专题14角暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题14角暑假预习讲义 1. 理解定义：掌握角静态、动态两种定义，认清角的顶点与两条边；区分锐角、直角、钝角、平角、周角五类角。 2. 规范表示：熟练运用三种角的表示方法，根据图形点的数量合理选用字母、数字、希腊字母标注角。 3. 单位换算：牢记度、分、秒60进制进率，可完成度与度分秒双向换算、简单角度加减运算。 4. 度量作图：学会量角器量角、绘制指定度数角，规避量角器内外圈刻度看错的失误。 5. 认知方位角：看懂方位角表述（北偏东、南偏西等），能依据方位角确定物体相对位置。 6. 钟面角初探：了解时针、分针转动角度规律，会简单计算钟表指针夹角。 7. 规避易错：多条射线共顶点时角的表示不混淆、换算切勿误用十进制、平角周角与直线射线概念区分开。 8. 几何素养：建立角度量化思维，为后续余角补角、相交线角度计算筑牢基础 预习必备 知识梳理 1.角的定义 2.角的表示方法 3.角的度量与换算 4.特殊角的度数 5.角的计数方法 6.比较角的大小 7.高频易错点汇总 8.核心公式与概念速记 常考题型 精讲精练 1.角的概念理解 2.角的表示方法 3.角的分类 4.画特殊角 5.钟面角 6.方向角的表示 7.与方向角有关的计算题 8.角的单位与角度制 9.角的度数大小比较 强化题型 解答题11题 知识点 01 角的两种定义 定义 1（静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形） （1）组成要素：一个顶点，两条射线（角的两条边）； （2）关键要求：两条射线必须有公共端点，两条射线不能重合； （3）图形解读：公共端点叫顶点，两条射线分别是角的始边、终边。 定义 2（动态定义：射线绕端点旋转形成的图形） （1）旋转起点射线：始边； （2）旋转终点射线：终边； （3）旋转中心：顶点； （4）特殊旋转结果拓展（为本节后续平角、周角铺垫）： 旋转半周，始边终边成一条直线 → 平角； 旋转一周，始边终边重合 → 周角。 辨析表格：判断是否为角 图形描述 是否为角 理由 两条无公共端点的射线 不是 缺少公共顶点 两条相交线段 不是 角的边必须是射线（可无限延长） 有公共端点的两条射线 是 满足角静态定义 一条射线 不是 只有一条边 知识点02：角的表示方法（规范无错误，考试必考点） 知识点 03 角的度量单位与换算 1. 三级单位：度（）、分（'）、秒（''） 进率为 60，六十进制（时间时分秒换算规则一致） 1=60'，1'=60'' 衍生换算：1=3600'' 2. 两类换算题型 题型 1：度化成度分秒（大化小，乘 60） 题型 2：度分秒化成度（小化大，除以 60） 单位换算易错点 （1）进制是 60，不是 10、100，禁止十进制换算； （2）拆分小数度时，只把小数部分乘 60，整数部分直接保留度。 知识点 04 特殊角的度数（基础固定值，必须熟记） 特殊角名称 度数 图形特征 锐角 0<<90 开口小于直角 直角 =90 两边互相垂直，标直角符号 钝角 90<<180 开口大于直角、小于平角 平角 =180 始边终边成一条直线 周角 =360 射线旋转一周，两边完全重合 关键辨析 （1）平角≠直线：平角有顶点、两条边；直线无顶点，只是线； （2）周角≠射线：周角有旋转过程，有始边终边；单条射线不是周角。 知识点 05 角的计数方法（考试选择填空高频） 通用计数规律：从一个顶点引出n条射线 单个小角数量：n-1 总角个数公式：(n-1)+(n-2)+...+2+1= 例题 从顶点O引出 4 条射线，总角数：=6个 计数步骤 （1）先数单独最小的角； （2）再数两个小角组合的大角； （3）依次累加，避免重复、漏数。 知识点06：比较角的大小 度量法：用量角器量出度数，度数大的角更大。 叠合法（形的比较）： 将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点 O 与 O′重合，再让一条边 OB 与 O′D 重合，使另一条边 OA 和 O′C 落在 OB（或 O′D）的同侧。 知识点 07 本节全节高频易错清单 1.用单个字母表示顶点多个角，造成混淆； 2.三字母表示角时，顶点字母没放在中间； 3.度分秒换算误用十进制，忘记 60 进制； 4.概念混淆：平角当成直线、周角当成射线； 5.判断角时，把线段组成的图形判定为角（角的边是射线）； 6.区分钝角范围，误认为90<<360； 7.计数角时重复数、漏数，不会用公式快速计算。 知识点 08 本节核心公式 & 概念速记表 核心内容 关键要点 角静态定义 公共端点 + 两条射线 角动态定义 射线绕端点旋转 角度换算 1=60'，1'=60''，六十进制 角四种表示 三字母（通用）、单字母（唯一角）、数字、希腊字母 特殊角范围 锐角090；直角90；钝角90180\)；平角180；周角360 n条射线总角数 题型1.角的概念理解 【典例】如图所示，共有（    ）个角 A．8 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】解：图中的角有，，，，，，，，，，，共11个角． 【跟踪专练1】用一个7倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】角的大小仅由两边张开的程度决定，放大镜仅放大图形的边长，不改变角两边的张开程度，因此角的度数不变． 【详解】解：∵角的大小只与角的两边张开的程度有关，与边的长度无关，放大镜只改变角两边的长度，不改变两边张开程度， ∴用7倍放大镜看的角，看到的角的度数仍为． 【跟踪专练2】如图，在的内部从O引出3条射线，那么图中共有10个角；如果引出10条射线，有_______个角； 【答案】66 【分析】首先数出引出3条射线或4条或5条射线时，一共有多少个角，再找出规律，求出答案． 【详解】解：在的内部从O引出3条射线，图中共有角的个数：， 如果引出4条射线，则图中共有角的个数：； 如果引出5条射线，则图中共有角的个数：； 如果引出n条射线，则图中共有角的个数：， ∴如果引出10条射线，有个角． 【跟踪专练3】下列关于角的说法正确的是（     ） A．角是由两条射线组成的图形 B．在角一边延长线上取一点 C．角的边越长，角越大 D．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 【答案】D 【分析】根据角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角的边没有长短之分，分别进行分析． 【详解】解：．角是由有公共端点的两条射线组成的图形，故错误； ．角的边是射线，不能延长，故错误； ．角的大小与开口大小有关，角的边是射线，没有长短之分，故错误； ．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，故正确． 【点睛】此题主要考查了角的概念，关键是掌握有公共端点的两条射线组成的图形叫做角． 题型2.角的表示方法 【典例】下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ 　   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、能用，表示，不能用表示，故选项不符合题意； B、能用，表示，不能用表示，故选项不符合题意； C、能用，，表示同一个角，故选项符合题意； D、和表示不同的角，故选项不符合题意． 【跟踪专练1】如图，下列四种说法：①与是同一个角；②也可用来表示；③图中共有三个角：，，；④与是同一个角．其中正确的是________（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了角的概念，准确计算是解题的关键． 直接利用角的概念以及角的表示方法，进而分别分析得出即可． 【详解】解：由图可得，与是同一个角；图中共有三个角：，，；与是同一个角；不可用来表示， ∴①③④正确， 故答案为：①③④． 【跟踪专练2】如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有___________个角． 【答案】 【分析】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律． 根据图形数出即可得出前三个的答案，根据结果得出规律． 【详解】解：在内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】根据角的表示方法和图形选出即可． 【详解】A、图中的∠MON不能用∠O表示，故本选项错误； B、图中的∠1和∠O不是表示同一个角，故本选项错误； C、图中的、、表示同一个角，故本选项正确； D、图中∠1、∠MON、∠O不表示同一个角，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了角的表示方法的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力． 题型3.角的分类 【典例】下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 【答案】B 【分析】本题考查钝角的概念，关键是掌握钝角是大于度小于度的角． 由钝角的概念，即可选择． 【详解】解：A、周角，不是钝角，不符合题意； B、平角，是钝角，符合题意； C、周角，不是钝角，不符合题意； D、平角，不是钝角，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】如图，小于平角的角共有________个． 【答案】14 【分析】此题考查的是数角，掌握平角的定义和角的数法是解决此题的关键． 根据题意，写出所有小于平角的角即可得出结论． 【详解】解：由于平角为， 小于平角的角有，，，，，，，，，，，，，，共14个， 故答案为：14． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（  ） A．整数可分为正整数和负整数 B．两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和 C．多项式的项是 D．平角是一条直线 【答案】B 【分析】本题考查整数的分类、绝对值性质、多项式项的定义以及平角的概念． 逐一判断各选项的正误即可． 【详解】解：整数包括正整数、负整数和零，选项A忽略零，A错误； 设两个负数，则，即，又，∴，∴B正确； 多项式的项是，C错误； 平角是由两条射线组成的角，度数为，不是一条直线，D错误； 故选：B． 【跟踪专练3】下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角的表示方法，平角、射线、周角的定义分析判断即可． 【详解】解：图1中，角的顶点为，应表示为； 图2表示正确； 图3，射线和周角是两个概念，射线不能表示周角； 图4表示正确． 所以表示正确的个数为2． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角的表示方法、平角、射线、周角等知识，理解并掌握相关知识是解题关键． 题型4.画特殊角 【典例】用一副三角板不能画出的角是（    ）． A．75° B．105° C．110° D．135° 【答案】C 【分析】105°=60°+45°，105°角可以用一副三角板中的60°角和45°角画；75°=45°+30°，75°角可以用一副三角板中的45°角和30°角画；135°=90°+45°，135°角可以用一副三角板中的直角和90°角或45°角画；110°角用一副三角板不能画出． 【详解】解：105°角可以用一副三角板中的60°角和45°角画； 75°角可以用一副三角板中的45°角和30°角画； 110°角用一副三角板不能画出； 135°角可以用一副三角板中的直角和90°角或45°角画。 故选：C． 【点睛】本题考查了利用一副三角板画出的特殊角，找出规律是解决此类题的最好方法，应让学生记住凡是能用一副三角板画出的角的度数都是15°的整数倍． 【跟踪专练1】已知（如图），用量角器求作一个角，使它等于已知角α． 【答案】见解析 【分析】本题考查用量角器作角．用量角器量出的度数，再作一射线，以点A为顶点，作，则即为所求． 【详解】解：如图，为所求． 【跟踪专练2】作图题：已知：∠α、∠β、   求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β 【答案】作图见解析 【分析】利用量角器作∠AOC=∠α，在∠AOC外以OC为边作∠COB=∠β，所以∠AOB=∠α+∠β，即为所求作的角． 【详解】如图所示：（1）作∠AOC=∠α， （2）在∠AOC外以OC为边作∠COB=∠β， 则∠AOB即为所求作的角． 【点睛】本题主要考查了用量角器作角，准确分析作图是解题的关键． 题型5.钟面角 【典例】实验中学每天中午12点30分“校园之声”节目如约而至，此时时针与分针所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用时针和分针的转动规律，分别计算二者转过的角度，再求夹角即可． 【详解】解：∵钟表一圈为，分针60分钟转一圈，时针12小时转一圈， ∴分针每分钟转，时针每小时转，即每分钟转， 12点30分时，分针从12点位置转过的角度为 ， 时针从12点位置转过的角度为 ， ∴时针与分针所成的角为． 【跟踪专练1】如图，当7时30分时，时钟上的时针与分针的夹角为 _______ ． 【答案】45 【分析】由时针一小时走一大格，那个半小时走半个大格，然后根据时钟上一大格是，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：． 【跟踪专练2】周末，小明在早晨7点至8点的某时刻开始晨练，8点至9点的某时刻结束晨练，结果发现晨练结束与开始时，他佩戴的指针式手表的时针与分针恰好交换了位置，则他共晨练______________分钟． 【答案】/ 【分析】先明确时针与分针的转速，再根据时针与分针交换位置得到角度和的等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：由钟表的性质可知，分针每分钟转动的角度为，时针每分钟转动的角度为， 设小明共晨练分钟， 由题意得时针与分针转过的总角度和为，则， 解得． 【跟踪专练3】2026年1月20日10时30分，钟表的时针与分针所成角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ 钟表一圈为，分针分钟转一圈， ∴ 分针每分钟转， ∵ 时针小时转一圈， ∴ 时针每分钟转， 10时30分，分针从12点位置转过的角度为， 时针从12点位置转过的角度为， ∴ 时针与分针的夹角为． 题型6.方向角的表示 【典例】如图，从一艘船上测得灯塔方向是北偏西，那么这艘船在这个灯塔的________方向． 【答案】南偏东 【详解】解：如图，由于船上测得一个灯塔的方向是北偏西， 那么这艘船在这个灯塔的南偏东． 【跟踪专练1】如图是三艘舰艇的位置示意图，其中，，若用方向和距离描述三艘舰艇的相对位置，以下描述正确的是（     ） A．舰艇A在舰艇C的正西方向处 B．舰艇C在舰艇A的正东方向处 C．舰艇B在舰艇C的北偏东方向处 D．舰艇C在舰艇B的南偏西方向处 【答案】C 【详解】解：A、舰艇在舰艇的正东方向处，则此项错误； B、舰艇在舰艇的正西方向处，则此项错误； C、舰艇在舰艇的北偏东方向处，则此项正确； D、舰艇在舰艇的南偏西方向处，则此项错误． 【跟踪专练2】如图，点表示西安莲湖公园的三个景点，射线表示北偏西的方向，，则射线表示的方向为___________． 【答案】北偏东 【分析】本题主要考查了方向角的表示，角的和差，解题的关键是掌握角的和差． 根据角的和差求出度数，然后利用方向角的表示方法进行表示即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴射线表示的方向为北偏东， 故答案为：北偏东． 【跟踪专练3】为了提高学生体质，2025年新学期国家出台了“中小学课间延长至15分钟，每天1节体育课”政策，孩子们有了更多时间进行体育锻炼．如图，有一次大课间，A、B两处均有学生在练跳绳，为了减少练跳绳时相互干扰，小红同学就拿着跳绳走到了的平分线上的C处，则C处相对观测点O的方向为（   ） A．东偏南 B．南偏东 C．东偏南 D．南偏东 【答案】B 【分析】本题考查了方位角与角的和与差，根据A、B两点的方位可知，根据点C在的平分线上，可知，因为．所以C处相对观测点O的方向为南偏东． 【详解】解：如图：，， ∴， 由条件可知， ∴， ∴C处相对观测点O的方向为南偏东． 故选：B． 题型7.与方向角有关的计算题 【典例】如图，点在点的北偏东，射线与所成的角是，则射线的方向是________． 【答案】南偏西 【分析】根据方向角的定义得到的度数，则可求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∴， ∴， ∴射线的方向是南偏西． 【跟踪专练1】如图，琪琪一家要到革命圣地西柏坡参观，下列说法正确的是（     ） A．西柏坡在家东偏北方向 B．西柏坡在家北偏东方向 C．家在西柏坡南偏西方向 D．家在西柏坡西偏南方向 【答案】C 【分析】根据方向角的定义（通常以正北或正南方向为基准）及图形中的角度关系，结合方位角的相对性进行判断即可； 【详解】解：由图可知，以“家”为观测点，视线与正东方向的夹角为， 视线与正北方向的夹角为， 西柏坡在家北偏东方向，故A 表述不规范，B 错误； 根据方位角的相对性，方向相反，角度不变， 家在西柏坡南偏西方向（或西偏南方向） C正确，D错误． 【跟踪专练2】如图，山东号航母在B处，测得黄岩岛A在北偏西方向，南昌舰C在西南方向，则的度数是__________． 【答案】105 【分析】由题意可得，，求出，即可得出结果． 【详解】解：如图： 由题意可得：，， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，B在C的北偏西方向，，则B在A的（    ） A．北偏西方向 B．南偏西方向 C．北偏东方向 D．南偏东方向 【答案】C 【分析】本题考查方位角，熟练掌握方位的逆推是解题的关键． 根据题意推得，A在B的南偏西方向，据此即可求解． 【详解】解：∵B在C的北偏西， ∴C在B的南偏东， ∵， ∴A在B的南偏西方向， ∴B在A的北偏东方向． 题型8.角的单位与角度制 【典例】一个角是，则可化为多少分（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵角度单位中， ∴． 【跟踪专练1】如图一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是________度．如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是_________度．（精确到分） 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，根据齿轮的齿数计算夹角即可． 【详解】解：15个齿的齿轮：； 22个齿的齿轮：． 【跟踪专练2】已知，，则______（填“>”，“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的换算．首先根据把化成，再比较和的大小即可． 【详解】解：，， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D．（精确到分） 【答案】D 【分析】本题考查角度运算，涉及度与分的加减乘除，需注意进位和借位规则（），以及除法中的精确计算． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、（精确到分），故此选项正确，符合题意． 故选：D． 题型9.角的度数大小比较 【典例】已知，，则与的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据度分秒的进率，统一单位后即可比较大小． 【详解】解：将换算为度分秒形式， ， ， 可得， 又，且， ． 【跟踪专练1】已知，请你比较大小：____________（填“或或”）． 【答案】 【分析】本题考查度分秒的换算、角的度数大小比较，熟练掌握度分秒的换算进率是解答的关键．根据度分秒的换算，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【跟踪专练2】已知∠α＝20′，∠β＝0.35°，则∠α_________∠β．（填“＞”，“＝”，或“＜”） 【答案】＜ 【分析】根据度分秒之间的换算，先把∠β的度数化成分的形式，再根据角的大小比较的法则进行比较，即可得出答案． 【详解】解：∵∠β＝0.35°=（0.35×60）'=21'． ∴∠α＜∠β， 故答案为：＜． 【点睛】此题考查了角的大小比较，掌握度分秒之间的换算法则是解本题的关键． 【跟踪专练3】若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（　　） A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C 【答案】D 【分析】先把∠C的度数化成度、分、秒，再进行比较，即可得到答案． 【详解】∵∠C＝30.25°＝30°+0.25° 0.25°＝0.25×60′＝15′， ∴∠C＝30°15′， ∵∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″， ∴∠A＞∠B＞∠C 故选：D． 【点睛】本题考查了度分秒的换算和角的大小比较，解题的关键是正确进行度分秒之间的换算，从而完成求解． 解答题 1．计算： (1)把化为度、分、秒的形式． (2)把化成度的形式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角度的换算，回忆度、分、秒之间的换算关系，解题时要熟练掌握它们之间的换算关系并灵活运用． （1）根据度、分、秒之间的换算关系换算即可； （2）根据度、分、秒之间的换算关系换算即可． 【详解】（1）解：根据得：， 根据得：， 所以； （2）因为，， 所以． 2．图中共有多少个角？请把它们分别表示出来． 【答案】20个，见详解 【分析】此题考查了角的定义，也考查了角的表示，以各顶点为切入点，把角表示出来即可． 【详解】解：图中共有20个角， 它们是∶，，， ，， ， ， ， ， ， ， ，，，，和两个平角及两个平角． 3．如图，正方形网格中有四个点A、B、C、D，它们都在网格线的交点上，请利用网格，只应用没有刻度的直尺，按照下列要求画图及回答问题： （1）画出直线AB，并找出线段AB的中点O； （2）画出射线OC和射线OD； （3）在以上图形中，共有 　 　个锐角，共有 　 　个小于180°的角． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2，5 【分析】（1）根据直线和线段中点的定义，即可求解； （2）根据射线的定义，即可求解； （3）根据题意可得锐角有∠AOC，∠BOD，小于180°的角有∠AOC，∠BOD，∠COD，∠AOD，∠BOC，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，直线AB，点O即为所求； （2）射线OC、OD即为所求； （3）锐角有∠AOC，∠BOD，共有2个， 小于180°的角有∠AOC，∠BOD，∠COD，∠AOD，∠BOC，共5个． 【点睛】本题主要考查了直线、射线和线段中点的定义，角的分类，熟练掌握直线、射线和线段中点的定义，角的分类是解题的关键． 4．如图是一个飞机场的雷达屏幕（每相邻两个圆之间的距离相等，每相邻两条射线之间的夹角也相等）．已知以中心的机场为观测点，飞机在北偏东方向20千米处．回答下面的问题： (1)飞机在机场的______方向上，距离是______千米； (2)飞机在机场的南偏东方向，距离是50千米，请在图中标出的位置． 【答案】(1)南偏西， (2)见解析 【分析】（1）根据飞机的位置用方位角和距离表示即可得到答案； （2）根据飞机的位置在图上标出点C的位置即可． 本题考查了用方位角和距离表示位置，理解方位角是解题关键． 【详解】（1）由题可知，飞机在北偏东方向20千米处， 则每相邻两个圆之间的距离相等为10千米， 则飞机在机场的南偏西方向上，距离是千米． 故答案为：南偏西，30 （2）如图，点即为所求： 5．如图，已知四边形． (1)请分别测量图中，，，的度数，并从中找出相等的角，用“”表示出来；找出不相等的角，用“”或“”表示出来． (2)请分别测量图中，，，的度数，并用“”“ ”或“”填空： _______，______． 【答案】(1)，，，；，；，，， (2)，，，；， 【分析】本题主要考查角度的测量及大小比较，解题的关键是熟知量角器的使用． （1）利用量角器测出各角度数，再比较各角大小即可； （2）利用量角器测出各角度数，再比较各角大小即可． 【详解】（1）解：经测量得，，，，， 相等的角：，， 不相等的角：，，，． （2）解：经测量得，，，，， ，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14角暑假预习讲义 1. 理解定义：掌握角静态、动态两种定义，认清角的顶点与两条边；区分锐角、直角、钝角、平角、周角五类角。 2. 规范表示：熟练运用三种角的表示方法，根据图形点的数量合理选用字母、数字、希腊字母标注角。 3. 单位换算：牢记度、分、秒60进制进率，可完成度与度分秒双向换算、简单角度加减运算。 4. 度量作图：学会量角器量角、绘制指定度数角，规避量角器内外圈刻度看错的失误。 5. 认知方位角：看懂方位角表述（北偏东、南偏西等），能依据方位角确定物体相对位置。 6. 钟面角初探：了解时针、分针转动角度规律，会简单计算钟表指针夹角。 7. 规避易错：多条射线共顶点时角的表示不混淆、换算切勿误用十进制、平角周角与直线射线概念区分开。 8. 几何素养：建立角度量化思维，为后续余角补角、相交线角度计算筑牢基础 预习必备 知识梳理 1.角的定义 2.角的表示方法 3.角的度量与换算 4.特殊角的度数 5.角的计数方法 6.比较角的大小 7.高频易错点汇总 8.核心公式与概念速记 常考题型 精讲精练 1.角的概念理解 2.角的表示方法 3.角的分类 4.画特殊角 5.钟面角 6.方向角的表示 7.与方向角有关的计算题 8.角的单位与角度制 9.角的度数大小比较 强化题型 解答题11题 知识点 01 角的两种定义 定义 1（静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形） （1）组成要素：一个顶点，两条射线（角的两条边）； （2）关键要求：两条射线必须有公共端点，两条射线不能重合； （3）图形解读：公共端点叫顶点，两条射线分别是角的始边、终边。 定义 2（动态定义：射线绕端点旋转形成的图形） （1）旋转起点射线：始边； （2）旋转终点射线：终边； （3）旋转中心：顶点； （4）特殊旋转结果拓展（为本节后续平角、周角铺垫）： 旋转半周，始边终边成一条直线 → 平角； 旋转一周，始边终边重合 → 周角。 辨析表格：判断是否为角 图形描述 是否为角 理由 两条无公共端点的射线 不是 缺少公共顶点 两条相交线段 不是 角的边必须是射线（可无限延长） 有公共端点的两条射线 是 满足角静态定义 一条射线 不是 只有一条边 知识点02：角的表示方法（规范无错误，考试必考点） 知识点 03 角的度量单位与换算 1. 三级单位：度（）、分（'）、秒（''） 进率为 60，六十进制（时间时分秒换算规则一致） 1=60'，1'=60'' 衍生换算：1=3600'' 2. 两类换算题型 题型 1：度化成度分秒（大化小，乘 60） 题型 2：度分秒化成度（小化大，除以 60） 单位换算易错点 （1）进制是 60，不是 10、100，禁止十进制换算； （2）拆分小数度时，只把小数部分乘 60，整数部分直接保留度。 知识点 04 特殊角的度数（基础固定值，必须熟记） 特殊角名称 度数 图形特征 锐角 0<<90 开口小于直角 直角 =90 两边互相垂直，标直角符号 钝角 90<<180 开口大于直角、小于平角 平角 =180 始边终边成一条直线 周角 =360 射线旋转一周，两边完全重合 关键辨析 （1）平角≠直线：平角有顶点、两条边；直线无顶点，只是线； （2）周角≠射线：周角有旋转过程，有始边终边；单条射线不是周角。 知识点 05 角的计数方法（考试选择填空高频） 通用计数规律：从一个顶点引出n条射线 单个小角数量：n-1 总角个数公式：(n-1)+(n-2)+...+2+1= 例题 从顶点O引出 4 条射线，总角数：=6个 计数步骤 （1）先数单独最小的角； （2）再数两个小角组合的大角； （3）依次累加，避免重复、漏数。 知识点06：比较角的大小 度量法：用量角器量出度数，度数大的角更大。 叠合法（形的比较）： 将两个角的顶点及一条边重合，另一条边放在重合边的同侧，就可以比较大小。如图，先让两个角的顶点 O 与 O′重合，再让一条边 OB 与 O′D 重合，使另一条边 OA 和 O′C 落在 OB（或 O′D）的同侧。 知识点 07 本节全节高频易错清单 1.用单个字母表示顶点多个角，造成混淆； 2.三字母表示角时，顶点字母没放在中间； 3.度分秒换算误用十进制，忘记 60 进制； 4.概念混淆：平角当成直线、周角当成射线； 5.判断角时，把线段组成的图形判定为角（角的边是射线）； 6.区分钝角范围，误认为90<<360； 7.计数角时重复数、漏数，不会用公式快速计算。 知识点 08 本节核心公式 & 概念速记表 核心内容 关键要点 角静态定义 公共端点 + 两条射线 角动态定义 射线绕端点旋转 角度换算 1=60'，1'=60''，六十进制 角四种表示 三字母（通用）、单字母（唯一角）、数字、希腊字母 特殊角范围 锐角090；直角90；钝角90180\)；平角180；周角360 n条射线总角数 题型1.角的概念理解 【典例】如图所示，共有（    ）个角 A．8 B．10 C．11 D．12 【跟踪专练1】用一个7倍的放大镜看一个的角，看到的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在的内部从O引出3条射线，那么图中共有10个角；如果引出10条射线，有_______个角； 【跟踪专练3】下列关于角的说法正确的是（     ） A．角是由两条射线组成的图形 B．在角一边延长线上取一点 C．角的边越长，角越大 D．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 题型2.角的表示方法 【典例】下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ 　   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，下列四种说法：①与是同一个角；②也可用来表示；③图中共有三个角：，，；④与是同一个角．其中正确的是________（填序号）． 【跟踪专练2】如图，在综合实践课上，老师让同学们动手操作．在内画1条射线，观察发现图中共有3个角：在内画2条射线时，则图中共有6个角：在内画3条射线时，则图中共有10个角：按照此规律，在内画条射线时，图中共有___________个角． 【跟踪专练3】下列四个图中，能用、、三种方法表示同一个角的是（   ） A．B． C．D． 题型3.角的分类 【典例】下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 【跟踪专练1】如图，小于平角的角共有________个． 【跟踪专练2】下列说法正确的是（  ） A．整数可分为正整数和负整数 B．两个负数和的绝对值一定等于它们绝对值的和 C．多项式的项是 D．平角是一条直线 【跟踪专练3】下列各图中有关角的表示正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型4.画特殊角 【典例】用一副三角板不能画出的角是（    ）． A．75° B．105° C．110° D．135° 【跟踪专练1】已知（如图），用量角器求作一个角，使它等于已知角α． 【跟踪专练2】作图题：已知：∠α、∠β、   求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β 题型5.钟面角 【典例】实验中学每天中午12点30分“校园之声”节目如约而至，此时时针与分针所成的角是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，当7时30分时，时钟上的时针与分针的夹角为 _______ ． 【跟踪专练2】周末，小明在早晨7点至8点的某时刻开始晨练，8点至9点的某时刻结束晨练，结果发现晨练结束与开始时，他佩戴的指针式手表的时针与分针恰好交换了位置，则他共晨练______________分钟． 【跟踪专练3】2026年1月20日10时30分，钟表的时针与分针所成角的度数为（   ） A． B． C． D． 题型6.方向角的表示 【典例】如图，从一艘船上测得灯塔方向是北偏西，那么这艘船在这个灯塔的________方向． 【跟踪专练1】如图是三艘舰艇的位置示意图，其中，，若用方向和距离描述三艘舰艇的相对位置，以下描述正确的是（     ） A．舰艇A在舰艇C的正西方向处 B．舰艇C在舰艇A的正东方向处 C．舰艇B在舰艇C的北偏东方向处 D．舰艇C在舰艇B的南偏西方向处 【跟踪专练2】如图，点表示西安莲湖公园的三个景点，射线表示北偏西的方向，，则射线表示的方向为___________． 【跟踪专练3】为了提高学生体质，2025年新学期国家出台了“中小学课间延长至15分钟，每天1节体育课”政策，孩子们有了更多时间进行体育锻炼．如图，有一次大课间，A、B两处均有学生在练跳绳，为了减少练跳绳时相互干扰，小红同学就拿着跳绳走到了的平分线上的C处，则C处相对观测点O的方向为（   ） A．东偏南 B．南偏东 C．东偏南 D．南偏东 题型7.与方向角有关的计算题 【典例】如图，点在点的北偏东，射线与所成的角是，则射线的方向是________． 【跟踪专练1】如图，琪琪一家要到革命圣地西柏坡参观，下列说法正确的是（     ） A．西柏坡在家东偏北方向 B．西柏坡在家北偏东方向 C．家在西柏坡南偏西方向 D．家在西柏坡西偏南方向 【跟踪专练2】如图，山东号航母在B处，测得黄岩岛A在北偏西方向，南昌舰C在西南方向，则的度数是__________． 【跟踪专练3】如图，B在C的北偏西方向，，则B在A的（    ） A．北偏西方向 B．南偏西方向 C．北偏东方向 D．南偏东方向 题型8.角的单位与角度制 【典例】一个角是，则可化为多少分（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是________度．如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是_________度．（精确到分） 【跟踪专练2】已知，，则______（填“>”，“<”或“=”）． 【跟踪专练3】下列运算正确的是（    ） A． B． C． D．（精确到分） 题型9.角的度数大小比较 【典例】已知，，则与的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练1】已知，请你比较大小：____________（填“或或”）． 【跟踪专练2】已知∠α＝20′，∠β＝0.35°，则∠α_________∠β．（填“＞”，“＝”，或“＜”） 【跟踪专练3】若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，则这三个角的大小关系正确的是（　　） A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C 解答题 1．计算： (1)把化为度、分、秒的形式． (2)把化成度的形式． 2．图中共有多少个角？请把它们分别表示出来． 3．如图，正方形网格中有四个点A、B、C、D，它们都在网格线的交点上，请利用网格，只应用没有刻度的直尺，按照下列要求画图及回答问题： （1）画出直线AB，并找出线段AB的中点O； （2）画出射线OC和射线OD； （3）在以上图形中，共有 　 　个锐角，共有 　 　个小于180°的角． 4．如图是一个飞机场的雷达屏幕（每相邻两个圆之间的距离相等，每相邻两条射线之间的夹角也相等）．已知以中心的机场为观测点，飞机在北偏东方向20千米处．回答下面的问题： (1)飞机在机场的______方向上，距离是______千米； (2)飞机在机场的南偏东方向，距离是50千米，请在图中标出的位置． 5．如图，已知四边形． (1)请分别测量图中，，，的度数，并从中找出相等的角，用“”表示出来；找出不相等的角，用“”或“”表示出来． (2)请分别测量图中，，，的度数，并用“”“ ”或“”填空： _______，______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $