专题13直线.射线.线段暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题13直线.射线.线段暑假预习讲义 1. 概念识记：分清直线、射线、线段三者定义，牢记端点数量差异：直线无端点、射线一个端点、线段两个端点；掌握三者几何符号书写方式。 2. 公理掌握：熟记核心公理：两点确定一条直线；理解两点之间线段最短，明确两点间距离为线段长度。 3. 作图实操：根据要求画出直线、射线、线段，掌握线段截取、延长线段、反向延长射线的规范作图方法。 4. 线段运算：会用叠合法、度量法比较线段长短；能进行线段的和、差计算，理解线段中点定义并利用中点求线段长度。 5. 几何语言：熟练文字、图形、符号语言转换，规范描述点与直线、直线之间的位置关系。 6. 识图辨析：在复合图形中准确数出所有线段、射线，避免计数遗漏或重复。 7. 避错要点：区分线段长度与距离概念；射线不可度量、不可比较长短；延长与反向延长切勿搞反。 8. 思维培养：建立基础几何严谨思维，为后续角、相交线等几何内容做好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.直线.射线.线段基础概念 2.两个基本事实 3.线段的作图.比较与和差运算 4.直线.射线.线段计数贵 5.高频易错点汇总 6.几何规范语言汇总 常考题型 精讲精练 1.直线.线段.射线的联系与区别 2.画出直线.线段.射线 3.点与线的位置关系 4.直线.线段.射线的数量问题 5.直线相交的交点个数问题 6.线段的应用 7.两点确定一条直线 8.作线段 9.线段的和与差 10.线段中点的有关计算 11.线段n等分点的有关计算 12.线段之间的数量关系 13.与线段有关的动点问题 14.两点之间线段最短 15.两点间的距离 16.最短路径问题 强化题型 解答题7题 知识点 01 直线、射线、线段基础概念与三要素对比 一、定义 线段：直线上两点及两点间的部分，有两个端点，长度可测量。 有始有终，长度可量 射线：将线段向一个方向无限延伸得到的图形，只有 1 个端点，不可度量长度。 有始无终，无限延伸 直线：将线段向两个方向无限延伸得到的图形，无端点，不可度量长度。 无始无终，无限延伸 二、核心对比表格（必考区分点） 知识点 02 两个基本事实（几何公理，证明、填空必背） 基本事实 1：两点确定一条直线 文字表述：经过两点有且只有一条直线。 关键词：有（存在）、只有（唯一） 生活应用： 钉木条至少钉 2 颗钉子；排队对齐；射击瞄准两点一线。 拓展：过一点可以画无数条直线；两点只能画 1 条直线。 基本事实 2：两点之间，线段最短 文字表述：两点的所有连线中，线段最短。 衍生定义：连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离。 ⚠️ 易错区分：距离是长度（数），线段是图形，不能说 “线段是距离”。 生活应用：走路走直路、河道改直缩短路程。 知识点 03 线段的作图、比较、和差运算 一、尺规作图：作一条线段等于已知线段 标准步骤： 画一条射线AB； 圆规量取已知线段MN的长度； 圆规针尖固定在A，在射线上截取AC=MN； 线段AC即为所求。 二、比较线段长短两种方法 方法 操作步骤 适用场景 度量法 用刻度尺分别量两条线段长度，再比较数值 需要精确数值、计算和差 叠合法 一端点重合，另两端点落在同侧，观察位置 纯图形直观比较 三、线段的和、差（几何书写规范） 已知点C在线段AB上： 和：AB=AC+BC 差：AC=AB-BC，BC=AB-AC 四、线段中点（核心概念） 定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。 几何等量关系（必写）： 若C是线段AB中点，则 AC=CB=AB，AB=2AC=2CB 知识点 04 直线、射线、线段计数规律（选择填空高频） 1. 直线计数 任意两点确定 1 条直线，n个点中任意三点不共线时，直线总数： 2. 射线计数（直线上有n个点） 直线上每个点分出 2 条射线，总射线数2n。 3. 线段计数（直线上有n个端点） 总线段条数：(n-1)+(n-2)+..+1= 例：线段上有 4 个点，总线段数3+2+1=6条。 知识点 05 高频易错点汇总 典型错误 标准正确做法 射线写反顺序，射线OA写成射线AO 射线端点字母必须写在第一位，不可调换 混淆 “两点间距离”，说成两点之间的线段 距离是线段的长度，是数值，线段是图形 认为射线、直线可以度量长度 只有线段有有限长度，射线、直线无限长，无法测量 中点公式书写颠倒，AM=2AB 中点分线段为两半，AM=AB 过两点画多条直线，违背直线公理 牢记两点确定唯一一条直线 计算线段条数漏数、重复数 套用公式，按端点有序枚举 尺规作图不保留圆规痕迹 作图题必须保留作图痕迹，不能直接画出线段 知识点 06 几何规范语言汇总（答题书写标准） 1.延长线段AB至点C，使BC=AB； 2.反向延长射线OA； 3.点M在线段AB上；点P在直线l外； 4.连接AB（只能连接两点得到线段，不能说连接射线 / 直线）； 5.过点A、B作直线AB。 知识点 07 全节核心速记表格 核心公理 / 概念 关键结论 易错提醒 直线三要素 无端点，双向无限延伸 过一点无数直线，两点仅 1 条 射线三要素 1 个端点，单向延伸 表示时端点字母在前 线段三要素 2 个端点，可度量 两点之间线段最短 两点确定直线 两点有且只有一条直线 用于钉钉子、瞄准 两点间距离 连接两点线段的长度 距离是数值，不是图形 线段中点 AM=MB=AB 等式三种写法都要掌握 线段计数公式 n个点总线段， 不重复、不漏数 题型1.直线.线段.射线的联系与区别 【典例】下列说法中，正确的是_____． ①延长直线到点；②延长射线到点；③延长线段到点；④画出长的直线；⑤画出长的射线；⑥画出长的线段；⑦射线长度是直线长度的一半． 【答案】③⑥/⑥③ 【分析】本题考查了直线、射线和线段的定义，直线：在平面内，无端点，向两方无限延伸的线，射线：在平面内，有一个端点，向一方无限延伸，线段：在平面内，有两个端点，不延伸． 根据直线、射线和线段的定义逐一判断即可． 【详解】解：①直线是无限长的，无法延长，故错误； ②射线是无限长的，无法延长，故错误； ③线段可以延长到点M，故正确； ④直线是无限长的，无法画出有限长度，故错误； ⑤射线是无限长的，无法画出有限长度，故错误； ⑥线段可以画出长的线段，故正确； ⑦射线和直线都是无限长的，无法比较长度，故错误； 故答案为：③⑥． 【跟踪专练1】如图，下列表述不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．点在直线上 C．直线和直线相交于点 D．直线不经过点 【答案】B 【分析】本题考查了线段、直线、射线，熟练掌握线段、直线、射线之间的关系是解题关键．根据线段、直线、射线之间的关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、线段和射线都是直线的一部分，则此项正确，不符合题意； B、点不在直线上，则此项不正确，符合题意； C、直线和直线相交于点，则此项正确，不符合题意； D、直线不经过点，则此项正确，不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，下列说法正确的是（   ） A．图中有直线1条，射线3条，线段2条 B．射线还可以表示为射线 C．点在直线外，直线经过点 D．图中线段，则点是线段的中点 【答案】C 【分析】本题主要考查了直线、射线，线段的定义，根据直线、射线，线段的定义进行逐一判断即可，熟知相关定义是解题的关键． 【详解】解：A、图中有直线共1条，射线共4条，线段共3条，故A错误，不符题意； B、射线还不可以表示为射线，故B错误，不符题意； C、点在直线外，直线经过点，故C正确，符合题意； D、图中线段，则点不一定是线段的中点，故D错误，不符合题意， 故选：C． 题型2.画出直线.线段.射线 【典例】两个小朋友欣欣和希希在捉迷藏，欣欣站在图中的点处，没有看到希希，那么在图中所给出的位置点中，希希不可能躲藏的位置是点________处（图中带阴影部分为足够高且不透明的障碍物）． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了线段的知识，理解线段的定义是解题关键．连接，观察这些线段是否与障碍物相交，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， 由图可知，仅有没有与障碍物相交， 故希希不可能躲藏的位置是点或处． 故答案为：或． 【跟踪专练1】同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有________个． 【答案】 【分析】本题主要考查了分类讨论思想，根据题意画出图形是解题的关键．分两种情况进行讨论，①为斜边，则，② 为直角边，或者． 【详解】解：①为斜边，点C到直线的距离为， 即边上的高为，满足上述条件的点C有个， 如图： ②为直角边，或者， 满足上述条件的点C有个， 故答案为：． 【跟踪专练2】平面上有四个点，经过其中的两点画直线最少可画a条直线，最多可画b 条直线，那么的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】当四点在一条直线上时，可画1条，当任意三点不在同一条直线上时，可画出6条直线，据此得出a、b的值，代入计算即可． 【详解】解：如图所示： 平面上有四个点最少画1条直线，最多画6条直线， ∴，， ∴． 题型3.点与线的位置关系 【典例】如图，点A在直线l______，点B在直线l______． 【答案】 上 外 【分析】此题考查了点和直线的位置关系，根据点A和点B的位置判断即可． 【详解】解：点A在直线l上，点B在直线l外． 故答案为：上，外． 【跟踪专练1】若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 【答案】D 【分析】根据P点在线段AB上时，AP+BP=AB，进行判断即可． 【详解】解：A. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，此时点P在直线AB上，故错误； B. 点在线段AB延长线上时，，故错误； C. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，故错误； D. 点在线段AB上时，AP+BP=AB，点一定在线段外时，，故正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了点和直线、线段的位置关系，解题关键是抓住当点在线段AB上时，AP+BP=AB这一结论，进行判断． 【跟踪专练2】下列几何图形与相应语言描述不相符的是（     ）． A．如图乙所示，直线与直线交于点 B．如图甲所示，直线不经过点 C．如图丁所示，线段与射线一定相交 D．如图丙所示，点在线段上 【答案】D 【分析】根据射线，线段，直线的定义对各选项进行判断作答即可． 【详解】A、B、C选项描述均正确，故不符合题意， D选项描述不正确，应为“如图丙所示，点在直线上”，故符合题意． 题型4.直线.线段.射线的数量问题 【典例】在如图所示的图形中，共有 _____条线段，以B为端点的线段有 _____． 【答案】 10 4条 【详解】解：如图所示的图形中，共有线段10条，分别是，，，，，，，，，， 以B为端点的线段有4条，分别是，，，． 【跟踪专练1】盐泰锡常宜铁路是“六纵六横”高速铁路网中盐杭通道的重要线路．其中泰兴至太湖两个站点之间有靖江、江阴、惠山三个站点，如果往返于泰兴和太湖两地，且每两站间距离各不相等，则需要准备_________种不同的车票． 【答案】 【分析】先确定总站点数，车票与出发地和目的地的顺序有关，往返两站的车票为不同车票，计算所有不同顺序的两站组合数即可得到结果． 【详解】解：由题意可知，线路两端分别为泰兴和太湖，加上中间的3个站点，总站点数为 个． ∵任意两站间往返车票不同， ∴每个站点可到达其余个站点， ∴不同车票的总数为． 【跟踪专练2】某铁路线共设有5个不同的站点，要保证每两个站点之间都有火车可乘，则需要印制不同的火车票共（    ） A．8种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】本题考查线段的计数，掌握相关知识是解决问题的关键．火车票有方向性，共有5个站点，每个站点需要到其他4个站点有票，据此计算即可． 【详解】解：∵ 共有5个站点，每个站点需要到其他4个站点有票， ∴ 总票数为种． 故选：D． 题型5.直线相交的交点个数问题 【典例】在同一平面内的三条直线，它们的交点个数是______ 【答案】 0或1或2或3个 【分析】本题主要考查了相交线和平行线．正确画出图形，即可得到正确结果． 分类讨论画出图形，①当三条直线平行时，没有交点；②三条直线交于一点时，有一个交点；③两条平行线与一条直线相交时，有两个交点；④三条直线两两相交时有三个交点，即可得出答案． 【详解】解：如图， 由图可知：同一平面内的三条直线，其交点个数为：0个；1个；2个；3个． 故答案是：0个或1个或2个或3个． 【跟踪专练1】如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则条直线两两相交最多有__________个交点． 【答案】4950 【分析】本题考查相交线交点个数问题，直线两两相交时去掉重复交点是解题的关键．由所给条件可得条直线相交最多有个交点，令即可求解． 【详解】解：2条直线相交有1个交点， 3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点， 5条直线相交最多有个交点， 条直线相交最多有个交点， 把代入，得 故答案为：4950． 【跟踪专练2】在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了探究规律，两条直线相交，最多有个交点，三条直线两两相交，最多有个交点，四条直线两两相交，最多有个交点，据此可求解；找出规律是解题的关键． 【详解】解：两条直线相交，最多有个交点， 三条直线两两相交，最多有个交点， 四条直线两两相交，最多有个交点．．． 按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是， 故选：A． 题型6.线段的应用 【典例】从阳谷开往济南的特快列车，途中要停靠三个站点如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有______种． 【答案】10 【分析】根据题意得出共有车票，根据往返两个站点的票价相同，即可求出有几种票价． 【详解】解：由题意可知共有5个站点， ∴共有种车票， 但往返两个站点的票价相同，即有种票价， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了有关线段、射线、直线的应用，主要考查学生的理解能力，本题用了排列和组合的内容． 【跟踪专练1】往返于贵阳到铜仁的列车，中途停靠4个站，则要准备 _____种不同的车票． 【答案】30 【分析】先计算出总的站点数量，再结合不同起点终点对应不同车票，即往返车票方向不同属于不同车票，计算即可得到总车票种类． 【详解】由题意可得，总站数为 （个）， 因为车票起点不同即为不同车票，每个站可到达剩余个站，因此总车票种类为：（种）． 【跟踪专练2】2025年12月22日，广州至湛江高铁顺利开通运营，广州白云站至湛江北站最快通行时间仅需1小时32分．如图，为其中一段高铁行驶路线，图中5个字母对应5个沿途车站，现需为这段路线的往返行车印制车票，共需印制（   ）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了线段的应用；分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制种车票，而有个起始站，故可以直接列出算式． 【详解】解：， 故选：C． 题型7.两点确定一条直线 【典例】如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是______． 【答案】两点确定一条直线 【分析】首先将弹出的墨线看作是一条直线；接下来，依据直线的性质解答即可． 【详解】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是两点确定一条直线． 【跟踪专练1】如图，在利用量角器画一个40°的的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据是______． 【答案】两点确定一条直线 【分析】经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线，据此可得答案． 【详解】解：在利用量角器画一个40°的∠AOB的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【点睛】本题考查了直线的性质，利用直线的性质是解题关键． 【跟踪专练2】为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法运用的数学知识是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．射线只有一个端点 D．过一点有无数条直线 【答案】A 【分析】两个学生看成点，根据两点确定一条直线的知识解释即可． 【详解】∵两点确定一条直线， ∴选A． 【点睛】本题考查了两点确定一条直线的原理，正确理解原理是解题的关键． 题型8.作线段 【典例】如图，已知线段，，小明在射线上进行尺规作图，根据作图痕迹判断线段长表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查线段的和差，根据线段的和差求解即可． 【详解】解：根据作图可得 故选：D． 【跟踪专练1】已知线段，．如果按如下步骤进行尺规作图：①在射线上顺次截取，②在射线上截取，那么的长为_____． 【答案】或 【分析】本题考查作一条线段等于已知线段，两点间的距离，根据题意画出图形是解题的关键． 根据题意画出几何图形，然后利用两点之间的距离得到． 【详解】 解：令，， 如图，当点在点的左侧， ，； 如图，当点在点的右侧， ，； 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 【跟踪专练2】如图所示，已知线段，，（），求作线段AB，使．下面利用尺规作图正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据图形观察分析得出. 【详解】、错误，图中； 、错误，图中； 、错误，图中； 、正确， 故选： 【点睛】本题主要考查了尺规作图的应用，解题的关键是明确作一条线段等于已知的线段的方法. 题型9.线段的和与差 【典例】如图，在直线上顺次取，，，四点，则______________，_______． 【答案】 【详解】解：由线段的关系可知， ． 【跟踪专练1】点A、B、C在同一直线上，，，则等于（     ）． A．2 B．8 C．2或8 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：分两种情况讨论： 当点在线段上时，如图， ； 当点在线段的延长线上时，如图， ； 综上所述，等于2或8． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，点E在上，且．点在上，若的周长和四边形的周长相等，则的长为_____________． 【答案】1 【分析】根据的周长和四边形的周长相等得到，根据，得到，根据得到，最后将，代入求解即可． 【详解】解：∵的周长和四边形的周长相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 【跟踪专练3】如图，A，B，C，D四点在一直线上，，，，F为线段上的动点，点F到A，B，C，D距离的和的最小值为m，最大值为n，则的值为（   ） A．14 B．20 C．26 D．28 【答案】C 【分析】本题考查线段的和与差，根据线段的和与差求得m、n值，进而代值求解即可． 【详解】解：由题意，， 当点F在线段上时，点F到A，B，C，D距离的和为，此时点F到A，B，C，D距离的和最小，故最小值； 当点F在线段上时，点F到A，B，C，D距离的和为 故当点F在点A处时，点F到A，B，C，D距离的和最大，最大值为15； 当点F在线段上时，点F到A，B，C，D距离的和为 故当点F在点D处时，点F到A，B，C，D距离的和最大，最大值为13； ∵， ∴点F到A，B，C，D距离的和最大值, ∴． 故选：C． 题型10.线段中点的有关计算 【典例】下面直线上点表示的数是 ______，若点在线段的中点，则点表示的数是 ______． 【答案】 / 【分析】利用数轴上的点表示数和线段中点的计算可得答案． 【详解】解：由图可知，点表示的数是，点表示的数为， ∵点在线段的中点， ∴点表示的数是． 【跟踪专练1】如图，已知为线段的中点，在线段上，且，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据线段的和差关系求出的长，再利用中点定义求出的长，最后根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∵在线段上， ∴． 【跟踪专练2】、、、、五个车站在同一直线上，它们之间的距离如图所示（单位：）．如果，为线段的中点，则的值为___________． 【答案】8 【分析】先用的长度减去的长度，整理即可得出D、E两站的距离，再根据列式并把代入即可求出． 【详解】解：， ∵D为线段的中点， ∴，即， ∴， ∵， ∴（）． 故答案为：8． 【跟踪专练3】已知线段，下列说法能确定点为线段中点的是（   ） ①；②；③；④ A．①③④ B．②③④ C．②④ D．② 【答案】D 【分析】根据线段中点的定义：若点在线段上，且，则是的中点，逐一判断． 【详解】①∵只要点在线段上，任意位置都满足，∴无法确定是中点，①错误； ②∵，，∴，即点在线段上，且，∴可以确定是中点，②正确； ③∵时，点可以在线段的延长线上，不在线段上，∴无法确定是中点，③错误； ④∵得，点可以在点左侧的延长线上，不在线段上，∴无法确定是中点，④错误； 因此只有②正确． 题型11.线段n等分点的有关计算 【典例】线段，点是的一个十二等分点，则的长度可能是_____________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了线段等分点相关的计算；点为的十二等分点，被分为等份，每份长度相等，计算每份长度即可得到的可能值，即可求解． 【详解】解：，十二等分后每等份长度为， 点为等分点， 因此的长度可能为，，，，等， 故答案为：（答案不唯一） 【跟踪专练1】点A、B、C、D是线段的五等分点，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段等分点的有关计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． 根据占4份，求出每一份的长度，即可求解总长度． 【详解】解：∵点A、B、C、D是线段的五等分点，若， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】将一根绳子对折成一条线段，C为线段上一点，，在C处将绳子剪断，得到的三根短绳中最长的一根绳子的长为，则绳子的原长为_________． 【答案】或． 【分析】本题考查线段之间的和差倍分，通过分类讨论，是以A或者B为折点进行对折，即可求解，解题关键在于要进行分类讨论，不漏解． 【详解】解：对折后如图所示： 若以为对折点，最长的为， 则，， 绳子原长； 若以为对折点，最长的为， 则， 绳子原长， 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是（　　） A．10 B．8 C．7或9 D．8或10 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段和差倍分的计算，解题关键是熟练掌握线段与线段之间的和差倍分关系． 先根据已知条件求出和的长，然后根据点的位置，分两种情况讨论，画出图形，利用已知条件，求出的值即可． 【详解】解：，点是中点， ， 分两种情况讨论： ①点的位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； ②点位置如图所示： 点是线段的三等分点， ， ； 综上可知：的长度为8或10， 故选：D． 题型12.线段之间的数量关系 【典例】如图，点表示的数为，点表示的数为，则最适合表示的点是___________． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段间的数量关系，数轴，先根据点表示的数为，点表示的数为，得出，从而求出的中点D表示的数为：，根据，即可得出答案． 【详解】解：∵点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴的中点D表示的数为：， ∵， ∴最适合表示的点是D点． 故答案为：D． 【跟踪专练1】如图，点C是线段上一点，点D是线段的中点，则下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义，根据线段的和差可说明B，C，再根据中点的定义解答D，进而说明A即可． 【详解】解：根据题意可知；因为点D是线段的中点，所以；因为点C是线段上一点，所以，，所以B，C，D成立，A不成立． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，点是线段上一点，两点分别从P、B同时出发，点以、点以的速度沿直线向左运动（点始终在线段上，点始终在线段上），设运动的时间为，若点C、D运动到任一时刻时，总有，则线段的长度为______． 【答案】 【分析】本题考查了线段的和与差，两点间的距离，解题关键是灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系． 先表示出，，从而可得，进而可得出，从而可求得． 【详解】解：当运动时间为时，，， ∴， 又， ∴， 即， ∴， 又， ∴（）． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，已知线段，线段，线段在线段上由点向点从左向右移动（点不与点重合，点不与点重合），若设线段，记图中所有线段的和为，则可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的和与差，整式的加减，线段条数，根据题意可得，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 题型13.与线段有关的动点问题 【典例】如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有______个． 【答案】5 【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，据此解答即可． 【详解】解：根据题意可知： 当点P经过任意一条线段中点时会发出报警， ∵图中共有线段DC、DB、DA、CB、CA、BA， ∵BC和AD中点是同一个， ∴发出警报的点P最多有5个． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了线段的中点，利用总体思想去思考线段的总条数是解决问题最巧妙的办法，可以减去不必要的讨论与分类． 【跟踪专练1】已知数轴上三点，，表示的数分别为，0，4，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为线段靠近点的三等分点，点始终为靠近点的三等分点，点在从点出发往右运动的过程中，则线段的长度为_________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，数轴上两点的三等分点的计算公式，设运动时间为，点的运动速度为，则点表示的数为，再根据数轴上两点的三等分点的计算公式得到点表示的数和点表示的数，再求两个数差的绝对值即可． 【详解】解：设运动时间为，点的运动速度为，则点表示的数为， ∵点始终为线段靠近点的三等分点， ∴点表示的数为 点始终为靠近点的三等分点， 点表示的数 所以 故答案为8． 【跟踪专练2】如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的应用，线段的中点性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 根据两点间距离进行计算即可判断①；利用路程除以速度即可判断②；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，由题意求出的长， 再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断④； 【详解】∵A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且， ∴B对应的数为，故①正确； ∵， ∴点P到达点B时，，故②是正确的； 当点P在点B右边时， ∵， ∴， ∴； 当点P在点B左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或，故③错误； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时， ； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时， ； ∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故④错误； ∴正确结论有①②， 故选：A． 题型14.两点之间线段最短 【典例】年月日，汾石高速公路正式通车，标志着山西省提前一年完成“县县通高速”．施工过程中，修建桥梁、打通隧道都缩短了路程，其中体现的数学原理是________． 【答案】 两点之间线段最短 【分析】题干中“缩短了路程”说明两点间的距离变小，将弯曲的路变为直路，依据线段的性质即可求解． 【详解】解：由题意可知，修建桥梁、打通隧道是将原本弯曲的路线变为直的路线，根据线段的性质，在连接两点的所有线中，线段最短， 所以体现的数学原理是两点之间线段最短． 【跟踪专练1】凸四边形各边的长度如图所示，则x不可能是（   ） A．10 B．9 C．7 D．3 【答案】A 【分析】根据两点之间线段最短得到，据此即可得到答案． 【详解】解：由题意，得， 即， 故x不可能是10． 【跟踪专练2】在一条工厂流水线上从左到右依次有，，三个加工点，其中，两点相距，，两点相距，现要在流水线上设置一个材料供应站，分别往，，投放不同的原料，使得供应站到三个加工点的距离之和最小，这个最小值为____________． 【答案】30 【详解】解：根据题意，得当点P与点B重合时，取得最小值，且最小值为， 则到三个加工点的距离之和最小，且最小为． 【跟踪专练3】如图，在平面内，为线段，射线上有一点到的距离为12，是平面内一点，且始终保持，则的最小值为（    ） A．12 B．4 C．3 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间线段最短，解题的关键是得出．连接，则，根据两点之间线段最短，得出当N在A，C之间时，最小，然后求出最小值即可． 【详解】解：如图，连接，则，    ∵两点之间线段最短， ∴当N在A，C之间时，最小，且最小值， ∴的最小值为， 故选：B． 题型15.两点间的距离 【典例】已知线段，在直线上作线段，使得，若点D是线段的中点，则线段的长为______． 【答案】 5或11 【分析】本题主要考查了两点之间的距离，正确理解题目并分情况进行计算是解决本题的关键．根据题意可分为两种情况，①点C在线段上，可计算出的长，再由D是线段的中点，即可得出答案；②在线段的延长线上，可计算出的长，再由D是线段的中点，即可得出答案． 【详解】解：根据题意分两种情况， ①如图1， ∵，， ∴， ∵D是线段的中点， ∴； ②如图2， ∵，， ∴， ∵D是线段的中点， ∴． ∴线段的长为5或11． 故答案为：5或11． 【跟踪专练1】如图，线段上有三个点，点是的中点，．则线段______． 【答案】6 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，根据线段的中点的定义，线段的数量关系，以及线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵点是的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：6． 【跟踪专练2】直线上的三个点，若满足，则称点是点关于点的“半距点”．如图1，，此时点就是点关于点的一个“半距点”．如图2，若三个点在同一条直线上，且点是点关于点的“半距点”，，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了线段的和差计算，理解题目中新定义的“半距点”是解题关键；根据题意分两种情况讨论：当点在线段上时；当点在的延长线上时；然后由“半距点”定义求解即可． 【详解】解：当在线段上时，， ； 当在的延长线上时， ， ； 综上：的长为：或． 故答案为：C． 题型16.最短路径问题 【典例】作图题：如图，已知直线和直线外三点、、，请按下列要求画图： (1)画线段； (2)画射线； (3)在直线上确定点，使得最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了射线、线段的定义，两点之间线段最短等知识，熟悉相关知识是解答本题的关键． （1）连接点，，即可； （2）根据射线的定义，作图即可； （3）连接交直线于点，即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求： ； （2）解：如图，射线即为所求： ； （3）解：如图，点即为所求： ． 【跟踪专练1】操作题：如图，有一个正方体形状的桌子，正方形是它朝上的桌面，点是正方形的四个顶点，桌高是． (1)一只蚂蚁要从正方形桌面的点爬行到点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由：_______； (2)另有一只蚂蚁要从桌子脚的点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到点，怎样爬行路线最短？请在图③中的横线上画出最短路线示意图．（画出一种即可） 【答案】(1)图见详解，两点之间线段最短 (2)图见详解 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，画线段，解题的关键熟练掌握线段的性质． （1）连接即可；根据两点之间线段最短进行解答即可； （2）将正方体前面的面和右侧面展开，连接即可． 【详解】（1）解：如图，连接，则为蚂蚁爬行的最短路线；理由为：两点之间线段最短； 故答案为：两点之间线段最短． （2）解：如图，即为所求最短路线． 或 或 或 【跟踪专练2】如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出将向下平移5个单位长度后的； (2)画出关于点成中心对称的； (3)画出绕点逆时针旋转的； (4)在直线上找一点，使的周长最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 【答案】(1)如图，即为所求 (2) 如图，即为所求 (3) 如图，即为所求 (4) 如图，点P即为所求 【分析】本题主要考查了利用平移变换，旋转变化作图，熟练掌握作图技巧是解题的关键． （1）根据平移的方向和距离，即可得到向下平移个单位后的图形； （2）根据旋转中心，旋转的方向以及角度，即可得到图像； （3）分别找出对应点，连接即可； （4）找出关于直线的对称点，连接，交直线于点，此时，则，使的周长最小． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）略 解答题 1．已知平面上四点A、B、C、D，如图： (1)画直线； (2)画射线，与相交于O； (3)连结、相交于点F； (4)画射线； (5)画射线； (6)连接线段． 【答案】(1)，直线如图所示； (2)以点B为端点，向点C方向作射线，标注射线与直线的交点为O，作图见小问1答案 (3)分别连接、，标注两条线段的交点为F，作图见小问1答案 (4)以点F为端点，经过点O作射线，作图见小问1答案 (5)以点A为端点，经过点B作射线，作图见小问1答案 (6)连接点C和点D，得到线段，作图见小问1答案 【详解】（1）作图见答案 （2）作图见小问1答案 （3）作图见小问1答案 （4）作图见小问1答案 （5）作图见小问1答案 （6）作图见小问1答案 2．如图，在中，，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，． 【分析】以点为圆心，长为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点即可． 【详解】略 3．如图，平面上有三点A，B，C． (1)请用无刻度直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作直线：②作线段；③作射线；④在射线上截取． (2)我们知道两条直线相交有一个交点；如（1），三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交，最多有_______个交点；若有n条直线相交，最多有_______个交点． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题考查直线，射线，线段，图形规律，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． （1）按照题意作图即可； （2）通过画图找到规律即可解答． 【详解】（1）解：如图，直线，线段，射线，线段即为所求； （2）解：如图，三条直线相交，最多有3个交点； 四条直线相交，最多有个交点； 五条直线相交，最多有个交点； 若有n条直线相交，最多有个交点， 故答案为：；． 4．如图，是线段上一点，线段，，是的中点，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，由E是的中点求出，再利用线段的和差求解即可； （2）先求出，根据线段中点定义求出，再利用线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ，是的中点， ． （2）解：由（1）知：， ， ， 是的中点， ， ， ． 5．如图，已知正方形内阴影部分面积为，点、、、、均为正方形边上的三等分点，则正方形的面积是多少平方米？ 【答案】平方米 【分析】设正方形的边长为，则， 易得正方形的面积为，，再根据正方形内阴影部分面积为列方程求得，进而确定正方形的面积即可． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ∴正方形的面积为，， ∵正方形内阴影部分面积为， ∴， ∴，解得：， ∴正方形的面积是平方米． 6．如图：已知数轴上A，B两点所表示的数分别是和8． (1)线段的长是__________； (2)若P为射线上的一点（点P不与A，B两点重合），M为的中点，N为的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段的长；若改变，请说明理由； (3)在第（2）问的条件下，当点P在什么位置时，的长度等于的长度的2倍？直接写出此时点P所表示的数． 【答案】(1)； (2) 解：线段的长度不发生变化，其值为， 分下面两种情况， 当点在、两点之间运动时， ， ， ， ， ②当点在点的左侧运动时， ， ， ， ， 综上所述，线段的长度不发生变化，其值为． (3)点所表示的数为或． 【分析】（1）由已知先得出和，即可求出的长． （2）此题可分两种情况讨论，即分和两种情况求得的长即可得到答案． （3）分当点在、两点之间运动和点在点的左侧运动两种情况求得的长，从而求得点所表示的数． 【详解】（1）解：、两点所表示的数分别为和， ，， ． （2）略 （3）解：当点在、两点之间运动时，， 即， ， 解得：， 此时点所表示的数为； 当点在点的左侧运动时，， 即， ， 解得：， 此时点所表示的数为． 7．如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 【答案】(1)①； ②因为， 所以， 所以， 所以， 所以． (2)或 【分析】（1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案； ②用t表示出、、的长度即可求证； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【详解】（1）①由题意可知， ． 因为， 所以， 所以． ② 略 （2）当时， ． ①当点在点的右边时，如图， 因为， 所以， 所以， 所以； ②当点在点的左边时，如图， 则有， 所以． 综上所述，的长度为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13直线.射线.线段暑假预习讲义 1. 概念识记：分清直线、射线、线段三者定义，牢记端点数量差异：直线无端点、射线一个端点、线段两个端点；掌握三者几何符号书写方式。 2. 公理掌握：熟记核心公理：两点确定一条直线；理解两点之间线段最短，明确两点间距离为线段长度。 3. 作图实操：根据要求画出直线、射线、线段，掌握线段截取、延长线段、反向延长射线的规范作图方法。 4. 线段运算：会用叠合法、度量法比较线段长短；能进行线段的和、差计算，理解线段中点定义并利用中点求线段长度。 5. 几何语言：熟练文字、图形、符号语言转换，规范描述点与直线、直线之间的位置关系。 6. 识图辨析：在复合图形中准确数出所有线段、射线，避免计数遗漏或重复。 7. 避错要点：区分线段长度与距离概念；射线不可度量、不可比较长短；延长与反向延长切勿搞反。 8. 思维培养：建立基础几何严谨思维，为后续角、相交线等几何内容做好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.直线.射线.线段基础概念 2.两个基本事实 3.线段的作图.比较与和差运算 4.直线.射线.线段计数贵 5.高频易错点汇总 6.几何规范语言汇总 常考题型 精讲精练 1.直线.线段.射线的联系与区别 2.画出直线.线段.射线 3.点与线的位置关系 4.直线.线段.射线的数量问题 5.直线相交的交点个数问题 6.线段的应用 7.两点确定一条直线 8.作线段 9.线段的和与差 10.线段中点的有关计算 11.线段n等分点的有关计算 12.线段之间的数量关系 13.与线段有关的动点问题 14.两点之间线段最短 15.两点间的距离 16.最短路径问题 强化题型 解答题7题 知识点 01 直线、射线、线段基础概念与三要素对比 一、定义 线段：直线上两点及两点间的部分，有两个端点，长度可测量。 有始有终，长度可量 射线：将线段向一个方向无限延伸得到的图形，只有 1 个端点，不可度量长度。 有始无终，无限延伸 直线：将线段向两个方向无限延伸得到的图形，无端点，不可度量长度。 无始无终，无限延伸 二、核心对比表格（必考区分点） 知识点 02 两个基本事实（几何公理，证明、填空必背） 基本事实 1：两点确定一条直线 文字表述：经过两点有且只有一条直线。 关键词：有（存在）、只有（唯一） 生活应用： 钉木条至少钉 2 颗钉子；排队对齐；射击瞄准两点一线。 拓展：过一点可以画无数条直线；两点只能画 1 条直线。 基本事实 2：两点之间，线段最短 文字表述：两点的所有连线中，线段最短。 衍生定义：连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离。 ⚠️ 易错区分：距离是长度（数），线段是图形，不能说 “线段是距离”。 生活应用：走路走直路、河道改直缩短路程。 知识点 03 线段的作图、比较、和差运算 一、尺规作图：作一条线段等于已知线段 标准步骤： 画一条射线AB； 圆规量取已知线段MN的长度； 圆规针尖固定在A，在射线上截取AC=MN； 线段AC即为所求。 二、比较线段长短两种方法 方法 操作步骤 适用场景 度量法 用刻度尺分别量两条线段长度，再比较数值 需要精确数值、计算和差 叠合法 一端点重合，另两端点落在同侧，观察位置 纯图形直观比较 三、线段的和、差（几何书写规范） 已知点C在线段AB上： 和：AB=AC+BC 差：AC=AB-BC，BC=AB-AC 四、线段中点（核心概念） 定义：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点。 几何等量关系（必写）： 若C是线段AB中点，则 AC=CB=AB，AB=2AC=2CB 知识点 04 直线、射线、线段计数规律（选择填空高频） 1. 直线计数 任意两点确定 1 条直线，n个点中任意三点不共线时，直线总数： 2. 射线计数（直线上有n个点） 直线上每个点分出 2 条射线，总射线数2n。 3. 线段计数（直线上有n个端点） 总线段条数：(n-1)+(n-2)+..+1= 例：线段上有 4 个点，总线段数3+2+1=6条。 知识点 05 高频易错点汇总 典型错误 标准正确做法 射线写反顺序，射线OA写成射线AO 射线端点字母必须写在第一位，不可调换 混淆 “两点间距离”，说成两点之间的线段 距离是线段的长度，是数值，线段是图形 认为射线、直线可以度量长度 只有线段有有限长度，射线、直线无限长，无法测量 中点公式书写颠倒，AM=2AB 中点分线段为两半，AM=AB 过两点画多条直线，违背直线公理 牢记两点确定唯一一条直线 计算线段条数漏数、重复数 套用公式，按端点有序枚举 尺规作图不保留圆规痕迹 作图题必须保留作图痕迹，不能直接画出线段 知识点 06 几何规范语言汇总（答题书写标准） 1.延长线段AB至点C，使BC=AB； 2.反向延长射线OA； 3.点M在线段AB上；点P在直线l外； 4.连接AB（只能连接两点得到线段，不能说连接射线 / 直线）； 5.过点A、B作直线AB。 知识点 07 全节核心速记表格 核心公理 / 概念 关键结论 易错提醒 直线三要素 无端点，双向无限延伸 过一点无数直线，两点仅 1 条 射线三要素 1 个端点，单向延伸 表示时端点字母在前 线段三要素 2 个端点，可度量 两点之间线段最短 两点确定直线 两点有且只有一条直线 用于钉钉子、瞄准 两点间距离 连接两点线段的长度 距离是数值，不是图形 线段中点 AM=MB=AB 等式三种写法都要掌握 线段计数公式 n个点总线段， 不重复、不漏数 题型1.直线.线段.射线的联系与区别 【典例】下列说法中，正确的是_____． ①延长直线到点；②延长射线到点；③延长线段到点；④画出长的直线；⑤画出长的射线；⑥画出长的线段；⑦射线长度是直线长度的一半． 【跟踪专练1】如图，下列表述不正确的是（   ） A．线段和射线都是直线的一部分 B．点在直线上 C．直线和直线相交于点 D．直线不经过点 【跟踪专练2】如图，下列说法正确的是（   ） A．图中有直线1条，射线3条，线段2条 B．射线还可以表示为射线 C．点在直线外，直线经过点 D．图中线段，则点是线段的中点 题型2.画出直线.线段.射线 【典例】两个小朋友欣欣和希希在捉迷藏，欣欣站在图中的点处，没有看到希希，那么在图中所给出的位置点中，希希不可能躲藏的位置是点________处（图中带阴影部分为足够高且不透明的障碍物）． 【跟踪专练1】同一平面内有A，B，C三点，A，B两点之间的距离为，点C到直线的距离为，且为直角三角形，则满足上述条件的点C有________个． 【跟踪专练2】平面上有四个点，经过其中的两点画直线最少可画a条直线，最多可画b 条直线，那么的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 题型3.点与线的位置关系 【典例】如图，点A在直线l______，点B在直线l______． 【跟踪专练1】若线段满足，则关于点的位置，下列说法正确的是（    ） A．点一定在直线上 B．点一定在直线外 C．点一定在线段上 D．点一定在线段外 【跟踪专练2】下列几何图形与相应语言描述不相符的是（     ）． A．如图乙所示，直线与直线交于点 B．如图甲所示，直线不经过点 C．如图丁所示，线段与射线一定相交 D．如图丙所示，点在线段上 题型4.直线.线段.射线的数量问题 【典例】在如图所示的图形中，共有 _____条线段，以B为端点的线段有 _____． 【跟踪专练1】盐泰锡常宜铁路是“六纵六横”高速铁路网中盐杭通道的重要线路．其中泰兴至太湖两个站点之间有靖江、江阴、惠山三个站点，如果往返于泰兴和太湖两地，且每两站间距离各不相等，则需要准备_________种不同的车票． 【跟踪专练2】某铁路线共设有5个不同的站点，要保证每两个站点之间都有火车可乘，则需要印制不同的火车票共（    ） A．8种 B．种 C．种 D．种 题型5.直线相交的交点个数问题 【典例】在同一平面内的三条直线，它们的交点个数是______ 由图可知：同一平面内的三条直线，其交点个数为：0个；1个；2个；3个． 故答案是：0个或1个或2个或3个． 【跟踪专练1】如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则条直线两两相交最多有__________个交点． 【跟踪专练2】在同一平面内，我们把条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点．．．按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是（　　） A． B． C． D． 题型6.线段的应用 【典例】从阳谷开往济南的特快列车，途中要停靠三个站点如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有______种． 【跟踪专练1】往返于贵阳到铜仁的列车，中途停靠4个站，则要准备 _____种不同的车票． 【跟踪专练2】2025年12月22日，广州至湛江高铁顺利开通运营，广州白云站至湛江北站最快通行时间仅需1小时32分．如图，为其中一段高铁行驶路线，图中5个字母对应5个沿途车站，现需为这段路线的往返行车印制车票，共需印制（   ）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 题型7.两点确定一条直线 【典例】如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，此操作的依据是______． 【跟踪专练1】如图，在利用量角器画一个40°的的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据是______． 【跟踪专练2】为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法运用的数学知识是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．射线只有一个端点 D．过一点有无数条直线 题型8.作线段 【典例】如图，已知线段，，小明在射线上进行尺规作图，根据作图痕迹判断线段长表示为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知线段，．如果按如下步骤进行尺规作图：①在射线上顺次截取，②在射线上截取，那么的长为_____． 【跟踪专练2】如图所示，已知线段，，（），求作线段AB，使．下面利用尺规作图正确的是（    ）    A．   B．   C．   D．   题型9.线段的和与差 【典例】如图，在直线上顺次取，，，四点，则______________，_______． 【跟踪专练1】点A、B、C在同一直线上，，，则等于（     ）． A．2 B．8 C．2或8 D．无法确定 【跟踪专练2】如图，在中，，，，点E在上，且．点在上，若的周长和四边形的周长相等，则的长为_____________． 【跟踪专练3】如图，A，B，C，D四点在一直线上，，，，F为线段上的动点，点F到A，B，C，D距离的和的最小值为m，最大值为n，则的值为（   ） A．14 B．20 C．26 D．28 题型10.线段中点的有关计算 【典例】下面直线上点表示的数是 ______，若点在线段的中点，则点表示的数是 ______． 【跟踪专练1】如图，已知为线段的中点，在线段上，且，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】、、、、五个车站在同一直线上，它们之间的距离如图所示（单位：）．如果，为线段的中点，则的值为___________． 【跟踪专练3】已知线段，下列说法能确定点为线段中点的是（   ） ①；②；③；④ A．①③④ B．②③④ C．②④ D．② 题型11.线段n等分点的有关计算 【典例】线段，点是的一个十二等分点，则的长度可能是_____________（写出一个即可）． 【跟踪专练1】点A、B、C、D是线段的五等分点，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将一根绳子对折成一条线段，C为线段上一点，，在C处将绳子剪断，得到的三根短绳中最长的一根绳子的长为，则绳子的原长为_________． 【跟踪专练3】如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是（　　） A．10 B．8 C．7或9 D．8或10 题型12.线段之间的数量关系 【典例】如图，点表示的数为，点表示的数为，则最适合表示的点是___________． 【跟踪专练1】如图，点C是线段上一点，点D是线段的中点，则下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点是线段上一点，两点分别从P、B同时出发，点以、点以的速度沿直线向左运动（点始终在线段上，点始终在线段上），设运动的时间为，若点C、D运动到任一时刻时，总有，则线段的长度为______． 【跟踪专练3】如图，已知线段，线段，线段在线段上由点向点从左向右移动（点不与点重合，点不与点重合），若设线段，记图中所有线段的和为，则可表示为（   ） A． B． C． D． 题型13.与线段有关的动点问题 【典例】如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD．点P沿直线l从右向左移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P最多有______个． 【跟踪专练1】已知数轴上三点，，表示的数分别为，0，4，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为线段靠近点的三等分点，点始终为靠近点的三等分点，点在从点出发往右运动的过程中，则线段的长度为_________． 【跟踪专练2】如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 题型14.两点之间线段最短 【典例】年月日，汾石高速公路正式通车，标志着山西省提前一年完成“县县通高速”．施工过程中，修建桥梁、打通隧道都缩短了路程，其中体现的数学原理是________． 【跟踪专练1】凸四边形各边的长度如图所示，则x不可能是（   ） A．10 B．9 C．7 D．3 【跟踪专练2】在一条工厂流水线上从左到右依次有，，三个加工点，其中，两点相距，，两点相距，现要在流水线上设置一个材料供应站，分别往，，投放不同的原料，使得供应站到三个加工点的距离之和最小，这个最小值为____________． 【跟踪专练3】如图，在平面内，为线段，射线上有一点到的距离为12，是平面内一点，且始终保持，则的最小值为（    ） A．12 B．4 C．3 D．6 题型15.两点间的距离 【典例】已知线段，在直线上作线段，使得，若点D是线段的中点，则线段的长为______． ∵，， ∴， ∵，， ∴， 【跟踪专练1】如图，线段上有三个点，点是的中点，．则线段______． 【跟踪专练2】直线上的三个点，若满足，则称点是点关于点的“半距点”．如图1，，此时点就是点关于点的一个“半距点”．如图2，若三个点在同一条直线上，且点是点关于点的“半距点”，，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 题型16.最短路径问题 【典例】作图题：如图，已知直线和直线外三点、、，请按下列要求画图： (1)画线段； (2)画射线； (3)在直线上确定点，使得最小． 【跟踪专练1】操作题：如图，有一个正方体形状的桌子，正方形是它朝上的桌面，点是正方形的四个顶点，桌高是． (1)一只蚂蚁要从正方形桌面的点爬行到点，请在图①中画出蚂蚁爬行的最短路线，并说明理由：_______； (2)另有一只蚂蚁要从桌子脚的点（图中正方体的一个顶点）沿正方体桌子的外表面爬行到点，怎样爬行路线最短？请在图③中的横线上画出最短路线示意图．（画出一种即可） 【跟踪专练2】如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： (1)画出将向下平移5个单位长度后的； (2)画出关于点成中心对称的； (3)画出绕点逆时针旋转的； (4)在直线上找一点，使的周长最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可） 解答题 1．已知平面上四点A、B、C、D，如图： (1)画直线； (2)画射线，与相交于O； (3)连结、相交于点F； (4)画射线； (5)画射线； (6)连接线段． 2．如图，在中，，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 3．如图，平面上有三点A，B，C． (1)请用无刻度直尺和圆规按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①作直线：②作线段；③作射线；④在射线上截取． (2)我们知道两条直线相交有一个交点；如（1），三条直线相交，最多有3个交点；四条直线相交，最多有_______个交点；若有n条直线相交，最多有_______个交点． 4．如图，是线段上一点，线段，，是的中点，是的中点． (1)求线段的长； (2)求线段的长． 5．如图，已知正方形内阴影部分面积为，点、、、、均为正方形边上的三等分点，则正方形的面积是多少平方米？ 6．如图：已知数轴上A，B两点所表示的数分别是和8． (1)线段的长是__________； (2)若P为射线上的一点（点P不与A，B两点重合），M为的中点，N为的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段的长；若改变，请说明理由； (3)在第（2）问的条件下，当点P在什么位置时，的长度等于的长度的2倍？直接写出此时点P所表示的数． 7．如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $