专题 1.2 菱形的性质与判定（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦菱形的性质与判定核心知识点，系统梳理菱形四条边相等、对角线互相垂直的性质及面积公式，明确四边相等的四边形、对角线垂直的平行四边形这两种判定方法，承接平行四边形知识，为正方形学习奠基，通过定理、图示、几何语言构建基础学习支架。 资料以知识梳理表格化呈现培养抽象能力与几何直观，题型精析结合各地期末真题，例题带变式题提升推理能力与应用意识，同步检测覆盖选择填空解答，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固提升、查漏补缺。

专题 1.2 菱形的性质与判定（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】菱形的性质 1 【知识点二】菱形的判定 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】利用菱形性质求值 2 【题型 2】菱形的面积 3 【题型 3】利用菱形性质求值证明 4 【题型 4】菱形的判定 5 【题型 5】菱形的性质与判定 6 三.题型精析（巩固提升） 7 【题型 6】菱形的性质与判定综合求值证明 7 【题型 7】菱形与图形变换 8 【题型 8】菱形与动点问题 10 四.同步检测 11 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 11 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 13 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 15 一.知识梳理解读 【知识点一】菱形的性质 定理：菱形的四条边相等。 定理：菱形的对角线互相垂直。 定理 图示 几何语言 菱形的四条边相等 在菱形中， 菱形的对角线互相垂直 在菱形中， 【要点提示】（1）菱形的面积，利用此等量关系求线段长；（2）菱形的对角线平分每一组对角。 【知识点二】菱形的判定 定理：四边相等的四边形是菱形。 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 定理 图示 几何语言 四边相等的四边形是菱形 在四边形中， ， 四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在中， ， 四边形是菱形. 【要点提示】(1)从边出发，利用四边相等直接证明菱形；（2）从对角线出发，先证明平行四边形，再从对角线互相垂直得到菱形。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】利用菱形性质求值 【例题1】（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在菱形中，，．求的度数． 【变式1】（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数是（     ） A．55° B．75° C．60° D．65° 【变式2】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，已知菱形的边长为，，对角线、相交于点．则这个菱形的对角线的长为________．（结果保留根号） 【变式3】（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在中，，线段是的角平分线． （1）尺规作图：求作菱形，使得点D，F分别在边，上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，若且时，求菱形的边长． 【题型 2】菱形的面积 【例题2】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，连结，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，四边形为菱形，求菱形的面积． 【变式1】（25-26八年级下·广东珠海·期末）如图，四边形是菱形，，，于，则等于（     ） A．4.8 B．2.4 C．2.5 D．1.2 【变式2】（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，利民停车场地面上有一块菱形禁停警示标识，已知对角线和，则这块警示标识的占地面积为_____． 【变式3】（2026·宁夏银川·三模）如图，在中，． （1）求作菱形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【题型 3】利用菱形性质求值证明 【例题3】（25-26八年级下·四川宜宾·期末）如图，是的边的中线，E是的中点，过点A作，交的延长线于点F，交于G，连接． （1）若四边形是菱形，求证：是直角三角形： （2）若，求长． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，菱形的对角线与相交于点．下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（9.4矩形、菱形、正方形（3）八年级数学下册苏科版）如果菱形的对角线上一点P到边的距离为2，那么点P到边的距离为______． 【变式3】（25-26八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，为对角线上一点，且，连接． （1）求证：． （2）当，时，求菱形的边长． 【题型 4】菱形的判定 【例题4】（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，在中，是对角线上的一点，过点作，且，连接． （1）求证：； （2）若，试判断四边形的形状并说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·河北唐山·期末）根据图中所标数据，不足以判定四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，垂足为O，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________（写出一个即可）． 【变式3】（25-26八年级下·陕西延安·期末）如图，在中，点，分别在，上，连接，交对角线于点，连接，．若，，求证：四边形是菱形． 【题型 5】菱形的性质与判定 【例题5】（25-26八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 【变式1】（25-26八年级下·四川绵阳·期末）如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·陕西咸阳·一模）如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为________． 【变式3】（25-26八年级下·广西桂林·阶段检测）在菱形中，与相交于点O，E为的中点，且，． （1）求的度数；（2）求菱形的面积． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 6】菱形的性质与判定综合求值证明 【例题6】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别是，的中点，连接交于点，延长与的延长线交于点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·云南玉溪·期末）如图，按如下步骤作四边形：①作；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，，．若，则（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点B，F为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点．若，则的长为________________． 【变式3】（25-26八年级下·河南平顶山·期末）已知：如图，点为的对角线的中点，经过点的直线分别交的延长线、的延长线于点，，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，． ①当时，四边形的周长为_________； ②当时，四边形的面积为_________． 【题型 7】菱形与图形变换 【例题7】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，为边上的一点，将沿折叠，点B的对应点为落在边上． （1）如图1，猜想四边形的形状并证明； （2）如图2，在（1）的条件下，以A为圆心，为半径画弧交于点F，若，．求的长． 【变式1】（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，点是上一点，将沿折叠，点落在上的点处，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图，菱形的顶点、在轴上，顶点在轴上，点、的坐标分别是、．将菱形沿轴向右平移，当菱形被直线分为面积相等的两部分时，线段扫过的面积是________． 【变式3】（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图1，把两个全等的直角三角形与叠放在一起，，，．固定，将沿线段向右平移（即点D在线段上）． （1）如图2，连接，证明：； （2）如图3，连接，，，得到四边形． ①当点D移动到的中点时，判断四边形的形状，并说明理由； ②在移动过程中，四边形的形状在不断改变，但它的面积不发生改变，直接写出四边形面积． 【题型 8】菱形与动点问题 【例题8】（专题特殊平行四边形中的最值与定值问题（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（华东师大版））如图，在边长为4的菱形中，，E、F分别是边、上的动点，且，连接、、． （1）证明：；（2）求面积的最小值． 【变式1】（25-26八年级下·广西钦州·期末）如图，菱形的边，高， 点F是边上一动点，将四边形沿折叠，点A的对应点为点P．当的长度最小时，的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在平行四边形中，，，．点，分别为，上的动点，连接，，则当取最小值时，的长为________． 【变式3】（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，在菱形中，，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接，． （1）求证：； （2）当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，在菱形中，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在菱形中，点是的中点，对角线，相交于点O，连接，若菱形的周长是16，则长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26八年级下·重庆江北·阶段检测）若菱形的两条对角线长分别为6和10，则该菱形的面积为（     ） A．24 B．30 C．48 D．60 4．（25-26八年级下·四川泸州·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）要使为菱形，则需要添加的条件是（     ） A． B． C．对角线，互相平分 D．对角线，互相垂直 6．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·辽宁鞍山·阶段检测）如图，矩形的对角线相交于点， ，，若，则四边形的周长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 8．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在菱形中，连接，有以下结论：①当时，菱形是正方形；②当时，菱形是正方形，下列说法正确的是（   ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①错误，②错误 D．①正确，②正确 9．（24-25八年级下·河北邢台·期末）现有一个可伸缩的衣帽架，若菱形的边长为2，则与之间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 10．（2025·浙江台州·二模）菱形与3个全等的正六边形按如图放置，若正六边形的边长为a，则菱形的边长为（   ） A．2a B． C．3a D．4a （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·上海金山·期末）如图，在菱形中，，则________． 12．（2026·云南·一模）如图，菱形的对角线，相交，且，菱形面积为24，则的长为___________． 13．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，，垂足为E．若，则_________．    14．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，按如下操作步骤画出的四边形：（1）画；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接．若，则的大小是______． 15．（23-24八年级下·山东泰安·期中）如图，在菱形中，，与交于点O，E为延长线上的一点，且，连接分别交、于点、，连接，则下列结论中一定成立的是________．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①； ②； ③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形． 16．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，在菱形中，，分别以点A，B为圆心，以大于一半的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线交于点，连接，则______． 17．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边与轴重合，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标为__________． 18．（25-26八年级下·河南许昌·期末）如图，在菱形中，，，是的中点，是边上一动点．将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·江西鹰潭·期末）如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，求的度数． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·山东威海·期中）如图，点，分别是的边，的中点，，交的延长线于点，连接，．当与满足什么条件时，四边形是菱形？写出你认为正确的条件，并进行证明． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，对角线，交于点，且平分，过点作交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的周长为，，求的长． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，的平分线交于点，点是边上一点，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，，，求的长． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，点E，F分别在边，上，且． （1）求证：； 下面是小轩的证明过程： 证明：四边形是平行四边形， ，，．① ， ，② 在与中， ， ③； 上述推理过程从第_________步开始出现错误？请写出完整的正确证明过程． （2）在不添加新的点和线的情况下，请你添加一个条件_________，使四边形是菱形．（直接填空，不需说明理由） 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·浙江·期中）如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，并连接，． 【操作思考】 （1）在沿直线平移过程中，求证：； 【拓展探究】 （2）如图2，若四边形为菱形，，，求的长． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.2 菱形的性质与判定（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】菱形的性质 1 【知识点二】菱形的判定 2 二.题型精析（夯实基础） 2 【题型 1】利用菱形性质求值 2 【题型 2】菱形的面积 6 【题型 3】利用菱形性质求值证明 9 【题型 4】菱形的判定 12 【题型 5】菱形的性质与判定 15 三.题型精析（巩固提升） 19 【题型 6】菱形的性质与判定综合求值证明 19 【题型 7】菱形与图形变换 24 【题型 8】菱形与动点问题 28 四.同步检测 34 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 34 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 40 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 47 一.知识梳理解读 【知识点一】菱形的性质 定理：菱形的四条边相等。 定理：菱形的对角线互相垂直。 定理 图示 几何语言 菱形的四条边相等 在菱形中， 菱形的对角线互相垂直 在菱形中， 【要点提示】（1）菱形的面积，利用此等量关系求线段长；（2）菱形的对角线平分每一组对角。 【知识点二】菱形的判定 定理：四边相等的四边形是菱形。 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 定理 图示 几何语言 四边相等的四边形是菱形 在四边形中， ， 四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 在中， ， 四边形是菱形. 【要点提示】(1)从边出发，利用四边相等直接证明菱形；（2）从对角线出发，先证明平行四边形，再从对角线互相垂直得到菱形。 二.题型精析（夯实基础） 【题型 1】利用菱形性质求值 【例题1】（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，在菱形中，，．求的度数． 【答案】 【分析】先根据菱形性质求出的度数，再利用菱形对角线性质得出的度数，最后结合直角三角形两锐角互余求出的度数．本题主要考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的对边平行、对角线平分内角是解题的关键． 解：∵四边形是菱形，， ∴，平分， ∴， ∴． ∵四边形是菱形，平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图，在菱形中，过点C作交对角线于点E，已知，则的度数是（     ） A．55° B．75° C．60° D．65° 【答案】D 解：由题意得， ， ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，已知菱形的边长为，，对角线、相交于点．则这个菱形的对角线的长为________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】由题意易得，，，然后可得是等边三角形，进而根据勾股定理可进行求解． 解：∵四边形是菱形，且边长为， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级下·福建福州·期末）如图，在中，，线段是的角平分线． （1）尺规作图：求作菱形，使得点D，F分别在边，上；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）所作的图形中，若且时，求菱形的边长． 【答案】（1）；（2）菱形的边长为 【分析】（1）作图思路：平分菱形满足，．以作交得以为圆心、长画弧交得连接四边即为菱形； （2）设菱形边长由比例得，结合角平分线、平行线得，再利用得，在中用勾股定理列方程求解，进而求出菱形边长． 解：（1）略 （2）解：设菱形的边长为，则， ， ， 四边形是菱形， ， 又， ，即， 在中，， 即， ， ， ， ， ， 菱形边长． 【题型 2】菱形的面积 【例题2】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，点，分别在边，上，且，连结，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，四边形为菱形，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：因为四边形是矩形， ，， ， ， 即， 又， ， 四边形是平行四边形； （2） 【分析】（1）先根据矩形的性质得到，，再由可得，即可证明四边形是平行四边形； （2）设，则，在中，根据勾股定理得，解方程得到，最后根据菱形的面积公式即可求出菱形的面积． 解：（1）略 （2）解：四边形为菱形， ， 设，则， 在矩形中，，，， 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得， ， 菱形的面积． 【变式1】（25-26八年级下·广东珠海·期末）如图，四边形是菱形，，，于，则等于（     ） A．4.8 B．2.4 C．2.5 D．1.2 【答案】A 解：如图，记与交点为， 由菱形性质得，， 在中，由勾股定理得， 由菱形面积计算公式得， ． 【变式2】（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，利民停车场地面上有一块菱形禁停警示标识，已知对角线和，则这块警示标识的占地面积为_____． 【答案】18 解：菱形的面积为：． 【变式3】（2026·宁夏银川·三模）如图，在中，． （1）求作菱形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】（1）如图，菱形即为所求． （2） 【分析】（1）分别以点、为圆心，为半径画弧，两弧交于点，连接、，菱形即为所求； （2）连接，交于，根据菱形的性质得出，，，利用勾股定理求出，进而求出，利用菱形的面积公式即可得出答案． （1）解：略 （2）解：如图，连接，交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【题型 3】利用菱形性质求值证明 【例题3】（25-26八年级下·四川宜宾·期末）如图，是的边的中线，E是的中点，过点A作，交的延长线于点F，交于G，连接． （1）若四边形是菱形，求证：是直角三角形： （2）若，求长． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，是的中线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是直角三角形． （2）3 【分析】（1）由菱形性质，是的中线，得到，进而由等腰三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理得到即可得证； （2）取中点，连结，如图所示，由三角形中位线的判定与性质得到，，进而得到，再证明，根据全等三角形性质即可求解． 解：（1）略 （2）解：取中点，连结，如图所示： ∵是的边的中线，则是的中点， 是的中位线， ∴，， ∴， 是的中点， ， 在和中， ， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，菱形的对角线与相交于点．下列结论不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：在菱形中，，故A正确，不符合题意； 对角线与相互垂直平分，则，，故BD正确，不符合题意； 的大小不能确定，故C错误，符合题意． 【变式2】（9.4矩形、菱形、正方形（3）八年级数学下册苏科版）如果菱形的对角线上一点P到边的距离为2，那么点P到边的距离为______． 【答案】2 【分析】本题考查了菱形的性质，角平分线的性质．熟练掌握菱形的性质，角平分线的性质是解题的关键．由菱形，可知平分，由角平分线的性质可知点P到另外一边的距离． 解：∵菱形， ∴平分， ∵点P在对角线上，点P到的距离为2， ∴点P到另外一边的距离为2， 故答案为：2． 【变式3】（25-26八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，为对角线上一点，且，连接． （1）求证：． （2）当，时，求菱形的边长． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ， ， ； （2） 【分析】（1）由“”可证，即可得出结论； （2）先由菱形的性质可得，，，求出、的长，由勾股定理求出的长，再由勾股定理求出的长，即可得出结果． 解：（1）略 （2）解：四边形是菱形， ，，， ， ， ，， ， ， 菱形的边长为． 【题型 4】菱形的判定 【例题4】（25-26八年级下·山东威海·期末）如图，在中，是对角线上的一点，过点作，且，连接． （1）求证：； （2）若，试判断四边形的形状并说明理由． 【答案】（1）∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ； （2）四边形是菱形，理由如下： ∵，且， ∴四边形是平行四边形 ∴，且， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 由（1）得， ∴， ∵，， ∴， ， 即平行四边形一组邻边相等， ∴四边形是菱形． 【分析】（1）由平行四边形，得到，结合，可得，即可证明； （2）先证明，得到四边形是平行四边形，再根据，，，得到，则，即可得到四边形是菱形． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（25-26八年级下·河北唐山·期末）根据图中所标数据，不足以判定四边形为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的判定定理，逐一分析选项； 解：A．已知两个相邻内角和为，仅可推出一组对边平行，因此该四边形不能判断出是平行四边形；邻边长度都为5，也无法判定四边相等或对角线垂直，因此不足以判定为菱形． B．三个内角为、、，可得第四个角，然后根据对角相等，可判定是平行四边形；又有一组邻边长度都为5，即邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定为菱形． C．四边形四条边都相等，根据“四边相等的四边形是菱形”，可判定为菱形． D．四边形对角线互相平分且垂直，根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，可判定为菱形． 【变式2】（25-26八年级下·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，垂足为O，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________（写出一个即可）． 【答案】（或或或或等） 【分析】根据菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，进行添加条件． 解：（或） 理由如下：∵，，， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 理由同上； 理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 【变式3】（25-26八年级下·陕西延安·期末）如图，在中，点，分别在，上，连接，交对角线于点，连接，．若，，求证：四边形是菱形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ ∴四边形是菱形． 【分析】先证明，，再证明，结合，进一步可得结论． 解：略 【题型 5】菱形的性质与判定 【例题5】（25-26八年级下·湖南益阳·期中）如图，四边形为平行四边形，对角线的垂直平分线分别交于点， （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见分析；（2）． 【分析】（1）先证得再证四边形是平行四边形，然后由即可得出结论； （2）由菱形的性质得则即可求解． 本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识， 熟练掌握菱形的判定与性质，证明是解题的关键． 解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∵垂直平分， 在和中， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2）解：由（1）可知， 四边形是菱形， 【变式1】（25-26八年级下·四川绵阳·期末）如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据等角对等边和中点的概念得到，然后求出，证明出是菱形，然后利用菱形的性质求解即可． 解：∵ ∴ ∵点为中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是菱形， ∴ 故选：D． 【变式2】（2025·陕西咸阳·一模）如图，两张宽度均为的矩形纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为，则重叠部分构成的四边形的周长为________． 【答案】24 【分析】过点A作于点M，于点N，由题意得四边形是平行四边形，根据矩形的宽相等，得到，结合，进而得到，推出，即可得到四边形是菱形，即可求解． 本题考查了菱形的判定和性质，菱形的周长，含30度角直角三角形的性质，得出四边形是菱形是解题的关键． 解：过点A作于点M，于点N， 则， ∵两张纸条的对边平行， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵两张纸条的宽度相等， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长为， 故答案为：24． 【变式3】（25-26八年级下·广西桂林·阶段检测）在菱形中，与相交于点O，E为的中点，且，． （1）求的度数； （2）求菱形的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据E为的中点，且，得到，结合菱形性质得到，从而得到是等边三角形，即可得到的度数； （2）根据是等边三角形结合勾股定理求出直接求解即可得到答案． 解：（1）解：∵E为的中点，且， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：∵，E为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是得到是等边三角形． 三.题型精析（巩固提升） 【题型 6】菱形的性质与判定综合求值证明 【例题6】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别是，的中点，连接交于点，延长与的延长线交于点，且． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵点E，F分别是，的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2） 【分析】（1）由中点的定义得，，再由可得，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论； （2）由中位线的性质得，证明四边形是平行四边形，则，，再根据菱形的性质得，，则，再根据含30度角的直角三角形的性质求解． 解：（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵点E，F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·云南玉溪·期末）如图，按如下步骤作四边形：①作；②以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，，．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据作图可得四边形为菱形，即可解答． 解：根据题意可得， 四边形为菱形， ， ． 【变式2】（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在平行四边形中，以点为圆心，为半径作弧，交于点，再分别以点B，F为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，射线交于点．若，则的长为________________． 【答案】 【分析】设交于点． 根据作图痕迹可知，， 结合平行四边形性质证明四边形是菱形，利用菱形对角线互相垂直平分及勾股定理求出，进而求出． 解：如图，连接，设交于点． 由作图可知：，平分， ∴． 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， ∵在中，，， ， ． 【变式3】（25-26八年级下·河南平顶山·期末）已知：如图，点为的对角线的中点，经过点的直线分别交的延长线、的延长线于点，，连接，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，． ①当时，四边形的周长为_________； ②当时，四边形的面积为_________． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵点为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形 （2）①；② 【分析】（1）先由平行四边形性质得，推导出两组内错角相等，结合是中点得，通过证明，得到，结合，利用对角线互相平分即可证四边形是平行四边形； （2）①由得，在含角的中求出、的长度，即可计算四边形的周长；②由判定平行四边形是菱形，在中结合角性质与勾股定理求出，得到对角线长，用菱形面积等于对角线乘积的一半即可算出四边形的面积． 解：（1）略 （2）解：①当时，， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形周长为； ②当时， ∵四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形，，， 在中，， ∴，， ∴，解得， ∴， ∴． 【题型 7】菱形与图形变换 【例题7】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，，为边上的一点，将沿折叠，点B的对应点为落在边上． （1）如图1，猜想四边形的形状并证明； （2）如图2，在（1）的条件下，以A为圆心，为半径画弧交于点F，若，．求的长． 【答案】（1）四边形为菱形 由折叠得，，， 在中， ． ∴四边形为菱形． （2）5 【分析】（1）本题主要考查菱形的判定，根据折叠可得对应边相等，对应角相等，从而可证得四条边相等，即可判定四边形为菱形； （2）设，表示出、的长度，由四边形为菱形可得，，从而可得，，再结合由即可求解． 解：（1）（1）略； （2）（2）连结交于点 由题意得，，设，则． 由（1）得，四边形为菱形． ， ， 由 即，解得，（舍去） ． 【变式1】（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，在菱形中，，点是上一点，将沿折叠，点落在上的点处，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用菱形的性质得到相关边和角的关系，由折叠的性质，结合等边对等角可得，根据三角形的内角和定理求出的度数． 解：∵四边形是菱形，， ，， 沿折叠，点落在上的点处， ， ， 又， ． 【变式2】（25-26八年级下·山东滨州·期末）如图，菱形的顶点、在轴上，顶点在轴上，点、的坐标分别是、．将菱形沿轴向右平移，当菱形被直线分为面积相等的两部分时，线段扫过的面积是________． 【答案】3 【分析】连接，取的中点，可得，设菱形沿轴向右平移个单位，菱形被直线分为面积相等的两部分，可得平移后的对应点坐标为，且在直线上，再进一步求解； 解：如图，连接，取的中点， ∵点、的坐标分别是、， ∴， 设菱形沿轴向右平移个单位，菱形被直线分为面积相等的两部分， ∴平移后的对应点坐标为，且在直线上， ∴， ∴， ∵，线段沿轴平移，扫过的图形是平行四边形， ∴线段扫过的面积是. 【变式3】（25-26八年级下·河北石家庄·期末）如图1，把两个全等的直角三角形与叠放在一起，，，．固定，将沿线段向右平移（即点D在线段上）． （1）如图2，连接，证明：； （2）如图3，连接，，，得到四边形． ①当点D移动到的中点时，判断四边形的形状，并说明理由； ②在移动过程中，四边形的形状在不断改变，但它的面积不发生改变，直接写出四边形面积． 【答案】（1）证明， ，， ， 四边形是平行四边形， ． （2）①四边形是菱形，理由如下： 是直角三角形，是的中点， ， ，， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； ② 【分析】（1）根据平移可得，，可得四边形是平行四边形，进而可以解决问题； （2）①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，由题意可证是平行四边形，即可得四边形是菱形； ②根据勾股定理和全等三角形的性质可得，，再根据四边形的面积，代入求值即可． 解：（1）略 （2）（2）①略； ②∵，， ∴， ，， ，， ， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积为． 【题型 8】菱形与动点问题 【例题8】（专题特殊平行四边形中的最值与定值问题（4大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（华东师大版））如图，在边长为4的菱形中，，E、F分别是边、上的动点，且，连接、、． （1）证明：； （2）求面积的最小值． 【答案】（1）见分析；（2）3 【分析】（1）由在边长为4的菱形中，，易得、都是边长为4的正三角形，继而证得，则可证得结论； （2）由，易证得是正三角形，继而可得当动点E运动到点D或点A时，的最大，当，即E为的中点时，的最小，此时的面积最小，利利用勾股定理解答即可． 解：（1）解：，理由如下： ∵四边形是边长为的菱形，， ∴、都是边长为的正三角形， ∵， ∴， 又，， 在和中， ∴， ∴； （2）， ∴， ∴， ∴， 又， ∴是正三角形， ∴， 当，即E为的中点时，最小 此时． 在中，由勾股定理，得． 过点作，垂足为． 是正三角形，，， ，，． 在中，由勾股定理，得． ． 的面积的最小值为． 【点拨】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题关键是利用菱形性质推出三角形为等边三角形，通过线段关系证明三角形全等． 【变式1】（25-26八年级下·广西钦州·期末）如图，菱形的边，高， 点F是边上一动点，将四边形沿折叠，点A的对应点为点P．当的长度最小时，的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意画出对应图形，由可推出，确定当三点共线时，的长度最小；画出三点共线时的图形，即可求解． 解：如图1： 由题意得：，，， ∴， ∴， ， ， 即：， 故当三点共线时，的长度最小，且最小值为， 如图2： 则有， ∵， ∴， ， . 【变式2】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在平行四边形中，，，．点，分别为，上的动点，连接，，则当取最小值时，的长为________． 【答案】 【分析】先证明四边形是菱形，由菱形的性质得出点C关于的对称点为点A，进而可得出，则，过点A作于点，点A，N，M三点共线时，此时取最小值为，由含30度直角三角形的性质得出，进而可求出． 解：∵四边形是平行四边形，，且， ∴，平分，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴点C关于的对称点为点A，， ∴， ∴， 过点A作于点， ∴点A，N，M三点共线时，此时取最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式3】（23-24九年级上·山东青岛·期末）如图，在菱形中，，，点是边的中点．点是边上一动点（不与点重合），延长交射线的延长线于点，连接，． （1）求证：； （2）当点在什么位置时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【答案】（1）证明见分析；；（2）在中点时，四边形是矩形，理由见分析． 【分析】此题考查了矩形判定、菱形的性质，熟练掌握矩形、菱形的边、角、对角线所具有的性质是解题的关键． （1）利用平行线的性质可得，结合已知和图形中的隐含条件即可证明； （2）由（）得从而得到，至此，可得四边形是平行四边形； 然后根据矩形的性质得到，再求出，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半即可； 解：（1）∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， （2）在中点时，四边形是矩形，理由， 由（）得：， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∵平行四边形是矩形， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即在中点时，四边形是矩形． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·河北衡水·期末）如图，在菱形中，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质得到，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 2．（24-25八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在菱形中，点是的中点，对角线，相交于点O，连接，若菱形的周长是16，则长为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先求出的长，得出点是的中点，再利用三角形的中位线定理求解即可． 解：∵四边形是菱形，且它的周长是16， ∴，点是的中点， 又∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 3．（25-26八年级下·重庆江北·阶段检测）若菱形的两条对角线长分别为6和10，则该菱形的面积为（     ） A．24 B．30 C．48 D．60 【答案】B 【分析】本题考查菱形面积的计算，解题用到菱形的性质：菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，代入对角线长度直接计算即可． 解：∵ 菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，该菱形两条对角线长分别为和， ∴ 该菱形的面积为 ． 4．（25-26八年级下·四川泸州·期末）如图，菱形的对角线，相交于点，下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵四边形是菱形 ∴，，，与不一定相等 故A、B、C 成立，D不一定成立． 5．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）要使为菱形，则需要添加的条件是（     ） A． B． C．对角线，互相平分 D．对角线，互相垂直 【答案】D 【分析】已知是平行四边形，结合菱形的判定定理逐一判断选项，即可得到正确结果. 解：∵四边形是平行四边形， 是平行四边形的固有性质，因此选项A不能判定它是菱形； 对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，因此选项B错误； 对角线互相平分是平行四边形的性质，因此选项C不能判定它是菱形； 根据菱形判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴添加条件“对角线，互相垂直”可判定为菱形. 6．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在中，与交于点，点为中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了菱形的性质和判定，等角对等边等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 根据等角对等边和中点的概念得到，然后求出，证明出是菱形，然后利用菱形的性质求解即可． 解：∵ ∴ ∵点为中点 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴是菱形， ∴ 故选：D． 7．（24-25九年级下·辽宁鞍山·阶段检测）如图，矩形的对角线相交于点， ，，若，则四边形的周长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定及性质定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质． 利用矩形的性质得出和它们的长度，根据条件判定四边形为菱形，即可求出四边形的周长． 解：∵四边形是矩形，且 ， 又，， ∴四边形是菱形， ∴四边形的周长为8． 故选：C． 8．（23-24八年级下·陕西商洛·期末）如图，在菱形中，连接，有以下结论：①当时，菱形是正方形；②当时，菱形是正方形，下列说法正确的是（   ） A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①错误，②错误 D．①正确，②正确 【答案】A 【分析】本题考查正方形的判定以及菱形的性质，解题的关䋖是熟练掌握正方形和菱形的相关判定定理与性质． 分别分析当时，菱形的形状，以及当时，菱形的形状，从而判断对错． 解：①当时，菱形又是矩形，判定菱形是正方形， ②当时，推出是等边三角形，得到，不能判定菱形是正方形， ∴①正确，②错误． 故选：A． 9．（24-25八年级下·河北邢台·期末）现有一个可伸缩的衣帽架，若菱形的边长为2，则与之间的距离可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质得出与之间的距离大于，小于等于，然后比较实数的大小即可． 解：∵菱形的边长为2， ∴与之间的距离大于，小于等于， ，不符合题意； ，符合题意． 10．（2025·浙江台州·二模）菱形与3个全等的正六边形按如图放置，若正六边形的边长为a，则菱形的边长为（   ） A．2a B． C．3a D．4a 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，涉及等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 延长交于点，延长交于点，先求出正六边形的内角以及外角，可证明为等边三角形，则，然后证明四边形为菱形，即可求解． 解：如图，延长交于点，延长交于点， ∵正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， 同理可证明：四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·上海金山·期末）如图，在菱形中，，则________． 【答案】 【分析】利用菱形性质得出，利用等边对等角得出，然后结合三角形内角和定理求解即可． 解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴． 12．（2026·云南·一模）如图，菱形的对角线，相交，且，菱形面积为24，则的长为___________． 【答案】6 【分析】设，，根据菱形面积列方程求出，进而求解即可． 解：∵ ∴设， ∵菱形面积为24 ∴ ∴ ∴ ∴的长为6． 13．（23-24八年级下·江苏南京·期中）如图，在菱形中，，垂足为E．若，则_________．    【答案】30 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，连接，先证明是等边三角形，得出，根据等边三角形的性质得出平分，即可得出答案． 解：如图，连接，    ∵，， ∴， ∵在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴平分， ∴， 故答案为：30． 14．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，按如下操作步骤画出的四边形：（1）画；（2）以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交于点B，D；（3）分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；（4）连接．若，则的大小是______． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图画菱形，菱形的性质等知识，掌握这两部分知识是解题的关键；由作图知，四边形是菱形，则由，即可求解． 解：由作图知， 故四边形是菱形， 则，， ∴； 故答案为：． 15．（23-24八年级下·山东泰安·期中）如图，在菱形中，，与交于点O，E为延长线上的一点，且，连接分别交、于点、，连接，则下列结论中一定成立的是________．（把所有正确结论的序号都填在横线上） ①； ②； ③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识； 由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确；先证四边形是平行四边形，再证、是等边三角形，得，则四边形是菱形，③正确；由即可证明，则②正确． 解：证明：四边形是菱形， ，，，， ， ， ， ∵， ， ， 是的中位线， ，故①正确； 连接， ∵，， 四边形是平行四边形， ， 、是等边三角形， ， ∴四边形是菱形，故③正确； ∵、是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， 综上，①②③都正确， 故答案为：①②③． 16．（25-26八年级下·湖南长沙·期末）如图，在菱形中，，分别以点A，B为圆心，以大于一半的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线交于点，连接，则______． 【答案】30 【分析】由菱形的性质可得，由等边对等角并结合三角形内角和定理求出，由作图可得垂直平分，则，从而得出，即可得出结果． 解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， 由作图可得垂直平分， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边与轴重合，点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，坐标与图形的性质，由点，的坐标知道，，由勾股定理求出，再由菱形的性质得出，轴，结合点坐标即可求解，关键是由菱形的性质，勾股定理求出菱形的边长． 解：点的坐标是，点的坐标是， ，， 在中，由勾股定理得：， 四边形是菱形， ，， 边与轴重合， 轴， 点的纵坐标为， 又点在点的右侧， 点的横坐标为， 点的坐标为． 18．（25-26八年级下·河南许昌·期末）如图，在菱形中，，，是的中点，是边上一动点．将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为________． 【答案】6或 【分析】分两种情况：连接，若；连接，若；分别利用菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质计算即可得出结果． 解：如图，连接，若， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 过点作于，则， ∴，， ∴， ∴； 如图，连接，若， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴点落在上， ∵是的中点， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴； 综上所述，的长为6或． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25九年级上·江西鹰潭·期末）如图，在菱形中，，对角线，交于点，为的中点，连接，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，中位线的判定和性质，掌握菱形的性质，中位线的判定和性质是关键． 根据菱形的性质得到，由点为的中点，为的中点，得到是的中位线，则，由即可求解． 解：在菱形中，， ，，为的中点， 为的中点， 是的中位线， ， ， ． 20．（本小题满分8分）（25-26八年级下·山东威海·期中）如图，点，分别是的边，的中点，，交的延长线于点，连接，．当与满足什么条件时，四边形是菱形？写出你认为正确的条件，并进行证明． 【答案】． 理由如下： ，        ，． 点是的中点，． ． ． ， 四边形是平行四边形． ，点是的中点， ． 四边形是菱形． 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，直角三角形的斜边中线性质，先证明，得出，结合，即可证明四边形是平行四边形，进而根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得证； 解：略 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，对角线，交于点，且平分，过点作交于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的周长为，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2） 【分析】（1）根据平行四边形性质、角平分线性质、等腰三角形性质即可证明． （2）根据菱形性质和等边三角形性质，利用勾股定理即可计算． 解：（1）略 （2）解：由（1）得，四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵菱形的周长为， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理， ∴， ∴的长为． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，的平分线交于点，点是边上一点，且，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）12 【分析】（1）先得出四边形是平行四边形，再得出即可； （2）先得出的长，进而可得的长，再得出，然后在中，利用勾股定理求解即可． 解：（1）证明：略． （2）解：由（1）已证：四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴在中，． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，点E，F分别在边，上，且． （1）求证：； 下面是小轩的证明过程： 证明：四边形是平行四边形， ，，．① ， ，② 在与中， ， ③； 上述推理过程从第_________步开始出现错误？请写出完整的正确证明过程． （2）在不添加新的点和线的情况下，请你添加一个条件_________，使四边形是菱形．（直接填空，不需说明理由） 【答案】（1）②； 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ， ， ∴ 在与中， ， ； （2）（答案不唯一） 【分析】（1）由于，根据平行线的性质得不到，故②错误；根据平行四边形的性质证明出，再由证明全等即可； （2）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形添加条件即可； 解：（1）解：上述推理过程从第②步开始出现错误，因为得不到； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级下·浙江·期中）如图1，两个全等的直角三角形和的斜边和在同一直线上，，并连接，． 【操作思考】 （1）在沿直线平移过程中，求证：； 【拓展探究】 （2）如图2，若四边形为菱形，，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，平移的性质，菱形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，平行线的判定与性质等知识，熟练掌握菱形判定与性质是解题的关键． （1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可解决问题； （2）设，根据勾股定理，建立方程求解即可． 解：（1）证明：， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：，，， ， 如图2，连接交于点， △平移的过程中，四边形能成为菱形， 四边形能成为菱形， ，，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， 整理得， 解得：或（舍去）， ． 当时，四边形能成为菱形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $