26.1二次函数的概念（5大题型·一题三变专项讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦二次函数的概念这一核心知识点，系统梳理形如y=ax²+bx+c（a≠0）的定义、二次项/一次项/常数项的构成、三种特殊形式及列函数关系式的步骤，构建从定义理解到识别、参数求解、系数确定、基础求值的递进式学习支架。 该资料通过总结忽略a≠0等易错点、提炼三步判定等实用技巧，结合头盔销售、矩形折盒等实际情境例题，培养学生用数学眼光抽象数量关系、用数学思维推理参数取值的能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

专题26.1二次函数的概念 【新人教版】 【题型1 二次函数的识别】...................................................................................................................................2 【题型2 列二次函数关系式】...............................................................................................................................3 【题型3 根据二次函数的定义求参数】...............................................................................................................4 【题型4 二次项系数、一次项系数、常数项】...................................................................................................4 【题型5 二次函数基础求值】...............................................................................................................................5 1. 定义 形如 y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 自变量最高次数为 2，等式右边是整式。 2. 各项说明 · ax2：二次项，a二次项系数（a≠0核心条件） · bx：一次项，b一次项系数 · c：常数项 · b、c可以为 0，a不能为0 3. 三种特殊形式 · y=ax2（b=0，c=0） · y=ax2+c(b=0，c≠0) · y=ax2+bx（b≠0，c=0） 4. 列二次函数步骤 审题→设自变量→找等量关系→列式→整理成标准形式。 易错1：忽略a≠0 含参数题型只看次数为2，忘记二次项系数不能等于0。 易错2：混淆整式与分式、根式函数 分母、根号内含自变量，不是二次函数。 易错3：判断次数不化简 不整理直接看原式，化简后最高次不是2，不属于二次函数。 易错4：系数不带符号 写a、b、c时遗漏前面正负号，计算出错。 易错5：实际问题不标注自变量取值范围 长度、人数等场景，自变量要取正数，漏掉范围扣分。 技巧1：二次函数三步判定 · 化简为整式； · 自变量最高次数=2； · 二次项系数≠0。 技巧2：含参数题型通用方程组 已知是二次函数：自变量最高次数=2且a≠0，解后舍去使a=0的解。 技巧3：区分一次、二次函数 · a≠0：二次函数； · a=0，b≠0：一次函数； · a=0，b=0：常数函数。 技巧4：实际建模要点 列出关系式后整理成标准y=ax2+bx+c，补充自变量取值范围。题型一 二次函数的识别 【例1】（25-26九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（26-27九年级·上海·暑假作业）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 题型二 列二次函数关系式 【例2】（25-26九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 题型三 根据二次函数的定义求参数 【例3】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）若函数是二次函数，那么的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3-1】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）若是关于x的二次函数，则m的值为______． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽池州·期末）___________时，是关于的二次函数． 【变式3-3】（25-26九年级上·广西崇左·期末）已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 题型四 二次项系数、一次项系数、常数项 【例4】（2026九年级下·全国·专题练习）函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式4-1】（25-26九年级上·山西长治·期末）二次函数的一次项系数是（   ） A． B．2 C．1 D．3 【变式4-2】（25-26九年级上·广西南宁·期中）二次函数的常数项是（   ） A． B． C．2 D．1 【变式4-3】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（） A．3，2，5 B．3，，5 C．3，2， D．3，， 题型五 二次函数基础求值 【例5】（25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【变式5-1】（25-26九年级上·广东肇庆·期末）已知点，都在抛物线上，则_____．（用“”，“”或“”填空） 【变式5-2】（25-26九年级上·全国·期末）若二次函数 的图象经过原点，则a的值是_______． 【变式5-3】（26-27九年级·上海·暑假作业）已知二次函数，当时，求函数的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题26.1二次函数的概念 【新人教版】 【题型1 二次函数的识别】...................................................................................................................................2 【题型2 列二次函数关系式】...............................................................................................................................4 【题型3 根据二次函数的定义求参数】...............................................................................................................6 【题型4 二次项系数、一次项系数、常数项】...................................................................................................8 【题型5 二次函数基础求值】.............................................................................................................................10 1. 定义 形如 y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 自变量最高次数为 2，等式右边是整式。 2. 各项说明 · ax2：二次项，a二次项系数（a≠0核心条件） · bx：一次项，b一次项系数 · c：常数项 · b、c可以为 0，a不能为0 3. 三种特殊形式 · y=ax2（b=0，c=0） · y=ax2+c(b=0，c≠0) · y=ax2+bx（b≠0，c=0） 4. 列二次函数步骤 审题→设自变量→找等量关系→列式→整理成标准形式。 易错1：忽略a≠0 含参数题型只看次数为2，忘记二次项系数不能等于0。 易错2：混淆整式与分式、根式函数 分母、根号内含自变量，不是二次函数。 易错3：判断次数不化简 不整理直接看原式，化简后最高次不是2，不属于二次函数。 易错4：系数不带符号 写a、b、c时遗漏前面正负号，计算出错。 易错5：实际问题不标注自变量取值范围 长度、人数等场景，自变量要取正数，漏掉范围扣分。 技巧1：二次函数三步判定 · 化简为整式； · 自变量最高次数=2； · 二次项系数≠0。 技巧2：含参数题型通用方程组 已知是二次函数：自变量最高次数=2且a≠0，解后舍去使a=0的解。 技巧3：区分一次、二次函数 · a≠0：二次函数； · a=0，b≠0：一次函数； · a=0，b=0：常数函数。 技巧4：实际建模要点 列出关系式后整理成标准y=ax2+bx+c，补充自变量取值范围。题型一 二次函数的识别 【例1】（25-26九年级上·广东河源·期末）下列函数中，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断各选项，二次函数要求表达式是关于x的整式，且自变量x的最高次数为2，二次项系数不为0． 【详解】解：∵二次函数的定义为：形如（，，为常数，且）的函数，等式右边是关于x的整式， A：是反比例函数，右边是分式，不符合定义， B：是一次函数，x最高次数为1，不符合定义， C：，符合二次函数形式，，右边是整式，x最高次数为2，符合定义， D：含分式项，右边不是整式，不符合定义． 【变式1-1】（25-26九年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，一定是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别，需根据二次函数的定义：形如（为常数且）的函数，逐一分析各选项判断． 【详解】解：A．当时，，是常数函数，不是二次函数； B．满足，符合二次函数的定义，是二次函数； C．中的次数为1，是一次函数，不是二次函数； D．是反比例函数，不是二次函数； 故选：B． 【变式1-2】（25-26九年级上·山西晋城·期末）下列函数中，是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的概念和解析式的形式．整理后根据二次函数的定义和条件判断即可． 【详解】解：A、是反比例函数，该选项不符合题意； B、，是一次函数，该选项不符合题意； C、，右边不是整式，不是二次函数，该选项不符合题意； D、是二次函数，该选项符合题意； 故选：D． 【变式1-3】（26-27九年级·上海·暑假作业）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 【答案】（2），（3）是二次函数 【详解】解：（1）是一次函数，不是二次函数； （2），符合的形式，是二次函数； （3），符合的形式，是二次函数； （4），化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数； （5）中，是否为0未知，若，则函数退化为一次函数或常数函数，因此不一定是二次函数． 结论：（2），（3）是二次函数． 题型二 列二次函数关系式 【例2】（25-26九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 【详解】解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 【变式2-1】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 【变式2-2】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）兰州是全国有名的“瓜果城”，某水果店销售一批白兰瓜，若每斤盈利元，每天可售出斤．经市场调查发现，若每斤降价元，每天可多售出斤．设每斤降价元，每天盈利为元，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出降价后每斤的盈利及销售量，再相乘即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵每斤降价元， ∴每斤盈利为元， ∵每降价元多售出斤， ∴降价元多售出斤， ∴销售量为斤， ∴， 故选：． 【变式2-3】（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是，则两次降价后的价格（元）与每次降价的百分率之间的函数关系式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键； 根据连续两次降价，每次降价的百分率为，则两次降价后的价格等于原价乘以的平方． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∴， 故选：B． 题型三 根据二次函数的定义求参数 【例3】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）若函数是二次函数，那么的值为 （    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，依据二次函数最高次项的次数为2这一性质列方程求解即可． 【详解】∵是二次函数， ∴ 解得 此时函数为，满足二次函数的定义． 故选：D． 【变式3-1】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）若是关于x的二次函数，则m的值为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了根据二次函数的定义求参数，解题的关键是掌握二次函数的定义． 根据二次函数的定义，最高次项为二次，且二次项系数不为零，因此需满足指数条件 且系数条件． 【详解】解：因为函数是关于的二次函数，所以的最高次项为二次，即， 解方程得， 所以或 ， 又因为二次项系数，当时，，不符合条件，故舍去， 因此．当时，函数为，满足二次函数定义． 故答案为：2． 【变式3-2】（25-26九年级上·安徽池州·期末）___________时，是关于的二次函数． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，注意二次项系数不能为0是解题的关键．根据二次函数的定义，可得，并且注意二次项系数不能为0，即，即可解答． 【详解】解：由题意得， 解得， ， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26九年级上·广西崇左·期末）已知函数（m为常数），求当m为何值时： (1)y是x的一次函数？ (2)y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【答案】(1) (2)，纵坐标为的点的横坐标 【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键． （1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值． 【详解】（1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 题型四 二次项系数、一次项系数、常数项 【例4】（2026九年级下·全国·专题练习）函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，依据二次函数一般式（）中各系数的定义来确定对应值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的一般形式为（，为二次项系数，为一次项系数，为常数项）， ∴函数解析式中二次项系数是，一次项系数是，常数项是， 故选：． 【变式4-1】（25-26九年级上·山西长治·期末）二次函数的一次项系数是（   ） A． B．2 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的一般形式及其各项系数的识别．标准的二次函数形式为：，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．题目给出具体的二次函数表达式，只需找出其中一次项对应的系数即可． 【详解】解：二次函数的一次项是，则一次项系数是， 故选：A． 【变式4-2】（25-26九年级上·广西南宁·期中）二次函数的常数项是（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项可得常数项是．本题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 【详解】∵ 对应一般形式， ∴常数项为 ． 故选 ：． 【变式4-3】（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（） A．3，2，5 B．3，，5 C．3，2， D．3，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义：形如(a、b、c是常数，)的函数叫做x的二次函数，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据二次函数一般形式，直接读取系数即可． 【详解】解：∵， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 故选：C． 题型五 二次函数基础求值 【例5】（25-26九年级上·河南周口·期末）若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 【变式5-1】（25-26九年级上·广东肇庆·期末）已知点，都在抛物线上，则_____．（用“”，“”或“”填空） 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的函数值，通过直接计算点A和点B的纵坐标值进行比较． 【详解】解：对于抛物线， 当时， ； 当时， ． 因为， 所以 故答案为：． 【变式5-2】（25-26九年级上·全国·期末）若二次函数 的图象经过原点，则a的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，将原点坐标代入二次函数解析式，得到关于a的方程，解方程后根据二次函数的定义（二次项系数不为零）判断a的有效值． 【详解】解：∵二次函数图象经过原点， ∴将代入解析式，得，即， 解得或， 又∵该函数为二次函数， ∴二次项系数，而和均满足， ∴a的值为1或． 故答案为：． 【变式5-3】（26-27九年级·上海·暑假作业）已知二次函数，当时，求函数的值． 【答案】 【详解】解：将代入，得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $