暑期预习讲义（第3讲）——有理数的加减运算（知识梳理+题型精析+同步自测）- 2026-2027学年人教版七年级数学上册

暑期预习讲义（第3讲）——有理数的加减运算（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 课前自主预习填空 2 【知识点一】有理数加法法则 2 【知识点二】有理数减法法则 2 【知识点三】有理数加减法简便运算技巧 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】 有理数加法中的符号问题 3 【题型 2】 有理数加法运算 4 【题型 3】 有理数加法运算律 8 【题型 4】 有理数的减法运算 10 【题型 5】 有理数加减混合运算 13 【题型 6】 有理数加减的应用 15 三.经典题型精析（巩固提升） 16 【题型 7】 有理数加减混合运算 17 【题型 8】 有理数加减中的简便运算——拆项法 19 【题型 9】 有理数加减中的简便运算综合 22 四.同步自测 27 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 27 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 30 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 34 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 课前自主预习填空 1. 同号两数相加，取________符号，并把绝对值________。 2. 异号两数相加，取绝对值________的符号，并用大绝对值________小绝对值。 3. 有理数减法法则：减去一个数，等于________这个数的________。 答案：1.相同 相加； 2.较大 减去； 3. 加上；相反数. 【知识点一】有理数加法法则 1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法. 2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0. 3.运算律： 有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b＝b+a 加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 （a+b）+c＝a+（b+c） 【要点提示】交换加数的位置时，不要忘记符号． 【知识点二】有理数减法法则 1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：（-5）+?＝7，求？，减法是加法的逆运算． 【要点提示】（1）任意两个数都可以进行减法运算；（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值． 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 【要点提示】 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”． 【知识点三】有理数加减法简便运算技巧 简便运算技巧：凑整结合、同号结合、相反数结合、分母相同结合。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】 有理数加法中的符号问题 【例题1】（25-26七年级上·江西新余·期中）如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 根据有理数的加法性质，分析求解，即可解题． 解：设两个有理数为a和b，且． 因为若且，则，与矛盾， 所以至少有一个加数大于0，即两个加数中至少一个是正数． 故选：B． 【变式1】（2026·湖北·中考真题）数轴上表示数，的点如图所示，则_____0．（填“”“”或“”） 【答案】 解：由数轴可得， ∴． 【变式2】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法，掌握绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 解：∵，，， ∴， 故选：A． 【变式3】（24-25七年级上·陕西·阶段检测）用“”或“”填空： （1）如果，那么______0； （2）如果，那么______0； （3）如果，那么______0； （4）如果，那么______0． 【答案】 【分析】（1）根据有理数的加法法则即可解答； （2）根据有理数的加法法则即可解答； （3）根据有理数的加法法则即可解答； （4）根据有理数的加法法则即可解答． 解：（1）同号两数相加，取相同的符号，两数都为正数，所以两数的和为正． 故答案为：； （2）同号两数相加，取相同的符号，两数都为负数，所以两数的和为负． 故答案为：； （3）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取a的符号，即两数和的符号为正． 故答案为：； （4）异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，由于，所以两数的和取b的符号，即两数和的符号为负． 故答案为：； 【点拨】本题主要考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则是解题的关键． 【题型 2】 有理数加法运算 【例题2】（24-25七年级上·云南大理·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）20；（2）50；（3）3；（4） 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，熟知有理数的加法计算法则是解题的关键． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3） ； （4）． 【答案】（1）3；（2）0；（3）；（4） 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： . 【变式2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】根据有理数的加法法则计算即可． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【变式3】（24-25七年级上·四川遂宁·阶段检测）计算下列各式的值． （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题主要考查了有理数加法运算； （1）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （4）根据有理数加法运算法则进行计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： 【题型 3】 有理数加法运算律 【例题3】（25-26七年级上·湖北随州·期末）小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法，在进行加法运算时，往往利用加法交换律和结合律，进行凑整计算． 小慧同学将原式中的加数顺序改变，并将后两个加数结合，同时运用了加法交换律和结合律． 解：原式为，小慧将其变为， ∵交换了加数4的位置， ∴使用了加法交换律； ∵将和结合， ∴使用了加法结合律， 综上，运用了加法交换律与结合律． 故选：C． 【变式1】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； 【答案】（1）18；（2）；（3） 解：（1）解：； ． （2）解： ． （3）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·河南南阳·期中）小磊解题时，将式子先变成再计算结果，小磊运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．乘法结合律 【答案】C 【分析】本题主要考查了加法交换律和加法结合律，熟练掌握这两种运算律的定义是解题的关键．分析式子变形过程，判断所运用的运算律． 解：∵ 原式可化为， 小磊将项重新排列并分组为， 其中交换加数顺序使用了加法交换律，改变分组方式使用了加法结合律， ∴ 小磊运用了加法交换律和加法结合律， 故选：C． 【变式3】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： （1）； （2）． （3）； （4）． 【答案】（1）3；（2）；（3）18；（4） 解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 【题型 4】 有理数的减法运算 【例题4】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】本题主要考查了有理数的减法，有理数的减法法则是减去一个数等于加上这个数的相反数，解决本题的关键是先根据有理数的减法法则把减法运算转化为加法运算，再根据有理数的加法法则进行计算． （1）根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （2）根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （3）根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （4）根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （5）根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算； （6）根据减去一个数等于加上这个数的相反数，把减法运算转化为加法运算，可得：原式，再根据有理数的加法法则进行计算． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 【变式2】（2026·安徽蚌埠·一模）计算：______． 【答案】10 【分析】先利用绝对值化简，然后按照有理数减法运算法则求解即可． 解：． 【变式3】（26-27七年级上·全国·课后作业）在下列各式的括号里填入适当的数： （1） （ ）． （2）（ ）． （3）（ ）． 【答案】 8 -22 8 【分析】（1）用进行计算即可； （2）用进行计算即可； （3）用进行计算即可； 解：（1）解：括号里的数为：； （2）解：括号里的数为：； （3）解：括号里的数为：. 【点拨】本题主要考查了有理数的减法法则，掌握有理数的减法法则是解题的关键. 【题型 5】 有理数加减混合运算 【例题5】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】去括号时，括号前是正号，去掉括号后括号内各项不变号；括号前是负号，去掉括号后括号内各项变号． 解：∵原式为， ∴按去括号法则变形得． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）若方框表示运算，则方框 =_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，根据方框表示的运算把算式转化为一般的有理数加减混合运算，再根据运算法则进行计算． 解：由题意可得：原式． 故答案为：. 【变式3】（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，相反数，解题的关键是掌握有理数的加减混合运算法则，相反数的定义． （1）先去括号，再把减法化为加法，最后运算加法，即可作答． （2）把小数化为分数，再根据加法运算律进行简便运算，即可作答． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型 6】 有理数加减的应用 【例题6】（25-26七年级上·河北沧州·期末）某公路养护小组乘车沿一条南北方向公路巡视养护．某天早晨，他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：千米）如下：,,,,,,,．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． （1）地在地的哪个方向？它们相距多少千米？ （2）如果汽车行驶1千米平均耗油升，那么这天汽车共耗油多少升？ 【答案】（1）地在地的南边，它们相距5千米；（2）这天汽车共耗油升 【分析】（1）首先根据正、负数运算的方法，把当天的行驶记录相加；然后根据正、负数的意义，判断出B地在A地的哪个方向，它们相距多少千米即可； （2）首先求出当天行驶记录的绝对值的和，然后根据乘法的意义，用汽车行驶的路程乘以行驶每千米耗油量，求出这天共耗油多少升即可． 解：（1） ， 地在地的南边，它们相距5千米． （2）由题可得： ， （升）， 这天汽车共耗油升． 【变式1】（2026·吉林长春·一模）嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：∵题目规定支出记作负数，收入记作正数， ∴支出元可记为，获得元收入可记为， ∴嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为． 【变式2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）小东身高，小红身高，小明身高．如果小东身高记作，小明身高记作，则小红身高记作______． 【答案】 【分析】先确定基准身高，再计算小红身高与基准身高的差值，根据给定记法规则得到最终结果． 解：由题意可知，以小东身高为基准，高于基准身高记作正数，低于基准身高记作负数． ∴小红身高记作． 【变式3】（25-26七年级·全国·暑假作业）做数学游戏，其乐无穷，游戏规则：①每人每次抽取张卡片，如果抽到方块卡片，那么加上卡片上的数字，如果抽到阴影卡片，那么减去卡片的数字；②比较两人所抽张卡片上的计算结果，结果大的为胜者．小明抽到图中的张卡片，小丽抽到图中张卡片，你知道本次游戏的获胜者是谁吗？请说明理由． 【答案】小明获胜，理由如下： 小明的得分：， 小丽的得分：， ， 小明获胜． 【分析】根据规则分别计算出小明和小丽的计算结果，通过比较得到获胜者． 解：略． 三.经典题型精析（巩固提升） 【题型 7】 有理数加减混合运算 【例题7】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 解：（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式1】（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）科技的力量离不开复杂的程序，现在请同学们体会一个小小的程序设计，按图中程序运算，如果输入2，那么输出的结果是（   ） A．4 B．1 C．8 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了程序运算中的有理数加减运算，解题的关键是按照程序给定的步骤依次对输入的数进行运算，并根据判断条件确定是否输出结果． 输入后，按程序步骤依次计算：先进行运算，再进行（即）运算，接着进行运算，得到结果后判断是否大于2，若大于则输出该结果． 解：输入，按程序运算： 第一步：； 第二步：； 第三步：； 判断，满足输出条件，故输出结果为． 故选：A． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）从图（1）中找规律，并按此规律在图（2）的空格里填上合适的数． 【答案】答案见分析 【分析】本题主要考查了有理数的加法，数字的变化类问题，仔细观察数字的分布，找到规律下面两个数的和等于上面的一个数字；进而根据图形的规律，写出答案即可． 解：观察（1）发现：， ， ， 规律为：下面两个数的和等于上面的一个数字； 根据规律得到：， ， ． 如图所示： 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算 （1）； （2）． （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 解：（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式. 【题型 8】 有理数加减中的简便运算——拆项法 【例题8】（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读下面的计算方法． 计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法，试用拆项法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法，掌握算理是解决问题的关键．利用拆项法把每个数拆成整数部分和小数部分，分别相加进行简便运算即可． 解：原式， ， ． 【变式1】（25-26七年级上·全国·单元复习）拆项法．计算：． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的加法计算，先将带分数拆分，利用加法交换律和结合律进行计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 解： ． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读下列的计算方法，解决问题： （1）． 解：原式． 上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______． （2）类比上述计算方法，请计算：． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了有理数的加减运算，正确理解题意、掌握解答的方法是关键； （1）根据有理数的加法作答即可； （2）按照题干中的拆项法结合有理数的加减混合运算法则求解即可． 解：（1）解：可将拆为，拆为； 故答案为：，； （2）解： ． 【变式3】（25-26七年级上·贵州六盘水·阶段检测）先阅读理解例题的计算方法，再完成相应的题： 例：计算 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． 请用上面的方法计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查的知识点是：有理数的加减法．根据例题中“拆项法”，将带小数或带分数拆分为整数部分和分数（小数）部分，再分别对整数部分和分数（小数）部分进行计算． （）根据示例的解法可知，计算时只需将小数的整数部分与小数部分拆分，然后再进行求解； （）根据示例的解法可知，计算时只需将带分数的整数部分与分数部分拆分，然后再进行求解． 解：（1）解： ． （2） ． 【题型 9】 有理数加减中的简便运算综合 【例题9】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·重庆九龙坡·周测）计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）0；（2）9；（3）；（4）9 【分析】（1）利用有理数的加法运算律求解即可； （2）首先统一成加法，然后利用有理数的加法运算律求解即可； （3）首先化简绝对值，然后利用有理数的加法运算律求解即可； （4）首先化简绝对值，然后利用有理数的加法运算律求解即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 【变式2】（23-24七年级上·四川眉山·阶段检测）计算（能简算的要简算）： （1）； （2）； （3）． （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的加减运算及加法运算律的应用，解题的关键是利用加法交换律和结合律，将互为相反数或同分母的数结合简化计算． （1）结合互为相反数的数与同分母分数计算； （2）结合互为相反数的数简便计算； （3）将小数化分数后，结合同分母分数计算； （4）拆分带分数，结合整数部分与分数部分分别计算． 解：（1） （2）解： （3） （4） 【变式3】（25-26七年级上·全国·寒假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是将小数与分数统一形式，利用加法结合律简化计算． （1）将小数化为分数，再通分计算； （2）将同分母分数结合，利用加法结合律简便计算； （3）将小数化为分数，结合同分母分数计算； （4）将小数化为分数，结合同分母分数计算． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·四川南充·中考真题）计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 【答案】C 【分析】利用互为相反数的加法法则直接计算出结果即可． 解：∵和互为相反数，根据有理数加法法则，互为相反数的两个数相加得． ∴． 2．（2026·山西运城·二模）下列数中比小1的数是（     ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意列出算式，按照有理数减法法则计算即可得到结果． 解：， 即符合要求的数是． 3．（2026·吉林长春·模拟预测）某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】温度上升是在原气温基础上做加法运算，直接计算即可得到结果． 解：因为早上气温为，中午温度上升 ， 所以中午温度为． 4．（23-24七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，根据理数的加法的法则判断即可． 解：的值是负数， a与b的值中至少有一个是负数． 故选：D． 5．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）将算式写成省略括号的和的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加减法，去括号时注意符号变化．根据有理数运算法则，加上一个负数等于减去这个数，减去一个负数等于加上这个数解答即可． 解：． 故选：B． 6．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查加法交换律的应用，即加数的顺序改变，和不变． 根据交换加数的位置时连同加数的符号一起交换分析即可． 解：选项A中，正确； 选项B、C、D中均改变了加数的符号，故不正确． 故选A． 7．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将冷藏室温度减去冷冻室温度即可解答． 解：， 答：这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）在计算■时，若该题能用简便方法进行计算，则■表示的数可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数加减中的简便运算，熟练掌握有理数加减中的简便运算应遵循的基本原则是解题的关键． 寻找能与前两个分数中的一个凑成整数的数，简化运算即可． 解：原式为 选项A：若■表示的数为，则原式为，无法用简便方法进行计算，不符合题意； 选项B：若■表示的数为，则原式为，无法用简便方法进行计算，不符合题意； 选项C：若■表示的数为，则原式为，无法用简便方法进行计算，不符合题意； 选项D：若■表示的数为，则原式为，能用简便方法进行计算，符合题意； 故选：． 9．（2026·辽宁抚顺·一模）2025年全国多地开展“城市地下水位监测”工作，某监测站记录的一周内地下水位变化量（均与前一天进行对比，上升为正，下降为负）如下表所示： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 水位变化量／m 其中水位最低的一天是（   ） A．周二 B．周四 C．周五 D．周日 【答案】B 【分析】设上周日水位为初始值，根据每天的水位变化量依次计算出本周每天的水位，再比较大小即可得出水位最低的一天． 解：设上周日的水位为， 依次计算本周每天的水位： 周一水位：， 周二水位：， 周三水位：， 周四水位：， 周五水位：， 周六水位：， 周日水位：， ∵ ∴， ∴周四的水位最低． 10．（25-26六年级上·山东淄博·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．若，请利用数轴求出所有符合条件的整数的和（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的几何意义与数轴上的距离问题，关键是理解表示数轴上点到和的距离之和，通过计算两点间距离确定的取值范围，再找出整数解求和． 解：表示数轴上点到和的距离之和． ∵与的距离为， ∴当且仅当在到之间（包括端点）时，距离之和为． 符合条件的整数为． 计算这些整数的和：． 故选：B． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·湖北武汉·模拟预测）武汉地区春季日均最高气温为，最低气温为，则日均最高气温比最低气温高______． 【答案】 【分析】需用最高气温减去最低气温，再根据有理数减法法则计算即可． 解：由题意列算式得：． 12．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上，两点分别对应数、，则___________0．（用＞，＜或＝填空） 【答案】 【分析】绝对值不相等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，再结合，，可得答案. 解：由题意可得：，， ∴. 故答案为：. 【点拨】本题考查的是有理数的加法运算中的符号确定，掌握“绝对值不相等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同”是解本题的关键. 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）小明在做利用“加法运算律”的计算题：■时，不小心把墨水打翻，将接下来的步骤污染了，请你补全污染的部分：_____． 【答案】 【分析】该题考查了有理数的加法运算律，根据有理数加法交换律和结合律计算即可． 解： ， 故答案为：． 14．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）王老师当天微信收支的最终结果是________． 微信红包—来自王某某： 某平台商户： 扫二维码付给某店： 【答案】收入元 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加减的应用，将所有收支数据相加，最后根据结果的符号和数值确定最终结果，正确列式计算是解此题的关键． 解：， 故王老师当天微信收支的最终结果是收入元， 故答案为：收入元． 15．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）填写下列运算的依据 ________ ________． 【答案】 加法结合律 有理数加法法则 【分析】本题考查有理数的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．第一个步骤将算式分组结合，依据加法结合律；第二个步骤计算异号两数相加，依据有理数加法法则． 解：在计算过程中，第三步将算式分组为，这应用了加法结合律，即多个有理数相加，可以先将同号数结合相加； 第五步计算得到，这应用了有理数加法法则，即异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． 故答案为：加法结合律，有理数加法法则． 16．（25-26七年级上·河南许昌·期末）计算：=______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的运算，有理数的加减运算，掌握好绝对值的非负性是关键． 根据绝对值的性质，去掉绝对值，然后计算即可． 解：， ， ， ． 故答案为：． 17．（25-26六年级上·山东泰安·期中）已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，有理数的加法和减法，理解新定义是解答本题的关键． 根据新定义运算，先计算 的值，再与 进行加法运算． 解：由定义 ，得 ， 则 ． 故答案为：． 18．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段检测）下列运用有理数加法法则，思考、计算“”的正确排序为______． 结果的符号是取的负号；    和的绝对值分别为和，大于； 是异号两数相加；    结果的绝对值是用得到； 计算结果为； 【答案】或 【分析】本题考查了异号两数相加的法则，先判断式子是异号两数相加，再运用异号两数相加的法则，结果的符号和绝对值大的数的符号相同，最后用较大绝对值减去较小绝对值即可，熟悉异号两数相加的计算步骤是解题的关键． 解：计算“”的步骤为， 是异号两数相加； 和的绝对值分别为和，大于； 结果的符号是取的负号； 结果的绝对值是用得到； 计算结果为； 或是异号两数相加； 和的绝对值分别为和，大于； 结果的绝对值是用得到； 结果的符号是取的负号； 计算结果为； 故答案为：或． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24七年级上·北京丰台·阶段检测）计算： （1）； （2） 【答案】（1）7；（2） 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，解题的关键是熟练掌握有理数加法运算法则，准确计算． （1）根据有理数加法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数加法的运算律进行简单计算即可． 解：（1）解： ； （2）解： ． 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·四川广元·期中）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）3.5 【分析】（1）先将小数化分数，再运用有理数减法法则进行计算即可； （2）运用有理数加法法则进行计算即可． 本题考查有理数的加减运算，需要注意符号变化和分数与小数的转换．熟练掌握有理数加法法则和减法法则是解题的关键． 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 21．（本小题满分10分）（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3） （4）； 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 解：（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： ． 22．（本小题满分10分）（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： （1）； （2） （3）； 【答案】（1）；（2）；（3） 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 23．（本小题满分10分）（26-27七年级·浙江·暑假作业）某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． （1）收工时该检修小组距离A地多远？ （2）该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【答案】（1）收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米；（2）该检修小组这一天行驶的总路程为千米 解：（1）解：（千米）， 答：收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米； （2）解：（千米）， 答：该检修小组这一天行驶的总路程为千米． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·江西吉安·期中）阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. （1）仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； （2）用拆项法计算：． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算法则，准确计算． （1）根据题干信息进行解答即可； （2）利用题干提供的信息，运用有理数加减混合运算法则进行计算即可． 解：（1）解：拆为，拆为， 故答案为：，； （2）解： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 暑期预习讲义（第3讲）——有理数的加减运算（知识梳理+题型精析+同步自测） 目录 一.教材知识梳理 1 课前自主预习填空 2 【知识点一】有理数加法法则 2 【知识点二】有理数减法法则 2 【知识点三】有理数加减法简便运算技巧 3 二.经典题型精析（基础夯实） 3 【题型 1】 有理数加法中的符号问题 3 【题型 2】 有理数加法运算 3 【题型 3】 有理数加法运算律 4 【题型 4】 有理数的减法运算 5 【题型 5】 有理数加减混合运算 5 【题型 6】 有理数加减的应用 6 三.经典题型精析（巩固提升） 7 【题型 7】 有理数加减混合运算 7 【题型 8】 有理数加减中的简便运算——拆项法 8 【题型 9】 有理数加减中的简便运算综合 9 四.同步自测 9 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 9 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 12 预习方法：读概念→理解定义性质→学例题→练变式→同步自测 一.教材知识梳理 课前自主预习填空 1. 同号两数相加，取________符号，并把绝对值________。 2. 异号两数相加，取绝对值________的符号，并用大绝对值________小绝对值。 3. 有理数减法法则：减去一个数，等于________这个数的________。 答案：1.相同 相加； 2.较大 减去； 3. 加上；相反数. 【知识点一】有理数加法法则 1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法. 2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0. 3.运算律： 有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b＝b+a 加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 （a+b）+c＝a+（b+c） 【要点提示】交换加数的位置时，不要忘记符号． 【知识点二】有理数减法法则 1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：（-5）+?＝7，求？，减法是加法的逆运算． 【要点提示】（1）任意两个数都可以进行减法运算；（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值． 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 【要点提示】 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”． 【知识点三】有理数加减法简便运算技巧 简便运算技巧：凑整结合、同号结合、相反数结合、分母相同结合。 二.经典题型精析（基础夯实） 【题型 1】 有理数加法中的符号问题 【例题1】（25-26七年级上·江西新余·期中）如果两个有理数的和是正数，那么一定有结论（   ） A．两个加数都是正数 B．两个加数中至少一个是正数 C．一个加数为正数，另一个加数为零 D．两个加数同为负数 【变式1】（2026·湖北·中考真题）数轴上表示数，的点如图所示，则_____0．（填“”“”或“”） 【变式2】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知:，，，则的值是（     ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．0 【变式3】（24-25七年级上·陕西·阶段检测）用“”或“”填空： （1）如果，那么______0； （2）如果，那么______0； （3）如果，那么______0； （4）如果，那么______0． 【题型 2】 有理数加法运算 【例题2】（24-25七年级上·云南大理·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3）； （4） 【变式1】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3） ； （4）． 【变式2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： （1）． （2）． （3）． （4）． 【变式3】（24-25七年级上·四川遂宁·阶段检测）计算下列各式的值． （1） （2） （3） （4） 【题型 3】 有理数加法运算律 【例题3】（25-26七年级上·湖北随州·期末）小慧同学解题时，先将式子变成，再计算结果，则小慧同学运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律与结合律 D．分配律 【变式1】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； 【变式2】（25-26七年级上·河南南阳·期中）小磊解题时，将式子先变成再计算结果，小磊运用了（   ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．加法交换律和加法结合律 D．乘法结合律 【变式3】（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： （1）； （2）． （3）； （4）． 【题型 4】 有理数的减法运算 【例题4】（25-26七年级上·全国·课后作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【变式1】（25-26七年级上·辽宁大连·阶段检测）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽蚌埠·一模）计算：______． 【变式3】（26-27七年级上·全国·课后作业）在下列各式的括号里填入适当的数： （1） （ ）． （2）（ ）． （3）（ ）． 【题型 5】 有理数加减混合运算 【例题5】（26-27七年级·江苏·小升初衔接）计算： （1） （2） 【变式1】（25-26七年级上·福建漳州·期中）将写成省略加号的和的形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）若方框表示运算，则方框 =_____． 【变式3】（24-25七年级上·四川南充·阶段检测）计算： （1）； （2）． 【题型 6】 有理数加减的应用 【例题6】（25-26七年级上·河北沧州·期末）某公路养护小组乘车沿一条南北方向公路巡视养护．某天早晨，他们从A地出发，晚上最终到达B地．约定向北为正方向，当天汽车的行驶记录（单位：千米）如下：,,,,,,,．假设汽车在同一行驶记录下是单向行驶． （1）地在地的哪个方向？它们相距多少千米？ （2）如果汽车行驶1千米平均耗油升，那么这天汽车共耗油多少升？ 【变式1】（2026·吉林长春·一模）嘉嘉的零花钱记账本上，支出记作负数，收入记作正数．今天嘉嘉用零花钱买文具支出5元，妈妈又给了他9元零花钱．嘉嘉今天零花钱的收支合计可表示为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）小东身高，小红身高，小明身高．如果小东身高记作，小明身高记作，则小红身高记作______． 【变式3】（25-26七年级·全国·暑假作业）做数学游戏，其乐无穷，游戏规则：①每人每次抽取张卡片，如果抽到方块卡片，那么加上卡片上的数字，如果抽到阴影卡片，那么减去卡片的数字；②比较两人所抽张卡片上的计算结果，结果大的为胜者．小明抽到图中的张卡片，小丽抽到图中张卡片，你知道本次游戏的获胜者是谁吗？请说明理由． 三.经典题型精析（巩固提升） 【题型 7】 有理数加减混合运算 【例题7】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： （1） （2） （3） （4） 【变式1】（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）科技的力量离不开复杂的程序，现在请同学们体会一个小小的程序设计，按图中程序运算，如果输入2，那么输出的结果是（   ） A．4 B．1 C．8 D．2 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）从图（1）中找规律，并按此规律在图（2）的空格里填上合适的数． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江大庆·阶段检测）计算 （1）； （2）． （3） （4） 【题型 8】 有理数加减中的简便运算——拆项法 【例题8】（25-26七年级上·全国·课后作业）阅读下面的计算方法． 计算：． 解：原式 ． 上面这种解题方法叫做拆项法，试用拆项法计算：． 【变式1】（25-26七年级上·全国·单元复习）拆项法．计算：． 【变式2】（25-26七年级上·浙江金华·期中）阅读下列的计算方法，解决问题： （1）． 解：原式． 上面这种方法叫拆项法．按这种方法，可将拆为_____，拆为______． （2）类比上述计算方法，请计算：． 【变式3】（25-26七年级上·贵州六盘水·阶段检测）先阅读理解例题的计算方法，再完成相应的题： 例：计算 解：原式 上面的计算方法叫做拆项法． 请用上面的方法计算： （1） （2） 【题型 9】 有理数加减中的简便运算综合 【例题9】（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（24-25七年级上·重庆九龙坡·周测）计算 （1） （2） （3） （4） 【变式2】（23-24七年级上·四川眉山·阶段检测）计算（能简算的要简算）： （1）； （2）； （3）． （4）． 【变式3】（25-26七年级上·全国·寒假作业）计算： （1）； （2）； （3）； （4） 四.同步自测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（2026·四川南充·中考真题）计算结果是（     ） A． B． C．0 D．4 2．（2026·山西运城·二模）下列数中比小1的数是（     ） A． B．1 C． D．3 3．（2026·吉林长春·模拟预测）某天早上气温为，中午时温度上升，则中午温度是（     ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级上·新疆伊犁·期中）如果的值是负数，则a与b的值 （     ） A．一定都是正数 B．一定都是负数 C．一定是一个正数，一个负数 D．至少有一个是负数 5．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）将算式写成省略括号的和的形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）下列交换加数的位置的变形中，正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图是一台冰箱的显示屏，则这台冰箱冷藏室与冷冻室的温差为（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）在计算■时，若该题能用简便方法进行计算，则■表示的数可能为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·辽宁抚顺·一模）2025年全国多地开展“城市地下水位监测”工作，某监测站记录的一周内地下水位变化量（均与前一天进行对比，上升为正，下降为负）如下表所示： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 水位变化量／m 其中水位最低的一天是（   ） A．周二 B．周四 C．周五 D．周日 10．（25-26六年级上·山东淄博·期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，如：表示3与1差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．若，请利用数轴求出所有符合条件的整数的和（    ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2026·湖北武汉·模拟预测）武汉地区春季日均最高气温为，最低气温为，则日均最高气温比最低气温高______． 12．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）如图，数轴上，两点分别对应数、，则___________0．（用＞，＜或＝填空） 13．（24-25七年级上·全国·课后作业）小明在做利用“加法运算律”的计算题：■时，不小心把墨水打翻，将接下来的步骤污染了，请你补全污染的部分：_____． 14．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）手机支付给生活带来便捷，如图是王老师某日微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元）王老师当天微信收支的最终结果是________． 微信红包—来自王某某： 某平台商户： 扫二维码付给某店： 15．（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）填写下列运算的依据 ________ ________． 16．（25-26七年级上·河南许昌·期末）计算：=______． 17．（25-26六年级上·山东泰安·期中）已知表示不超过的最大整数，如：．现定义：，如，则______． 18．（23-24七年级上·山东枣庄·阶段检测）下列运用有理数加法法则，思考、计算“”的正确排序为______． 结果的符号是取的负号；    和的绝对值分别为和，大于； 是异号两数相加；    结果的绝对值是用得到； 计算结果为； （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24七年级上·北京丰台·阶段检测）计算： （1）； （2） 20．（本小题满分8分）（25-26七年级上·四川广元·期中）计算： （1）； （2）． 21．（本小题满分10分）（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）计算： （1）； （2）； （3） （4）； 22．（本小题满分10分）（26-27七年级·浙江·暑假作业）计算： （1）； （2） （3）； 23．（本小题满分10分）（26-27七年级·浙江·暑假作业）某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． （1）收工时该检修小组距离A地多远？ （2）该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·江西吉安·期中）阅读下列计算过程，解决问题． 计算： 解：原式 ． 上面的解题方法叫作拆项法. （1）仿照上面方法，可将拆为_____，将拆为_____； （2）用拆项法计算：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $