专题 25.1 一元二次方程的概念（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念这一核心知识点，系统梳理定义（整式、一元、未知数最高次数为2）、一般形式（ax²+bx+c=0，a≠0）及解（根）的概念，形成从识别方程到确定系数再到利用解求参数的递进学习支架。 资料通过分层题型设计，基础题型巩固概念理解，提升题型如整体思想求值、列方程解决实际问题培养数学思维，同步检测覆盖选择、填空、解答题。实例中利用方程解求参数体现抽象能力，列火车停靠站方程展现模型意识，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

专题 25.1 一元二次方程的概念（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】一元二次方程定义 1 【题型 1】一元二次方程的识别 1 【知识点二】一元二次方程的一般形式 2 【题型 2】一元二次方程一般形式 2 【题型 3】利用一元二次方程定义求参数 3 【知识点三】一元二次方程的解（根） 3 【题型 4】利用一元二次方程的解求参数 3 二.题型精析（巩固提升） 4 【题型 5】利用一元二次方程的解及其定义求值（整体思想） 4 【题型 6】列一元二次方程（综合运用） 4 三.同步检测 5 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 5 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 6 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 6 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】一元二次方程定义 定义：像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）,并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 【要点提示】构成一元二次方程条件（1）一个未知数；（2）最高次数是2次；（3）整数方程。 【题型 1】一元二次方程的识别 【例题1】（25-26八年级下·山东东营·期中）下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（25-26九年级下·山东淄博·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级下·湖南永州·单元复习）下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【知识点二】一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项. 【要点提示】（1）判断一元二次方程一般形式时注意二次项系数；（2）确定二次项、一次项、常数项前提是先化为一元二次方程一般形式. 【题型 2】一元二次方程一般形式 【例题2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）． （2）． （3）． 【变式1】（25-26八年级下·安徽六安·期末）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【变式2】（25-26八年级下·浙江温州·期中）将一元二次方程化为一般式为______． 【变式3】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 【题型 3】利用一元二次方程定义求参数 【例题3】（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【变式1】（25-26八年级下·重庆·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级·全国·暑假作业）关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【变式3】（24-25九年级上·全国·随堂练习）若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 【知识点三】一元二次方程的解（根） 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一 元二次方程的根. 【要点提示】一元二次方程的解常常用来求参数值或通过整体思想求值. 【题型 4】利用一元二次方程的解求参数 【例题4】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为________． 【变式1】（2026·安徽阜阳·三模）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期末）已知一元二次方程的一个根为2，则__________． 【变式3】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）若2是方程的一个根，则c的值为（     ） A． B． C． D． 二.题型精析（巩固提升） 【题型 5】利用一元二次方程的解及其定义求值（整体思想） 【例题5】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知a是方程的一个根，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【变式1】（25-26八年级·全国·暑假作业）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【变式2】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【变式3】（2026·甘肃白银·二模）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 【题型 6】列一元二次方程（综合运用） 【例题6】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）把长为的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长．根据此问题，列出关于的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·福建龙岩·开学考试）北京与上海之间往返的某趟动车，沿途有多个火车停靠站（包括北京站、上海站），针对此动车有20种不同行程的火车票，设共有x个火车停靠站，下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）某生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向组内其他成员每人赠送一件，全组共相互赠送标本件．设全组有x名同学，则可列方程为__________． 【变式3】（2025·吉林辽源·三模）周瑜，东汉末年名将．建安十三年（公元208年），周瑜率江东孙氏集团军队与刘备军队联合，赤壁之战大败曹军，由此奠定了三分天下的基础．建安十五年（公元210年）病逝于巴丘（今湖南岳阳）．关于其去世的年龄可以表述如下：“周瑜早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符，周瑜去世年龄为几何．”设周瑜去世年龄的十位数字为，则可列方程为_________． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·山东日照·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·吉林·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A． B．2 C． D． 5．（25-26八年级下·北京平谷·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·江西南昌·期中）若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河南新乡·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D．9 8．（25-26九年级上·广东东莞·期中）若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2032 D．2034 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）若是关于x的一元二次方程，则a的值为___________． 10．（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）一元二次方程化成一般形式为________． 11．（25-26八年级下·山东济南·期末）若关于的方程是一元二次方程，则________． 12．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 13．（25-26八年级下·北京·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 14．（2026·福建福州·模拟预测）已知是方程的解，则________． 15．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 16．（2026·四川广安·二模）若实数x满足，则______． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的方程． （1）当__________时，此方程为一元一次方程，此方程的根为_________． （2）当为何值时，此方程为一元二次方程？请写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 18．（2025八年级上·上海·专题练习）当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 19．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）已知m是方程的根，求代数式的值． 20．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）先化简，再求值：，其中是方程的根． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 25.1 一元二次方程的概念（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】一元二次方程定义 1 【题型 1】一元二次方程的识别 1 【知识点二】一元二次方程的一般形式 3 【题型 2】一元二次方程一般形式 4 【题型 3】利用一元二次方程定义求参数 5 【知识点三】一元二次方程的解（根） 7 【题型 4】利用一元二次方程的解求参数 7 二.题型精析（巩固提升） 8 【题型 5】利用一元二次方程的解及其定义求值（整体思想） 8 【题型 6】列一元二次方程（综合运用） 10 三.同步检测 12 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 12 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 15 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】一元二次方程定义 定义：像这样，等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）,并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 【要点提示】构成一元二次方程条件（1）一个未知数；（2）最高次数是2次；（3）整数方程。 【题型 1】一元二次方程的识别 【例题1】（25-26八年级下·山东东营·期中）下列方程中，一元二次方程共有（   ）个． ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题根据一元二次方程的定义逐个判断方程，统计符合条件的个数即可得到结果，一元二次方程需满足：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2，二次项系数不为0． 解： ∵①满足所有条件， ∴①是一元二次方程 ∵②未说明，当时不是一元二次方程， ∴②不符合要求 ∵③是分式方程，不是整式方程， ∴③不符合要求 ∵④满足所有条件， ∴④是一元二次方程 ∵⑤含有x，y两个未知数， ∴⑤不符合要求 ∵⑥展开整理原方程得，化简得，未知数最高次数为1， ∴⑥不是一元二次方程； 综上，一元二次方程共有2个． 【变式1】（25-26九年级下·山东淄博·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件，只含有一个未知数，未知数的最高次数为，是整式方程，据此对各选项逐一判断即可． 解：选项A中，未知数最高次数为，不满足条件，∴A错误； 选项B中，含有两个未知数，不满足条件，∴B错误； 选项C中，只含1个未知数，未知数最高次数为，且为整式方程，满足所有条件，∴C正确； 选项D中，分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件，∴D错误． 【变式2】（25-26八年级下·安徽合肥·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断各选项即可． 解：A、中未说明，当时方程不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、由整理得，即，该方程满足一元二次方程的全部条件，故该选项符合题意； C、原方程分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，故该选项不符合题意； D、原方程根号内含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，故该选项不符合题意． 【变式3】（24-25九年级下·湖南永州·单元复习）下列方程，是一元二次方程的有_________________________ ①，②，③，④． 【答案】①④/④① 解：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程是一元二次方程． ①，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； ②，含有和两个未知数，不符合一元二次方程的定义； ③，分母中含有未知数，不符合一元二次方程的定义； ④，只含有一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 综上所述，是一元二次方程的有①④． 【知识点二】一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项. 【要点提示】（1）判断一元二次方程一般形式时注意二次项系数；（2）确定二次项、一次项、常数项前提是先化为一元二次方程一般形式. 【题型 2】一元二次方程一般形式 【例题2】（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． （1）． （2）． （3）． 【答案】（1），二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1；（2），二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6；（3），二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为 【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案： （1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； （3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项； 解：（1）解：整理，得， 故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． （2）整理，得， 故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6． （3）整理，得， 故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为． 【变式1】（25-26八年级下·安徽六安·期末）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【变式2】（25-26八年级下·浙江温州·期中）将一元二次方程化为一般式为______． 【答案】 【分析】先根据单项式乘多项式法则展开方程左边，再通过移项整理得到一元二次方程的一般式． 解： ， ， 移项，得 ． 【变式3】（25-26九年级上·江苏镇江·期末）将一元二次方程化成一般形式后，若二次项系数为1，则一次项系数是________． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，将原方程化为一般形式，并通过乘以使二次项系数为1，从而得到一次项系数． 解：原方程为， 展开左边得， 移项得， 再乘以得 ， 此时二次项系数为1，一次项系数为2． 故答案为：2． 【题型 3】利用一元二次方程定义求参数 【例题3】（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程． （1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 解：（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 【变式1】（25-26八年级下·重庆·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 【变式2】（25-26八年级·全国·暑假作业）关于x的方程是一元二次方程，则m为__________． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程是一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， ∴． 【变式3】（24-25九年级上·全国·随堂练习）若关于x的方程是一元二次方程，求m的值． 【答案】3 【分析】此题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程，根据定义列方程求出答案 解：由一元二次方程的定义可知， 由①得． 由②得， 所以． 【知识点三】一元二次方程的解（根） 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一 元二次方程的根. 【要点提示】一元二次方程的解常常用来求参数值或通过整体思想求值. 【题型 4】利用一元二次方程的解求参数 【例题4】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为________． 【答案】 【分析】将已知根代入一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 解：把代入方程得： 解得. 【变式1】（2026·安徽阜阳·三模）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案． 解：将代入方程， 得，解得， ∵已知方程是一元二次方程， ∴，即， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·福建福州·期末）已知一元二次方程的一个根为2，则__________． 【答案】2 【分析】将已知根代入原方程，即可得到关于的一元一次方程求解即可． 解：一元二次方程的一个根为， 将代入方程得：，解得：． 【变式3】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）若2是方程的一个根，则c的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值，将已知根代入原方程即可求解的值． 解：∵是方程的一个根， ∴把代入方程，得 ， 整理得，解得． 二.题型精析（巩固提升） 【题型 5】利用一元二次方程的解及其定义求值（整体思想） 【例题5】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知a是方程的一个根，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据a是方程的一个根，得出，从而得出，再将变形，然后整体代入求值即可． 解：∵a是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 【变式1】（25-26八年级·全国·暑假作业）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为__________． 【答案】2011 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，变形为，，，代入式子求解即可． 解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴，，， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·安徽阜阳·期末）若是关于的方程的一个根，则的值是（     ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】先根据方程根的定义得到，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 解：∵ 是关于的方程的一个根， ，即， ． 【变式3】（2026·甘肃白银·二模）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 【答案】36 【分析】利用m是方程的一个根，求得，将原式整理得到，再整体代入求解即可． 解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 【题型 6】列一元二次方程（综合运用） 【例题6】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）把长为的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长．根据此问题，列出关于的方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．设较短一段长为，则 较长一段长为，根据题意列出方程并化简为一般形式即可求解． 解：设较短一段长为，则 较长一段长为，   由题意得，，   整理得，， 故选：． 【变式1】（24-25九年级上·福建龙岩·开学考试）北京与上海之间往返的某趟动车，沿途有多个火车停靠站（包括北京站、上海站），针对此动车有20种不同行程的火车票，设共有x个火车停靠站，下列所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题列一元二次方程，设共有x个火车停靠站，根据“针对此动车有20种不同行程的火车票”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 解：设共有x个火车停靠站， 由题意可得：， 故选：B． 【变式2】（2025九年级上·全国·专题练习）某生物兴趣小组的学生将自己收集的标本向组内其他成员每人赠送一件，全组共相互赠送标本件．设全组有x名同学，则可列方程为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、确定等量关系是解答本题的关键． 设全组有x名同学，则每个同学需赠送出件标本，x名同学需赠送出件标本，根据全组共相互赠送标本件列方程即可． 解：由题意，全组有x名同学，则每个同学需赠送出件标本， ∴． 故答案为：． 【变式3】（2025·吉林辽源·三模）周瑜，东汉末年名将．建安十三年（公元208年），周瑜率江东孙氏集团军队与刘备军队联合，赤壁之战大败曹军，由此奠定了三分天下的基础．建安十五年（公元210年）病逝于巴丘（今湖南岳阳）．关于其去世的年龄可以表述如下：“周瑜早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符，周瑜去世年龄为几何．”设周瑜去世年龄的十位数字为，则可列方程为_________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设周瑜去世年龄的十位数字为，依题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 解：设周瑜去世年龄的十位数字为，依题意可得： ， 故答案为：． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·山东日照·期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，未知数最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，逐个判断选项即可． 解：A、方程是一元二次方程，符合题意； B、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、方程分母含有未知数，不属于整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程未知数最高次数为1，不是一元二次方程，不符合题意． 2．（25-26八年级下·吉林·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（     ） A．1，6，2 B．1，， C．0，， D．1，，2 【答案】B 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 解：已经是一般形式， 对应可得二次项系数，一次项系数，常数项． 3．（25-26八年级下·浙江温州·期中）若关于的一元二次方程中的，，满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程根的定义，只需将选项中的值代入方程左边，验证是否能得到的形式，结合已知条件，即可判断方程必有的根． 解：当时，代入方程左边得： ， ， 满足方程，因此方程必有一根为． 4．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，结合“有两个不相等的实数根”可得根的判别式大于0，据此求出a的取值范围，再判断选项即可. 解：∵方程 有两个不相等的实数根，因此方程是一元二次方程， ∴， 对于一元二次方程 ，，代入得： ， 由得 ，解得， 由得， 因此a的取值范围是且， 结合选项，只有B选项的满足该范围. 5．（25-26八年级下·北京平谷·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将已知根代入方程求出的可能取值，再结合一元二次方程的定义，即二次项系数不为0，舍去不符合条件的解，得到的正确值． 解：∵是一元二次方程的根， ∴把代入方程得， 解得或， 又∵该方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足，即， ∴． 6．（25-26九年级上·江西南昌·期中）若一元二次方程中的满足，则方程必有根（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程根的定义，将x的值代入方程，若满足方程则为其根，条件恰好对应时的方程值，掌握相关知识是解题的关键． 解：∵当时，代入方程得：， ∴方程必有一根为， 故选：C． 7．（25-26九年级上·河南新乡·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（   ） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查“一元二次方程的定义”，掌握一元二次方程的特征求出参数的值，并排除会令二次项系数为0的值是解题关键． 根据一元二次方程的定义，要求方程中未知数的最高次数为2且二次项系数不为零，解出m的值即可． 解：∵ 方程 是一元二次方程， ∴ 的最高次数 ， 解得 ，， 又∵ 二次项系数 ， 当 时，，不符合要求； 当 时，，符合要求， ∴ 实数 的值为 ． 故选：B． 8．（25-26九年级上·广东东莞·期中）若m是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ） A．2026 B．2028 C．2032 D．2034 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是理解方程解的定义． 根据方程解的定义求出，整体代入求解． 解：是一元二次方程的一个根， ， ， ． 故选：A． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（25-26九年级上·福建南平·阶段检测）若是关于x的一元二次方程，则a的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数且最高次数为2的方程叫作一元二次方程． 根据一元二次方程的定义列式计算即可． 解：∵是关于x的一元二次方程， ∴且，解得：． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·四川广安·阶段检测）一元二次方程化成一般形式为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题关键．先计算完全平方公式、去括号，再移项、合并同类项，整理成一元二次方程的一般式即可得． 解：， ， ， ． 故答案为：． 11．（25-26八年级下·山东济南·期末）若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程定义列出关于的条件，求解即可得到答案． 解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得， 即， 由得， ． 12．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）在一元二次方程中，实数a，b，c满足，则此方程必有一根为________． 【答案】 【分析】将代入方程求解判断即可． 解：将代入得，， 此方程必有一根为． 13．（25-26八年级下·北京·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】根据根的定义得到满足的关系式，对所求代数式变形后整体代入即可求解． 解：是一元二次方程的一个根， ，整理得， ． 14．（2026·福建福州·模拟预测）已知是方程的解，则________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程的解可得，再变形为，最后整体代入求值． 解：∵是方程的解， ∴ 即， 则． 15．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为________． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程的根满足方程得到，进而整体代入求值即可． 解：∵是方程的一个根， ∴，即， ∴． 16．（2026·四川广安·二模）若实数x满足，则______． 【答案】 【分析】利用已知一元二次方程对所求多项式进行降次处理，将高次多项式转化为低次多项式后代入计算即可得到结果． 解： ， ∴ （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知关于的方程． （1）当__________时，此方程为一元一次方程，此方程的根为_________． （2）当为何值时，此方程为一元二次方程？请写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】（1），；（2）当时，此方程为一元二次方程；二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【分析】本题主要考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，掌握一元一次方程和一元二次方程的定义和一般形式是解题的关键． （1）根据题意可得进而得到的值，再将的值代入求得此一元一次方程的根； （2）根据题意可得，进而得到满足条件的的值，从而可以写出此一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项． 解：（1）解：是一元一次方程， 解得， ，解得， 故答案为：，． （2）解：是一元二次方程， ，解得， 故答案为：当时，此方程是一元二次方程； 它的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 18．（2025八年级上·上海·专题练习）当为何值时，方程是关于的一元二次方程？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，一元二次方程的一般形式下，注意二次项系数不等于零是解题的关键． 直接根据一元二次方程的定义列方程求解即可． 解：根据题意，得且． 解，得， 解，得， 所以． 所以当时，原方程是关于的一元二次方程． 19．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）已知m是方程的根，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，一元二次方程的解．根据题意易得：，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 解：是方程的根， ， ， ． 20．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）先化简，再求值：，其中是方程的根． 【答案】；3 【分析】此题考查了一元二次方程的根，分式的化简求值，先计算括号内的分式加减法，再计算分式的除法，得到化简结果，再把方程变形后整体代入即可求出计算结果． 解：原式 ． ∵是方程的根， ∴， ． 原式． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $