专题15角的比较与运算及余角和补角暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题15角的比较与运算及余角和补角暑假预习讲义 1. 比较方法：掌握叠合法、度量法两种角的大小比较方式，能直观判断角的大小关系。 2. 角的运算：会进行角的和、差运算，看懂图形拆分角；熟练度分秒之间加减计算，牢记60进制。 3. 角平分线认知：理解角平分线定义，能用几何语言描述平分线，利用平分线进行角度等量计算。 4. 概念识记：熟记余角、补角定义，快速判定两个角是否互余、互补；明确互余两角和为90°，互补两角和为180°。 5. 核心性质运用：掌握同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等，利用该性质进行几何倒角推理。 6. 列式计算：已知一个角，求解它的余角、补角；根据余补角数量关系列方程求角度。 7. 方位角结合应用：结合方位角图形，求解方位相关互余、互补角度。 8. 易错规避：区分余角90°、补角180°，避免数值记混；不要认为余角、补角必须分开摆放。 9. 几何素养：养成识图拆解角度的能力，规范简单几何说理步骤，为相交线章节打好基础。 预习必备 知识梳理 1.比较角大小的两种方法 2.角的和差倍分 3.角平分线 4.角度的四则运算 5.余角与补角 6.高频易错点汇总 7.速记对照表 常考题型精讲精练 1.角的比较 2.三角板中角度计算问题 3.几何图形中角度计算问题 4.角度的四则运算 5.实际问题中角度计算问题 6.角平分线的有关计算 7.角n等分线的有关计算 8.求一个角的余角 9.求一个角的补角 10.与余角.补角有关的计算 11.同等角的余补角相等的应用 强化题型 解答题6题 知识点01：比较角大小的两种方法 方法 1：度量法（用量角器） （1）操作步骤： ①量角器中心与角顶点重合； ②0° 刻度线与角一条边重合； ③读取另一条边对应刻度，得到角度； （2）大小判定：度数越大，角越大。 方法 2：叠合法（图形重合对比） 操作步骤： ① 两个角顶点重合； ② 一条边完全重合； ③ 观察另一条边位置： 另一边在内部：角更小； 另一边重合：两角相等； 另一边在外部：角更大。 将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点 O 与 O′重合，再让一条边 OB 与 O′D 重合，使另一条边 OA 和 O′C 落在 OB（或 O′D）的同侧。 对比方法 优点 适用场景 度量法 能读出具体度数，精准比较 需要计算、求角度和差 叠合法 纯图形直观，无需工具 单纯判断大小、画图比较 知识点02：角的和、差、倍、分 1.角的和：在一个角外部叠合另一个角，总角度 = 两角度数相加 若 ∠AOB=∠AOC+∠ BOC，则OC在 ∠AOB内部。 2.角的差：大角内部包含小角，剩余角 = 大角−小角 若 ∠AOC=∠AOB- ∠BOC。 3.角的倍分：一个角是另一个角的 2 倍 / 3 倍， 记作∠AOB=2∠BOC 知识点03：角平分线（本节核心概念） 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2.几何符号语言 若射线OC平分 ∠AOB， 则： ∠AOC= ∠BOC=∠AOB，∠AOB=2 ∠AOC=2 ∠BOC 3.拓展：角三等分线、四等分线，将角平均分成 3 份、4 份。 知识点04：角度的四则运算（60 进制，度分秒换算） 换算规则：1=60'，1'=60'' 1. 加法运算（满 60 进 1） 例：3218'+2545'=5763'=583' 分相加≥60，向度进 1。 2. 减法运算（不够减借 1 当 60） 例：7010'-2630'=6970'-2630'=4340' 分不够减，从度借 1 化为 60 分。 3. 乘法运算（分别相乘，满 60 进位） 例：1520'3=4560'=46 4. 除法运算（逐级拆分，余数转下级单位） 例：504=4820'4=1230' 知识点05：余角与补角 一、余角、补角定义表格 名称 定义 数量关系式 范围要求 余角（互余） 两个角的和等于90（直角） 若∠+∠=90，则、互余 两个角都为锐角，均小于90 补角（互补） 两个角的和等于180（平角） 若∠+∠=，则、互补 一个锐角 + 一个钝角，或两个直角 关键文字辨析 1.“互余、互补” 是两个角之间的关系，单独一个角不能说余角 / 补角； 2.只看度数和，与两角摆放位置无关（不需要相邻、无公共顶点）。 二、同一个角的余角、补角计算 设一个锐角为∠ 它的余角：90- 它的补角：- 重要推论：同一个角的补角 − 余角 =90 推导：(-)-(90-)=90 例题：已知∠=3520'，求余角和补角 余角：90-3520'=5440' 补角：180-3520'=14440' 三、余角、补角两大性质（考试必考证明依据） 性质 1：同角（等角）的余角相等 性质 2：同角（等角）的补角相等 知识点06：高频易错清单 1.钝角、直角错误求余角（钝角 > 90°，不存在余角）； 2.混淆互余90°、互补180°； 3.认为两角必须挨在一起才互余 / 互补； 4.使用性质证明时，漏掉 “同角 / 等角” 条件； 5.计算补角、余角时分度秒减法忘记借位。 知识点 07 两节综合速记对照表 核心概念 核心公式/性质 关键限制 角比较 度量法、叠合法 叠合需顶点、一边重合 角平分线 ∠AOC= ∠BOC=∠AOB 射线在角内部 角度换算 1=60'，1'=60'' 加减乘除 60 进制进退位 互余 ∠+∠=90，同角余角相等 仅锐角有余角 互补 ∠+∠=，同角补角相等 任意小于 180° 的角都有补角 重要推论 同一角补角−余角=90 只适用于锐角 题型1.角的比较 【典例】如图所示的网格是正方形网格，点，，，，是网格线交点，则_____．（填“”，“”或“”） 【跟踪专练1】如图，在由相同小正方形组成的网格中有和，估测与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法估测 【跟踪专练2】如图所示，由正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么与的大小关系是__．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【跟踪专练3】如图，利用一副三角板比较与的大小，两角顶点均与三角板某一顶点重合．已知图中射线经过角的一边，图中射线经过角的一边，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 题型2.三角板中角度计算问题 【典例】如图所示，将一副三角板叠放在一起，使它们的直角顶点重合于点，已知，则的度数是________． 【跟踪专练1】将一副直角三角板如图摆放，角的顶点与角的顶点重合，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将一副直角三角板如图放置，若，则的大小为________． 【跟踪专练3】一把直尺和一块三角板（含 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小是（     ） A． B． C． D． 题型3.几何图形中角度计算问题 【典例】如图，，，，则__________ 【跟踪专练1】如图，三条直线相交于点O．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角__________． 【跟踪专练3】自行车尾灯采用特殊的反射棱镜，能将光线反射回去，提高夜间骑行安全．已知光的反射现象中反射角等于入射角，其简化光路图如图所示，表示自行车尾灯的一个反射平面，为法线，且，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型4.角度的四则运算 【典例】，，则___________. 【跟踪专练1】【新情境】如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日郑州市正午太阳光线与水平面的夹角为，若光能利用率最高，则集热板与水平面的夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】计算： （1）___________； （2）___________． 【跟踪专练3】已知，以为端点作射线，使，则的度数为（   ）． A． B． C．或 D．或 题型5.实际问题中角度计算问题 【典例】如图所示，若入射光线与平面镜成夹角，且入射光线与反射光线与平面镜所成的角度相等，则入射光线与反射光线的夹角的度数为______． 【跟踪专练1】如图，光从真空射入某种介质，入射角为，折射角为，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是______． 【跟踪专练3】如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 题型6.角平分线的有关计算 【典例】如图，直线，相交于，平分，，则与的夹角是______度． 【跟踪专练1】如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点是直线上一点，．平分，于点，则________度． 【跟踪专练3】如图，是的平分线，在内部．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型7.角n等分线的有关计算 【典例】，射线是它的二等分线，射线是的二等分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】，射线是它的三等分线，则________． 【跟踪专练2】如图，射线OB、OC为锐角∠AOD的三等分线，若图中所有锐角度数之和为200°，则∠AOD的度数为 _____． 【跟踪专练3】定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 题型8.求一个角的余角 【典例】．一个角的补角是，则这个角的余角为 ___________． 【跟踪专练1】如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】一个角的补角是，则这个角的余角的度数是________． 【跟踪专练3】如图，已知点是直线上一点，，，则图中互余的角共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 题型9.求一个角的补角 【典例】一个角的度数是，则它的补角的度数是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知一个角的补角为，则这个角的度数是_________． 【跟踪专练2】若， 则的补角为_______． 【跟踪专练3】若，则补角的大小是（   ） A． B． C． D． 题型10.与余角.补角有关的计算 【典例】若一个角的余角为，则这个角的补角度数为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，点O在直线上，，若，则的补角的度数为__________． 【跟踪专练2】如图，射线、、、、分别对应量角器上外圈的，，，， 刻度，则关于与的关系可表述为____________． 【跟踪专练3】如图，O是直线上一点，，平分，则图中与互余的角有________个． 题型11.同等角的余补角相等的应用 【典例】若，，则，理由是________ 【跟踪专练1】课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如图所示的说理过程，其所要填写的依据为（    ） 已知与是对顶角，那么. 理由：因为与互补，与互补，所以.（依据：___________） A．平角的定义 B．同角的补角相等 C．等角的补角相等 D．同位角相等 【跟踪专练2】如图，在中，，，垂足为D，则的余角是______和______，______，理由是______． 【跟踪专练3】如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解答题 1．度、分、秒的计算 (1) (2) (3) (4) 2．如图为直线上一点，，平分，． (1)的余角有___________（填图中已有的角）； (2)试判断是否平分，并说明理由． 3．如图，直线、相交于点，平分，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 4．如图，一副直角三角板的两个直角顶点重合在一起． (1)若，则________； (2)求的度数； (3)比较与的大小，并写出理由． 5．如图，在长方形的台球桌面上，． (1)如果，那么等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答． 6．通过本学期的学习，我们已经知道“如果从角的顶点出发的一条射线把这个角分成两个相等角，那么这条射线叫做这个角的平分线”．类似，我们规定：“如果从角的顶点出发的两条射线把这个角分成三个相等角，那么这两条射线都称为这个角的三等分线”．例如：如图，射线，在内，且，那么是的三等分线，也是的三等分线． (1)如图，，，判断是否是的三等分线，并说明理由． (2)在（）的条件下，若是的三等分线，求的度数． (3)在（）的条件下，如图，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，到达后停止．在射线出发秒后，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，到达后立即绕逆时针旋转，速度不变，到达后停止运动．当从出发时，开始计时，设时间为秒．当为的三等分线时，直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15角的比较与运算及余角和补角暑假预习讲义 1. 比较方法：掌握叠合法、度量法两种角的大小比较方式，能直观判断角的大小关系。 2. 角的运算：会进行角的和、差运算，看懂图形拆分角；熟练度分秒之间加减计算，牢记60进制。 3. 角平分线认知：理解角平分线定义，能用几何语言描述平分线，利用平分线进行角度等量计算。 4. 概念识记：熟记余角、补角定义，快速判定两个角是否互余、互补；明确互余两角和为90°，互补两角和为180°。 5. 核心性质运用：掌握同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等，利用该性质进行几何倒角推理。 6. 列式计算：已知一个角，求解它的余角、补角；根据余补角数量关系列方程求角度。 7. 方位角结合应用：结合方位角图形，求解方位相关互余、互补角度。 8. 易错规避：区分余角90°、补角180°，避免数值记混；不要认为余角、补角必须分开摆放。 9. 几何素养：养成识图拆解角度的能力，规范简单几何说理步骤，为相交线章节打好基础。 预习必备 知识梳理 1.比较角大小的两种方法 2.角的和差倍分 3.角平分线 4.角度的四则运算 5.余角与补角 6.高频易错点汇总 7.速记对照表 常考题型精讲精练 1.角的比较 2.三角板中角度计算问题 3.几何图形中角度计算问题 4.角度的四则运算 5.实际问题中角度计算问题 6.角平分线的有关计算 7.角n等分线的有关计算 8.求一个角的余角 9.求一个角的补角 10.与余角.补角有关的计算 11.同等角的余补角相等的应用 强化题型 解答题6题 知识点01：比较角大小的两种方法 方法 1：度量法（用量角器） （1）操作步骤： ①量角器中心与角顶点重合； ②0° 刻度线与角一条边重合； ③读取另一条边对应刻度，得到角度； （2）大小判定：度数越大，角越大。 方法 2：叠合法（图形重合对比） 操作步骤： ① 两个角顶点重合； ② 一条边完全重合； ③ 观察另一条边位置： 另一边在内部：角更小； 另一边重合：两角相等； 另一边在外部：角更大。 将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点 O 与 O′重合，再让一条边 OB 与 O′D 重合，使另一条边 OA 和 O′C 落在 OB（或 O′D）的同侧。 对比方法 优点 适用场景 度量法 能读出具体度数，精准比较 需要计算、求角度和差 叠合法 纯图形直观，无需工具 单纯判断大小、画图比较 知识点02：角的和、差、倍、分 1.角的和：在一个角外部叠合另一个角，总角度 = 两角度数相加 若 ∠AOB=∠AOC+∠ BOC，则OC在 ∠AOB内部。 2.角的差：大角内部包含小角，剩余角 = 大角−小角 若 ∠AOC=∠AOB- ∠BOC。 3.角的倍分：一个角是另一个角的 2 倍 / 3 倍， 记作∠AOB=2∠BOC 知识点03：角平分线（本节核心概念） 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 2.几何符号语言 若射线OC平分 ∠AOB， 则： ∠AOC= ∠BOC=∠AOB，∠AOB=2 ∠AOC=2 ∠BOC 3.拓展：角三等分线、四等分线，将角平均分成 3 份、4 份。 知识点04：角度的四则运算（60 进制，度分秒换算） 换算规则：1=60'，1'=60'' 1. 加法运算（满 60 进 1） 例：3218'+2545'=5763'=583' 分相加≥60，向度进 1。 2. 减法运算（不够减借 1 当 60） 例：7010'-2630'=6970'-2630'=4340' 分不够减，从度借 1 化为 60 分。 3. 乘法运算（分别相乘，满 60 进位） 例：1520'3=4560'=46 4. 除法运算（逐级拆分，余数转下级单位） 例：504=4820'4=1230' 知识点05：余角与补角 一、余角、补角定义表格 名称 定义 数量关系式 范围要求 余角（互余） 两个角的和等于90（直角） 若∠+∠=90，则、互余 两个角都为锐角，均小于90 补角（互补） 两个角的和等于180（平角） 若∠+∠=，则、互补 一个锐角 + 一个钝角，或两个直角 关键文字辨析 1.“互余、互补” 是两个角之间的关系，单独一个角不能说余角 / 补角； 2.只看度数和，与两角摆放位置无关（不需要相邻、无公共顶点）。 二、同一个角的余角、补角计算 设一个锐角为∠ 它的余角：90- 它的补角：- 重要推论：同一个角的补角 − 余角 =90 推导：(-)-(90-)=90 例题：已知∠=3520'，求余角和补角 余角：90-3520'=5440' 补角：180-3520'=14440' 三、余角、补角两大性质（考试必考证明依据） 性质 1：同角（等角）的余角相等 性质 2：同角（等角）的补角相等 知识点06：高频易错清单 1.钝角、直角错误求余角（钝角 > 90°，不存在余角）； 2.混淆互余90°、互补180°； 3.认为两角必须挨在一起才互余 / 互补； 4.使用性质证明时，漏掉 “同角 / 等角” 条件； 5.计算补角、余角时分度秒减法忘记借位。 知识点 07 两节综合速记对照表 核心概念 核心公式/性质 关键限制 角比较 度量法、叠合法 叠合需顶点、一边重合 角平分线 ∠AOC= ∠BOC=∠AOB 射线在角内部 角度换算 1=60'，1'=60'' 加减乘除 60 进制进退位 互余 ∠+∠=90，同角余角相等 仅锐角有余角 互补 ∠+∠=，同角补角相等 任意小于 180° 的角都有补角 重要推论 同一角补角−余角=90 只适用于锐角 题型1.角的比较 【典例】如图所示的网格是正方形网格，点，，，，是网格线交点，则_____．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】题考查网格中角度的比较，掌握正方形网格的性质是解题的关键． 先连接小正方形对角线，根据小正方形的性质推出，直接比较即可求解． 【详解】解：如图，连接小正方形对角线， ∵、是小正方形的对角线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在由相同小正方形组成的网格中有和，估测与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法估测 【答案】A 【分析】本题考查角的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 将平移，使和的顶点重合，即可解答． 【详解】解：将平移，使和的顶点重合，如图， 可知比大，于是有． 故选A． 【跟踪专练2】如图所示，由正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么与的大小关系是__．（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【分析】如图：连接，则，又，即． 【详解】解：如图：连接， 由题意得：， ∵， ∴． 故答案为：＞． 【点睛】本题主要考查了角的大小比较，根据方格作出是解答本题的关键． 【跟踪专练3】如图，利用一副三角板比较与的大小，两角顶点均与三角板某一顶点重合．已知图中射线经过角的一边，图中射线经过角的一边，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了角的大小比较，解题的关键是结合图形，利用已知角作为中间量． 根据两个图得到角在内，角在外，即可比较大小． 【详解】解：由图1可知：角在内，即， 由图2可知：角在外，即 ∴， ∴， 故选A． 题型2.三角板中角度计算问题 【典例】如图所示，将一副三角板叠放在一起，使它们的直角顶点重合于点，已知，则的度数是________． 【答案】/度 【分析】先理解题意得，再运算出，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵， ∴， 则． 【跟踪专练1】将一副直角三角板如图摆放，角的顶点与角的顶点重合，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据求出，再根据求解即可． 【详解】解：，， ， ， ． 【跟踪专练2】将一副直角三角板如图放置，若，则的大小为________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了角的和差计算，熟练掌握直角三角板的角度特征及角的和差关系是解题的关键．利用直角三角板的直角性质，通过角的和差关系，先求出，再求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】一把直尺和一块三角板（含 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角板的角度计算和角的和差即可解答. 【详解】解：在 中，，，， ∵，， ∴． 题型3.几何图形中角度计算问题 【典例】如图，，，，则__________ 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练1】如图，三条直线相交于点O．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴． 【跟踪专练2】汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代科学的重要文献，书中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律，探清井底情况的方法，如图是一口深井的平面示意图，，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面（即）射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角__________． 【答案】/度 【分析】利用角的和差进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【跟踪专练3】自行车尾灯采用特殊的反射棱镜，能将光线反射回去，提高夜间骑行安全．已知光的反射现象中反射角等于入射角，其简化光路图如图所示，表示自行车尾灯的一个反射平面，为法线，且，已知，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，再根据，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵，即， ∴， 解得， ∴． 题型4.角度的四则运算 【典例】，，则___________. 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 【跟踪专练1】【新情境】如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日郑州市正午太阳光线与水平面的夹角为，若光能利用率最高，则集热板与水平面的夹角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用．解题的关键是理解题意，集热板与太阳光线垂直时，集热板与水平面的夹角和太阳光线与水平面的夹角互余，即，按互余关系计算即可． 【详解】解：集热板与太阳光线垂直， 集热板与水平面的夹角和太阳光线与水平面的夹角互余， 即, ， 故选：D 【跟踪专练2】计算： （1）___________； （2）___________． 【答案】 【分析】本题考查角度的四则运算，根据，进行计算即可． （1）先将度分秒分别相加，分、秒满60向前进1即可； （2）先计算乘除，再计算加法，分、秒满60向前进1． 【详解】（1）． （2）． 故答案为：；． 【跟踪专练3】已知，以为端点作射线，使，则的度数为（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】分两种情况，射线在内部或外部，分别讨论即可． 【详解】解：当射线在内部时，   ； 当射线在外部时，   ． 的度数为或． 故选：C． 【点睛】本题考查角的计算，关键是分两种情况讨论． 题型5.实际问题中角度计算问题 【典例】如图所示，若入射光线与平面镜成夹角，且入射光线与反射光线与平面镜所成的角度相等，则入射光线与反射光线的夹角的度数为______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了角的和差，将物理情景转化为数学问题成为解题的关键． 如图：由题意可得，然后根据平角的定义列式计算即可． 【详解】解：∵, ∴，即入射光线与反射光线的夹角的度数为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，光从真空射入某种介质，入射角为，折射角为，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知：． 【跟踪专练2】如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是______． 【答案】或 【分析】本题考查平移的性质，分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【详解】解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 当点在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处，则∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据方位角以及平行线的性质可得∠2=∠3=、∠1=，则∠ABE＝∠1+∠2，最后计算即可． 【详解】解：如图： ∵小明从A处沿南偏西方向行走至点B处，又从点B处沿北偏西方向行走至点E处 ∴∠2=∠3=，∠1= ∴∠ABE＝∠1+∠2=138°． 故答案为D． 【点睛】本题主要考查了方位角和角的运用，正确认识方位角成为解答本题的关键． 题型6.角平分线的有关计算 【典例】如图，直线，相交于，平分，，则与的夹角是______度． 【答案】 70 【分析】根据角平分线的定义，求出的度数即可. 【详解】解：∵直线，相交于，平分，， ∴， 故与的夹角是. 【跟踪专练1】如图，点在直线上，平分．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平角的定义结合角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵点在直线上，， ∴， ∵平分， ∴． 【跟踪专练2】如图，点是直线上一点，．平分，于点，则________度． 【答案】 【详解】解：点是直线上一点，， ． 平分， ． ， ． 【跟踪专练3】如图，是的平分线，在内部．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据角平分线的定义，角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 故选D． 题型7.角n等分线的有关计算 【典例】，射线是它的二等分线，射线是的二等分线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角n等分线的有关计算． 将平分，可得，将平分，即可得． 【详解】解：∵，射线是它的二等分线， ∴， ∵射线是的二等分线， ∴． ∴的度数为． 故选：B． 【跟踪专练1】，射线是它的三等分线，则________． 【答案】 【分析】本题考查角等分线的有关计算．根据射线是它的三等分线，将角均分为三份，根据图形可得是其中的一份，即可求解． 【详解】解：∵，射线是它的三等分线， ∴ 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，射线OB、OC为锐角∠AOD的三等分线，若图中所有锐角度数之和为200°，则∠AOD的度数为 _____． 【答案】60°/60度 【分析】设∠AOB＝∠BOC＝∠COD的度数为x，由∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠AOC＋∠AOD＋∠BOD＝200°求出x，进而求解． 【详解】解：∵OB、OC为锐角∠AOD的三等分线， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD， 设∠AOB＝∠BOC＝∠COD的度数为x， ∴∠AOB＋∠BOC＋∠COD＋∠AOC＋∠AOD＋∠BOD＝x＋x＋x＋2x＋3x＋2x＝10x＝200°， ∴x＝20°， ∴∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝3x＝60°， 故答案为：60°． 【点睛】本题考查角的计算，解题关键是根据图象列出所有锐角和为200°． 【跟踪专练3】定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（    ） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【分析】分四种情况，分别计算，即可求解． 【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线， 则，， ； 综上，为或或， 故选：C． 【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键． 题型8.求一个角的余角 【典例】．一个角的补角是，则这个角的余角为 ___________． 【答案】/35度 【分析】先根据补角定义求出原角的度数，再根据余角定义计算余角的度数. 【详解】解：∵ 互为补角的两个角的和为，这个角的补角是， ∴ 这个角的度数为 ， ∵ 互为余角的两个角的和为， ∴ 这个角的余角为 . 【跟踪专练1】如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集热板与太阳光线垂直的条件，得出与互余，再代入，计算出． 【详解】解：根据题意可知，， ， ． 故选：B． 【跟踪专练2】一个角的补角是，则这个角的余角的度数是________． 【答案】 【分析】根据补角定义求出原角的度数，再根据余角定义计算余角，注意度分的进率为，借位计算时1度换算为60分． 【详解】解：∵ 已知这个角的补角是，互补两角的和为， ∴ 这个角的度数为 ， ∵ 互余两角的和为， ∴ 这个角的余角的度数为 ． 【跟踪专练3】如图，已知点是直线上一点，，，则图中互余的角共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】本题考查了余角的和等于的性质，根据余角的和等于，结合图形找出和等于的两个角，然后计算对数即可，找出和等于的两个角是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∵，， ∴互余的角有：和，和，和，和，共对， 故选：D． 题型9.求一个角的补角 【典例】一个角的度数是，则它的补角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵若两个角互补，则两角的度数和为， 已知该角的度数为， ∴它的补角度数为． 【跟踪专练1】已知一个角的补角为，则这个角的度数是_________． 【答案】 【分析】根据补角的定义，互为补角的两个角的和为，因此用减去已知的补角度数即可求出这个角的度数． 【详解】解：这个角的度数是 ． 【跟踪专练2】若， 则的补角为_______． 【答案】 【分析】本题考查了求一个角的补角，熟练掌握补角的定义是解题关键．根据补角的定义“和为的两个角互为补角”求解即可得． 【详解】解：∵， ∴的补角为， 故答案为：． 【跟踪专练3】若，则补角的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了补角的定义以及角的度分秒换算，正确理解补角的定义是解题的关键．根据补角的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴的补角． 故选：D． 题型10.与余角.补角有关的计算 【典例】若一个角的余角为，则这个角的补角度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互为余角的两个角的和等于求出这个角，再根据互为补角的两个角的和等于列式计算即可得解． 【详解】解：一个角的余角是， 这个角是， 这个角的补角为． 【跟踪专练1】如图，点O在直线上，，若，则的补角的度数为__________． 【答案】 【分析】先根据垂直定义求出，再根据补角定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴的补角是． 【跟踪专练2】如图，射线、、、、分别对应量角器上外圈的，，，， 刻度，则关于与的关系可表述为____________． 【答案】互余 【分析】由题意可知，，，再求出可得与互余． 【详解】由题意可知：，，， ∴， ∴，即与互余． 【跟踪专练3】如图，O是直线上一点，，平分，则图中与互余的角有________个． 【答案】3 【分析】相加等于90度的两个角互余． 【详解】， ， ， 平分， ， ， ， ， 与互余的角有、、共3个． 题型11.同等角的余补角相等的应用 【典例】若，，则，理由是________ 【答案】同角的补角相等 【分析】和都与同一个角互补，根据补角的性质即可推出结论． 【详解】解：，， （同角的补角相等）． 故答案为：同角的补角相等 【跟踪专练1】课堂上探究“对顶角相等”时，进行了如图所示的说理过程，其所要填写的依据为（    ） 已知与是对顶角，那么. 理由：因为与互补，与互补，所以.（依据：___________） A．平角的定义 B．同角的补角相等 C．等角的补角相等 D．同位角相等 【答案】B 【分析】根据已知与互补，与互补，结合补角定义，判断与、与分别互为补角(和是对顶角)；再逐一分析选项，排除与平角定义、等角的补角相等、同位角性质无关的选项，锁定符合补角性质的答案． 【详解】解：A、平角的定义是“始边与终边在同一直线且方向相反的角为”，本题是通过两个角与的和为推导角相等，并非直接应用平角定义，此选项不符合题意； B、同角的补角相等是“若两个角均为同一个角的补角(和为)，则这两个角相等”，本题中与互补，与互补，即和都是的补角，完全符合该性质，此选项符合题意； C、等角的补角相等是“若两个角均为相等角的补角(和为)，则这两个角相等”，本题中与互补，与互补，即和都是的补角，属于同角，不属于等角，此选项不符合题意； D、同位角相等需满足“两直线平行被第三条直线所截”的条件，本题未涉及平行线与同位角，此选项不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在中，，，垂足为D，则的余角是______和______，______，理由是______． 【答案】 同角的余角相等 【分析】由，得到，进而得到，的余角是，由，得到，的余角是，根据“同角的余角相等”得到， 本题考查了，垂直的定义，同角的余角相等，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的余角是， ∵， ∴， ∴的余角是， ∴（同角的余角相等）． 【跟踪专练3】如图，将一副三角尺按不同位置摆放，摆放方式中的图形有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角尺的角度特征、余角与补角的性质，解题的关键是结合三角尺的固定角度，利用角度和差关系判断与的大小． 对每个图形依次分析：第一个图形通过平角与直角的角度和差计算，与比较；第二个图形利用同角的余角相等判断；第三个图形通过补角计算两角大小；第四个图形直接根据三角尺角度及互补关系判断． 【详解】解：第一个图形： ． 第二个图形：，， （同角的余角相等）． 第三个图形： ，， ． 第四个图形：，， ． ． 综上，满足的图形有3个． 故选：C． 解答题 1．度、分、秒的计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：； （4）解： ． 2．如图为直线上一点，，平分，． (1)的余角有___________（填图中已有的角）； (2)试判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)平分，理由见详解． 【分析】（1）先根据角平分线定义求出和的度数，再结合平角与的度数计算出的度数，最后根据余角的定义找出与和为的角； （2）通过计算和的度数，判断二者是否相等，若相等则可证明平分． 【详解】（1）解：平分，， ． ， ． ， 的余角为，． （2）解：平分，理由如下： ， 由（1）知，且， ， 平分． 3．如图，直线、相交于点，平分，，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了余角和补角有关的计算，角平分线的有关计算. （1）根据余角的定义求出即可； （2）根据补角的定义求出，再根据角平分线的定义即可求出． 【详解】（1）解：∵直线、相交于点O，，， ∴； （2）解：∵ ∴， ∵平分， ∴． 4．如图，一副直角三角板的两个直角顶点重合在一起． (1)若，则________； (2)求的度数； (3)比较与的大小，并写出理由． 【答案】(1)40 (2) (3)，理由如下： ∵， ∴， ． 【分析】（1）利用角的和差求解即可； （2）由等量代换求解即可； （3）由求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）略． 5．如图，在长方形的台球桌面上，． (1)如果，那么等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答． 【答案】(1)度 (2)如图，在长方形的台球桌面上，，如果，那么等于多少度？ 解：∵， ∴， ∴， 答等于度． 【分析】根据题目所给的求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 答等于度． （2）略 6．通过本学期的学习，我们已经知道“如果从角的顶点出发的一条射线把这个角分成两个相等角，那么这条射线叫做这个角的平分线”．类似，我们规定：“如果从角的顶点出发的两条射线把这个角分成三个相等角，那么这两条射线都称为这个角的三等分线”．例如：如图，射线，在内，且，那么是的三等分线，也是的三等分线． (1)如图，，，判断是否是的三等分线，并说明理由． (2)在（）的条件下，若是的三等分线，求的度数． (3)在（）的条件下，如图，射线从出发，以每秒的速度绕点逆时针旋转，到达后停止．在射线出发秒后，射线从出发，以每秒的速度绕点顺时针旋转，到达后立即绕逆时针旋转，速度不变，到达后停止运动．当从出发时，开始计时，设时间为秒．当为的三等分线时，直接写出的值． 【答案】(1)是的三等分线，理由见解析； (2)的度数为或； (3)的值为或或或． 【分析】本题考查了角度和差，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）先求出，再根据“三等分线”即可求解； （）由（）得，，然后分当，当两种情况求解即可； （）依题意得，，当未到达时，则，分当时，当时，当从转向且未达到时，则，再分当时，当时，当从转向且已达到时，此时，再分当时，当时，分别列出方程即可求解． 【详解】（1）解：是的三等分线，理由如下， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的三等分线； （2）解：由（）得，， 如图，当， ∴； 如图，当， ∴； 综上可得：的度数为或； （3）解：依题意得，， ∴， 当未到达时，即，则， 当时，即， ∴，解得：； 当时，即， ∴，解得：； 当从转向且未达到时，即，则， 当时，即， ∴，解得：（舍去）； 当时，即， ∴，解得：； 当从转向且已达到时，即，则，此时， 当时，即， ∴，解得； 当时，即， ∴，解得（舍去）； 综上可得：的值为或或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $