精品解析：辽宁沈阳市回民中学2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

沈阳市回民中学2024级高二下学期期末考试 数学 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（每小题5分） 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 定义在上的偶函数在上单调递增，定义在上的奇函数满足当时，.若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，都是锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题5分） 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足，且，数列满足 ，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. 数列的通项公式为 D. 数列的前 项和 11. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 若在处取得极值，则 B. 当时，函数的最小值为2 C. 当时，函数有2个零点 D. 若对任意，有恒成立，则的取值范围是 三、填空题（每小题6分） 12. 已知正数、满足，则的最小值为_______. 13. 已知是奇函数，则不等式的解集是______. 14. 在等比数列中是函数的极值点，则______. 四、解答题 15. 设为实数，已知函数的最小值为． （1）求的值； （2）若，，，均为锐角，求． 16. 已知数列的前项和为，数列是等差数列，且． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 已知函数,其中,且曲线在点处的切线与直线垂直, (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)求函数的单调区间. 18. 在中，． （1）求角； （2）若等差数列的首项的值等于角B的值，且，求的通项公式； （3）在（2）条件下，设数列，求的前27项的和． 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）若，且存在，，使得，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市回民中学2024级高二下学期期末考试 数学 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、单选题（每小题5分） 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为全集，，， 所以，故. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别求解两个不等式对应的实数解集，再结合充分必要性定义判断题设条件间的关系即可. 【详解】可化为，可化为， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对数运算性质求出的值，再结合同角三角函数平方关系求出的表达式，最后代入对数运算得到结果. 【详解】由对数有意义的条件得，，因此. 已知，可得， 所以. 因为， 所以， 结合，得.  . 4. 定义在上的偶函数在上单调递增，定义在上的奇函数满足当时，.若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出的图象以及的大致图象，根据图象即可求解. 【详解】根据题意可得在上单调递减，且. 因为为奇函数，所以的图象关于原点对称. 画出的大致图象，如图所示，不妨设的图象如图所示， 易得与的函数值异号的区间为，，， 所以不等式的解集是. 5. 已知数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案. 【详解】依题意，，， 令，得， 又可得， 所以 ， 当时也符合上式，所以，则， 所以. 6. 已知，都是锐角，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知是锐角，，则， ，都是锐角，则，又， 则，故， ． 7. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求函数导数，再根据题意将导函数为零转化为两个函数和有两个交点，然后利用导数求的单调性，进而确定图象，最后根据图象确定实数a的取值范围即可. 【详解】因为 ，所以， 由已知函数f(x)有两个极值点可得有两个解， 即和有两个交点，且， 而当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故，而时， ， 当时，；其大致图象如下： 若和有两个交点，只需，故A正确. 8. 已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】，求导可得，再利用单调性解不等式即可． 【详解】设，， 则当时，单调递增， ，即，又， ，解得． 二、多选题（每小题5分） 9. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D， ，故D正确. 10. 已知数列满足，且，数列满足 ，则下列说法正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列 C. 数列的通项公式为 D. 数列的前 项和 【答案】BD 【解析】 【分析】首先通过递推公式构造等比数列求出 的通项，进而得到 的通项，再逐一判断各选项，最后通过裂项相消法求前项和验证D选项. 【详解】选项 A ：计算得 ， 公差不相等，故 不是等差数列，A错误； 选项B：由 变形得 ，即 ，且 ， 因此 是首项为 2 、公比为 2 的等比数列，B正确； 选项C：由等比数列通项公式得 ，不是 ， C 错误； 选项D：先化简通项： ，故 ， 前项和裂项相消得 ，D正确. 11. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. 若在处取得极值，则 B. 当时，函数的最小值为2 C. 当时，函数有2个零点 D. 若对任意，有恒成立，则的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】利用导数讨论函数的单调性和极值，即可得判断AB；对于C：分析可得，结合单调性可得，即可判断C；对于D：举反例说明即可. 【详解】因为，则， 若，则，可知在定义域内单调递增，无极值； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，且的最小值为. 对于选项A：若在处取得极值，则且， 所以，故A正确； 对于选项B：当时，函数的最小值为，故B正确； 对于选项C：当时，则在内单调递减，在内单调递增， 可得， 因为在内单调递减，则， 可得，函数无零点，故C错误； 对于选项D：若对任意，有恒成立， 则，解得， 可知的取值范围不可能是，故D错误. 三、填空题（每小题6分） 12. 已知正数、满足，则的最小值为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】由已知条件得出，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为正数、满足，则. 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 13. 已知是奇函数，则不等式的解集是______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据奇函数的性质求出的值，再判断函数的单调性，最后利用函数的奇偶性与单调性求解不等式. 【详解】的定义域为，因为为奇函数，所以，故，即. 代入可得,其定义域为，关于原点对称， 且，为奇函数. 所以符合题意， 又均在上单调递增， 故在上单调递增，由 ， 得 又为奇函数，即， 所以， 所以，解得或， 故或，故原不等式的解集为 14. 在等比数列中是函数的极值点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求得，得到是的两个实数根，所以，结合等比数列的性质，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为是函数的极值点， 所以是的两个实数根，可得， 又因为数列为等比数列，可得同号，且， 所以，所以. 四、解答题 15. 设为实数，已知函数的最小值为． （1）求的值； （2）若，，，均为锐角，求． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换得，根据三角函数的性质求解即可； （2）由，可得，由同角的平方关系可得，进而求得，由两角的正切公式可得，结合的范围，即可得答案. 【小问1详解】 ， 因为，所以的最小值为， 故函数的最小值为． 又因为的最小值为， 所以 解得． 【小问2详解】 因为， 所以，从而． 又因为α为锐角， 所以， 故， ． 又α，β均为锐角，所以， 从而． 16. 已知数列的前项和为，数列是等差数列，且． （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，， 当时，， 经检验，时符合上式， 所以，． 由上可知，， 设的公差为，则， 所以，， 即． 【小问2详解】 由(1)得， 则数列的前项和为： ， ， ， ， 所以，数列的前项和． 17. 已知函数,其中,且曲线在点处的切线与直线垂直, (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)求函数的单调区间. 【答案】(Ⅰ) . (Ⅱ) 单调递减区间为,单调递增区间为. 【解析】 【分析】(Ⅰ) 根据导数的几何意义先求出切线的斜率，再根据切线与直线垂直，斜率之积为-1，即可求出； (Ⅱ)先求出函数的定义域，在定义域内解不等式，可得增区间，解不等式可得减区间． 【详解】(Ⅰ)∵，∴．∴． ∴曲线在点处的切线的斜率为． ∵曲线在点处的切线与直线垂直， ∴．∴． (Ⅱ)由(Ⅰ)，知．∴． ∴． 由题意知，函数定义域为． 所以，当时，，解得；，解得． ∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，以及利用导数求函数的单调区间，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 18. 在中，． （1）求角； （2）若等差数列的首项的值等于角B的值，且，求的通项公式； （3）在（2）条件下，设数列，求的前27项的和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的性质，及二倍角的正弦公式即可求解； （2）根据等差数列的性质，及结合（1）即可求出的通项公式； （3）结合（2），根据分组求和，再利用等差数列的求和公式，特殊角的三角函数值，及其周期性即可求解． 【小问1详解】 中，因为，所以， 又，则， 因为，所以， 又，因此． 【小问2详解】 设等差数列的公差为，结合（1）有， 又，则，解得， 所以． 【小问3详解】 结合（2）有， 设，该函数的最小正周期， 则， 故， 所以． 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，求实数的取值范围； （3）若，且存在，，使得，证明：． 【答案】（1） （2） （3）若，则，， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 则，不妨设，则， 由，则， 两边同取对数，可得， 故，令，则， 即，，故， 要证，只需证，即只需证， 令， 则， 故在上单调递增，则， 即有恒成立，即得证． 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义直接求解即可； （2）由题意在上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可求解； （3）利用导数求出单调性后，设，结合正负性可得、范围，再利用比值换元法，可得，，即可将证明转化为证明在上恒成立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可求解． 【小问1详解】 若，则， ，， 又，故曲线在点处的切线方程为； 【小问2详解】 由时，，即，整理得， 令，，则， 故在上单调递减，则，即； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $