专题12几何图形暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题12几何图形暑假预习讲义 1. 抽象认知：明白几何研究物体的形状、大小、位置，忽略颜色、材质等属性，能从生活实物抽象出几何图形。 2. 图形分类：清晰区分立体图形、平面图形；熟练识别正方体、圆柱、圆锥、棱柱等立体图形，以及线段、三角形、圆等平面图形。 3. 视图识图：了解主视图、左视图、俯视图含义，能根据简单立体图形画出三个方向观察得到的平面图形。 4. 展开折叠：掌握正方体常见展开图样式，可判断平面展开图能否折叠成正方体，理解立体与平面图形的转化关系。 5. 构成逻辑：弄懂点、线、面、体四者关系，知晓点动成线、线动成面、面动成体，理解面围成几何体。 6. 分类辨析：会对几何体进行归类，分清柱体、锥体、球体，准确辨别棱柱与棱锥结构特征。 7. 易错规避：切勿混淆立体图形与平面图形；区分几何体实物与几何抽象图形；熟记部分展开图无法折成正方体的情况。 8. 素养铺垫：初步建立空间想象能力，完成小学具象图形到初中几何抽象图形的过渡，为直线、射线、线段学习奠基。 预习必备 知识梳理 1.立体图形与平面图形定义 2.立体图形分类、特征、辨析 3.立体图形的展开图 4.从不同方向看立体图形 5.几何体的截面 6.计算几何体的表面积与体积 7.平面图形与七巧板 8.点线面体四者关系 9.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.常见的几何体 2.组成几何体的构成 3.立体图形的分类 4.几何体中的点.棱.面 5.从不同方向看几何体 6.几何体展开图的认识 7.由展开图计算几何体表面积 8.由展开图计算几何体体积 9.正方体几种展开图的识别 10.正方体相对两面上的字 11.含图案的正方体的展开图 12.求展开图上两点折叠后距离 13.补一个图使图形围成正方体 14.平面图形形状的识别 15.用七巧板拼图形 16.点.线.面.体四者之间的关系 17.平面图形旋转后所得的立体图形 18.截一个几何体 强化题型 解答题7题 知识点 01 立体图形与平面图形基础定义 1. 两类图形划分标准 类别 定义 核心特征 常见例子 立体图形 各部分不都在同一平面内的几何图形 占有一定空间，有厚度、高度 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥 平面图形 各部分都在同一个平面内的几何图形 仅存在长宽，无厚度 点、线段、射线、直线、角、三角形、长方形、圆、多边形 2. 实物抽象图形步骤 生活实物 → 忽略颜色、材质、重量 → 只保留外形轮廓 → 得到几何图形 举例：魔方→正方体；易拉罐→圆柱；篮球→球；三角尺→三角形 知识点 02 常见立体图形分类、特征、辨析表格 一、柱体（分为棱柱、圆柱） 立体名称 底面特征 侧面特征 棱 / 曲面 典型实物 正方体（四棱柱） 2个完全相同正方形 4个正方形平面 全是棱，无曲面 魔方、骰子 长方体 2 个完全相同长方形 4 个长方形平面 全是棱，无曲面 课本、文具盒 n 棱柱（三棱柱 / 五棱柱） 2 个全等 n 边形 n 个长方形 全部由平面围成 三棱镜、五边形立柱 圆柱 2 个大小相等圆形（平行） 1 个曲面 2 个圆形底面，侧面曲面 水杯、易拉罐 二、锥体（分为棱锥、圆锥） 立体名称 底面特征 侧面特征 棱 / 曲面 典型实物 n 棱锥（三棱锥 / 四棱锥） 1 个 n 边形 n 个三角形平面 全是棱，无曲面 金字塔模型、三角支架 圆锥 1 个圆形底面 1 个曲面 底面圆，侧面曲面，1 个顶点 冰淇淋甜筒、沙堆 三、球体 球：只有 1 个连续曲面，无底面、无棱、无顶点，任意截面都是圆； 实物：足球、乒乓球。 补充区分：平面围成 vs 含曲面立体 全由平面围成：正方体、长方体、棱柱、棱锥（统称多面体） 含曲面：圆柱、圆锥、球（旋转体） 知识点 03 立体图形的展开图（考试重点） 1. 正方体 11 种标准展开图（预习必记分类） 分四类，禁止出现 “田字格、凹字形”，这类不能折成正方体： “一四一” 型（6 种）：中间 4 个正方形，上下各 1 个 “一三二” 型（3 种）：中间 3 个，上方 1 个，下方 2 个错开 “三三” 型（1 种）：两行各 3 个正方形，仅错开一格 “二二二” 型（1 种）：三行各 2 个，阶梯错开 ❌ 禁忌图形：田字、凹字、7 字形，无法折叠成正方体 2. 常见立体标准展开图对照表 立体图形 展开图组成 正方体 / 长方体 6 个矩形（正方体 6 个正方形），相对面不相邻 三棱柱 2 个全等三角形 + 3 个长方形 圆柱 2 个相同圆形 + 1 个长方形（长方形一边 = 圆周长） 圆锥 1 个圆形 + 1 个扇形（扇形弧长 = 底面圆周长） 三棱锥 4 个三角形（底面 1 个，侧面 3 个） 3. 展开图核心规律 (1)立体相对的两个面，展开后不共用边、不相邻； (2)折叠时曲面与平面衔接处边长完全相等。 知识点 04 从不同方向看立体图形（三视图铺垫） 1. 三种观察方向定义 主视图：从正面看几何体得到的平面图形 左视图：从左面看几何体得到的平面图形 俯视图：从上面看几何体得到的平面图形 2. 基础几何体三视图表格 几何体 主视图 左视图 俯视图 正方体 正方形 正方形 正方形 长方体 长方形 长方形 长方形 圆柱 长方形 长方形 圆 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 圆（中心带顶点圆点） 球 圆 圆 圆 知识点05：几何体的截面 知识点06:由展开图计算几何体的表面积与体积 1. 表面积计算 展开图的总面积 = 几何体的表面积 正方体：S = 6a2（a 为棱长） 长方体：S = 2(ab+bc+ac)(a,b,c为长宽高） 圆柱：S = 2π2 + 2πrh（r 底面半径，h 高） 2. 体积计算 正方体：V = a3 长方体：V = abc 圆柱：V = πr2 h 圆锥：V =πr2 h 知识点07:平面图形与七巧板 1. 平面图形识别 认识线段、角、三角形、四边形、圆等基本平面图形 区分直线、曲线，平面与曲面 2. 用七巧板拼图形 七巧板由 5 个三角形、1 个正方形、1 个平行四边形组成 可拼出多种几何图形、生活图案，锻炼图形组合与空间想象 知识点 08点、线、面、体的关系（本节核心原理） 1. 四者基础定义 体：立体图形（柱、锥、球） 面：包围体的部分，分两类 平面：平整无弯曲（墙面、桌面） 曲面：弯曲面（球面、圆柱侧面） 线：面与面相交形成的线；分直线、曲线 点：线与线相交的地方，无大小，只有位置 2. 动态运动规律（4 句核心，填空常考） 点动成线：笔尖画线、流星划过夜空（点运动形成线） 线动成面：雨刷扫玻璃、长方形绕边旋转（线运动形成面） 面动成体：半圆绕直径旋转成球、长方形旋转成圆柱（面旋转形成立体） 面面相交得线，线线相交得点 3. 旋转体实例表格（面动成体高频考点） 平面图形 旋转轴 旋转后立体 长方形 一条边 圆柱 直角三角形 直角边 圆锥 半圆 直径 球体 直角梯形 垂直底边的腰 圆台 知识点 09 本节高频易错清单 1.混淆立体与平面图形：圆是平面，球是立体；长方形平面，长方体立体 2.正方体展开图误记田字、凹字形，认为可以折叠 3.分不清多面体与旋转体：棱柱无曲面，圆柱含曲面 4.三视图混淆圆锥俯视图，忘记画中心顶点圆点 5.面动成体判断旋转轴出错，分不清长方形旋转圆柱、直角三角形旋转圆锥 6.认为棱锥、圆柱都有相同数量底面：棱锥只有 1 个底面，棱柱 2 个底面 7.展开图找相对面错误，相邻面当成对立面 题型1.常见的几何体 【典例】如图所示几何体中，是圆柱的为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】将下图中的立体图形分类． 柱体____________；锥体____________；球体____________． 【跟踪专练2】如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有（     ）个这样的小正方体． A．9 B．10 C．12 D．13 题型2.组成几何体的构成 【典例】图①是神舟十九号载人飞船，图②是其一部分的示意图．示意图中载人飞船的一部分可以看成是由________和________两部分几何体组成的． 【跟踪专练1】分类讨论是一种分析问题、解决问题的重要策略，如图是由个棱长为1的正方体搭成的一个大正方体，则该图形中包含的正方体的个数是___________． 【跟踪专练2】有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 题型3.立体图形的分类 【典例】下面几何体中，是三棱锥的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】下列立体图形中的柱体有______，锥体有______，球有______．（填序号） 【跟踪专练2】物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 题型4.几何体中的点.棱.面 【典例】有一个棱柱由5个面围成，那么它有（     ）条棱 A．8条 B．9条 C．10条 D．12条 【跟踪专练1】如图，四个几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面、9条棱、6个顶点，观察图形并填空． (1)四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (2)五棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (3)六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (4)由此猜想棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 【跟踪专练2】把14个棱长是的正方体放在地面上，堆成如图所示的组合体，然后将露出的表面部分涂成红色（底面不涂）．那么红色部分的面积是（   ） A．33 B．38 C．42 题型5.从不同方向看几何体 【典例】如图所示的几何体是由一些小正方体组成的，那么从左边看它的图形是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】仓库里有一堆正方体形状的纸箱，从前面和左面看到的形状如图①所示，从上面看如图②所示，那么这堆纸箱的个数是________． 【跟踪专练2】如图为某个几何体从左面看到的形状，则该几何体不可能为（    ） A． B． C． D． 题型6.几何体展开图的认识 【典例】如图是一个几何体的侧面展开图，则该几何体是（     ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆锥 D．四棱锥 【跟踪专练1】下面是几个立体图形的表面展开图，请依次写出这些立体图形的名字______________ ． 【跟踪专练2】如图，将一个无上、下底面的纸杯沿竖直虚线剪开并展开，得到的侧面展开图是（     ） A． B． C． D． 题型7.由展开图计算几何体表面积 【典例】一个直六棱柱，它的底面周长是30厘米，侧棱长是5厘米，则这个直六棱柱的侧面积是________平方厘米． 【跟踪专练1】如图，把一个棱长为6的正方体的每个面等分成9个小正方形，然后沿每个面正中心的一个正方形向里挖空（相当于挖去7个小正方体），所得到的几何体的表面积是（   ） A．288 B．144 C．72 D．48 【跟踪专练2】一个圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米，若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全相同的小木块，小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了________平方厘米． 【跟踪专练3】如图所示的是一个直三棱柱的侧面展开图，则这个直三棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 题型8.由展开图计算几何体体积 【典例】如图，小明将一张长为、宽为的长方形纸片四个角分别裁剪掉一个小正方形，然后折叠成一个无盖长方体盒子．若折叠成的无盖长方体盒子的长、宽、高的比为，则长方体盒子的容积为______． 【跟踪专练1】在课题学习中，老师要求用长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图1，盒子底面的四边形是正方形． 乙：如图2，盒子底面的四边形是正方形． 丙：如图3，盒子底面的四边形是长方形，． 将三位同学折成的无盖的长方体的容积按从小到大的顺序排列为_______． 【跟踪专练2】小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 题型9.正方体几种展开图的识别 【典例】如图是一个正方体的表面展开图，在这个正方体中，与点重合的点为（     ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 【跟踪专练1】活动课上，学生们设计制作正方体包装盒，老师发给每名学生一张长方形纸板，其长为4，宽为3，可以在纸板上画出设计图，将阴影部分剪下再折叠，三名学生的设计如图所示： 小张的设计小李的设计小王的设计其中剪下后不能折成正方体的设计有________（填小张、小李或小王）． 【跟踪专练2】如图，裁掉写有我、爱、河、南中的一个正方形，得到的图形不是正方体展开图的是（     ） A．我 B．爱 C．河 D．南 题型10.正方体相对两面上的字 【典例】把如图这个展开图折成一个正方体．如果下面是C，右面是A，前面是B，那么上面是( )，后面是( )，左面是( )． 【跟踪专练1】如图是一个正方体的平面展开图，如果将它折成一个正方体．相对面上的数相等，则的值为______________ 【跟踪专练2】嘉嘉用硬卡纸做了一个骰子，六个面上分别标有六个数字，投掷两次，结果如图所示．从第二次投掷结果开始将骰子向右滚动，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，……，按照这样的规律，经过103次滚动后，朝下一面的数字为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型11.含图案的正方体的展开图 【典例】一个正方体的平面展开图如图所示，原正方体可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有______．（填序号） 【跟踪专练2】如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（    ） A． B． C． D． 题型12.求展开图上两点折叠后距离 【典例】如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是______． 【跟踪专练1】如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上A、B两点间的距离为______． 【跟踪专练2】图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型13.补一个图使图形围成正方体 【典例】如图有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使它能折成一个正方体，共有________种添法． 【跟踪专练1】如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【跟踪专练2】下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型14.平面图形形状的识别 【典例】在下面给出的4个几何图形中，平面图形是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，现有三种不同型号的卡片共12张，其中有3张边长为3的正方形型卡片，有4张长为3，宽为2的长方形型卡片，有5张边长为2的正方形型卡片．我们可以选取一些卡片，无重叠，无缝隙地拼成不同形状的长方形，那么能拼成面积最大的长方形的面积是________． 【跟踪专练2】如图，将长方形平均分成三个小长方形，再将三个小长方形分别平均分成2份、3份和4份，阴影部分面积是长方形面积的（    ） A． B． C． D． 题型15.用七巧板拼图形 【典例】“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”，若“七巧板”拼成的正方形边长为6，则图中阴影部分面积为__________． 【跟踪专练1】七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案，如图，用边长为1dm的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是_____dm2． 【跟踪专练2】“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 题型16.点.线.面.体四者之间的关系 【典例】“赣水欢腾  马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点定线 【跟踪专练1】如图，在长方体中，可以把面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸，从而说明棱________⊥面．    【跟踪专练2】下列说法正确的有（    ） ①五棱柱有10个顶点，10条棱，7个面； ②点动成线，线动成面，面动成体； ③圆锥的侧面展开图是一个圆； ④用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型17.平面图形旋转后所得的立体图形 【典例】如图，将直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，得到的图形是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知一个长方形的长为，宽为，将这个长方形绕它的长所在直线旋转一周，所得到的几何体的体积是_____．（计算结果保留） 【跟踪专练2】下面的立体图形中，不能由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 18.截一个几何体 【典例】用一个平面分别截下列几何体，可能得到圆形截面的几何体是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一个正方体，用刀沿一个平面截去一个角后，所得的几何体有__________个顶点． 【跟踪专练2】用平面去截如图所示的三棱柱，截面形状不可能是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 解答题 1．观察图中的建筑物，请你抽象并借助工具画出熟悉的几何体或平面图形．（不少于个） 2．如图是由一些大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)请在方格纸中分别画出从左面和从上面看到的形状图； (2)该几何体共有________个小立方块． 3．某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的表面积． 4．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒． (1)小明总共剪开了________条棱； (2)展开的纸盒如图所示，根据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多，求这种长方体纸盒的高． 5．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    6．如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成． (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是___________，这能说明的事实是___________（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积和表面积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 7．某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，框架如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧面棱长是，观察这个框架，解答下列问题： (1)该几何体的名称是_______棱柱，共有_______个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是_______；（填序号） ①六边形；②七边形；③八边形；④九边形 (3)若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带的长度是多少厘米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12几何图形暑假预习讲义 1. 抽象认知：明白几何研究物体的形状、大小、位置，忽略颜色、材质等属性，能从生活实物抽象出几何图形。 2. 图形分类：清晰区分立体图形、平面图形；熟练识别正方体、圆柱、圆锥、棱柱等立体图形，以及线段、三角形、圆等平面图形。 3. 视图识图：了解主视图、左视图、俯视图含义，能根据简单立体图形画出三个方向观察得到的平面图形。 4. 展开折叠：掌握正方体常见展开图样式，可判断平面展开图能否折叠成正方体，理解立体与平面图形的转化关系。 5. 构成逻辑：弄懂点、线、面、体四者关系，知晓点动成线、线动成面、面动成体，理解面围成几何体。 6. 分类辨析：会对几何体进行归类，分清柱体、锥体、球体，准确辨别棱柱与棱锥结构特征。 7. 易错规避：切勿混淆立体图形与平面图形；区分几何体实物与几何抽象图形；熟记部分展开图无法折成正方体的情况。 8. 素养铺垫：初步建立空间想象能力，完成小学具象图形到初中几何抽象图形的过渡，为直线、射线、线段学习奠基。 预习必备 知识梳理 1.立体图形与平面图形定义 2.立体图形分类、特征、辨析 3.立体图形的展开图 4.从不同方向看立体图形 5.几何体的截面 6.计算几何体的表面积与体积 7.平面图形与七巧板 8.点线面体四者关系 9.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.常见的几何体 2.组成几何体的构成 3.立体图形的分类 4.几何体中的点.棱.面 5.从不同方向看几何体 6.几何体展开图的认识 7.由展开图计算几何体表面积 8.由展开图计算几何体体积 9.正方体几种展开图的识别 10.正方体相对两面上的字 11.含图案的正方体的展开图 12.求展开图上两点折叠后距离 13.补一个图使图形围成正方体 14.平面图形形状的识别 15.用七巧板拼图形 16.点.线.面.体四者之间的关系 17.平面图形旋转后所得的立体图形 18.截一个几何体 强化题型 解答题7题 知识点 01 立体图形与平面图形基础定义 1. 两类图形划分标准 类别 定义 核心特征 常见例子 立体图形 各部分不都在同一平面内的几何图形 占有一定空间，有厚度、高度 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥 平面图形 各部分都在同一个平面内的几何图形 仅存在长宽，无厚度 点、线段、射线、直线、角、三角形、长方形、圆、多边形 2. 实物抽象图形步骤 生活实物 → 忽略颜色、材质、重量 → 只保留外形轮廓 → 得到几何图形 举例：魔方→正方体；易拉罐→圆柱；篮球→球；三角尺→三角形 知识点 02 常见立体图形分类、特征、辨析表格 一、柱体（分为棱柱、圆柱） 立体名称 底面特征 侧面特征 棱 / 曲面 典型实物 正方体（四棱柱） 2个完全相同正方形 4个正方形平面 全是棱，无曲面 魔方、骰子 长方体 2 个完全相同长方形 4 个长方形平面 全是棱，无曲面 课本、文具盒 n 棱柱（三棱柱 / 五棱柱） 2 个全等 n 边形 n 个长方形 全部由平面围成 三棱镜、五边形立柱 圆柱 2 个大小相等圆形（平行） 1 个曲面 2 个圆形底面，侧面曲面 水杯、易拉罐 二、锥体（分为棱锥、圆锥） 立体名称 底面特征 侧面特征 棱 / 曲面 典型实物 n 棱锥（三棱锥 / 四棱锥） 1 个 n 边形 n 个三角形平面 全是棱，无曲面 金字塔模型、三角支架 圆锥 1 个圆形底面 1 个曲面 底面圆，侧面曲面，1 个顶点 冰淇淋甜筒、沙堆 三、球体 球：只有 1 个连续曲面，无底面、无棱、无顶点，任意截面都是圆； 实物：足球、乒乓球。 补充区分：平面围成 vs 含曲面立体 全由平面围成：正方体、长方体、棱柱、棱锥（统称多面体） 含曲面：圆柱、圆锥、球（旋转体） 知识点 03 立体图形的展开图（考试重点） 1. 正方体 11 种标准展开图（预习必记分类） 分四类，禁止出现 “田字格、凹字形”，这类不能折成正方体： “一四一” 型（6 种）：中间 4 个正方形，上下各 1 个 “一三二” 型（3 种）：中间 3 个，上方 1 个，下方 2 个错开 “三三” 型（1 种）：两行各 3 个正方形，仅错开一格 “二二二” 型（1 种）：三行各 2 个，阶梯错开 ❌ 禁忌图形：田字、凹字、7 字形，无法折叠成正方体 2. 常见立体标准展开图对照表 立体图形 展开图组成 正方体 / 长方体 6 个矩形（正方体 6 个正方形），相对面不相邻 三棱柱 2 个全等三角形 + 3 个长方形 圆柱 2 个相同圆形 + 1 个长方形（长方形一边 = 圆周长） 圆锥 1 个圆形 + 1 个扇形（扇形弧长 = 底面圆周长） 三棱锥 4 个三角形（底面 1 个，侧面 3 个） 3. 展开图核心规律 (1)立体相对的两个面，展开后不共用边、不相邻； (2)折叠时曲面与平面衔接处边长完全相等。 知识点 04 从不同方向看立体图形（三视图铺垫） 1. 三种观察方向定义 主视图：从正面看几何体得到的平面图形 左视图：从左面看几何体得到的平面图形 俯视图：从上面看几何体得到的平面图形 2. 基础几何体三视图表格 几何体 主视图 左视图 俯视图 正方体 正方形 正方形 正方形 长方体 长方形 长方形 长方形 圆柱 长方形 长方形 圆 圆锥 等腰三角形 等腰三角形 圆（中心带顶点圆点） 球 圆 圆 圆 知识点05：几何体的截面 知识点06:由展开图计算几何体的表面积与体积 1. 表面积计算 展开图的总面积 = 几何体的表面积 正方体：S = 6a2（a 为棱长） 长方体：S = 2(ab+bc+ac)(a,b,c为长宽高） 圆柱：S = 2π2 + 2πrh（r 底面半径，h 高） 2. 体积计算 正方体：V = a3 长方体：V = abc 圆柱：V = πr2 h 圆锥：V =πr2 h 知识点07:平面图形与七巧板 1. 平面图形识别 认识线段、角、三角形、四边形、圆等基本平面图形 区分直线、曲线，平面与曲面 2. 用七巧板拼图形 七巧板由 5 个三角形、1 个正方形、1 个平行四边形组成 可拼出多种几何图形、生活图案，锻炼图形组合与空间想象 知识点 08点、线、面、体的关系（本节核心原理） 1. 四者基础定义 体：立体图形（柱、锥、球） 面：包围体的部分，分两类 平面：平整无弯曲（墙面、桌面） 曲面：弯曲面（球面、圆柱侧面） 线：面与面相交形成的线；分直线、曲线 点：线与线相交的地方，无大小，只有位置 2. 动态运动规律（4 句核心，填空常考） 点动成线：笔尖画线、流星划过夜空（点运动形成线） 线动成面：雨刷扫玻璃、长方形绕边旋转（线运动形成面） 面动成体：半圆绕直径旋转成球、长方形旋转成圆柱（面旋转形成立体） 面面相交得线，线线相交得点 3. 旋转体实例表格（面动成体高频考点） 平面图形 旋转轴 旋转后立体 长方形 一条边 圆柱 直角三角形 直角边 圆锥 半圆 直径 球体 直角梯形 垂直底边的腰 圆台 知识点 09 本节高频易错清单 1.混淆立体与平面图形：圆是平面，球是立体；长方形平面，长方体立体 2.正方体展开图误记田字、凹字形，认为可以折叠 3.分不清多面体与旋转体：棱柱无曲面，圆柱含曲面 4.三视图混淆圆锥俯视图，忘记画中心顶点圆点 5.面动成体判断旋转轴出错，分不清长方形旋转圆柱、直角三角形旋转圆锥 6.认为棱锥、圆柱都有相同数量底面：棱锥只有 1 个底面，棱柱 2 个底面 7.展开图找相对面错误，相邻面当成对立面 题型1.常见的几何体 【典例】如图所示几何体中，是圆柱的为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各选项几何体的特征判断即可． 【详解】解：A．圆柱，故A符合题意； B．四棱柱，故B不符合题意； C．圆锥，故C不符合题意； D．四棱锥，故D不符合题意． 【跟踪专练1】将下图中的立体图形分类． 柱体____________；锥体____________；球体____________． 【答案】 ①②⑤⑦⑧ ④⑥ ③ 【分析】根据立体图形的特征．据此可得答案． 【详解】柱体分为棱柱和圆柱，在以上立体图形中，柱体有：①②⑤⑦⑧； 锥体分为棱锥和圆锥，在以上立体图形中，锥体有：④⑥； 球体是一个连续曲面的立体图形，在以上立体图形中，球体有：③． 【跟踪专练2】如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有（     ）个这样的小正方体． A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】分别数出每一层小正方体的个数，相加即可． 【详解】解：从下至上，第一层共有9个小正方体，第二层有4个小正方体， ∴一共有个小正方体． 题型2.组成几何体的构成 【典例】图①是神舟十九号载人飞船，图②是其一部分的示意图．示意图中载人飞船的一部分可以看成是由________和________两部分几何体组成的． 【答案】 圆锥 圆柱 【分析】本题考查了几何体的构成，解题的关键是认识常见的几何体； 先观察示意图发现，该几何体可以看成两部分组成， 根据长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等的形状特征来逐一对照即可． 【详解】解：观察示意图，载人飞船的一部分可以看作是由圆锥和圆柱两种几何体组成的． 故答案为：①圆锥   ②圆柱 ． 【跟踪专练1】分类讨论是一种分析问题、解决问题的重要策略，如图是由个棱长为1的正方体搭成的一个大正方体，则该图形中包含的正方体的个数是___________． 【答案】36 【分析】本题考查了组合几何体的构成，培养并发展自身的空间想象能力是解题的关键． 通过观察可知，该大正方体中包含棱长分别为，，共种不同的正方体，分别算出这种正方体的个数，再将其相加，即可得出答案． 【详解】解：该大正方体中包含棱长分别为，，共种不同的正方体，其中： 棱长是的正方体有：（个）， 棱长是的正方体有：（个）， 棱长是的正方体有：（个）， （个）， 该大正方体中包含个正方体， 故答案为：36． 【跟踪专练2】有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 【答案】D 【分析】本题考查了正三棱锥，熟练掌握正三棱锥的特点是解题关键．根据正三棱锥的特点解答即可得． 【详解】解：因为图甲是边长为3的等边三角形，作底面， 所以正三棱锥的侧面是底边长为3的等腰三角形， 所以阿林选三片乙当作侧面，不能组合成一个正三棱锥；小博选三片丙当作侧面能组合成一个正三棱锥． 故选：D． 题型3.立体图形的分类 【典例】下面几何体中，是三棱锥的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．几何体是圆锥，故此选项不符合题意； B． 几何体是三棱锥，故此选项符合题意； C． 几何体是三棱柱，故此选项不符合题意； D． 几何体是圆柱，故此选项不符合题意． 【跟踪专练1】下列立体图形中的柱体有______，锥体有______，球有______．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查常见立体图形的识别，掌握常见立体图形的特征是解题关键． 根据柱体、锥体、球的定义和特征对选项依次判断即可． 【详解】解：柱体：有两个互相平行且全等的底面，侧面为平行四边形或曲面． 图中正方体、长方体、六棱柱、五棱柱、三棱柱、圆柱，都符合柱体特征， 故柱体有：； 锥体：只有一个底面，顶部有一个顶点，侧面为三角形或曲面． 图中圆锥符合锥体特征， 故锥体有：； 球：只有一个曲面，没有顶点和棱． 图中球符合特征， 故球有：． 故答案为：，，． 【跟踪专练2】物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】3分钟后可以注满容器A，可以算出水的流速，从而可以得出6分钟内水龙头的出水量，然后得出答案． 【详解】解：3分钟后可以注满容器A，A容器的体积为． 则6分钟的注入水量为， 设6分钟后容器A中水的高度是， 当时，，注入水量． 当时，，注入水量． 当时，，注入水量 故选：B． 【点睛】本题考查了认识立体图形，解题关键是要读懂题目的意思，也考查了同学们的物理知识和分类讨论的思想． 题型4.几何体中的点.棱.面 【典例】有一个棱柱由5个面围成，那么它有（     ）条棱 A．8条 B．9条 C．10条 D．12条 【答案】B 【详解】解：∵任意棱柱都有2个底面， ∴该棱柱的侧面数量为，即该棱柱为三棱柱． ∵三棱柱的上下底面各有3条棱，侧面有3条棱， ∴总棱数为条． 【跟踪专练1】如图，四个几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面、9条棱、6个顶点，观察图形并填空． (1)四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (2)五棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (3)六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点； (4)由此猜想棱柱有 个面， 条棱， 个顶点． 【答案】(1)6，12，8 (2)7，15，10 (3)8，18，12 (4)，， 【分析】本题考查了立体图形中的顶点、棱、面． （1）四棱柱面数：2个底面4个侧面，棱数：个底面棱4个侧棱，顶点数：个底面顶点； （2）五棱柱面数：2个底面5个侧面，棱数：个底面棱5个侧棱，顶点数：个底面顶点； （3）六棱柱面数：2个底面6个侧面，棱数：个底面棱6个侧棱，顶点数：个底面顶点； （4）棱柱面数：2个底面个侧面，棱数：个底面棱个侧棱，顶点数：个底面顶点． 【详解】（1）解：四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点； （2）五棱柱有7个面，15条棱，10个顶点； （3）六棱柱有8个面，18条棱，12个顶点； （4）由此猜想棱柱有个面，条棱，个顶点． 【跟踪专练2】把14个棱长是的正方体放在地面上，堆成如图所示的组合体，然后将露出的表面部分涂成红色（底面不涂）．那么红色部分的面积是（   ） A．33 B．38 C．42 【答案】A 【分析】此题考查的知识点是几何体的表面积，关键是在计算表面积时减去不露的或重叠的面积． 此题可根据表面积的计算分层计算得出红色部分的面积再相加． 【详解】解：根据题意得： 第一层露出的表面积为：； 第二层露出的表面积为：； 第三层露出的表面积为：． 所以红色部分的面积为：． 故选：A． 题型5.从不同方向看几何体 【典例】如图所示的几何体是由一些小正方体组成的，那么从左边看它的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据从不同角度看几何体，得出从左面看几何体得到的图形即可解题． 【详解】 解：从左边看它的图形是． 【跟踪专练1】仓库里有一堆正方体形状的纸箱，从前面和左面看到的形状如图①所示，从上面看如图②所示，那么这堆纸箱的个数是________． 【答案】或 【分析】先根据从上面看确定底层纸箱的数量，因为从上面看每个正方形对应底层一个位置的纸箱，所以可先得出底层纸箱总数，再结合从前面看和从左面看判断各位置上的层数，从前面看反映每列的最大层数，从左面看反映每行的最大层数，由此分析每个位置可能的层数取值．分别计算所有可能的层数组合对应的总纸箱数． 【详解】解：首先根据从上面看（图②）可得：这堆纸箱底层共有3个纸箱， 结合从前面看和左面看到的形状如图①，可得这堆纸箱排列如图 因此总个数为： 或 ，两种情况都满足从前面、从上面和左面看到的形状要求． 【跟踪专练2】如图为某个几何体从左面看到的形状，则该几何体不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：选项A，B，C从左面看到的形状都是：， 而选项D从左面看到的形状为． 题型6.几何体展开图的认识 【典例】如图是一个几何体的侧面展开图，则该几何体是（     ） A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆锥 D．四棱锥 【答案】A 【分析】根据展开图的面数和形状判断几何体类型，观察图形知，侧面由3个三角形组成，符合三棱锥的特征． 【详解】解：观察图形可知， 该几何体的侧面由共用一个顶点的3个三角形组成，符合三棱锥的特征， ∴该几何体是三棱锥． 【跟踪专练1】下面是几个立体图形的表面展开图，请依次写出这些立体图形的名字______________ ． 【答案】（1）三棱柱；（2）圆柱；（3）六棱柱；（4）圆锥 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据简单几何体展开图的特征解答即可，会根据展开图确定立体图形是解题的关键． 【详解】解：（1）是三棱柱； （2）是圆柱； （3）是六棱柱； （4）是圆锥． 故答案为：（1）三棱柱；（2）圆柱；（3）六棱柱；（4）圆锥． 【跟踪专练2】如图，将一个无上、下底面的纸杯沿竖直虚线剪开并展开，得到的侧面展开图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将一个无上底面的纸杯沿侧面展开，它的侧面展开图是： 题型7.由展开图计算几何体表面积 【典例】一个直六棱柱，它的底面周长是30厘米，侧棱长是5厘米，则这个直六棱柱的侧面积是________平方厘米． 【答案】150 【分析】本题考查了常见几何体的表面积的求法；要能够想象出物体表面积的变化情况，锻炼学生的空间想象能力；直六棱柱的侧面积由所有侧面矩形组成，其值等于底面周长乘以侧棱长. 【详解】解：直六棱柱的侧面积计算公式为侧面积 = 底面周长 × 侧棱长， 代入已知数据，底面周长为30厘米，侧棱长为5厘米，得侧面积（平方厘米）． 故答案为：150. 【跟踪专练1】如图，把一个棱长为6的正方体的每个面等分成9个小正方形，然后沿每个面正中心的一个正方形向里挖空（相当于挖去7个小正方体），所得到的几何体的表面积是（   ） A．288 B．144 C．72 D．48 【答案】A 【分析】本题考查几何体表面积．根据题意可知周边的六个挖空的正方体每个面减少了1个小正方形，增加了4个小正方形，则每个面的正方形个数为12个，再利用面积公式即可得到本题答案． 【详解】解：如图所示，周边的六个挖空的正方体每个面减少了1个小正方形，增加了4个小正方形，则每个面的正方形个数为12个， ∵每个小正方形的边长为2， ∴表面积为． 故选：A． 【跟踪专练2】一个圆柱形木块，底面直径是2厘米，高是9厘米，若沿虚线（如图）切开后得到若干个完全相同的小木块，小木块的表面积之和比原来圆柱的表面积增加了________平方厘米． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何体的表面积．根据圆柱的切割特点可知，沿着它的底面直径平均切开成两个半圆柱后，表面积是增加了4个以圆柱的底面直径和高为边长的长方形的面的面积和4个圆柱的底面的面积，由此即可求出增加的表面积． 【详解】解：（平方厘米）， 故表面积增加了平方厘米． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图所示的是一个直三棱柱的侧面展开图，则这个直三棱柱的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查立体图形的侧面展开图及其表面积，先根据展开图确定三棱柱底面三角形形状，再分别求侧面和底面面积，即可求解． 【详解】解：根据题意可知， 该直三棱柱底面三角形的三边长分别为、、． ， 该直三棱柱的底面三角形为直角三角形， 这个直三棱柱的表面积为: ， ． 故选． 题型8.由展开图计算几何体体积 【典例】如图，小明将一张长为、宽为的长方形纸片四个角分别裁剪掉一个小正方形，然后折叠成一个无盖长方体盒子．若折叠成的无盖长方体盒子的长、宽、高的比为，则长方体盒子的容积为______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，核心是利用折叠前后的边长关系结合比例设未知数求解．首先根据长、宽、高的比例设高为，则长为、宽为；再根据“”列出一元一次方程，解出后得到长、宽、高的具体数值，最后用长方体容积公式计算即可． 【详解】解：设无盖长方体盒子的高为，则盒子的长为，宽为． 根据题意，得，解得． 则盒子的长为，宽为，高为． 长方体容积为； 故答案为：． 【跟踪专练1】在课题学习中，老师要求用长为，宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图1，盒子底面的四边形是正方形． 乙：如图2，盒子底面的四边形是正方形． 丙：如图3，盒子底面的四边形是长方形，． 将三位同学折成的无盖的长方体的容积按从小到大的顺序排列为_______． 【答案】乙甲丙 【分析】本题考查了几何题的展开图，根据展开图分别求出每个同学的无盖长方体的容积，再比较大小即可． 【详解】解：由图形并结合题意可得： 甲所折成的无盖长方体的容积为， 乙所折成的无盖长方体的容积为， 丙所折成的无盖长方体的容积为， 所以从小到大排列顺序为乙甲丙， 故答案为：乙甲丙． 【跟踪专练2】小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】A 【详解】解：， ∴这个盒子的容积为． 题型9.正方体几种展开图的识别 【典例】如图是一个正方体的表面展开图，在这个正方体中，与点重合的点为（     ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 【答案】B 【分析】将原图的展开图折叠成正方体，即可得出答案． 【详解】解：将原图的展开图折叠成正方体，可知，与点重合的点为点和点． 【跟踪专练1】活动课上，学生们设计制作正方体包装盒，老师发给每名学生一张长方形纸板，其长为4，宽为3，可以在纸板上画出设计图，将阴影部分剪下再折叠，三名学生的设计如图所示： 小张的设计小李的设计小王的设计其中剪下后不能折成正方体的设计有________（填小张、小李或小王）． 【答案】小张 【分析】本题考查正方体的展开图．由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解答即可． 【详解】解：小李和小王的设计经过折叠均能围成正方体，小张的设计经过折叠不能折成正方体． 故答案为：小张． 【跟踪专练2】如图，裁掉写有我、爱、河、南中的一个正方形，得到的图形不是正方体展开图的是（     ） A．我 B．爱 C．河 D．南 【答案】A 【详解】解：由正方体的展开图可知，裁掉一个正方形“我”后不能折叠成正方体． 题型10.正方体相对两面上的字 【典例】把如图这个展开图折成一个正方体．如果下面是C，右面是A，前面是B，那么上面是( )，后面是( )，左面是( )． 【答案】 【分析】首先根据正方体展开图“相间、字端点”等规律确定三组相对面，然后结合题目给定的方位（下面是，前面是），利用相对面关系确定上面和后面，最后通过相邻面的位置关系或空间旋转确定左面； 【详解】解：观察展开图可知： 面“”与面“”相对， 面“”与面“”相对， 面“”与面“”相对， 因为下面是，根据相对面关系，上面是， 因为前面是，根据相对面关系，后面是， 因为为右面，所以面为左面． 【跟踪专练1】如图是一个正方体的平面展开图，如果将它折成一个正方体．相对面上的数相等，则的值为______________ 【答案】 【分析】根据相对面上的数相等得到，进而可知的值． 【详解】解：∵相对面上的数相等， ∴， ∴． 【跟踪专练2】嘉嘉用硬卡纸做了一个骰子，六个面上分别标有六个数字，投掷两次，结果如图所示．从第二次投掷结果开始将骰子向右滚动，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，……，按照这样的规律，经过103次滚动后，朝下一面的数字为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据分析，4和3相对，6和5相对，1和2相对，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，第三次滚动后写有数字3的一面朝下，第四次滚动后写有数字5的一面朝下，第五次滚动后写有数字4的一面朝下，每滚动4次回到初始位置，结合，求解即可； 【详解】解：根据题意，得4和3相对，6和5相对，1和2相对，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，第三次滚动后写有数字3的一面朝下，第四次滚动后写有数字5的一面朝下，第五次滚动后写有数字4的一面朝下，每滚动4次回到初始位置， 因为， 所以朝下一面的数字为3； 题型11.含图案的正方体的展开图 【典例】一个正方体的平面展开图如图所示，原正方体可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含图案的正方体的展开图．根据正方体展开图的特征依次分析即可，也可动手操作． 【详解】 解：观察一个正方体的平面展开图，结合正方体的表面图形的圆图形，和×图形，空白面，三角形图形的分布情况，得原正方体可能是， 故选：A． 【跟踪专练1】按图示切割正方体就可以切割出正六边形（正六边形的各顶点恰是其棱的中点），以下此正方体的平面展开图及切割线的画法正确的有______．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查了正方体的展开图和截一个几何体，熟练掌握正方体的展开图，观察思考与动手操作结合是解决本题的关键．根据正方体的展开图和正六边形截面的特征，将题目中的展开图重新折叠，再与原来的正方体（含切割线）比较即可得到答案． 【详解】解：对于①，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于②，将展开图重新折叠不能得出原来的正方体（含切割线），不符合题意； 对于③，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意； 对于④，将展开图重新折叠可得出原来的正方体（含切割线），符合题意． 故答案为：①③④． 【跟踪专练2】如图是一个上半部分（取每条竖直棱的中点）涂黑的正方体纸盒，它的展开图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据立体图形可知，该正方体纸盒的顶面全黑，底面全白，四个侧面均为上半部分黑、下半部分白，在展开图中，全黑面应与侧面的黑色部分相邻，全白面应与侧面的白色部分相邻，且相邻侧面的公共边处颜色应一致． 【详解】解：根据题意得：立体图中顶面全黑，底面全白，侧面为上黑下白， 则展开图中应有一个全黑正方形，一个全白正方形，四个半黑半白正方形， 选项A：中间全黑正方形左右两侧分别为“左白右黑”和“左黑右白”正方形，黑色部分均与全黑面相邻，符合顶面与侧面关系，最左侧全白正方形与“左白右黑”正方形的白色部分相邻，符合底面与侧面关系，其余面折叠后黑色部分均能连通，符合题意， 故A选项正确； 选项B：中间全黑正方形左侧为“左白右黑”正方形，其下方连接“上黑下白”正方形， 由于“左白右黑”正方形的下边为“左白右黑”，而“上黑下白”正方形的上边为全黑， 则两者公共边颜色不匹配， 故B选项错误； 选项C、D：折叠后，都会出现其中一个半涂黑面的黑色位于下半部分，不符合题意， 故C、D 选项错误． 题型12.求展开图上两点折叠后距离 【典例】如图①是边长为2的六个小正方形组成的图形，它可以围成如图②所示的正方体，则图①中小正方形的顶点在围成的正方体上的距离是______． 【答案】2 【分析】将图1折成正方体，然后判断出在正方体中的位置关系，从而可得到之间的距离． 【详解】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，得出， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查的是展开图折成几何体，判断出点A和点B在几何体中的位置是解题的关键． 【跟踪专练1】如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上A、B两点间的距离为______． 【答案】4 【分析】本题考查了正方体的展开与折叠； 根据展开图得到该正方体一个面的对角线长度为，再将展开图折叠为正方体可得A、B两点间的距离． 【详解】解：如图1，∵， ∴该正方体一个面的对角线长度为， 如图2，将展开图折叠为正方体后，A、B两点间的距离为该正方体一个面的对角线长度， 即A、B两点间的距离为4． 【跟踪专练2】图①是边长为1的六个正方形组成的图形，经过折叠能围成如图②的正方体，一只蜗牛从点沿该正方体的棱爬行到点的最短距离为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将图①折成正方体，然后判断出、的在正方体中的位置，从而可得到之间的距离． 【详解】解：如图所示，将图①折成正方体后点、的在正方体中的位置， 蜗牛是从点沿该正方体的棱爬行到点 ， 故选：C． 【点睛】本题考查了展开图折成几何体，判断出、的在正方体中的位置是解题的关键． 题型13.补一个图使图形围成正方体 【典例】如图有五个相同的小正方形，请你在图中添加一个小正方形，使它能折成一个正方体，共有________种添法． 【答案】4/四 【分析】按照正方体及其表面展开图的特点分析作出图形即可. 【详解】解：一共有以下4种添法： 故答案为：4． 【点睛】本题考查正方体的表面展开图，解题的关键是熟练掌握正方体的11种展开图. 【跟踪专练1】如图所示，纸板上有10个小正方形（其中5个有阴影，5个无阴影），从图中5个无阴影的小正方形中选出一个，与5个有阴影的小正方形一起折一个正方体的包装盒，不同的选法有（　　） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】C 【分析】利用正方体的展开图的特征解答即可． 【详解】解：如图所示，不同的选法有2处， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开图．解题的关键是掌握四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形． 【跟踪专练2】下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可． 【详解】解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可． 故选：D． 题型14.平面图形形状的识别 【典例】在下面给出的4个几何图形中，平面图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体和平面图形．根据几何体和平面图形进行甄别即可． 【详解】解：选项中前三个是立体图形，分别是球，长方体，四棱锥； 只有D选项是圆，是平面图形， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，现有三种不同型号的卡片共12张，其中有3张边长为3的正方形型卡片，有4张长为3，宽为2的长方形型卡片，有5张边长为2的正方形型卡片．我们可以选取一些卡片，无重叠，无缝隙地拼成不同形状的长方形，那么能拼成面积最大的长方形的面积是________． 【答案】65 【分析】本题考查的是几何图形的拼接，理解题意，得到新的长方形的长与宽即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：新的长方形的长为：，宽为； 如图， ∴最大面积为， 故答案是：65； 【跟踪专练2】如图，将长方形平均分成三个小长方形，再将三个小长方形分别平均分成2份、3份和4份，阴影部分面积是长方形面积的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据长方形ABCD所分的图形的方法，分别求出每个小的长方形的面积占长方形ABCD的面积的份数，相加即可得到阴影部分的面积与长方形ABCD的关系. 【详解】解：如图，阴影部分①的面积占长方形面积的， 阴影部分②的面积占长方形面积的， 阴影部分③面积占长方形面积的， 所以所有阴影部分面积是长方形面积的， 故选：. 【点睛】此题考查平面图形，平面图形的面积，有理数的加法法则，解题的关键是分别求出阴影部分中每部分的面积与长方形ABCD的关系. 题型15.用七巧板拼图形 【典例】“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”，若“七巧板”拼成的正方形边长为6，则图中阴影部分面积为__________． 【答案】 【分析】此题考查了“七巧板”的相关知识．根据题意得到图中阴影部分面积为“七巧板”拼成的正方形的面积的，据此进行解答即可． 【详解】解：由题意可知，“七巧板”拼成的正方形的面积为， 根据“七巧板”的特征可知，图中阴影部分面积为“七巧板”拼成的正方形的面积的， ∴则图中阴影部分面积为， 故答案为： 【跟踪专练1】七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案，如图，用边长为1dm的正方形纸板，制成一副七巧板，将它拼成“小天鹅”图案，其中阴影部分的面积是_____dm2． 【答案】/ 【分析】阴影部分的面积等于边长为1的正方形面积减去一个直角边的长为1的等腰直角三角形的面积，再减去一个直角边的长为的等腰直角三角形的面积，据此列式求解即可 【详解】解：， ∴阴影部分的面积为． 【跟踪专练2】“七巧板”是我们祖先的一项卓越创造，可以拼出许多有趣的图形，被誉为“东方魔板”．如图，用图①的一副七巧板拼成图②房子的图案，若七巧板的面积为，则图②中阴影部分的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据七巧板的结构特征，确定各板块面积与总面积的比例关系，识别阴影部分对应的图形，计算面积之和即可． 【详解】解：如图， 根据七巧板的结构可知，①和②面积相等，占整个图的，④和⑥面积相等，占整个图的，⑦占整个图的，⑤占整个图的，③占整个图的，④和⑥面积之和等于⑦的面积，④、⑥、⑦面积之和等于①的面积， 观察图②可知，阴影部分由七巧板中的正方形⑤和平行四边形③拼成， ∴阴影部分的面积为． 题型16.点.线.面.体四者之间的关系 【典例】“赣水欢腾  马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点定线 【答案】A 【详解】解：烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为点动成线． 【跟踪专练1】如图，在长方体中，可以把面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸，从而说明棱________⊥面．    【答案】 【分析】根据直线与平面垂直的定义进行判断即可． 【详解】解：∵面与面组成的图形看作直立于面上的合页型折纸， ∴棱面， 故答案为：． 【点睛】本题考查认识立体图形，理解直线垂直平面的定义是正确判断的前提． 【跟踪专练2】下列说法正确的有（    ） ①五棱柱有10个顶点，10条棱，7个面； ②点动成线，线动成面，面动成体； ③圆锥的侧面展开图是一个圆； ④用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查简单的几何图形具有的特点，根据立体图形的特征，点、线、面、体，圆锥的特征和截一个几何体的方法判断即可． 【详解】解：①五棱柱有10个顶点，15条棱，7个面，所以①错误，不符合题意． ②点动成线，线动成面，面动成体，所以②正确，符合题意． ③圆锥的侧面展开图是一个扇形，所以③错误，不符合题意． ④用平面去截一个正方体，截面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，所以④正确，符合题意． 综上所述，说法正确的有2个， 故选：B． 题型17.平面图形旋转后所得的立体图形 【典例】如图，将直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，得到的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：直角三角形绕它的直角边旋转一周可形成圆锥，且顶点在上方，选项C符合题意． 【跟踪专练1】如图，已知一个长方形的长为，宽为，将这个长方形绕它的长所在直线旋转一周，所得到的几何体的体积是_____．（计算结果保留） 【答案】 【分析】本题考查圆柱的形成，圆柱的体积的计算，掌握立体图形的认识是解题的关键．画出以长为旋转轴旋转后的圆柱，再利用圆柱的体积公式计算即可． 【详解】解：绕长方形的长所在的直线旋转一周得到的几何体是底面半径为，高为的圆柱，如图， 该圆柱的体积为：， 故答案为：． 【跟踪专练2】下面的立体图形中，不能由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察可知，球体，圆锥体和圆柱体都是旋转体，可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到，正方体是多面体，不能由平面图形绕某条直线旋转一周得到； 故只有B选项符合题意. 18.截一个几何体 【典例】用一个平面分别截下列几何体，可能得到圆形截面的几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：长方体是由六个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形，用一个平面去截长方体，其截面边缘是由直线段组成的，因此截面只能是多边形（如三角形、四边形、五边形、六边形），不可能是圆形，故A不符合题意； 选项B：该几何体是由两个三角形底面和三个长方形侧面围成的立体图形，用一个平面去截三棱柱，其截面边缘也是由直线段组成的，截面只能是多边形（如三角形、四边形、五边形），不可能是圆形，故B不符合题意； 选项C：圆锥是由一个扇形侧面和一个圆形底面围成的立体图形，当用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥时，截面是一个圆，故C符合题意； 选项D：正方体是由六个正方形围成的立体图形，用一个平面去截正方体，其截面边缘由直线段组成，截面只能是多边形（如三角形、四边形、五边形、六边形），不可能是圆形，故D不符合题意． 【跟踪专练1】一个正方体，用刀沿一个平面截去一个角后，所得的几何体有__________个顶点． 【答案】7或8或9或10 【分析】本题主要考查了截一个几何体，可分图1，图2，图3，图4四种情况，分别计算出对应的顶点数即可；正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：按照图1的截法可知有7个顶点， 按照图2的截法可知有8个顶点， 按照图3的截法可知有9个顶点， 按照图4的截法可知有10个顶点， 综上所述，一个正方体，用刀沿一个平面截去一个角后，所得的几何体有7个或8个或9个或10个顶点； 故答案为：7或8或9或10 【跟踪专练2】用平面去截如图所示的三棱柱，截面形状不可能是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了截一个几何体，涉及的知识点为：截面经过几个面，得到的形状就是几边形．根据截面经过几个面，得到的多边形就是几边形判断即可． 【详解】解：用平面去截如图所示的三棱柱，截面形状可能是三角形、四边形、五边形，不可能是六边形． 故选：D． 解答题 1．观察图中的建筑物，请你抽象并借助工具画出熟悉的几何体或平面图形．（不少于个） 【答案】见解析． 【分析】本题考查了立体图形和平面图形，根据立体图形和平面图形的特征即可求解，理解立体图形和平面图形的特征是解题的关键． 【详解】解：几何体有： 平面图形有： ． 2．如图是由一些大小相同的小立方块搭成的几何体． (1)请在方格纸中分别画出从左面和从上面看到的形状图； (2)该几何体共有________个小立方块． 【答案】(1) 如图所示， (2)10 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体， （1）根据从左面、上面看到的形状画图即可； （2）根据几何体求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意得，最底层有6个正方体，第二层有3个正方体，最上层有1个正方体， ∴ ∴该几何体共有10个小立方块． 3．某种茶叶的包装盒为长方体，它的长、宽、高分别为，，，为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样． (1)如图是给出的四种纸样①，②，③，④，其中正确的有________； (2)从已知正确的纸样中选出一种，在原图上标注上尺寸； (3)利用你所选的一种纸样，求出包装盒的表面积． 【答案】(1)①，④ (2)标注尺寸如图． (3) 【分析】（1）根据长方体的展开特点即可作出判断； （2）找到对应边，标注上尺寸即可； （3）根据长方体的侧面积，表面积的公式计算即可； 【详解】（1）解：①，④ （2）解：略 （3）解：； ； 4．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒． (1)小明总共剪开了________条棱； (2)展开的纸盒如图所示，根据图中数据，如果长方体盒子的长比宽多，求这种长方体纸盒的高． 【答案】(1)7； (2)长方体纸盒高为． 【分析】本题考查长方体的展开图、一元一次方程的应用，熟练掌握长方体的表面展开图的特征，根据已知条件列出方程是解题的关键． （1）根据长方体的表面展开图的特征进行解答即可； （2）设纸盒的高为，则宽为，长为，根据体积的公式列出方程，解答即可． 【详解】（1）解：长方体共有12条棱，展开图中还有5条棱未剪开， 则小明总共剪开了条棱， 故答案为：7； （2）解：设纸盒的高为，则宽为，长为，由题意得： 解得： 答：长方体纸盒高为． 5．如图，一只蜘蛛在长方体木块的顶点A处，一只苍蝇在顶点B处，蜘蛛急于捉住苍蝇，沿着爬行，请你确定蜘蛛爬行路线最短时点D在上的位置．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，即可． 【详解】解：如答图，将该长方形木块的前面和右面展开，连接，交于点D，点D即为所求．    6．如图，某银行大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成． (1)将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是___________，这能说明的事实是___________（选择正确的一项填入）． A．点动成线    B．线动成面    C．面动成体 (2)求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积和表面积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 【答案】(1)圆柱，C (2)形成的几何体的体积是，形成的几何体的表面积是 【分析】本题考查点，线，面，体，求圆柱体的体积和表面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据面动成体，进行作答即可； （2）根据圆柱体的体积公式和表面积公式进行计算即可。 【详解】（1）解：由题意，此旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体； 故选C。 （2）该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱，体积为： 表面积为： 答：形成的几何体的体积是，形成的几何体的表面积是． 7．某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，框架如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧面棱长是，观察这个框架，解答下列问题： (1)该几何体的名称是_______棱柱，共有_______个面； (2)用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是_______；（填序号） ①六边形；②七边形；③八边形；④九边形 (3)若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带的长度是多少厘米？ 【答案】(1)六棱柱，8 (2)①②③ (3) 【分析】本题考查了几何体，认识几何体的底面和侧面是解题的关键． （1）根据几何体的底面边数确定几何体的名称，再数出底面个数和侧面个数，相加即可； （2）要判断棱柱截面的形状，核心依据是：平面切割棱柱时，切到几个面，截面就是几边形；且截面边数最少为3（三角形），最多等于棱柱的总面数（侧面+2个底面）； （3）棱长总和=底面棱总长+侧棱总长，分别计算两类棱的长度和再求和． 【详解】（1）解：该几何体的名称是六棱柱，共8个面 故答案为：六棱柱，8； （2）解：用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是六边形、七边形，八边形，不可能是九边形； 故答案为:①②③； （3）解：若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边所需丝带的长为， ． 答:所需丝带的长为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $