第三十三讲：余角和补角（暑期预习衔接讲义）（知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年七年级数学上册（人教版2024）

【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学上册 第三十三讲：余角和补角 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：余角 定义总结：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角. 几何语言： 知识点02：补角 补角的定义：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角. 几何语言： 知识点03：余角与补角的性质 补角的性质：同角（等角）的补角相等. 余角的性质：同角（等角）的余角相等. 知识点03：知识总结 考点1：求一个角的余角 【典型例题】 已知和互余，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 若，则的余角的大小是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，，则的余角是（   ） A． B． C． D． 考点2：求一个角的补角 【典型例题】 若，则的补角为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 若，则的补角为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 已知，则它的补角的度数是（    ） A． B． C． D． 考点3：余角、补角的计算 【典型例题】 已知与互余，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，如果，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，已知，，点B，O，D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 考点4：余角与补角的性质的应用 【典型例题】 如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】 如图，若，则有，其依据是（   ） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．互为余角的两个角相等 D．互为余角的两个角的和为90° 一、单选题 1．下列四个图形中，和互为余角的是（    ） A． B． C． D． 2．一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，射线的端点O在直线上，，射线在内部，与互余，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，若，，则的理由为（    ） A．同角的余角相等 B．对顶角相等 C．角平分线定义 D．同角的补角相等 5．如果一个角的补角是，则这个角的余角的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 7．若一个角的补角是，则这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 8．因为，，所以与之间的关系是（    ） A． B． C． D．不确定 二、填空题 9．已知一个角的度数为，则这个角的补角的度数是 10．若一个角的度数和这个角的余角度数相等，则这个角为 ． 11．已知与互余，与互补，若，则 ． 12．如果一个角的补角是它的余角的3倍，那么这个角的度数是 ． 13．已知一个角的余角比它的补角的还多，则这个角的度数是 ． 14．如果，那么的余角等于 ；的补角为 ． 15．如图，直线，相交于点，与互余，且，则 ． 16．一个角的补角与它的余角的度数之比是，则这个角的度数是 ． 17．一个角的补角等于这个角的余角的，则这个角为 度． 18．两个角，它们的比是，其差为，则这两个角的关系是 ． 三、解答题 19．已知一个角的余角的4倍与这个角的补角的和是，求这个角的度数． 20．如图，直线，相交于点，和互余，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 21．如图，点A在直线上，过A作射线和，，是的角平分线，已知． 求： (1)的度数； (2)的度数． 22．如图，已知． (1)若，分别求的度数； (2)请思考：与互为补角吗？说明理由． 23．如图，点是直线上的一点，是任意一条射线，平分，平分． (1)图中的补角为　　． (2)若，求的度数． (3)与存在怎样的数量关系？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【暑期预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学上册 第三十三讲：余角和补角 （知识总结梳理+4大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：余角 定义总结：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中每一个角是另一个角的余角. 几何语言： 知识点02：补角 补角的定义：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角. 几何语言： 知识点03：余角与补角的性质 补角的性质：同角（等角）的补角相等. 余角的性质：同角（等角）的余角相等. 知识点03：知识总结 考点1：求一个角的余角 【典型例题】 已知和互余，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了余角的性质．根据余角的性质直接解答． 【详解】∵和互余，， ∴． 故选：B． 【变式训练1】 若，则的余角的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查余角，根据余角的定义，若两个角的和为，则这两个角互为余角求解即可． 【详解】解：根据题意得，的余角的大小为， 故选：A． 【变式训练2】 如图，，则的余角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了余角的定义，根据和为的两个角互为余角，解题的关键是熟练掌握余角的定义． 【详解】解：∵， ∴， ∴的余角是． 故选：D． 考点2：求一个角的补角 【典型例题】 若，则的补角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了补角的意义，如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，根据补角的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的补角为． 故选C． 【变式训练1】 若，则的补角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了补角的概念及计算，掌握补角的概念和计算方法是关键． 补角是指如果两个角的和是，那么这两个角叫互为补角，由此即可求解． 【详解】解：若，则的补角， 故选：D ． 【变式训练2】 已知，则它的补角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是补角的含义，角度的四则运算，掌握“补角的含义以及角的60进位制”是解本题的关键．利用补角的含义结合角度的减法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴的补角为． 故选：A． 考点3：余角、补角的计算 【典型例题】 已知与互余，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查余角，根据互余的定义，若两个角的和为，则这两个角互余，由此可解． 【详解】解：∵与互余，且， ． 故选A． 【变式训练1】 将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，如果，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余角性质，得，结合，解答即可． 本题考查了余角的性质，直角定义，角的和，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ， 故选：D． 【变式训练2】 如图，已知，，点B，O，D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求余角和邻补角，先求得的余角，再根据邻补角定义可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 考点4：余角与补角的性质的应用 【典型例题】 如图，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同角的余角，根据同角的余角相等，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选A． 【变式训练1】 如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的余角相等，熟知同角的余角相等是解题的关键．由，利用同角的余角相等可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练2】 如图，若，则有，其依据是（   ） A．同角的余角相等 B．同角的补角相等 C．互为余角的两个角相等 D．互为余角的两个角的和为90° 【答案】A 【分析】本题考查的是余角的概念和性质，熟知同角的余角相等是解题关键． 根据余角的概念证明，即可得到答案． 【详解】解：， ， 既是的余角，又是的余角， ，其依据是同角的余角相等， 故选A． 一、单选题 1．下列四个图形中，和互为余角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了余角的定义以及对顶角、邻补角、平行线相关角的性质，解题的关键是理解余角概念（若两角和为，则这两个角互余），并据此分析各选项． 分别分析每个选项中与的数量关系，判断是否和为． 【详解】A、和是对顶角，对顶角相等，不是互为余角，该项错误； B、和是邻补角，邻补角的和为，不是互为余角，该项错误； C、和的和为，根据余角的定义可知它们互为余角，该项正确； D、和没有直接的数量关系，不是互为余角，该项错误． 故选：C． 2．一个角的补角是这个角的余角的3倍，则这个角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余、补角的定义，解一元一次方程． 设这个角的度数为，根据补角和余角的定义，补角为，余角为．根据题意，补角是余角的3倍，建立方程求解． 【详解】设这个角的度数为，则其补角为，余角为． 根据题意，补角是余角的3倍，列方程： 解得 故选：B． 3．如图，射线的端点O在直线上，，射线在内部，与互余，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了余角的定义，平角的定义，度数之和为90度的两个角互余，据此可得，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∴， 故选：D． 4．如图，若，，则的理由为（    ） A．同角的余角相等 B．对顶角相等 C．角平分线定义 D．同角的补角相等 【答案】A 【分析】本题考查了余角的性质，掌握同角的余角相等是解题的关键． 根据同角的余角相等即可求解． 【详解】∵，， ∴ ∴ ∴， ∴的理由为同角的余角相等． 故选：A． 5．如果一个角的补角是，则这个角的余角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了补角与余角的有关计算，先根据补角的定义求出原角的度数，再利用余角的定义计算其余角度数． 【详解】解：设这个角为，其补角为， 根据补角定义：， 解得． 这个角的余角为． 因此，这个角的余角度数是， 故选：B． 6．如图，将一副三角板的直角顶点重合摆放在桌面上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同角的余角相等，利用该性质可得，熟知同角的余角相等是解题的关键． 【详解】解：， ， ． 故选：C． 7．若一个角的补角是，则这个角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求一个角的补角；根据和为的两个互为补角即可求解． 【详解】解：， 即这个角为； 故选：D． 8．因为，，所以与之间的关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查同角的补角，根据同角的补角相等，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴； 故选A． 二、填空题 9．已知一个角的度数为，则这个角的补角的度数是 【答案】/145度 【分析】此题考查了补角的定义．根据补角的定义即可求解． 【详解】解：一个角的度数是， 这个角的补角的度数是：； 故答案为：． 10．若一个角的度数和这个角的余角度数相等，则这个角为 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了余角的定义和一元一次方程的求解，准确计算是解题的关键． 设这个角为x，根据余角的定义表示出这个角的余角，列方程计算即可． 【详解】设这个角为x，则余角为 ∴ ∴ 故答案是：45． 11．已知与互余，与互补，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个角的余角和求一个角的补角. 先根据余角的定义求出，再根据补角的定义求出即可． 【详解】解：∵，与互余， ∴， ∵与互补， ∴， 故答案为：． 12．如果一个角的补角是它的余角的3倍，那么这个角的度数是 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查余角和补角的知识，一元一次方程的应用，设出未知数是解决本题的关键．设这个角的度数为x，“利用一个角的补角是它的余角的度数的3倍”作为相等关系列方程求解即可得出结果． 【详解】设这个角的度数为x， 根据题意得，， 解得． 故答案为：． 13．已知一个角的余角比它的补角的还多，则这个角的度数是 ． 【答案】/47度 【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，一元一次方程的应用，设这个角的度数为x，则这个角的补角的度数为，余角的度数为，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为x， 由题意得，， 解得， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 14．如果，那么的余角等于 ；的补角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两角互余及互补的定义．利用两角互余及互补的定义，进行计算，即可求解． 【详解】解：， 的余角为：，的补角为：， 故答案为：，． 15．如图，直线，相交于点，与互余，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，余角的定义，根据度数之和为90度的两个角互余得到，再由已知条件得到，则，据此利用平角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．一个角的补角与它的余角的度数之比是，则这个角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与余角和补角有关的计算，设这个角的度数为x，则这个角的余角度数为，补角度数为，根据题意列出等式，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个角的度数为x，则这个角的余角度数为，补角度数为， 由题意得，， 解得， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 17．一个角的补角等于这个角的余角的，则这个角为 度． 【答案】18 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，与补角、余角有关的计算，先设这个角为度，根据题意列式，再解得，即可作答． 【详解】解：设这个角为度， ∵一个角的补角等于这个角的余角的， ∴ 解得， 故答案为： 18．两个角，它们的比是，其差为，则这两个角的关系是 ． 【答案】互补 【分析】本题考查角的计算，根据有两个角，它们的度数比是，其度数差为，可以求得这两个角的度数，从而可以求得它们的关系．解题的关键是根据题目设两个角的度数，然后列出等量关系． 【详解】解：有两个角，它们的度数比是，其度数差为， 设这两个角分别为、， ， 解得， ，， ． 即这两个角的关系是互补． 故答案为：互补． 三、解答题 19．已知一个角的余角的4倍与这个角的补角的和是，求这个角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了余角，补角，一元一次方程的应用，熟练掌握定义，找出等量关系列出方程是解题的关键．设这个角的度数为，根据这个角的余角的4倍与这个角的补角的和是，列方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数的度数为， 根据题意，得， 解得． 这个角的度数为． 20．如图，直线，相交于点，和互余，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了余角和补角，角的计算，垂直的定义及一元一次方程的应用，关键是掌握余角定义，理清图形中角的关系． （1）根据余角的定义可得，由，得到，再根据平角的定义即可求出； （2）设，则，结合可求解x值，进而可求解的度数． 【详解】（1）解：∵和互余， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 21．如图，点A在直线上，过A作射线和，，是的角平分线，已知． 求： (1)的度数； (2)的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，角平分线的有关计算，补角的有关计算． （1）利用补角的定义求出，再根据角平分线的定义得出，再根据补角的定义即可求出． （2）根据求出，根据角的和差关系求出，最后再根据角的和差关系即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ 22．如图，已知． (1)若，分别求的度数； (2)请思考：与互为补角吗？说明理由． 【答案】(1)， (2)互为补角，理由见解析 【分析】本题考考查了角度的几何计算，互补的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）由，即可求解； （2）设，根据，分别表示出，再由计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∴； （2）解：与互为补角． 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与互为补角． 23．如图，点是直线上的一点，是任意一条射线，平分，平分． (1)图中的补角为　　． (2)若，求的度数． (3)与存在怎样的数量关系？ 【答案】(1) (2) (3)与互余 【分析】本题考查了余角和补角的概念，角度的计算，以及角平分线的定义，准确识图并熟记概念是解题的关键． （1）根据互为补角的和等于找出即可； （2）先求出的度数，再根据角平分线的定义解答； （3）根据角平分线的定义表示出与，然后整理即可得解． 【详解】（1）解：的补角为 故答案为： （2）解：， ， 平分， ； （3）解：与互余或， 证明：， ， 与互余． 学科网（北京）股份有限公司 $$