西太原市山西大学附属中学校2026年高二数学暑假作业综合综合（ 一 ）

**基本信息** 该综合训练聚焦立体几何与概率统计核心模块，通过多样题型整合空间想象、逻辑推理与数据处理能力，体现知识应用的综合性。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |立体几何|约10题（如1,4,7,8,14,16,18）|体积计算、线面角、二面角、折叠与外接球|从静态几何体到动态折叠，结合空间向量工具，构建空间观念| |概率统计|约7题（如2,3,9,13,15,17,19）|概率计算、分布列、统计图表、回归分析|从基础概率到数据统计，培养数据意识与模型观念| |代数|1题（5）|二项式定理系数计算|体现代数运算能力，为综合应用奠基|

山大附中高二数学暑假作业 综合（一） 1．已知圆锥的母线长为2，轴截面面积为，则圆锥的体积为（   ） A． B．或 C．或 D．或 2．如图，用三种不同元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响．当元件都正常工作或正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率分别为，则系统正常工作的概率为（   ） A．0.504 B．0.846 C．0.902 D．0.956 3．如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）称对称形态，图（2）称不规则形态，图（3）称“右拖尾”形态，根据图形作出以下判断，正确的是（    ） A．图（1）：平均数>中位数=众数 B．图（2）：众数>平均数 C．图（3）：众数<中位数<平均数 D．图（3）：众数<平均数<中位数 4．在四棱锥中，已知平面，底面是菱形，，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 5．的展开式中，项的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 6．在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D．与t有关 7．在直三棱柱中，为的中点，点在棱上，且，点A，M，N所确定的平面把三棱柱切割成体积不同的两部分，则较小部分的体积与较大部分的体积之比为（    ） A． B． C． D． 8．如图1，在等腰梯形中，，将沿折起，使得点落在点的位置，得到三棱锥，如图2所示.则当二面角的平面角的大小为时，三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 9（多选题）．下列说法正确的是（   ） A．若y关于x的线性回归方程为，则样本点的残差为 B．已知数据，，…，的极差为6，方差为2，则数据，，…，的极差为12，方差为8 C．数据5，8，10，12，13的第40百分位数是9 D．，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越“矮胖” 10（多选题）．在正三棱台中，，，，分别是，，，的中点，且，则下列说法正确的有（   ） A． B．平面 C．平面 D．若，则平面 11（多选题）．已知正方体的棱长为2，点为线段上的动点，则（    ） A．的最小值为 B．与始终保持垂直 C．以为球心，为半径的球面与平面的交线长为 D．经过的平面截正方体所得截面面积的最小值为 12．如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为 . 13．一组数据：1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10的众数为a，上四分位数为b，则 ； 14．已知长方体中，为矩形内一动点，设二面角为，直线与平面所成的角为，若，则三棱锥体积的最小值是 . 15．某中学高一年级1000名学生中，男生有600名，女生有400名.为调查该校高一年级学生每天的课后学习时间，按照性别进行分层，并通过比例分配的分层随机抽样从中抽取一个容量为200的样本进行调查，得到如图1（男生）、图2（女生）所示的频率分布直方图. (1)求抽取的200名学生中每天的课后学习时间落在区间的男生人数； (2)估计该中学高一年级全体学生每天的平均课后学习时间（注：同一组数据用区间中点值作代表）. 16．已知四棱锥，平面，底面是矩形，，，，分别是与的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 17．篮球比赛是同学们非常喜爱的体育比赛之一，某校举办定点投篮比赛，规定两个投篮地点：罚球线上，弧顶处三分线上．罚球线上投中一球得1分，弧顶处三分线上投中一球得3分．学生小北在罚球线上单次投篮投进的概率为，在弧顶处三分线上单次投篮投进的概率为，各次投篮之间独立． (1)第一轮比赛规定，小北有三次在弧顶处三分线上投篮的机会，设表示小北三次投篮的总得分，求随机变量的分布列与数学期望； (2)第二轮比赛规定，小北共有四次在罚球线上投篮的机会，但若连续两次不进就会失去剩余投篮机会，求第二轮比赛中小北总共得2分的概率； (3)另一名学生小墨在罚球线上单次投篮投进的概率为，在弧顶处三分线上单次投篮投进的概率为．小北在罚球线上和弧顶处三分线上各投篮五次，这十次投篮总得分的期望值记为，同样，小墨在完成同样的十次投篮后总得分的期望值记为，试比较与的大小关系．（结论不要求证明） 18．已知等腰梯形中，，是线段的两个三等分点（在的左侧），是线段上靠近的三等分点（如图①．将沿翻折到的位置，连结得到四棱锥（如图②）． (1)求证：； (2)当时， ①求平面与平面所成二面角的余弦值； ②求直线与平面所成角的正弦值． 19．规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． (1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望； (2)为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下： 1 2 3 4 5 232 98 60 40 20 求关于的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）； (3)证明 附：参考数据：，，（其中，）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 山大附中高二数学暑假作业（一） 答案 一、单选题 1．已知圆锥的母线长为2，轴截面面积为，则圆锥的体积为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解】设圆锥的底面半径为r，高为h，因为圆锥的轴截面面积为，且母线长为，可得，且，解得或，则或， 所以圆锥的体积为或.故选：C． 2．如图，用三种不同元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响．当元件都正常工作或正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率分别为，则系统正常工作的概率为（   ） A．0.504 B．0.846 C．0.902 D．0.956 【答案】D 【解】由题意得，，，且系统正常工作的对立事件为系统不都正常工作且也不正常工作，而每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，则相互独立， 可得不都正常工作的概率为，故系统不正常工作的概率为， 由对立事件的概率公式得系统正常工作的概率为，故D正确.故选：D 3．如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）称对称形态，图（2）称不规则形态，图（3）称“右拖尾”形态，根据图形作出以下判断，正确的是（    ） A．图（1）：平均数>中位数=众数 B．图（2）：众数>平均数 C．图（3）：众数<中位数<平均数 D．图（3）：众数<平均数<中位数 【答案】C 【解】A中应有平均数=中位数=众数；B中众数<平均数；C，D中，平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数更接近“拖尾”的一边，所以平均数>中位数，而最高峰偏左，因此众数最小. 故选：C. 4．在四棱锥中，已知平面，底面是菱形，，则异面直线与所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解】因为，所以为异面直线与所成的角. 因为平面，平面，所以.又，所以.故选：C. 5．的展开式中，项的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】D 【解】多项式展开式的通项为 令，可得由展开式通项为 当时，可得所以展开式中项的系数为故选：D 6．在空间直角坐标系中，向量（）在面上的投影向量为，在向量上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D．与t有关 【答案】A 【解】因为向量在面上的投影向量为，则.因为在向量上的投影向量为，则.所以.所以向量的夹角为.故选：A. 7．在直三棱柱中，为的中点，点在棱上，且，点A，M，N所确定的平面把三棱柱切割成体积不同的两部分，则较小部分的体积与较大部分的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解】延长与于点，连接交于点，连接，则四边形为截面，连接，小部分几何体可看作三棱锥和四棱锥的组合，因为，，故，所以， 又为的中点，故，故，相似比为1:4， 故，，故四边形的面积， 故四棱锥的体积为， 设矩形的面积为，故，故， 又，故，故， 故小部分几何体的体积等于， 故大部分几何体的体积等于，故小部分的体积和大部分的体积比为.故选：A 8．如图1，在等腰梯形中，，将沿折起，使得点落在点的位置，得到三棱锥，如图2所示.则当二面角的平面角的大小为时，三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】在图1中，延长AD、BC交于点，如图所示： 因为，且，所以， 即，所以，所以是边长为4的等边三角形， 所以D、C分别为、的中点，所以， 所以，易知. 过作交于，则为的中点， 过作交于，则为二面角的平面角. 所以.记为外接球球心，半径为的外接圆半径，过的外接圆的圆心作平面的垂线， 过的外心作平面的垂线，两条垂线的交点即为球心，其截面如下： 则，所以， 所以球的表面积为. 故选：D. 二、多选题 9．下列说法正确的是（   ） A．若y关于x的线性回归方程为，则样本点的残差为 B．已知数据，，…，的极差为6，方差为2，则数据，，…，的极差为12，方差为8 C．数据5，8，10，12，13的第40百分位数是9 D．，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越“矮胖” 【答案】BC 【解】对于A，当时，，故样本点的残差为，故A错误， 对于B，数据，，…，的极差为12，方差为8，B正确， 对于C，，故第40百分位数是，故C正确， 对于D，，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越“高瘦”，D错误，故选：BC 10．在正三棱台中，，，，分别是，，，的中点，且，则下列说法正确的有（   ） A． B．平面 C．平面 D．若，则平面 【答案】ABD 【解】由题意，可将正三棱台补为如图所示的正三棱锥， 取的中点，连接，则. 又，所以平面，因为平面，则有．A正确. 因为分别是的中点，所以， 又平面，平面， 平面，即平面，故B项正确． 对于选项C，假设平面，因为平面， 所以与垂直，而是等边三角形，不垂直，所以C不正确． 由，知，可设， 则，，根据勾股定理. 而，故， 又，，则平面，即平面，故D正确． 故选：. 11．已知正方体的棱长为2，点为线段上的动点，则（    ） A．的最小值为 B．与始终保持垂直 C．以为球心，为半径的球面与平面的交线长为 D．经过的平面截正方体所得截面面积的最小值为 【答案】BC 【解】      对于A，由于分别在平面，平面内，把这两个平面展开为一个平面， 即可得：，所以在平面展开图中，由于是等边三角形，所以由余弦定理可得： ，所以，故A错误；    对于B，因为，且平面， 所以平面，又因为平面，所以， 同理可证，又因为平面， 所以平面，又因为平面，所以，故B正确；    对于C，连接平面，且为等边三角形的中心， 再同上面可证明得平面，利用三棱锥的等体积法得： ， 以为球心，为半径的球面与平面的交线为圆，设该圆的半径为， 则由勾股定理可得：，所以该圆的周长为，故C正确；    对于D，当经过的平面截正方体所得截面时,若为两边中点， 此时菱形的面积为，故D错误；故选：BC 三、填空题 12．如图，斜二测画法的直观图是，的面积为，那么的面积为 . 【答案】 【详解】由直观图和原图的面积关系式，可得，. 故答案为：24 13．一组数据：1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10的众数为a，上四分位数为b，则 ； 【答案】13 【详解】众数为5，故，将这组数据从小到大排列为：1，2，3，4，5，5，5，6，6，7，8，9，9，10，因为数据个数为14，，所以这组数据的上四分位数是第11个数，故8. .故答案为：13. 14．已知长方体中，为矩形内一动点，设二面角为，直线与平面所成的角为，若，则三棱锥体积的最小值是 . 【答案】/ 【解】如图，作平面，垂足为，再作，垂足为， 连接因为平面，故， 而平面，故平面， 而平面，故，故为的平面角， 则，，由，则， 又、平面，故，，则， 由抛物线定义可知，的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线一部分， 所以的轨迹为以为焦点，以为准线的抛物线一部分， 当点到线段距离最短时，三角形面积最小，即三棱锥体积最小， 取中点为原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则，，，则直线的方程为：，即， 抛物线的方程为，则， 由题意，令，得，代入，得，所以点的坐标为， 所以动点到直线的最短距离为， 因为，所以， 所以三棱锥体积的最小值为.故答案为：. 四、解答题 15．某中学高一年级1000名学生中，男生有600名，女生有400名.为调查该校高一年级学生每天的课后学习时间，按照性别进行分层，并通过比例分配的分层随机抽样从中抽取一个容量为200的样本进行调查，得到如图1（男生）、图2（女生）所示的频率分布直方图. (1)求抽取的200名学生中每天的课后学习时间落在区间的男生人数； (2)估计该中学高一年级全体学生每天的平均课后学习时间（注：同一组数据用区间中点值作代表）. 【详解】（1）由题意得，抽取的200名学生中，男生人数为人， 由图1得，所求男生人数为人； （2）设样本中男生每天的平均课后学习时间为，样本中女生每天的平均课后学习时间为，高一年级全体学生每天的平均课后学习时间为，由图1得的估计值为， 由图2得的估计值为，因此的估计值为， 即该中学高一年级全体学生每天的平均课后学习时间的估计值为3.28小时. 16．已知四棱锥，平面，底面是矩形，，，，分别是与的中点． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）取的中点，连接. 则.而底面为矩形，是的中点，所以. 所以，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，而不在平面内， 所以平面. （2）因为平面，四边形为矩形，所以以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则，. 所以. 设平面的一个法向量为，则，令，则.所以平面的一个法向量为，所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．篮球比赛是同学们非常喜爱的体育比赛之一，某校举办定点投篮比赛，规定两个投篮地点：罚球线上，弧顶处三分线上．罚球线上投中一球得1分，弧顶处三分线上投中一球得3分．学生小北在罚球线上单次投篮投进的概率为，在弧顶处三分线上单次投篮投进的概率为，各次投篮之间独立． (1)第一轮比赛规定，小北有三次在弧顶处三分线上投篮的机会，设表示小北三次投篮的总得分，求随机变量的分布列与数学期望； (2)第二轮比赛规定，小北共有四次在罚球线上投篮的机会，但若连续两次不进就会失去剩余投篮机会，求第二轮比赛中小北总共得2分的概率； (3)另一名学生小墨在罚球线上单次投篮投进的概率为，在弧顶处三分线上单次投篮投进的概率为．小北在罚球线上和弧顶处三分线上各投篮五次，这十次投篮总得分的期望值记为，同样，小墨在完成同样的十次投篮后总得分的期望值记为，试比较与的大小关系．（结论不要求证明） 【详解】（1）小北在3次投篮后总得分的可能取值为0，3， 6，9. ，， ， . 所以总得分的分布列为 0 3 6 9 P 所以 （2）设第二轮比赛中小北总共得2分为事件A， 包括投中两次分别为四种情况投中符合题意，所以； （3）设小北在罚球线上投进数量为，在弧顶处三分线上投进数量为，则这十次投篮总得分为，， ； 设小墨在罚球线上投进数量为，在弧顶处三分线上投进数量为，则这十次投篮总得分为，， ；所以. 18．已知等腰梯形中，，是线段的两个三等分点（在的左侧），是线段上靠近的三等分点（如图①．将沿翻折到的位置，连结得到四棱锥（如图②）． (1)求证：； (2)当时， ①求平面与平面所成二面角的余弦值； ②求直线与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接， 图①中，由，得，而， 则为正三角形，即为正三角形，，连接， 在中，由余弦定理得， 则，即，而，则， 由线段上靠近的三等分点，得是线段的中点，于是， 而平面，因此平面，又平面， 所以. （2）①由（1）知，，则是平面与平面所成二面角的平面角， 由（1）得，又，平面， 则平面，在中，， 所以平面与平面所成二面角的余弦值是. ②在中，，连接，由（1）可得， 在中，， 在中，，设点到平面的距离为， 由，得，则，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19．规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． (1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量，求的分布列和数学期望； (2)为验证抽球试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记表示成功时抽球试验的轮次数，表示对应的人数，部分统计数据如下： 1 2 3 4 5 232 98 60 40 20 求关于的回归方程，并预测成功的总人数（精确到1）； (3)证明 附：参考数据：，，（其中，）． 【详解】（1）由题知，的取值可能为1，2，3，所以； ；； 所以的分布列为： 1 2 3 所以数学期望为． （2）令，则， 由题知：，， 所以，所以，， 故所求的回归方程为：，所以，估计时，；估计时，；估计时，； 预测成功的总人数为． （3）由题知，在前轮就成功的概率为 ， 又因为在前轮没有成功的概率为 ， 故． 1 学科网（北京）股份有限公司 $