 点在上， 在和中， ， ， ， ，当且仅当点三点共线时，取等号． 点是的中点， ， 为边上的高，长度为米， 安装灯带最短为米， 元， 答：安装灯带的最少费用是元．（8分） 27．（9分）在Rt中，，动点从点出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点停止，设运动时间为．（） (1)如图1，当时，___________，当时，___________． (2)如图1，当___________时，点到点与点的距离相等； (3)如图2，在中，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等．求点的运动速度． 【答案】(1)；； (2)或； (3)Q运动的速度为或或或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）利用速度乘时间求出路程，即可得出的长度； （2）根据线段中点的定义，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，分类进行解答即可； （3）设点Q的运动速度为，然后分四种情况：当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，当点P在上，点Q在上，时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴； 当时，运动路程为：，此时点P在上， ∴， 故答案为：；（3分） （2）解：如图，当P在中点时，点到点与点的距离相等， ∵， ∴， 即当时，点到点与点的距离相等， 当P在的点时，连接，由点到点与点的距离相等得， ∴， ∴，且平分， 即，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点从的路程为， ∴， 即当时，点到点与点的距离相等； 故答案为：或；（6分） （3）解：设点Q的运动速度为， 当点P在上，点Q在上，时，， ∴； 当点P在上，点Q在上，时，， ∴； 当点P在上，点Q在上，时，， ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴； 当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴； ∴Q运动的速度为或或或．（9分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $