暑期预习讲义（第3讲）——全等三角形经典模型 （模型梳理+题型精析+同步自测）- 2026年人教版八年级数学上册

暑期预习讲义（第3讲）——全等三角形经典模型（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.模型梳理 2 【模型一】平移模型 2 【题型 1】 平移模型 2 【模型二】轴对称模型 5 【题型 2】 轴对称模型 5 【模型三】公共边（角）模型 7 【题型 3】 公共边（角）模型 8 【模型四】四边形中构造全等三角形模型 10 【题型 4】 四边形构造全等模型 10 【模型五】一线三角等模型 15 【题型 5】 一线三等角模型 15 【模型六】三垂直模型 20 【题型 6】 三垂直模型 21 【模型七】旋转模型 25 【题型 7】 旋转模型 26 【模型八】倍长中线模型 29 【题型 8】 倍长中线模型 29 【模型九】截长补短模型（1）——截长法 33 【模型九】截长补短模型（2）——补短法 33 【题型 9】截长补短模型 34 二.同步自测 39 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 39 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 47 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 52 预习方法：读概念→理解模型→学例题→练变式→同步自测 一.模型梳理 【模型一】平移模型 基本图形 解题思路 （1）由平行线的性质得到相度相等；（2）通过线段的加、减公共线段，得到线段相等。 【题型 1】 平移模型 【例题1】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知，．点B、E、C、F在同一条直线上并且． （1）试说明：≌； （2）判断线段与线段的关系，说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2），；理由见分析 【分析】（1）先证明，，再进一步证明即可； （2）由，可得，，进一步求解即可. 解：（1）证明：∵， ， ， ， 在和中， ． ； （2）解：，；理由如下： 由（1）知：， ，， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·广东梅州·期末）如图，B、E、C、F在一条直线上，，，下列选项添加的条件，不能说明的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据推出，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 解：∵， ∴， 由，，，不符合全等三角形的判定定理，不能推出，故选项A符合题意； ∵， ∴， 由，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项B不符合题意； ∵， ∴，即， 由，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项C不符合题意； 由，，，符合全等三角形的判定定理，能推出，故选项D不符合题意． 【变式2】（2026·四川达州·中考真题）如图，、．请你添加一个条件________，使得． 【答案】（答案不唯一，如或等）． 【分析】根据平行线的性质得出，根据线段的和差关系得出，此时具备了一边一角对应相等，根据全等三角形的判定定理、或添加相应的条件即可． 解：， ． ， ，即． 若添加， 在和中， ． 若添加 在和中， ． 若添加 在和中， ． 【变式3】（25-26六年级下·山东济南·期末）如图，点在一条直线上，与交于点，，，．与相等吗？为什么？ 【答案】解：．理由如下： ， ， 在和中， ， ， ， ，即． 【分析】根据，得到，继而根据证明，得到，根据线段的和差关系即可得到答案． 解：略． 【模型二】轴对称模型 基本图形 解题思路 （1）找公共边；（2）找公共角或对顶角。 【题型 2】 轴对称模型 【例题2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）与的位置如图所示，，．试说明． 【答案】解：在和中， ， ∴， ∴． 【分析】根据证明即可． 解：略． 【变式1】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，已知，要使，只需要添加一个条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 解：A、根据，和能推出，故本选项符合题意； B、根据，，不能推出，故本选项不符合题意； C、根据，和不能推出，故本选项不符合题意； D、根据，和不能推出，故本选项不符合题意． 【变式2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，已知，要用“边角边（）”判定，还需添加一个条件，这个条件是_____．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理“边角边”，已知一组对应角相等和一组公共边，需补充夹角的另一组对应边相等． 解：∵要用“边角边（）”判定，已知一组对应角相等和一组公共边， ∴需补充夹角的另一组对应边相等， 即． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，，，垂足分别为，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【分析】证明即可． 解：略 【模型三】公共边（角）模型 基本图形 解题思路 （1）找公共边；（2）找公共角或对顶角。 【题型 3】 公共边（角）模型 【例题3】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，相交于点，且是和的中点．和全等吗？请说明理由． 【答案】解：， 理由：是和的中点， ， 在和中， ， ． 【分析】根据线段中点特点，对顶角性质，结合“”即可证明和全等． 解：略 【变式1】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，与相交于点，且，再添加一个条件后仍然不能直接证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定对各选项进行判断即可． 解：已知，， 选项A：若，根据即可证明，不符合题意； 选项B：若，根据即可证明，不符合题意； 选项C：若，其相关关系为，不可证明，符合题意； 选项D：若，根据即可证明，不符合题意． 【变式2】（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，已知交于点O，，那么添加条件_______后，就能判定． 【答案】或或 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，根据全等三角形的判定方法，添加条件即可． 解：∵，， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：或或． 【变式3】（2026·云南昭通·一模）如图：在四边形中对角线平分，；求证：． 【答案】见分析 【分析】由平分得，结合，，根据证明，进而得． 解：证明：平分， ， 在和中， ， ， ． 【模型四】四边形中构造全等三角形模型 基本图形 解题思路 若四边形中有两对邻边相等（如图）,常连接这两对邻边的交点构造全等三角形解题. 【题型 4】 四边形构造全等模型 【例题4】（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图1，在四边形中，，，称四边形是筝形，小明同学分析思考后，发现：如图2，在四边形中，，，这时四边形是筝形．请你帮助小明同学证明他发现的结论． 【答案】证明见分析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质．利用证明，根据全等三角形的性质得出，结合题意即可得解． 解：证明：如图2，连接， ， 和是直角三角形， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是筝形． 【变式1】（专题12.1全等图形和全等三角形的性质（4个考点2个易错点）（题型专练 易错精练）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读�题型专练》（人教版））如图，在四边形与四边形中，，，．下列条件中： ①，； ②，； ③，； ④，． 添加上述条件中的其中一个，可使四边形四边形．上述条件中符合要求的有（　　） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及多边形全等的判定，掌握相关定理是解题关键．连接、先证明，再根据已知条件推出，即可证明四边形四边形． 解：如图，连接、， 在与中， ， ∴， ∴，， ①∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，， ∴， ∴四边形与四边形中，，，，，，，，， ∴四边形四边形． ②同理根据可证，可推出四边形四边形， ③无法证明，不能推出四边形四边形， ④同理根据可证，的可推出四边形四边形，． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，四边形中，，，，，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．过A作，交的延长线于E，判定，即可得到是等腰直角三角形，四边形的面积与的面积相等，即可得出结论． 解：如图，过A作，交的延长线于E， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形，四边形的面积与的面积相等， ∵， ∴四边形的面积为， 故答案为． 【变式3】（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且． （1）证明：； （2）四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积． 【答案】（1）证明见分析；（2）不变， 【分析】（）连接，证明即可求证； （）由全等三角形的性质得，即得，即可求解； 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：（1）解：连接， ∵，，是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：四边形面积不会发生变化，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积不会发生变化，面积为． 【模型五】一线三角等模型 基本图形 解题思路 方法模型总结：如图，∠B=∠C=∠1，由三角形内角和及平角的有关性质易得∠2=∠3，∠4=∠5，再加上任一组对应边相等，易证两个三角形全等。 【题型 5】 一线三等角模型 【例题5】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点N在线段上滑动（点N不与A，B重合），三角尺的直角边始终经过点C，并与的夹角，斜边交于点E． （1）当时，______； （2）当时，求证：； （3）在点N的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请直接出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）存在是等腰三角形，或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，进而可以解决问题； （2）首先得到，然后证明出，，利用即可得证； （3）首先表示出，，然后分三种情况讨论，分别求出的大小即可． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理和外角的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 解：（1）解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：由（2）得， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴①当时， ∴ ∴ ∴； ②当时， ∴ ∴ ∴，不符合题意，应舍去； ③当时， ∴ ∴ ∴， 综合所述，存在是等腰三角形，或． 【变式1】（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明，由即可求出结果． 解：，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ． 故选：C． 【变式2】（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，在中,，点D在边上,，点E、F在线段上,面积为，则与的面积之和是__________． 【答案】7 【分析】本题考查了三角形全等的判定及三角形面积的计算．由得的面积为的；通过证，得；将与的面积和转化为与的面积和，即的面积． 解：∵， ∴， ∴． ∵， 即， ∴，． 又∵， ∴， ∴． ∴． 故答案为： 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）（类比探究）综合与实践． （1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D，E．小明观察图形特征后猜想线段DE，BD和CE之间存在的数量关系，请你判断他的猜想是否正确，并说明理由． （2）如图2，将（1）中的条件改为为等边三角形，D，A，E三点都在直线m上，并且有，结论是否成立？并说明理由． （3）如图3，若将（1）中的条件改为：在中，，，其中为任意钝角，D，A，E三点都在直线m上．问：满足什么条件时，结论仍成立？直接写出条件即可．    【答案】（1）正确， 理由如下： ∵直线m，直线m， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴，， ∴． （2）结论成立．理由如下： ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴， ∴，， ∴． （3）当时，． ∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴，， ∴． 【分析】（1）根据直线m，直线m，得，而，根据同角的余角相等得，然后根据“”可判定，则，，即可得出结论； （2）利用，则，得出，进而得出，即可得出答案； （3）根据（1）（2）总结规律，即可得到结论成立时满足的条件． 解：略 【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有、、、、等，注意：当利用判定两三角形全等时，角必须是两边的夹角；熟练掌握并灵活运用适当的判定方法是解题关键． 【模型六】三垂直模型 基本图形 解题思路 在三垂直模型中，利用余角的性质寻求两直角三角形中一组角相等，再加上任一组对边相等易证两直角三角形全等,常见的模型如下 【题型 6】 三垂直模型 【例题6】（25-26七年级下·重庆大渡口·期末）和的位置如图所示，点B在边上，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长度． 【答案】（1）证明：， ，， ， 在和中， ， ， ； （2） 【分析】（1）首先，由，证得，再由，证得，可得； （2）由（1）知，可得，，再由可得答案． 解：（1）略 （2）解：由（1）知：， ，， ． 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）同学们为了测量教学楼的高度，进行了如下操作：如图，在教学楼前竖直放置一根高为3米的标杆，测得标杆底部点与教学楼底部点之间的距离为18米．在教学楼与标杆之间的地面上选取一点，测得点到教学楼底部点的距离为3米，从点观察标杆顶与楼顶时，，且点在同一水平线上．根据以上数据计算出教学楼的高度是（     ）米． A．15 B．13 C．12 D．18 【答案】A 【分析】根据题意可得 ，利用同角的余角相等证明 ，从而证得 ，利用全等三角形性质即可得出 ． 解：由题意可知 ，， ． ， ． 又 ， ． 又∵ ． ． ，， ∴， ∴ ． 即教学楼的高度是 15 米． 【变式2】（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）如图，在中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则___________． 【答案】10 【分析】利用垂直的定义得到，由平角的定义及同角的余角相等得到，利用证得，由全等三角形对应边相等得到，，由即可求出长． 解：，， ， ， ∵， ， ， 在和中， ， ∴， ，， 则． 【变式3】（25-26七年级下·吉林长春·期末）探究下列问题： （1）小林同学在探究三角形全等时，发现了下面这种基本图形，如图①，已知：在中，，，直线经过点，，，垂足分别为点，．能直接得到线段，，三者之间的数量关系： ． （2）当直线绕点旋转到图②的位置时，求证：； （3）老师赞赏了小林同学的探索精神，并鼓励他运用这个方法来解决问题：如图③，以的边向外作正方形和正方形是边上的高，延长交于点，当时， ． 【答案】（1）；（2）证明：， ， ， ，， ， 在和中， ， ． ， ∴． （3） 【分析】（1）先证明，，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （2）先证明，，再证明，再利用全等三角形的性质可得结论； （3）过作于，过作的延长线于．结合由（1）和（2）的结论可知，证明，设未知数从而可得结论． 解：（1）证明：， ， ， ，， ， 在和中， ， ． ， ， ． （2）略 （3）解：如图， 过作于，过作的延长线于， ， 由（1）和（2）的结论可知，，， 在和中， ， ， ， 设，则，， ， ． 【模型七】旋转模型 基本图形 解题思路 （1）找对顶角；（2）通过角度加减，得等角。 【题型 7】 旋转模型 【例题7】（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，,,．求证：． 【答案】证明：， ， 即， 在和中， ， ， ． 【分析】由，可得，可证，根据全等三角形的性质可证结论成立． 解：略 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，点为右侧一点，连接，，，点是上一点，连接，．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．证明，得到，进而可知，即可得到的度数． 解：， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·北京·期末）如图所示，，，，，，则__________． 【答案】/度 【分析】证明，得到，利用三角形内角和求解即可． 解：， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式3】（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）【综合与探究】 在和中，，，，连接，． （1）【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； （2）【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 【答案】（1），理由如下： ∵， ∴ ，∴， 在和中，， ∴， ∴． （2） 【分析】（1）利用证明三角形全等，即可得到与的数量关系； （2）由全等三角形的性质，可得，根据三角形的内角和，求出，根据平角的定义，即可求出． 解：（1）略 （2）解：由（1）可得，， ∴， 在和中，，， ∴ ∴． 【模型八】倍长中线模型 基本图形 解题思路 （1）倍长AD至点E，连接BE或CE；（2）证明三角形全等。 【题型 8】 倍长中线模型 【例题8】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为的中线． （1）求证：； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1）证明：延长到点，使，连接． 为的中线， 在和中， ） 在中，根据三角形的三边关系，得，即 （2） 【分析】本题考查了三角形中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系，解题的关键是通过倍长中线法构造全等三角形，将线段进行转化，把分散的线段集中到同一个三角形中利用三边关系解决问题． （1）倍长中线至使，连接，利用证明，得到，再在中运用三角形三边关系推导出； （2）由（1）的全等结论得，结合三角形三边关系，代入及边长数值，计算得出的取值范围． 解：（1）略 （2）解：由（1）知： 所以，即． 【变式1】（2026·江苏无锡·一模）已知中，，，则中线的长可以是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】通过延长中线构造全等三角形，将已知边转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求出中线的取值范围，即可选出正确答案． 解：延长至点，使，连接 ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∵， 在中，由三角形三边关系得， 代入，得： ， 即， ∴． 只有选项A的在该范围内． 【变式2】（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】先证明，则，，由，得到，则 ，由于，，再由三角形内角和定理求解． 解：延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． 延长至E，使，连接，根据是中线得到，证明得到，可知，根据“大边对大角”得到，即可证明． 解：证明：延长至E，使，连接， ∵是中线， ∴ ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ． 【模型九】截长补短模型（1）——截长法 条件 如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，则有：MB－MC＜AB－AC． 基本图形 作法 在AB上截取AE＝AC，连接ME 解题思路 通过证明三角形全等得到线段相等，再进行转化即可 【模型九】截长补短模型（2）——补短法 条件 如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，则有：MB－MC＜AB－AC． 基本图形 作法 延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG 解题思路 通过证明三角形全等得到线段相等，再进行转化即可 【题型 9】截长补短模型 【例题9】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点D．求证：． 【答案】见分析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，在上截取，连接，利用已知条件求证，然后可得，，再利用三角形外角的性质求证，然后问题可解． 解：证明：如图，在上截取，连接． 的平分线交边于点， ， 在与中， ， ∴， ，， ，， ， ， ， ， ∵， ． 【变式1】（25-26八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 _____． 【答案】4 【分析】过点E作于点F，根据等边三角形的性质及线段的和差推出，，根据直角三角形的性质得出，根据含角的直角三角形的性质推出，根据等腰三角形的性质及线段的和差求解即可． 此题考查了含角的直角三角形的性质，熟记含角的直角三角形的性质是解题的关键． 解：过点E作于点F， ∵是等边三角形，边长为1，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【答案】证明见分析 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论． 解：证明：， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， 如图，在上截取，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键． 二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，已知，，下列条件中，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵， ∴， ∴， ∵， A．添加，可利用证明，故该选项不符合题意； B．添加，可利用证明，故该选项不符合题意； C．添加，可利用证明，故该选项不符合题意； D．添加，是，不能证明，故该选项符合题意． 2．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，一个池塘两端A，B处各有一棵大树，由于水面阻隔无法利用现有皮尺直接测量A，B间的距离，为此，小思和小维两位同学设计了如下测量方案：①在池塘一侧选定点O，②连接，，并分别延长到点，，使，，③连接，测量的长度即为、间的距离．这种测量方法的原理是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵，，又， ∴． 3．（25-26七年级下·四川巴中·期末）如图，已知，添加下列条件仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 解：添加条件，结合，，可利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合，，可利用证明，故B不符合题意； 添加条件，结合，，可利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合，，不可利用证明，故D符合题意； 4．（25-26七年级下·山东青岛·期末）兴趣小组的同学用数学知识测量花园里池塘两侧点，之间的距离，他们画出的示意图如图所示，点，，，在同一直线上，点，在池塘的两侧，且，，测得．若，，则假山的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得到，证明得到，推出，最后根据，即可求解． 解：， ， ，， ， ， ，即， ， ． 5．（25-26八年级下·广东河源·期中）如图，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，可得，即可求解． 解：∵， ∴和均为直角三角形， ∵在和中， ，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·重庆·期末）小丽在公园荡秋千，秋千竖直静止时吊绳为，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住小丽后用力一推，爸爸在C处接住小丽．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，且，则点C到地面的距离是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证出，根据全等三角形的性质可得，，求出的长，再结合B点距地面的高度求出点E距地面的高度，由此即可解答． 解：由题意得：，，， ， ， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵，与地面垂直， ∴与地面平行， ∵B处距地面， ∴D处距地面， ∴点E距地面， 同理可得：与地面平行， ∴点C到地面的高度等于点E到地面的高度， ∴点C到地面的距离是． 7．（25-26七年级下·上海·期末）如图，且，且，按图中所标数据，则阴影部分面积（     ） A．46 B．48 C．50 D．52 【答案】C 【分析】先证明，由此可以证明≌ ，所以，；同理证得≌，，，从而可求得，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积． 解：且，，， ， ，， ， ，，， ， ，， 同理可证， ，， ， ． 8．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是（    　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查直角三角形的全等判定与性质，首先证明，又由，，得出，，进而得出答案． 解：∵，，，， ∴， ∴ 又∵，， ∴，， ∴． 故选B 9．（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，在直角三角形中，，，点D是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接，下列判断正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由是锐角为的直角三角板、等腰三角形的性质及角的和差，即可得出，从而得到，由全等的性质判断其它三个选项是否正确即可． 本题考查的是全等三角形的性质和判定，等边对等角；熟练运用全等三角形的性质和判定是解题的关键． 解：，点D是的中点， ，， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中，， ， 故①正确； （全等三角形的对应边相等）， 故②正确； （全等三角形的对应角相等）， ， ， 故③正确； ， ， ，， ， ， 故④正确． 综上分析，正确的有4个． 故选：D． 10．（25-26八年级上·福建·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，连接，，则的度数为__________． 【答案】 【分析】根据“”判定，利用全等三角形对应角相等得出，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 解：， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 在中，． 12．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在和中，，，若要用“”直接判定，则需要添加的条件是________． 【答案】 解： 在和中， ， ． 故需添加条件． 13．（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图所示，已知，，要想使，还需要再添加一个条件，那么在①，②，③中可以选择的是_________．（填写序号） 【答案】①③ 【分析】由结合等式的性质可得，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可． 解：， ． 即． ①加上条件可利用定理证明； ②加上不能证明； ③加上可利用证明； 综上，可以选择的是①③． 14．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则长为______． 【答案】3 【分析】根据垂直的定义得到，利用同角的余角相等证明，结合利用证明，根据全等三角形对应边相等得到，结合线段的和差关系计算即可． 解：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 15．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，平分．若，则的面积为_____ ． 【答案】3 【分析】如图，过作交的延长线于，证明，再证明，利用分割法和三角形的面积公式进行求解即可. 解：如图，过作交的延长线于，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 16．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在和中，，，若，则__________． 【答案】 【分析】根据已知条件利用定理证明，得出，再利用直角三角形两锐角互余求出，最后利用角的和差关系求解即可． 解：， 与均为直角三角形， 在和中， ， ， ， ， ， ． 17．（25-26八年级下·山西晋中·期末）如图，在与中，，，，连接和交于点，连接，则_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】过点作，，交，于点，，证明，得出对应边相等和对应角相等，然后利用三角形的内角和及角平分线的定义即可求解． 解：， ， 又，， ， ， ， ， ． 18．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，于点，，交的延长线于点，．若，则______ ． 【答案】6 【分析】利用证明，得到，据此计算即可求得答案． 解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，，为线段上一点，过点作，且，连接．求证：． 【答案】证明：，， ， ， 即． 在和中， ， ， ． 【分析】先证明，再证明，即可得证． 解：略 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， （1）求证： （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ； （2） 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据全等三角形的判定定理可进行求证； （2）由（1）可知，，然后问题可求解． 解：（1）略 （2）解：， ，， ． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·广东深圳·期末）在不同情境下探究三角形的关系． （1）如图（a），，射线在这个角的内部，点，分别在的边，上，且，，垂足为，，垂足为，与全等吗？请说明理由； （2）如图（b），点，分别在的边，上，点，都在内部的射线上．已知，且，与全等吗？请说明理由． 【答案】（1）理由： ，， ． ． ， ． ． 在与中， ， ． （2）理由： 在中，，， ． ，， ． 同理可得． 在与中， ， ． 【分析】（1）由同角的余角相等得出，再利用即可证明； （2）利用三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理证明出，同理可得，再利用证明即可． （1）略； （2）略． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·山东枣庄·期末）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 （3）如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 【答案】（1）B；（2）；（3） 【分析】（1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长到M，使，连接，由证得，根据全等三角形的性质即可得出答案． 解：（1）解：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，即， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长到M，使，连接，如图2所示： ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，． （1）点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； （2）如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 【答案】（1）①证明：，， ， ，， . ，， ． ②30 （2）4 【分析】（1）①利用直角的性质，通过等量代换求出，结合已知条件，利用即可证明．②利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质推出和相应的度数，和相应的长度，以及，根据直角三角形的面积公式即可求出的面积． （2）利用旋转的性质和已知条件，证明三点共线、以及，根据面积法即可求出的长度． 解：（1）①证明：略． ②解：，， ， ， 由①可得，， ， 为直角三角形， ，， ． ， ． （2）解：将绕点逆时针旋转使和重合，得到，如图所示， ，，，， 为等腰直角三角形， ， ， ， 在线段的延长线上， ， ， ． ，， ， ． 【点拨】本题考查了三角形全等，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解题的关键在于判断三点共线，巧妙将边上的高转化为． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·山东济南·期中）和都是等腰直角三角形，． （1）如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． （2）如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． （3）如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【答案】（1），理由见分析；（2），，理由见分析；（3）18 【分析】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰直角三角形的性质解答； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； （3）同理证明，得到，，再根据计算，求出四边形的面积． 解：（1）解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （3）解：如图，与相交于点 ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第3讲）——全等三角形经典模型（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.模型梳理 2 【模型一】平移模型 2 【题型 1】 平移模型 2 【模型二】轴对称模型 3 【题型 2】 轴对称模型 3 【模型三】公共边（角）模型 4 【题型 3】 公共边（角）模型 4 【模型四】四边形中构造全等三角形模型 5 【题型 4】 四边形构造全等模型 5 【模型五】一线三角等模型 6 【题型 5】 一线三等角模型 7 【模型六】三垂直模型 8 【题型 6】 三垂直模型 8 【模型七】旋转模型 10 【题型 7】 旋转模型 10 【模型八】倍长中线模型 11 【题型 8】 倍长中线模型 11 【模型九】截长补短模型（1）——截长法 12 【模型九】截长补短模型（2）——补短法 13 【题型 9】截长补短模型 13 二.同步自测 14 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 14 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 17 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19 预习方法：读概念→理解模型→学例题→练变式→同步自测 一.模型梳理 【模型一】平移模型 基本图形 解题思路 （1）由平行线的性质得到相度相等；（2）通过线段的加、减公共线段，得到线段相等。 【题型 1】 平移模型 【例题1】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知，．点B、E、C、F在同一条直线上并且． （1）试说明：≌； （2）判断线段与线段的关系，说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·广东梅州·期末）如图，B、E、C、F在一条直线上，，，下列选项添加的条件，不能说明的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川达州·中考真题）如图，、．请你添加一个条件________，使得． 【变式3】（25-26六年级下·山东济南·期末）如图，点在一条直线上，与交于点，，，．与相等吗？为什么？ 【模型二】轴对称模型 基本图形 解题思路 （1）找公共边；（2）找公共角或对顶角。 【题型 2】 轴对称模型 【例题2】（25-26七年级下·陕西西安·期末）与的位置如图所示，，．试说明． 【变式1】（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）如图，已知，要使，只需要添加一个条件是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，已知，要用“边角边（）”判定，还需添加一个条件，这个条件是_____．（只需添加一个条件，不添加辅助线） 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，，，，垂足分别为，，．求证：． 【模型三】公共边（角）模型 基本图形 解题思路 （1）找公共边；（2）找公共角或对顶角。 【题型 3】 公共边（角）模型 【例题3】（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，相交于点，且是和的中点．和全等吗？请说明理由． 【变式1】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，与相交于点，且，再添加一个条件后仍然不能直接证明的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，已知交于点O，，那么添加条件_______后，就能判定． 【变式3】（2026·云南昭通·一模）如图：在四边形中对角线平分，； 求证：． 【模型四】四边形中构造全等三角形模型 基本图形 解题思路 若四边形中有两对邻边相等（如图）,常连接这两对邻边的交点构造全等三角形解题. 【题型 4】 四边形构造全等模型 【例题4】（23-24八年级上·辽宁鞍山·期中）如图1，在四边形中，，，称四边形是筝形，小明同学分析思考后，发现：如图2，在四边形中，，，这时四边形是筝形．请你帮助小明同学证明他发现的结论． 【变式1】（专题12.1全等图形和全等三角形的性质（4个考点2个易错点）（题型专练 易错精练）-2024-2025学年八年级数学上册《知识解读�题型专练》（人教版））如图，在四边形与四边形中，，，．下列条件中： ①，； ②，； ③，； ④，． 添加上述条件中的其中一个，可使四边形四边形．上述条件中符合要求的有（　　） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期中）如图，四边形中，，，，，则四边形的面积为______． 【变式3】（24-25七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，，若是的中点，动点在上移动，动点在上移动，且． （1）证明：； （2）四边形面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形的面积． 【模型五】一线三角等模型 基本图形 解题思路 方法模型总结：如图，∠B=∠C=∠1，由三角形内角和及平角的有关性质易得∠2=∠3，∠4=∠5，再加上任一组对应边相等，易证两个三角形全等。 【题型 5】 一线三等角模型 【例题5】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点N在线段上滑动（点N不与A，B重合），三角尺的直角边始终经过点C，并与的夹角，斜边交于点E． （1）当时，______； （2）当时，求证：； （3）在点N的滑动过程中，存在是等腰三角形吗？若存在，请直接出夹角的大小；若不存在，请说明理由． 【变式1】（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，在和中，点，，在同一条直线上，，，若，，则的长为（　　） A．8 B．6 C．4 D．2 【变式2】（2025八年级上·江苏连云港·专题练习）如图，在中,，点D在边上,，点E、F在线段上,面积为，则与的面积之和是__________． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）（类比探究）综合与实践． （1）如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D，E．小明观察图形特征后猜想线段DE，BD和CE之间存在的数量关系，请你判断他的猜想是否正确，并说明理由． （2）如图2，将（1）中的条件改为为等边三角形，D，A，E三点都在直线m上，并且有，结论是否成立？并说明理由． （3）如图3，若将（1）中的条件改为：在中，，，其中为任意钝角，D，A，E三点都在直线m上．问：满足什么条件时，结论仍成立？直接写出条件即可．    【模型六】三垂直模型 基本图形 解题思路 在三垂直模型中，利用余角的性质寻求两直角三角形中一组角相等，再加上任一组对边相等易证两直角三角形全等,常见的模型如下 【题型 6】 三垂直模型 【例题6】（25-26七年级下·重庆大渡口·期末）和的位置如图所示，点B在边上，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长度． 【变式1】（25-26七年级下·广东深圳·期末）同学们为了测量教学楼的高度，进行了如下操作：如图，在教学楼前竖直放置一根高为3米的标杆，测得标杆底部点与教学楼底部点之间的距离为18米．在教学楼与标杆之间的地面上选取一点，测得点到教学楼底部点的距离为3米，从点观察标杆顶与楼顶时，，且点在同一水平线上．根据以上数据计算出教学楼的高度是（     ）米． A．15 B．13 C．12 D．18 【变式2】（25-26七年级下·辽宁阜新·期末）如图，在中，，，分别过点，作过点的直线的垂线，，若，，则___________． 【变式3】（25-26七年级下·吉林长春·期末）探究下列问题： （1）小林同学在探究三角形全等时，发现了下面这种基本图形，如图①，已知：在中，，，直线经过点，，，垂足分别为点，．能直接得到线段，，三者之间的数量关系： ． （2）当直线绕点旋转到图②的位置时，求证：； （3）老师赞赏了小林同学的探索精神，并鼓励他运用这个方法来解决问题：如图③，以的边向外作正方形和正方形是边上的高，延长交于点，当时， ． 【模型七】旋转模型 基本图形 解题思路 （1）找对顶角；（2）通过角度加减，得等角。 【题型 7】 旋转模型 【例题7】（25-26七年级下·甘肃张掖·期末）如图，,,．求证：． 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·阶段检测）如图，在等腰三角形中，，点为右侧一点，连接，，，点是上一点，连接，．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·北京·期末）如图所示，，，，，，则__________． 【变式3】（25-26七年级下·甘肃兰州·期末）【综合与探究】 在和中，，，，连接，． （1）【模型呈现】如图1，，，三点共线，试判断与的数量关系，并说明理由； （2）【模型应用】如图2，设，相交于点，，相交于点，若，求的度数． 【模型八】倍长中线模型 基本图形 解题思路 （1）倍长AD至点E，连接BE或CE；（2）证明三角形全等。 【题型 8】 倍长中线模型 【例题8】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为的中线． （1）求证：； （2）若，求的取值范围． 【变式1】（2026·江苏无锡·一模）已知中，，，则中线的长可以是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式2】（25-26七年级下·四川达州·阶段检测）如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【问题原型】在数学活动课上，老师给出以下问题：如图1，是的中线，，求证：． 【解决问题】小聪同学想到这个问题可能与已学过的“大边对大角”有关，但小明同学随即提出疑问：题目所涉及的和并不在同一个三角形中，因此不能直接用“大边对大角”进行证明，小强同学由“是的中线”想到了一种思路：如图2，延长至E，使，连接，得到，易证，这样就将已知的不在同一个三角形中的两个角的大小关系转化为在同一个三角形中两个角的大小关系． 请根据小强同学的思路写出证明的完整过程． 【模型九】截长补短模型（1）——截长法 条件 如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，则有：MB－MC＜AB－AC． 基本图形 作法 在AB上截取AE＝AC，连接ME 解题思路 通过证明三角形全等得到线段相等，再进行转化即可 【模型九】截长补短模型（2）——补短法 条件 如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，则有：MB－MC＜AB－AC． 基本图形 作法 延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG 解题思路 通过证明三角形全等得到线段相等，再进行转化即可 【题型 9】截长补短模型 【例题9】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分交于点D．求证：． 【变式1】（25-26八年级上·重庆江北·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【变式2】（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 _____． 【变式3】（25-26八年级上·甘肃庆阳·期中）如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    二.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·福建福州·期末）如图，已知，，下列条件中，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如图，一个池塘两端A，B处各有一棵大树，由于水面阻隔无法利用现有皮尺直接测量A，B间的距离，为此，小思和小维两位同学设计了如下测量方案：①在池塘一侧选定点O，②连接，，并分别延长到点，，使，，③连接，测量的长度即为、间的距离．这种测量方法的原理是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·四川巴中·期末）如图，已知，添加下列条件仍不能判定的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·山东青岛·期末）兴趣小组的同学用数学知识测量花园里池塘两侧点，之间的距离，他们画出的示意图如图所示，点，，，在同一直线上，点，在池塘的两侧，且，，测得．若，，则假山的长是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·广东河源·期中）如图，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·重庆·期末）小丽在公园荡秋千，秋千竖直静止时吊绳为，小丽从秋千的起始位置A处，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住小丽后用力一推，爸爸在C处接住小丽．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为和，且，则点C到地面的距离是（     ）． A． B． C． D． 7．（25-26七年级下·上海·期末）如图，且，且，按图中所标数据，则阴影部分面积（     ） A．46 B．48 C．50 D．52 8．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）如图所示，在中，，，于点，于点，，，则的长是（    　）    A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·湖南衡阳·阶段检测）如图，在直角三角形中，，，点D是的中点，将一块锐角为的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接，下列判断正确的有（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（25-26八年级上·福建·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，，连接，，则的度数为__________． 12．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在和中，，，若要用“”直接判定，则需要添加的条件是________． 13．（25-26七年级下·广东佛山·期末）如图所示，已知，，要想使，还需要再添加一个条件，那么在①，②，③中可以选择的是_________．（填写序号） 14．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则长为______． 15．（24-25七年级下·河北张家口·期中）如图，在中，，垂足为D，E为外一点，连接，且，平分．若，则的面积为_____ ． 16．（25-26八年级下·陕西渭南·期末）如图，在和中，，，若，则__________． 17．（25-26八年级下·山西晋中·期末）如图，在与中，，，，连接和交于点，连接，则_______（用含的代数式表示）． 18．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，于点，，交的延长线于点，．若，则______ ． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，，为线段上一点，过点作，且，连接．求证：． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级下·广东茂名·期末）如图，在中，，，点D为直线上方一点，且，， （1）求证： （2）若，，求的长． 21．（本小题满分10分）（25-26七年级下·广东深圳·期末）在不同情境下探究三角形的关系． （1）如图（a），，射线在这个角的内部，点，分别在的边，上，且，，垂足为，，垂足为，与全等吗？请说明理由； （2）如图（b），点，分别在的边，上，点，都在内部的射线上．已知，且，与全等吗？请说明理由． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·山东枣庄·期末）【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是___________． A．    B．    C．    D． （2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________； 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【灵活运用】 （3）如图②，是的中线，交于E，交于F，．若，，求线段的长． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级下·四川成都·期末）在中，，． （1）点是内部一点，且． ①如图1，求证：； ②如图2，当，，三点共线时，连接，若，，求的面积； （2）如图3，点是外一点，且，若的面积为8，求的长． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级下·山东济南·期中）和都是等腰直角三角形，． （1）如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． （2）如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． （3）如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $