暑期预习讲义（第6讲）——最短路径（知识梳理+题型精析+同步自测）2026-2027学年人教版八年级数学上册

暑期预习讲义（第6讲）——最短路径（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.模型梳理 1 【模型一】将军饮马——两定一动型 2 【模型二】将军饮马——两动一定型 2 【模型三】将军饮马——两定两动型 2 【模型四】将军饮马——一定两动（垂线段最短）型 3 二.题型精析 3 【题型 1】将军饮马——两定一动模型 3 【题型 2】将军饮马——两动一定型 4 【题型 3】将军饮马——两定两动（选扯架桥）型 5 【题型 4】将军饮马——两定两动型 7 【题型 5】将军饮马——一定两动（垂线段最短）型 8 三.同步自测 9 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 9 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 12 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 14 预习方法：读概念→理解模型→学例题→练变式→同步自测 一.模型梳理 将军饮马问题的核心数学思想是转化思想，通过轴对称变换，将折线最短问题转化为熟悉的“两点之间，线段最短”或“点线之间，垂线段最短”的基础模型；利用对称点等量替换线段，把不在同一直线上的折线路径，转化为两点间直线路径，以此求解最短路径、最小周长类问题，是几何中运用转化思想解决最值问题的典型题型。本专题结合轴对称性质梳理出六大几何模型，也称为“将军饮马”模型。 【模型一】将军饮马——两定一动型 条件 基本图形 原理 证明思路 异侧型 两点之间，线段最短 连接AB与直线交于点Q，P是直线上任意一点，在PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB>AB（当且仅当PQ重合时取=） 同侧型 两点之间，线段最短 作定点A关于直线的对称点，连接交直线于点，点即为所要找的点，这样就转化为异侧型，得当点与点重合时，AC+BC值最小。 【模型二】将军饮马——两动一定型 条件 基本图形 原理 证明思路 在内部有一点A，在OM找一点B，在ON找一点C，使得BAC周长最短 两点之间，线段最短 作点A于OM对称点A'，作点A于ON对称点A''，连接A'A'',与OM、ON于点B、C， ABC为所求。 【模型三】将军饮马——两定两动型 条件 基本图形 原理 作法证明思路 A、B两个定点，在定直线找两个动点MN，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N的左侧），使AM+MN+BN值最小 两点之间，线段最短 将点A右平移长度d到点A'，作A'关于直线对称点A''，连接A"B，交直线点N，将点N向左平移长度d得到点M，则AM+MN+BN为所求。 【模型四】将军饮马——一定两动（垂线段最短）型 条件 基本图形 原理 作法证明思路 点A是定点，OM、ON是定线，点B、C是OM、ON上的动点，是动点.求出AB+BC最小时动点B、C的位置。 垂线段最短 作法：作点A于OM对称点A',过点A'作A'CON于点C，交OM于点B，则B、C即为所求。 二.题型精析 【题型 1】将军饮马——两定一动模型 【例题1】（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知点，分别是等边三角形中，边的中点．若，点是线段上的动点，则的最小值为________． 【变式3】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． （1）解决问题：补全证明过程； （2）模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【题型 2】将军饮马——两动一定型 【例题2】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，点P位于内部，点M，N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，的面积为6，，，点、、分别是、、边上的动点，则周长的最小值为_____． 【变式2】（24-25八年级上·广东广州·期末）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式3】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，，，，在，上分别找一点，当的周长最小时，的度数是______． 【题型 3】将军饮马——两定两动（选扯架桥）型 【例题3】（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） （1）作图，并保留作图痕迹，不需要写作法； （2）最短，说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上架一座桥，若河岸平行，与河岸垂直，要想使路径最短，下面有四种设计方案，你认为最合适的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）解决问题 （1）如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． （2）如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 【题型 4】将军饮马——两定两动型 【例题4】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点，分别是，上的点，，点，分别是边，上的动点，在点，运动的过程中，的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·湖北鄂州·期末）如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，，，，在，上分别找一点，当的周长最小时，的度数是______． 【题型 5】将军饮马——一定两动（垂线段最短）型 【例题5】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在锐角中，的平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值是（    ）    A． B．6 C． D．3 【变式1】（25-26八年级上·天津南开·阶段检测）如图，在中，，的面积为18，，平分，，分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【变式2】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）如图，在等腰中，，于点，两动点，分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为_____． 【变式3】（24-25八年级上·四川泸州·阶段检测）如图，在中，，，，．如果点D、E分别为边、上的动点，那么的最小值是（ ） A．8 B．9.6 C．10 D．10.8 三.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个问题体现的数学原理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．到角两边距离相等的点在角平分线上 D．两点确定一条直线 2．（24-25八年级上·云南昆明·期中）昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·天津南开·期末）直线表示一条河的两岸，且，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路径最短，即最小．则下列图中满足条件的是（  ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，，，，平分，点、分别是，边上的动点，则的最小值为（　　）    A．7 B．8 C．9 D． 5．（23-24八年级上·广东云浮·期末）如图，等腰的底边长为3，面积是12，腰的垂直平分线分别交边，于点E，F．若为边的中点，为线段上的一动点，则周长的最小值为（   ） A．4 B． C． D．16 6．（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，，是的一条角平分线，点E，F分别是线段，上的动点，若，，那么线段的最小值是（    ）    A． B．5 C．4 D．6 7．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，等腰中，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若的面积是，，则的周长最小值是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 9．（24-25八年级上·广东广州·期末）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 10．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，是直线上一动点，点为的中点．若，的面积是30， 则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．12 D．24 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·河南焦作·期末）如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是_______． 12．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为____________． 13．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在中，，P是边上的动点（不与点B重合），点B关于直线的对称点是，连接，则长度的最小值是______． 14．（21-22八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，的面积为14，，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段EF上一动点，则周长的最小值为 ___． 15．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）如图，四边形中，，，E、F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为______．    16．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为_____． 17．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）如图，等腰三角形的底边长为10，面积是60，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为__________． 18．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）在四边形中，，平分，若P，Q分别是上的动点，当取得最小值时，与的数量关系：________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，小河边有两个村庄，，现要在河边建一个自来水厂为村与村供水，自来水厂建在什么地方到村、村的距离和最小？请在下图中找出点的位置，并标出点．（保留作图痕迹，不写作法） 20．（本小题满分8分）（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，牧羊人从羊圈地出发，先让羊群在草地吃草，再让羊群去河流饮水，再将羊群带到点处休息．请你帮牧羊人确定最短的出行路线． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·天津西青·阶段检测）如图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角．已知，牧民赶着羊从地出发，先让羊到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地． （1）能否求出整个过程所走的最短路程？___________．（用“能”或“否”填空）； （2）如果能，请你直接写出整个过程所走的最短路程；如果不能，请说明理由_________ 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·江苏徐州·期中）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？ （1）【分析问题】为了解决这个问题，数学小组的同学提出了四种确定河边饮马点C的方案．正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是________． （2）【解决问题】如图2，在中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若，，，求周长的最小值． （3）【类比探究】如图3，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．请在图3上画图：使将军走过的路程最短，（尺规作图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）并说明理由． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点在正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的． （2）在直线l上找一点，使的值最小， （3）在直线l上找一点M，使值最大．（在图形中标出点P、M，保留作图痕迹）． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·全国·期末）综合探究 【问题背景】直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小． 【解法探究】如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． （1）【深入研究】如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点．若，求的最小值． （2）【应用拓展】如图3，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使马所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第6讲）——最短路径（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.模型梳理 1 【模型一】将军饮马——两定一动型 1 【模型二】将军饮马——两动一定型 2 【模型三】将军饮马——两定两动型 2 【模型四】将军饮马——一定两动（垂线段最短）型 2 二.题型精析 3 【题型 1】将军饮马——两定一动模型 3 【题型 2】将军饮马——两动一定型 6 【题型 3】将军饮马——两定两动（选扯架桥）型 11 【题型 4】将军饮马——两定两动型 15 【题型 5】将军饮马——一定两动（垂线段最短）型 20 三.同步自测 23 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 23 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 32 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 40 预习方法：读概念→理解模型→学例题→练变式→同步自测 一.模型梳理 将军饮马问题的核心数学思想是转化思想，通过轴对称变换，将折线最短问题转化为熟悉的“两点之间，线段最短”或“点线之间，垂线段最短”的基础模型；利用对称点等量替换线段，把不在同一直线上的折线路径，转化为两点间直线路径，以此求解最短路径、最小周长类问题，是几何中运用转化思想解决最值问题的典型题型。本专题结合轴对称性质梳理出六大几何模型，也称为“将军饮马”模型。 【模型一】将军饮马——两定一动型 条件 基本图形 原理 证明思路 异侧型 两点之间，线段最短 连接AB与直线交于点Q，P是直线上任意一点，在PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB>AB（当且仅当PQ重合时取=） 同侧型 两点之间，线段最短 作定点A关于直线的对称点，连接交直线于点，点即为所要找的点，这样就转化为异侧型，得当点与点重合时，AC+BC值最小。 【模型二】将军饮马——两动一定型 条件 基本图形 原理 证明思路 在内部有一点A，在OM找一点B，在ON找一点C，使得BAC周长最短 两点之间，线段最短 作点A于OM对称点A'，作点A于ON对称点A''，连接A'A'',与OM、ON于点B、C， ABC为所求。 【模型三】将军饮马——两定两动型 条件 基本图形 原理 作法证明思路 A、B两个定点，在定直线找两个动点MN，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N的左侧），使AM+MN+BN值最小 两点之间，线段最短 将点A右平移长度d到点A'，作A'关于直线对称点A''，连接A"B，交直线点N，将点N向左平移长度d得到点M，则AM+MN+BN为所求。 【模型四】将军饮马——一定两动（垂线段最短）型 条件 基本图形 原理 作法证明思路 点A是定点，OM、ON是定线，点B、C是OM、ON上的动点，是动点.求出AB+BC最小时动点B、C的位置。 垂线段最短 作法：作点A于OM对称点A',过点A'作A'CON于点C，交OM于点B，则B、C即为所求。 二.题型精析 【题型 1】将军饮马——两定一动模型 【例题1】（25-26八年级下·江西吉安·阶段检测）如图，在中，，，，是的垂直平分线，点是直线上的任意一点，求的最小值． 【答案】10 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形三边关系的应用，如图，连接，可得，从而可得答案． 解：如图，连接． ∵是的垂直平分线，点是直线上的任意一点， ∴， ∴， ∴的最小值即为的长， ∵， ∴的最小值为10． 【变式1】（2026七年级下·全国·专题练习）某区计划在公路旁修建一个核酸采集点，现有如下四种方案，则核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，熟练掌握两点之间，线段最短是解题的关键． 用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线转化为两点之间的距离． 解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，根据两点之间线段最短，可知选项B中的核酸采集点到两个小区之间的距离之和最短， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，已知点，分别是等边三角形中，边的中点．若，点是线段上的动点，则的最小值为________． 【答案】8 【分析】本题考查了“将军饮马”问题：将B关于对称到C，，再根据三角形三边关系，数形结合即可得到最小值． 解：如图，连接，． 是等边三角形，D是中点，E是中点， ∴是的垂直平分线，， ， ，当且仅当C、F、E三点共线时，等号成立， ∴的最小值为8． 【变式3】（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图①，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？ 小明同学用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图②，作点B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P就是饮马的位置． 下面是小明根据这一方法写出的证明过程： 证明：如图③，作点B关于直线l的对称点，连接A与直线l交于点，在直线l上任取一点P（与点不重合），连接 点B与点关于直线l对称 ________，_________； 当A，P，三点共线，即点P与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置． （1）解决问题：补全证明过程； （2）模型应用：如图④，红星村A和幸福村B在一条大河的同侧，现要在河岸CD 上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来水．请你在河岸上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1），；（2）见分析 【分析】本题是几何变换综合题，考查轴对称的最短路径问题中的应用，两点之间，线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意补全即可； （2）根据轴对称的最短路径问题，作图即可． 解：（1）解：如图③，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，连接，， ，， ， 当，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，最小值为的长，即点就是饮马的位置， 故答案为：，，； （2）解：如图，作点A关于的对称点，连接交于点P，则点P即为所求的水厂位置，使铺设管道的长度最短． 【题型 2】将军饮马——两动一定型 【例题2】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）如图，点P位于内部，点M，N分别在射线，上．若，，则周长的最小值为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的判定和性质．将三角形的周长利用轴对称转化为线段的长，构造等边三角形是解题的关键．设点关于的对称点为，关于的对称点为，根据当点、在上时，的周长最小，再结合等边三角形的判定和性质即可解答． 解：如图，分别作点P关于，的对称点C，D，连接，，，，． 点P关于的对称点为点C， ，，， 点P关于的对称点为点D， ，，， ，， 是等边三角形， ， 的周长， 即周长的最小值是7． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，的面积为6，，，点、、分别是、、边上的动点，则周长的最小值为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了对称性找最短路径，垂直平分线的性质，等边三角形的性质，理解和掌握垂直平分线的性质，对称轴的性质找最短路径的方法是解题的关键． 根据对称性质，将周长转换为一条直线，作点关于、的对称点、，连接，，，，，，证明是等边三角形，得周长的最小值为，由对称性和是等边三角形可得，求出的最小值即可得结论． 解：如图，作点关于、的对称点、，连接，，，，，， 由轴对称可得，，，，，， ∴当，，，在一条直线上时，的周长最小，即周长的最小值为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴周长的最小值为的长， 根据垂线段最短，可知时，最小，即周长最小， ∵的面积为6，，即， ∴，即周长最小值为4． 故答案为：4． 【变式2】（24-25八年级上·广东广州·期末）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】此题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质等知识．作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则，得到的周长，此时的周长最小值为的长，再证明是等边三角形，得到即可． 解：作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则， ∴的周长， ∴此时的周长最小值为的长， 则：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的周长最小值为， 故选：A． 【变式3】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，，，，在，上分别找一点，当的周长最小时，的度数是______． 【答案】/20度 【分析】延长至点，使得，延长至点，使得，由线段垂直平分线的性质得到，，从而得出，即当、、、四点共线时，周长最小，再根据三角形内角和定理以及外角的性质求解即可． 解：如图，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、， ∵，， ∴， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 当、、、四点共线时，最小，即周长最小，如图， ， ， ，， ，， ，， ， ∴. 故答案为：． 【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，最短路径问题等知识，得出当、、、四点共线时，周长最小是解题关键． 【题型 3】将军饮马——两定两动（选扯架桥）型 【例题3】（25-26八年级上·广东江门·期中）如图，和两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） （1）作图，并保留作图痕迹，不需要写作法； （2）最短，说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了最短路径问题、平移的性质、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）平移点到，使得等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接，此时最短； （2）另任意作桥，连接，，，由平移的性质可得，，，故转化为，而转化为，再结合在中，，即可得解． 解：（1）解：如图所示：平移点到，使得等于河宽，连接交河岸于点，作桥，连接即可， ； （2）解：如图，另任意作桥，连接，，， ， 由平移的性质可得：，，， 故转化为， 而转化为， 在中，， ∴， 故最短． 【变式1】（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河上架一座桥，若河岸平行，与河岸垂直，要想使路径最短，下面有四种设计方案，你认为最合适的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，两点之间线段最短的应用，解题的关键是掌握两点之间线段最短． 根据平行线的性质得出内错角相等，证明，得出，然后根据两点之间线段最短进行求解即可． 解：选项D符合题意，利用如下： 如图，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，且为定值，此时，值最小， 即此时路径最短， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 【答案】正确 【分析】本题考查了平移的性质，两点之间线段最短，关键是任取其他位置修桥（垂直于河岸），通过等量代换，把路径最短问题转化为两点之间线段最短． 任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，，利用平移的性质把行走路径转化为比较与的大小，根据两点之间线段最短，可得最短路径． 解：如图，任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，． ，， 可看作由平移所得， ， ． 同理，， ． 中，， ， ， 原示意图是正确的． 故答案为：正确． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）解决问题 （1）如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． （2）如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求； （2）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 解：（1）解：在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求． （2）解：在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 【题型 4】将军饮马——两定两动型 【例题4】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点，分别是，上的点，，点，分别是边，上的动点，在点，运动的过程中，的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，等边三角形的判定与性质，两点之间线段最短．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，，由对称的性质，得，，，，，，推出的最小值是的长，再证明是等边三角形，即可解决问题． 解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，，， 则，，，，，， ， 的最小值是的长； ，， ，， 是等边三角形， ， 的最小值是， 故选：B． 【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，分别是边，上的定点，，分别是边，上的动点，记，，当最小时，则关于，的数量关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小，易知，，，，，由此即可解决问题． 解：如图，作M关于的对称点，N关于的对称点，连接交于Q，交于P，则最小， 由轴对称的性质得，，，，， ∴． 故选：D． 【点拨】本题考查轴对称-最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【变式2】（24-25八年级上·湖北鄂州·期末）如图，，点M、N分别是边上的定点，P、Q分别是边上的动点，记，，当最小时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用轴对称求最短路径问题，三角形外角的性质，正确作出图形是解题的关键． 作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小，根据轴对称的性质可得出，，从面可求得，，代入即可求解． 解：作点M关于的对称点，点N关于的对称点，连接交、于P、Q，此时，最小， 由轴对称的性质得：，， ∴， ∵， ， ∴， 故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·河南南阳·阶段检测）如图，，，，在，上分别找一点，当的周长最小时，的度数是______． 【答案】/20度 【分析】延长至点，使得，延长至点，使得，由线段垂直平分线的性质得到，，从而得出，即当、、、四点共线时，周长最小，再根据三角形内角和定理以及外角的性质求解即可． 解：如图，延长至点，使得，延长至点，使得，连接、、， ∵，， ∴， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 当、、、四点共线时，最小，即周长最小，如图， ， ， ，， ，， ，， ， ∴. 故答案为：． 【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及外角的性质，最短路径问题等知识，得出当、、、四点共线时，周长最小是解题关键． 【题型 5】将军饮马——一定两动（垂线段最短）型 【例题5】（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在锐角中，的平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值是（    ）    A． B．6 C． D．3 【答案】C 【分析】在上截取，连接，作，交于，由含的直角三角形可得，可证，可得，易知，易知当点，点，点三点共线，且垂直时，的值最小，即，进而求得答案． 解：∵平分， ∴， 在上截取，连接，作，交于， ∵，， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点，点，点三点共线，且垂直时，的值最小， 即：， ∴的最小值为． 故选：C． 【点拨】本题主要考查的是最短路径问题，全等三角形的判定及性质，含的直角三角形的性质，掌握最短路径的确定方法是解题的关键． 【变式1】（25-26八年级上·天津南开·阶段检测）如图，在中，，的面积为18，，平分，，分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，关键是将的最小值转化为； 过点作于点，交于点，过点作于点，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 解：如图所示，过点作于点，交于点，过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴，此时的值最小， ∵的面积为18，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）如图，在等腰中，，于点，两动点，分别在线段、上运动，若，则当取得最小值时，的度数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称﹣最短路径问题，掌握线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和外角定理是解题的关键． 先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角定理求解． 解：过C作于F，交于，连接， ∵， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 即当点三点共线，且时，的最小值为的长， ∴， 即当取得最小值时，． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·四川泸州·阶段检测）如图，在中，，，，．如果点D、E分别为边、上的动点，那么的最小值是（ ） A．8 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，作点E，交于点D，连接、，则，故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当时，最小，根据三角形的面积即可求得的最小值． 解：作点A关于的对称点，作点E，交于点D，连接、，如图： 则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点拨】此题考查了利用轴对称解决最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 三.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个问题体现的数学原理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．到角两边距离相等的点在角平分线上 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称变换和两点之间线段最短的性质，解题的关键是掌握作图以及运用的原理． 解：如下图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，点C即为所求泵站的位置，体现的数学原理是“两点之间，线段最短”， 故选：A． 2．（24-25八年级上·云南昆明·期中）昆明市打算在某条街道新建一所中学，为了方便居民区A、B的学生上学，要使A、B两小区到学校的距离之和最小，则学校C的位置应该在（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径，先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，此时，满足A、B两小区到学校的距离之和最小，即可作答． 解：∵要使A、B两小区到学校的距离之和最小， ∴先作点A关于街道的对称点，再连接，与街道的所在直线的交点即为点，学校C的位置如图所示： ∴此时， 故选：C． 3．（24-25八年级上·天津南开·期末）直线表示一条河的两岸，且，若村庄P和村庄Q在这条河的两岸．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路径最短，即最小．则下列图中满足条件的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平移﹣最短路径问题，掌握转化思想是解题的关键．先根据平移的性质，把问题转化为最短路径问题，再轴对称的性质作图． 解：∵， ∴先把和点P向上平移，使与重合，点P平移到，再连接交于点F， 再反方向平移回原来位置即可， 故选：A． 4．（24-25八年级上·福建·期中）如图，在中，，，，平分，点、分别是，边上的动点，则的最小值为（　　）    A．7 B．8 C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称中的最短路线问题、垂线段最短等知识，找出点P、Q的位置是解题的关键．作点P关于直线的对称点，连接，由，得，欲求的最小值，只要求出的最小值，即当时，的值最小，此时Q与D重合，与C重合，最小值为的长． 解：如图，作点P关于直线的对称点，连接，则，    在和中， ∴， ∴， ∴欲求的最小值，只要求出的最小值， ∴当时，的值最小，此时Q与D重合，与C重合，最小值为的长． 在中，∵，，， ∴， ∴的最小值是7， 故选：A． 5．（23-24八年级上·广东云浮·期末）如图，等腰的底边长为3，面积是12，腰的垂直平分线分别交边，于点E，F．若为边的中点，为线段上的一动点，则周长的最小值为（   ） A．4 B． C． D．16 【答案】B 【分析】此题考查最短路线问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是利用线段垂直平分线的性质． 解：如图： 连接交于点M， ∵等腰的底边长为3，点D为边的中点， ∴， ∵是腰的垂直平分线，连接， ∴， 此时的周长为： 的长为固定， ∴根据两点之间线段最短，的周长最小． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 6．（22-23七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中，，是的一条角平分线，点E，F分别是线段，上的动点，若，，那么线段的最小值是（    ）    A． B．5 C．4 D．6 【答案】A 【分析】过点作于点，交于，此时，即的最小值，利用面积法可求出的值，即的最小值． 解：过点作于点，交于，    ，是的一条角平分线， 点为底边的中点，，， 点、关于对称， ， ，此时的最小值， ，， ， ， ， 的最小值为． 故选A． 【点拨】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型． 7．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，等腰中，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若的面积是，，则的周长最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，由，推出，的最小值为3，由此即可解决问题． 解：如图，连接． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为3， ∴周长的最小值为， 故选：B． 【点拨】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，两点间线段最短，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 8．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，点在边上，且，点，分别是边，上的动点，当最小时，，则长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．作点关于的对称点，作于M，交于P，此时，根据垂线段最短，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质求解即可． 解：如图所示，作点关于的对称点，作于M，交于P，，此时最小， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9．（24-25八年级上·广东广州·期末）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】此题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质等知识．作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则，得到的周长，此时的周长最小值为的长，再证明是等边三角形，得到即可． 解：作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则， ∴的周长， ∴此时的周长最小值为的长， 则：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的周长最小值为， 故选：A． 10．（23-24八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，是直线上一动点，点为的中点．若，的面积是30， 则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．12 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题、等腰三角形的性质，连接、，由等腰三角形的性质得出，求出，根据线段垂直平分线的性质得出点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论，熟练掌握等腰三角形三线合一的性质是解答本题的关键． 解：如图，连接、， ，点为中点， ， 的面积是， ， ， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ， ， 的长为的最小值， 的最小值为， 故选：C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（24-25八年级上·河南焦作·期末）如图，在中，，，垂直平分线段，P是直线上的任意一点，则周长的最小值是_______． 【答案】10 【分析】本题考查了轴对称——最短路线问题，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的性质．如图，连接，求出的最小值可得结论． 解：如图，连接， ∵垂直平分线段， ， ， 的最小值为6， 的周长的最小值为， 故答案为：10． 12．（24-25八年级上·福建南平·期中）如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为____________． 【答案】6 【分析】此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． 先作出点C关于的对称点，判断出，进而判断出，再构造出直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论． 解：如图，延长至，使， ∵， ∴点与点C关于对称， 连接交于，此时最小， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点B作交的延长线于E， 则（平行线间的距离处处相等）， 在中，， ∴， 即的值最小值为6， 故答案为：6． 13．（24-25八年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在中，，P是边上的动点（不与点B重合），点B关于直线的对称点是，连接，则长度的最小值是______． 【答案】2 【分析】本题主要查了轴对称的性质，最短距离问题．根据轴对称的性质可得，再题意可得当A、、C三点在一条直线上时，有最小值，即可求解． 解： 由轴对称的性质得：， 根据题意得：当A、、C三点在一条直线上时，有最小值，最小值为2． 故答案为：2 14．（21-22八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，的面积为14，，的垂直平分线分别交边于点E，F，若点D为边的中点，点P为线段EF上一动点，则周长的最小值为 ___． 【答案】9 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等腰三角形的性质，解题的关键是熟知等腰三角形三线合一的性质．连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得：， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：9． 15．（23-24八年级上·河南洛阳·期中）如图，四边形中，，，E、F分别是，上的点，当的周长最小时，的度数为______．    【答案】 【分析】本题考查的是轴对称—最短路线问题，根据要使的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于和的对称点，，即可得出，进而得出，即可得出答案． 解：作A关于和的对称点，，连接，交于E，交于F， 则即为的周长最小值．作延长线，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在中，，平分．点，分别是，上的动点，若的面积为6，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题考查最短路线问题，解答中涉及垂线段最短，能够根据相关知识得到的最小值为的长是解题的关键． 在上截取，连接，，证明，得到，由此得到，当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时，过点C作交于点F，根据面积求出的长即可解决问题． 解：在上截取，连接，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴当点G，F，共线时，最小，即为的长，此时， 如图，过点C作交于点， ∵，， ∴， 解得， ∴的最小值为， 故答案为：． 17．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）如图，等腰三角形的底边长为10，面积是60，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为__________． 【答案】17 【分析】本题考查的是轴对称一最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 连接，，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点B关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 解：连接，， ∵是等腰三角形，点是边的中点， ∴，解得 ∵是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线EF的对称点为点， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短． 故答案为：17． 18．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）在四边形中，，平分，若P，Q分别是上的动点，当取得最小值时，与的数量关系：________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、最短路径问题、含角的直角三角形，熟练掌握以上知识点，学会添加适当的辅助线构造轴对称图形是解题的关键．作点关于的对称点，连接，则，根据垂线段最短性质可得当三点共线，且时，此时为最短，再利用直角三角形的性质得出，等量代换即可得出结论． 解：如图，作点关于的对称点，连接，则， ， 当三点共线，且时，此时为最短， ，平分，， ，， ， ， 在中，， ， ，， ． 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，小河边有两个村庄，，现要在河边建一个自来水厂为村与村供水，自来水厂建在什么地方到村、村的距离和最小？请在下图中找出点的位置，并标出点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见分析 【分析】利用轴对称求最短路线的方法得出点关于直线的对称点，对于直线上任一点，有，则，当、、共线时取最小值，则连接交CD于点即可得出答案． 解：如图所示，作点关于直线的对称点，再连接交于点，点即为所求． 20．（本小题满分8分）（2025七年级下·全国·专题练习）如下图，牧羊人从羊圈地出发，先让羊群在草地吃草，再让羊群去河流饮水，再将羊群带到点处休息．请你帮牧羊人确定最短的出行路线． 【答案】见分析 【分析】本题考查轴对称—最短问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题；作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交分别于点，连接，即可求解． 解：如图，，故牧羊人应让羊群在点处吃草，在点处饮水，才能使他出行路线最短． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级上·天津西青·阶段检测）如图，草地边缘与小河河岸在点处形成的夹角．已知，牧民赶着羊从地出发，先让羊到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到地． （1）能否求出整个过程所走的最短路程？___________．（用“能”或“否”填空）； （2）如果能，请你直接写出整个过程所走的最短路程；如果不能，请说明理由_________ 【答案】 能 【分析】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质． （1）根据“两点之间，线段最短”即轴对称的性质可知能求出整个过程所走的最短路程； （2）作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交直线，于点B，C，连接，即为放牧所走的最短路线．连接，根据轴对称的性质可知，，，，，即，，进而根据等边三角形的判定和性质作答即可． 解：（1）根据“两点之间，线段最短”即轴对称的性质可知能求出整个过程所走的最短路程； 故答案为：能； （2）如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，分别交直线，于点B，C，连接，即为放牧所走的最短路线． 连接， ∵作点关于的对称点，作点关于的对称点， ∴，，，，， 即，， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 22．（本小题满分10分）（25-26七年级下·江苏徐州·期中）【提出问题】唐代诗人李颀的《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马，如图1，将军牵马从营地A出发，先到河流l边上一点C饮马，再去河岸同侧的营地B开会，应该怎样走才能使路程最短？ （1）【分析问题】为了解决这个问题，数学小组的同学提出了四种确定河边饮马点C的方案．正确的方案是________（填序号），此方案中用到的求最短路程的数学知识是________． （2）【解决问题】如图2，在中，点B与点C关于直线m成轴对称，点P是直线m上的动点．若，，，求周长的最小值． （3）【类比探究】如图3，点P是内一定点，将军牵马从军营P出发，先到河流边上一点C饮马，再到草地边上一点D吃草，最后回到军营P．请在图3上画图：使将军走过的路程最短，（尺规作图，保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路程用实线）并说明理由． 【答案】（1）④，两点之间，线段最短；（2）11；（3）见分析 【分析】（1）根据轴对称的性质以及两点之间线段最短即可求解； （2）过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点，由对称轴的性质可得，，则，则的周长最小值转化为的值； （3）①过点分别作的对称点，连接与交点即为点，则此时最短． 解：（1）解：正确的方案是④， 因为由轴对称的性质可得， 所以当点三点共线时， 所以此方案中用到的求最短路程的数学知识是两点之间，线段最短； （2）解：过点A作直线m的对称点，连接与直线m的交点即为周长的最小值的点P， 由对称轴的性质可得：，， ，， 的周长最小值为： ； （3）解：如图，最短， 理由：过点P分别作的对称点，， 连接与交点即为点C，D． ，， 最短． 23．（本小题满分10分）（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点在正方形的顶点上． （1）在图中画出与关于直线l成轴对称的． （2）在直线l上找一点，使的值最小， （3）在直线l上找一点M，使值最大．（在图形中标出点P、M，保留作图痕迹）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析 【分析】本题考查了作轴对称图形，最短距离等知识，掌握轴对称图形的性质是解题的关键； （1）画出关于直线的对称点，并依次连接即可； （2）连接交于点P，则点P即为所求； （3）延长交于点M，则点M即为所求． 解：（1）解：画出关于直线的对称点，依次连接得到如下： （2）解：如图，连接交于点P，则点P即为所求： 由对称知，，则最小值为线段的长； （3）解：如图，延长交直线l于点M，则点M即为所求． 此时的最大值为线段的长． 证明：如图， 根据三角形三边关系可知， 即在同一直线时，的最大值为线段的长． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·全国·期末）综合探究 【问题背景】直线l同旁有两个定点A，B，在直线l上存在点P，使得的值最小． 【解法探究】如图1，作点A关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点即为P，且的最小值为． （1）【深入研究】如图2，在等边中，E是上的点，是的平分线，P是上的点．若，求的最小值． （2）【应用拓展】如图3，草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地边缘吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地．已知，请在图中设计一条路线，使马所走的路径最短，并求出整个过程所行的路程． 【答案】（1）；（2）图见分析，路程为 【分析】本题考查了最短路径的实际应用，等边三角形的判定和性质，根据轴对称性质求解等知识点，解题的关键是正确作图，正确找到对称点及最短路径线段． （1）如图2，连接，由题意可知点B关于直线的对称点为C，可得，当E，P，C三点共线且时取得最小值，结合等边三角形性质可求得最小值； （2）如图3，连接，分别作出点A关于，的对称点B，C，连接分别交，于点D，E，连接、，则线段，，之和即为所求最短路径，结合题意易证为等边三角形，从而求解． 解：（1）解：如图2，连接，， ∵等边中， 是的平分线， ∴，平分线段， ∴是线段的垂直平分线， ∴点B关于直线的对称点为C，， ∴， 当E，P，C三点共线时，取得最小值为， 当时，取得最小值， 是等边三角形， ∴， ∴的最小值为； （2）解：如图3，连接，分别作出点A关于，的对称点B，C，连接分别交，于点D，E，连接，，则线段，，之和即为所求的最短路径； 由对称的性质，得， ，，，， ∴， ∵草地边缘与小河河岸在点O处形成的夹角， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴整个过程所行的路程为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $