第12讲 线段的垂直平分线的性质（3个知识点+6个题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

第12讲 线段的垂直平分线的性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 线段垂直平分线的定义及性质】 1.定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。 如图，若点C是AB的中点且PC⊥AB，则直线l是线段AB的垂直平分线。 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上.求证PA=PB. 证明：当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB，又AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA=PB. 【知识点2 线段垂直平分线的判定】 方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。 方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。 【知识点3 作已知线段的垂直平分线】 已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线． 作法： ①以线段AB两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于C、D，如图。 ②连接CD，过CD的直线即为线段的垂直平分线。如图所示： 【题型1 利用线段垂直平分线的性质求线段长度】 【例1】如图，在中，是的垂直平分线，交于点，交于点，，，，则周长为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，DE垂直平分AC，△ABD的周长是，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1-3】如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若周长为13，， ． 【题型2 利用线段垂直平分线的性质求角度】 【例2】如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，在中，，． 通过观察尺规作图的痕迹，可以求得的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式2-2】如图，中，平分，的中垂线交于点E，交于点F，连接、若，，则的度数为 ． 【变式2-3】如图，在中，，、分别是、的垂直平分线，则的度数是 ． 【题型3 作已知线段的垂直平分线】 【例3】如图，两条笔直的小路与相交于点，点、处分别为枫叶林景区和花卉景区，现打算在内部修建一处观景台，使得观景台到的距离与观景台到的距离相等．且，请你找出观景台的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【变式3-1】尺规作图：求作点P，使点P到点M，N的距离相等，同时到的两边的距离也相等． 【变式3-2】如图，直线与的两边相交于两点，（不写作法，可用一定工具，保留必要的作图痕迹和相应符号表示） (1)将线段平移，使点与点重合； (2)过分别作的垂线，相交于； (3)在边上求一点，使最短． 【变式3-3】请用没有刻度的直尺和圆规，按要求作图（写出必要的文字说明，保留作图痕迹）． (1)已知，是钝角，， ①在图1中求作点P，使得：点P在边上，且； ②在图2中求作，使得：点M、N在边上，且的周长等于的长； (2)如图3，已知线段，求作，使得：直角边在线段上，且的周长等于的长． 【题型4 线段垂直平分线的判定的运用】 【例4】如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【变式4-1】如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证： (1)； (2)垂直平分． 【变式4-2】如图，在中，，点D、E分别在边上，，，且． (1)求证：； (2)连接，如果．求证：点F在的垂直平分线上． 【变式4-3】如图，在中，平分，，于点E，点F在上，． (1)求证：． (2)连接，求证：垂直平分． (3)若，，求的长． 【题型5 线段垂直平分线的性质与判定综合】 【例5】已知：如图，，点E在上，求证：． 【变式5-1】如图，在中，，．线段的垂直平分线交于点，交于点，连接．试问：线段与的长相等吗？请说明理由． 【变式5-2】如图，在中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为线段CE的中点，，．求证：． 【变式5-3】如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． (1)若，的周长为，求的长度； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 【题型6 线段垂直平分线的性质与角平分线的性质综合】 【例6】如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式6-1】在中，垂直平分，连接，平分． (1)若，求的度数． (2)若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？ 【变式6-2】如图，在四边形中，所在的直线垂直平分线段，过点A作交于F，延长交于点E． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，的面积为，求的长． 【变式6-3】如图1，中，，点D是上点，连接，的平分线交于点E，并延长至点F，使得，且． (1)求证：． (2)如图2，若，点H为上一点，连接，K为中点，且，求证：． 1．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若平分，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，的平分线和边的垂直平分线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点N，Q．若，则的周长为（   ） A．8或14 B．12或10 C．8或10 D．10或14 4．如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 6．如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为 ． 7．如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 8．如图所示，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，求的度数． 9．如图，在中，平分（E在之间），，已知，求的周长． 10．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，求的长． 11．如图，在四边形中，，垂直平分，交于点，点是中点． (1)证明：是线段的垂直平分线； (2)若，求的度数． 12．如图，，连接，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点E，连接．试说明：． 13．如图，在中，． (1)在上求作一点D，连接，使得线段最短；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，李明作点D关于的对称点E点时，发现点E恰好在的延长线上，求的度数． 14．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 15．实践与探究 在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交AC的延长线于，且． ①求证：点在BC的垂直平分线上； ②__________； (2)如图2，当点在线段BC上时，若，平分，交AC于点，交AD与点，过点作，交BC于点． ①_________； ②若，，求CG的长度； 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12讲 线段的垂直平分线的性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 线段垂直平分线的定义及性质】 1.定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。 如图，若点C是AB的中点且PC⊥AB，则直线l是线段AB的垂直平分线。 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上.求证PA=PB. 证明：当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB，又AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA=PB. 【知识点2 线段垂直平分线的判定】 方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。 方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。 【知识点3 作已知线段的垂直平分线】 已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线． 作法： ①以线段AB两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于C、D，如图。 ②连接CD，过CD的直线即为线段的垂直平分线。如图所示： 【题型1 利用线段垂直平分线的性质求线段长度】 【例1】如图，在中，是的垂直平分线，交于点，交于点，，，，则周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质，根据是的垂直平分线得，继而得到，可得答案．解题的关键是掌握：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵，，， ∴， ∴周长为． 故选：B． 【变式1-1】如图，DE垂直平分AC，△ABD的周长是，，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质定理，可得，从而得到，再由的周长为，可得到，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴ ∵， ∴． 故选：D． 【变式1-2】如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 【变式1-3】如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若周长为13，， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定， 先根据线段垂直平分线的性质和判定得，再根据的周长为，，求出，然后等量代换可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵的周长为，， ∴， ∴， 则， ∴， 即． 故答案为：． 【题型2 利用线段垂直平分线的性质求角度】 【例2】如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，由作图可知：平分，由线段垂直平分线的性质得出，最后由三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：由作图可知：平分， ∴， ∴， ∴， 故选：B 【变式2-1】如图，在中，，． 通过观察尺规作图的痕迹，可以求得的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、角平分线的定义是解答本题的关键． 由题可得，直线是线段的垂直平分线，为的平分线，再根据线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题可得∶直线是线段的垂直平分线，为的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴． 故答案为：B． 【变式2-2】如图，中，平分，的中垂线交于点E，交于点F，连接、若，，则的度数为 ． 【答案】/48度 【分析】由角平分线的定义可得，由垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解： 平分， ， 垂直平分， ， ， ， ，，， ， ， 故答案为：． 【变式2-3】如图，在中，，、分别是、的垂直平分线，则的度数是 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．连接、，根据线段垂直平分线的性质可得：，，推出，，，得到，由，可得，，即可求解． 【详解】解：如图，连接、， 、分别是、的垂直平分线， ，， ，，， ， ，即， ，， ， 故答案为：． 【题型3 作已知线段的垂直平分线】 【例3】如图，两条笔直的小路与相交于点，点、处分别为枫叶林景区和花卉景区，现打算在内部修建一处观景台，使得观景台到的距离与观景台到的距离相等．且，请你找出观景台的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析． 【分析】本题考查了尺规作图，作角平分线和线段的垂直平分线，涉及角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质，正确理解题意是解题的关键．作线段的垂直平分线，的平分线，交点即为所求． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，作的平分线，与的垂直平分线交于点，点即为所求． ∵观景台到的距离与观景台到的距离相等， ∴点在的角平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴的角平分线于线段的垂直平分线上的交点即为点． 【变式3-1】尺规作图：求作点P，使点P到点M，N的距离相等，同时到的两边的距离也相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，垂直平分线的判定应用，作线段的垂直平分线，作角平分线．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 由点P到点M和点N的距离相等，可知点P在线段的垂直平分线上，由点P到两边的距离相等，可知点P在的平分线上，即点P为线段的垂直平分线与的平分线的交点，如图作线段的垂直平分线与角平分线即可． 【详解】解：如图：点P即为所求． 【变式3-2】如图，直线与的两边相交于两点，（不写作法，可用一定工具，保留必要的作图痕迹和相应符号表示） (1)将线段平移，使点与点重合； (2)过分别作的垂线，相交于； (3)在边上求一点，使最短． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（）如图，作，并在射线上截取，则即为所求； （）根据垂线的作法分别过点作的垂线，两垂线相交于即可； （）过点作的垂线，垂足为点，则垂线段即为所求； 本题考查了平移作图，过一点作已知直线的垂线，垂线段最短，掌握基本作图方法是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，直线即为所求； （3）解：如图所示，线段即为所求． 【变式3-3】请用没有刻度的直尺和圆规，按要求作图（写出必要的文字说明，保留作图痕迹）． (1)已知，是钝角，， ①在图1中求作点P，使得：点P在边上，且； ②在图2中求作，使得：点M、N在边上，且的周长等于的长； (2)如图3，已知线段，求作，使得：直角边在线段上，且的周长等于的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了尺规作图：作垂线，作一线段等于已知线段，作线段的垂直平分线，掌握这些基本作图是解题的关键． （1）①作线段的垂直平分线，则；②分别作边的垂直平分线与交点为，则； （2）在上取点，过点作的垂线，在垂线上取点使，连接，作的垂直平分线交于点，则，则即为所求． 【详解】（1）解：①解：如图，点即为所求： ②如图，即为所求： （2）解：如图，即为所求： 【题型4 线段垂直平分线的判定的运用】 【例4】如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10． (1)求的长； (2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论； （2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论． 【详解】（1）垂直平分， ， 同理， ； （2）点在边的垂直平分线上， 理由：连接，，， 与是，的垂直平分线， ，， ， 点在边的垂直平分线上． 【变式4-1】如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证： (1)； (2)垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． （1）由平行线的性质可得出，再根据点E是的中点，即得出，由对顶角相等得出，即证明，得出； （2）由，得出．根据题意又易证，结合，可证，即得出，即，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵，即， ∴． ∵点E是的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，即． ∴垂直平分． 【变式4-2】如图，在中，，点D、E分别在边上，，，且． (1)求证：； (2)连接，如果．求证：点F在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据直角三角形的性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质求出，结合即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴是直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴点F在的垂直平分线上． 【变式4-3】如图，在中，平分，，于点E，点F在上，． (1)求证：． (2)连接，求证：垂直平分． (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解题关键是在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定． （1）利用角平分线的性质可得，再利用“”证明，即可证明； （2）利用“”证明，可得，所以点A在的垂直平分线上，根据，可得点D在的垂直平分线上，进而可以解决问题； （3）设，则，即可建立方程求解． 【详解】（1）证明：∵于点E， ∴， 又平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴ ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （3）解：设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【题型5 线段垂直平分线的性质与判定综合】 【例5】已知：如图，，点E在上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等和到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．根据线段的垂直平分线的判定定理可知是线段的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质可知． 【详解】解：∵ ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点D在的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∵点E在上， ∴． 【变式5-1】如图，在中，，．线段的垂直平分线交于点，交于点，连接．试问：线段与的长相等吗？请说明理由． 【答案】相等，理由见解析 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，连接，中垂线的性质，推出，即可得出结论． 【详解】解：相等，理由如下： 连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴． 【变式5-2】如图，在中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为线段CE的中点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】首先证明AD是线段EC的垂直平分线，即可得出AE=AC，根据AB的垂直平分线EF，即可得出AE=BE,即可证明． 【详解】证明：连接AE， ∵，， ∴， ∴． ∵点D为线段CE的中点， ∴， ∴AD垂直平分线段CE， ∴， ∵EF垂直平分AB， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质是解决问题的关键． 【变式5-3】如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． (1)若，的周长为，求的长度； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由得，由线段垂直平分线的性质得，所以； （3）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 【详解】（1）解：直线垂直平分边， ， 的周长为， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 直线垂直平分边， ， ； （3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 【题型6 线段垂直平分线的性质与角平分线的性质综合】 【例6】如图，点，分别在的边，上，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，，由线段垂直平分线的性质可得，根据角平分线的性质可得，，证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据角平分线的性质可得，，证明，得到，推出，结合 ， 即可求解． 【详解】（1）证明：连接，， 垂直平分， ， ，，平分， ，， ， ； （2） ，，平分， ，， ， ， ， ， 由（1）知，， ． 【变式6-1】在中，垂直平分，连接，平分． (1)若，求的度数． (2)若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？ 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知相关性质是解题的关键． （1）利用垂直平分线的性质得到，再得到，利用三角形内角和即可解答； （2）过点作交的延长线于点，根据题意求得的长即可解答． 【详解】（1）解： 垂直平分， ， ， ， 为角平分线 ； （2）解：如图，过点作交的延长线于点 ，，为角分平线， ， ， ， ， ，且， ， 的面积为12． 【变式6-2】如图，在四边形中，所在的直线垂直平分线段，过点A作交于F，延长交于点E． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，的面积为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，等量代换证明结论； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形的外角性质证明即可； （3）首先推导出，过点C作，垂足为M，依据的面积为，求得，结合平分，，从而得到． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，所在的直线垂直平分线段， ∴， ∴， ∵过点A作交于F， ∴， ∴， 即平分； （2）证明：∵在四边形中，所在的直线垂直平分线段， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：过点C作，垂足为M，如图， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴． 【变式6-3】如图1，中，，点D是上点，连接，的平分线交于点E，并延长至点F，使得，且． (1)求证：． (2)如图2，若，点H为上一点，连接，K为中点，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线定义设，则，根据得，再根据得，然后根据得，据此即可得出结论； （2）连接，先根据角平分线的性质得，再证明是线段的垂直平分线，则，然后可依据判定和全等，再根据全等三角形的性质可得出结论 【详解】（1）证明：如图1， ∵平分， ∴设， ∴， ∵， ∴ 又∵ ∴， ∴， ∴ ∴， 在中，， ∴ ∴， 在中，， ∴； （2）证明：连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵点为中点，且， ∴为的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 1．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若平分，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的性质，与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形的内角和定理求出的度数，中垂线的性质，角平分线的定义，推出，进而求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵的垂直平分线分别交于点D、E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 2．如图，中，的平分线和边的垂直平分线交于点D，的延长线于点M，于点N．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接、，由是的平分线，可得，，由线段垂直平分线的性质的得到，进而由“”可证，可得，即得到，据此即可求解． 【详解】解：连接、，如图所示， ，是的平分线， ，， 是的垂直平分线， ， 在和中 ， ， ， ， 故选：C． 3．在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点N，Q．若，则的周长为（   ） A．8或14 B．12或10 C．8或10 D．10或14 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质可得：，分两种情况：当点在点左侧时，当点在点的右侧时，根据三角形的周长公式求解即可得到答案． 【详解】解：当点在点左侧时，如图所示： 由垂直平分线性质可知， ∴； 当点在点的右侧时，如图所示： 由垂直平分线性质可知， ∴ ； 综上所述，的周长为10或14， 故选：D． 4．如图，线段，的垂直平分线交于点，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是依据全等三角形的对应角相等，以及三角形内角和定理得出结论． 【详解】解：如下图所示，连接， 是的垂直平分线，是的垂直平分线， ，， ，， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 在和中，， ， ， 设， 则，， ， 在中，． 故选：C． 5．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：由作图可知：垂直平分， ∴， ∴的周长为:； 故答案为：14． 6．如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，然后根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是边的垂直平分线，是边的垂直平分线， ，， 的周长为32， ， ，即， ， ． 故答案为：5． 7．如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键．由角平分线的定义及平行线的性质可得，然后可证，，进而问题可求解． 【详解】解：∵平分，恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即是的高，故①正确； ∵，， ∴， ∴，，即是的中线，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，故③正确； ∵，，， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 8．如图所示，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质等知识，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键． 根据三角形的内角和定理可求出，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质可得，，于是可得，进而求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 9．如图，在中，平分（E在之间），，已知，求的周长． 【答案】12 【分析】本题考查了角平分线上点到角两边距离相等的性质，考查了角平分线平分角的性质，考查了三角形周长的计算，本题中求证是解题的关键．根据角平分线的性质可证，即可求得，即，再根据角平分线上的点到角两边距离相等即可求得，即可解题． 【详解】解：平分， ， ， ， 平分， ， 的周长． 10．如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，求的长． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，三角形的外角： （1）先证明是的垂直平分线，等边对等角求出的度数，再结合三角形的外交以及中垂线的性质，等边对等角求出的度数即可； （2）先求出的长，再根据线段的转化，得到，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 11．如图，在四边形中，，垂直平分，交于点，点是中点． (1)证明：是线段的垂直平分线； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查垂直平分线的判定和性质，三线合一等知识，掌握以上知识是关键． （1）根据垂直平分线的性质，结合题意得到，即是等腰三角形，由“三线合一”得到，由此即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，则，所以有，由此即可求解． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵点是中点， ∴， ∴是线段的垂直平分线； （2）解：∵垂直平分，是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图，，连接，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点E，连接．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，证明，推出，可得结论． 【详解】解：连接，如图． 因为的垂直平分线相交于点E， 所以． 又因为， 所以， 所以． 13．如图，在中，． (1)在上求作一点D，连接，使得线段最短；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，李明作点D关于的对称点E点时，发现点E恰好在的延长线上，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查作图-复杂作图、轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的作图方法，过点A作于点D，则点D即为所求． （2）连接，由题意得，点D与点E关于对称，可证明，得，，则，再根据可得答案． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点D， 则点D即为所求． （2）解：连接， 由（1）得， 由题意得，点D与点E关于对称，即为线段的垂直平分线， ，， ， ， ， ． 14．如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)点O在BC的垂直平分线上，理由见解析. (2) 【分析】本题考查了轴对称的性质，垂直平分线的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）连接，，，根据垂直平分线的性质可得出，，则，从而即可求解； （2）由四边形内角和可得的度数，根据题意得即可求解；. 【详解】（1）解：点在的垂直平分线上，理由如下： 如图所示，连接，，， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴点在的垂直平分线上； （2）解：∵，分别垂直平分，， ∴，均为轴对称图形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．实践与探究 在中，，．若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交AC的延长线于，且． ①求证：点在BC的垂直平分线上； ②__________； (2)如图2，当点在线段BC上时，若，平分，交AC于点，交AD与点，过点作，交BC于点． ①_________； ②若，，求CG的长度； 【答案】(1)①证明见解析  ②3 (2)①45° ②2 【分析】本题考查了线段垂直平分线和角平分线的性质，以及三角形全等的判定与性质，熟练使用各性质定理是解决问题的关键． （1）①点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F，得出，借助，得到，即可证明点D在的垂直平分线上； ②通过证出，从而有，即可得出； （2）①先利用角平分线的定义求得，再利用三角形的外角性质求得，即可求解； ②延长交于H，证明，得到，再由，即可求解； 【详解】（1）①证明：连接， ∵点D在的平分线所在的直线上, 过点D作于E，作交的延长线于F， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点D在的垂直平分线上； ②由①知：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3； （2）①∵平分，平分，， ∴，即， ∴， ∵，即， ∴； 故答案为：； ②延长交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$