专题11二次函数及其图象与性质暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题11二次函数及其图象与性质暑假预习讲义 1. 概念判定：牢记二次函数一般式y=ax2+bx+c（a≠0），能辨别二次函数，根据定义求解参数取值；结合实际情境列二次函数表达式。 2. 解析式分类：认识一般式、顶点式两种常用形式，初步理解a、h、k各自对图像的影响。 3. 作图方法：掌握描点法画y=ax2基础抛物线，熟知二次函数图像名称为抛物线。 4. 开口规律：由a正负判断开口方向，a>0向上、a<0向下；|a|越大，抛物线开口越窄。 5. 基础几何要素：针对y=ax2，准确找出对称轴、顶点坐标，明确该函数对称轴为y轴，顶点在原点。 6. 增减性分析：结合图像判断对称轴左右区间内函数增减性，能根据自变量取值判断函数变化趋势。 7. 最值求解：根据开口方向判定抛物线存在最高/最低点，会求简单二次函数的最大值或最小值。 8. 图像平移：理解y=ax2+k上下平移、y=a(x-h)2左右平移规律，做到图像平移与解析式变换互推。 9. 易错规避：谨记a≠0是二次函数必要条件；避免对称轴两侧增减性记反；画图时抛物线两端要延伸。 10. 核心思想：树立数形结合思想，以图像为载体研究函数性质，为二次函数综合应用打好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.二次函数的定义 2.二次函数判定步骤 3.实际问题列函数解析式 4.二次函数的图象与性质 5.二次函数图象与a，b，c的关系 6..图象画法 7.二次函数的平移 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1列二次函数关系式. 2.二次函数的识别 3.由二次函数定义求参数 4. y=ax2图象与性质 5.y=ax2+k图象与性质 6.y=a(x-h)2图象与性质 7.y=a(x-h)2+k图象与性质 8.把y=ax2+bx+c化成顶点式 9.画y=ax2+bx+c图象 10.y=ax2+bx+c的图象与性质 11..y=ax2+bx+c的最值 12.二次函数图象与各项系数符号 13.由二次函数图象判断式子符号 14.一次函数二次函数图象综合判断 15.抛物线上对称两点求对称轴 16.由二次函数的对称性求函数值 17.二次函数图象的平移 18.待定系数法求函数解析式 强化题型 解答题10题 知识点 01 二次函数定义 1.一般定义 形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且 a≠0的函数叫做二次函数。 x 是自变量，y 是因变量； 最高次数必须是2 次； 二次项系数 a 不能为 0，若 a=0，式子变为一次函数 y=bx+c。 2.各项名称 项 系数 要求 二次项 ax2 a≠0（核心判定条件） 一次项 bx b 可以等于 0 常数项 c c 可以等于 0 特殊简化形式（均属于二次函数） 1 b=0，c≠0：y=ax2+c 2 b≠0，c=0：y=ax2+bx 3 b=0，c=0：y=ax2（最简二次函数） 知识点 02 二次函数判定步骤 1.整理式子，把所有项移到等式左侧，化为右边为 0 的整式形式； 2.看自变量最高次数是否为 2； 3.检查二次项系数 a≠0； 4.排除分式、根式含自变量的式子（必须是整式）。 例：y=3x2-5 是；y=2x-1 不是；y=不是（分式）。 知识点 03 根据实际问题列二次函数关系式 常见实际模型： 面积问题：正方形、矩形、圆形面积； 利润问题：单件利润 × 销量，单价变化带来二次关系； 运动问题：竖直上抛、自由落体 h=-gt2+v0t+h0； 增长率模型：两年增长 y=a(1+x)2。 书写要求：根据实际场景写出自变量取值范围（如长度x>0，销量整数）。 知识点 04 已知函数类型求参数 题型：若 \(y=(m-2)xm2-2+3x-1 是二次函数，求m 解题条件组： 解出次数 = 2，同时二次项系数不为 0。 知识点05:特殊形式：y=ax2(a0) 知识点06：y=ax2+bx+c的图象与性质 知识点07：y=ax2+k图象与性质 知识点08:y=a(x-h)2图象与性质 知识点09：二次函数y=ax2+bx+c图象与a，b，c的关系 · a定开口：正上负下，|a|越大开口越窄； · a、b定对称轴：口诀左同右异，b=0对称轴为y轴； · c定抛物线与y轴交点正负，c=0过原点； ·Δ=b2-4ac决定抛物线和x轴交点数量。 知识点10:图象画法（描点法） 1.化顶点式：将 y=ax2+bx+c 化为 y=a(x−h)2+k。 2.定三要素：开口方向、对称轴 x=h、顶点 (h,k)。 3.对称描点：在对称轴两侧取对称点，用平滑曲线连接。 知识点11:二次函数的平移 （1）平移步骤： ① 将抛物线解析式转化成顶点式 y=a(x-h)2+k，确定其顶点坐标(h,k)； ② 保持抛物线y=ax2 的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，具体平移方法如下： （2）平移规律 在原有函数的基础上 “h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”。概括成八个字“左加右减，上加下减”。 知识点 12 本节全题型易错汇总 1.平移混淆 “左加右减、上加下减”，左右平移忘记只改x； 2.顶点式看错h符号，如y=(x+2)2+1顶点误写(2,1)，正确(-2,1)； 3.对称轴公式符号记错，写成\x=； 4.识图 “左同右异” 不会用，判断对称轴位置出错； 5.配方时提取系数后漏乘常数； 6.求最值不分a正负，分不清最大 / 最小值； 7.描图画抛物线用直线连接，不用平滑曲线； 8.忽略实际问题自变量取值范围求最值（不能直接取顶点）。 题型1列二次函数关系式. 【典例】把变成一般式，它的常数项为_____． 【答案】18 【分析】本题重点考查二次函数的一般形式及多项式乘法法则，将二次函数表达式展开为一般形式，常数项即为． 【详解】解：， 故常数项为． 故答案为：18． 【跟踪专练1】两个正方形的周长之和是．若以两个正方形面积之和为因变量，其中一个正方形的边长（单位：）为自变量，则它们之间的关系式是_______． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，解决本题的难点是求得另一正方形的边长，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 根据两个正方形的周长之和为，可求出另一个正方形的边长为 ，再利用正方形面积公式得到面积之和的函数关系式． 【详解】解：设其中一个正方形的边长为，则其周长为， 由于两个正方形的周长之和为， 因此另一个正方形的周长为， 故另一个正方形的边长为， 第一个正方形的面积为， 第二个正方形的面积为， 所以两个正方形的面积之和，即． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，矩形的面积为，点在边上，点在边上，四边形是正方形，记线段的长为的长为，正方形的面积为．当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数和二次函数的定义，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，分别根据题意得，即可得与满足的函数关系． 【详解】解：矩形的面积为，线段的长为，的长为， ， ， 正方形的面积为， ， 与满足的函数关系分别是反比例函数关系，二次函数关系， 故选：． 题型2.二次函数的识别 【典例】下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 【跟踪专练1】粉末床熔融工艺是目前金属增材制造领域发展最快的技术，现准备用该方式打印一圆柱形工件，记工件的底面圆半径为，高为，工件体积为． (1)当是常量时，是的______函数． (2)当是常量时，是的______函数． 【答案】(1) 一次 (2) 二次 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的概念、常量与变量，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）由一次函数的定义可得，当是常量时，是的一次函数． （2）由二次函数的定义可得，当是常量时，是的二次函数． 【详解】（1）解：由题意得：， 当是常量时，是的一次函数． 故答案为：一次． （2）由题意得：， 当是常量时，是的二次函数． 故答案为：二次． 【跟踪专练2】下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（其中、、为常数，且）的函数叫二次函数，判断即可． 【详解】解：A．是二次函数，故A选项符合题意； B．，等式右边不是整式，故不是二次函数，故B选项不符合题意； C．自变量的最高次数是1，故不是二次函数，故C选项不符合题意； D．自变量的最高次数是3，故不是二次函数，故D选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次函数定义，判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 题型3.由二次函数定义求参数 【典例】若是关于x的二次函数，则m的值为______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了根据二次函数的定义求参数，解题的关键是掌握二次函数的定义． 根据二次函数的定义，最高次项为二次，且二次项系数不为零，因此需满足指数条件 且系数条件． 【详解】解：因为函数是关于的二次函数，所以的最高次项为二次，即， 解方程得， 所以或 ， 又因为二次项系数，当时，，不符合条件，故舍去， 因此．当时，函数为，满足二次函数定义． 故答案为：2． 【跟踪专练1】已知二次函数，在对称轴的右侧部分，函数值y随自变量x的增大而增大，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的概念与性质，解题的关键掌握二次函数的增减性． 根据二次函数的定义，指数必须为，且二次项系数不为零；再根据函数在对称轴右侧递增的性质，判断开口向上，从而确定系数的正负． 【详解】解：∵该函数是二次函数， ∴指数部分 ，解得 ，即 又∵二次项系数 ，即 ． 函数在对称轴右侧部分，函数值 随自变量 的增大而增大，表明抛物线开口向上， ∴二次项系数 ，即 ． 综上， 时，，不符合 ；，符合条件， 故答案为 ：． 【跟踪专练2】已知函数是关于的二次函数，则的值是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义得到且，求出的值即可． 【详解】解：函数是关于的二次函数， 且， 且， 解得：， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，掌握形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数是关键． 题型4. y=ax2图象与性质 【典例】如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得的取值范围． 【详解】解：抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是函数的图象，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质．抛物线是最简单二次函数形式．顶点是原点，对称轴是y轴，时，开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；时，开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小．开口大小与有关，越大图象开口越小，越小图象开口越大．其顶点是，对称轴是y轴． 由图可知开口最小，其次，开口最大，根据开口大小与的关系计算即可． 【详解】由图可知开口最小，其次，开口最大， ∴， ∵，开口向下， ∴，， 即，且，， 解得：且， 即， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交抛物线，于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，先求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出的值即可． 【详解】解：∵直线分别交抛物线，于点， ∴的纵坐标均为2， 当时，解得， ∴， ∵， ∴， 把代入，得， 解得； 故选C． 题型5.y=ax2+k图象与性质 【典例】抛物线在y轴右侧的部分是_____（填“上升”或“下降”）． 【答案】下降 【分析】抛物线的对称轴为y轴，且开口向下，故在y轴右侧，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：由抛物线解析式可知：抛物线对称轴为y轴，且开口向下， ∴在y轴右侧的部分是下降． 【跟踪专练1】已知点在抛物线上，且，则________．（填“<”或“>”或“=”） 【答案】 【分析】本题考查了根据二次函数的性质．根据二次函数的性质，抛物线开口向下时，在对称轴右侧函数单调递减． 【详解】解：抛物线的二次项系数为负，故开口向下，对称轴为．已知，即点和点均在对称轴右侧，因此函数值随增大而减小，故． 故答案为：． 【跟踪专练2】如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象和性质．根据一次函数、的图象都经过，求出、，求出，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数、的图象都经过， ∴，， 解得，， ∴、， ∴， 抛物线对称轴为y轴，开口向下，顶点为； 故选：B． 题型6.y=a(x-h)2图象与性质 【典例】写一个对称轴是直线且开口向下的二次函数解析式为______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的性质，对称轴可由顶点式中的确定，开口方向由系数的符号决定；当时，开口向下．据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，二次函数满足对称轴是直线且开口向下， 故答案为： 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的解析式，判断图象即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为； ∴符合条件的只有选项D； 故选D． 【跟踪专练2】如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于，由题意可得，，，由求出，即可得解． 【详解】解：分别作出两抛物线的对称轴交于、，令直线交轴于， ∵平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D． ∴抛物线的对称轴为直线，即， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，即， 故答案为：． 【跟踪专练3】点、在二次函数的图象上，则（　  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数图象具有对称性和二次函数图象上点的坐标特征，可以判断函数值的大小，从而可以解答本题． 【详解】解：在二次函数的图象对称轴为直线，顶点坐标为，且抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴点、在二次函数的图象上，则， 故选：D． 题型7.y=a(x-h)2+k图象与性质 【典例】抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】抛物线顶点式的形式为，其对称轴为直线． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线． 【跟踪专练1】二次函数的对称轴，顶点坐标分别是（     ） A．直线， B．直线， C．直线， D．直线， 【答案】B 【详解】二次函数，对称轴为直线，顶点坐标为． 对于二次函数， ∵， ∴二次函数的图像开口向上， ∵，， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为． 【跟踪专练2】抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于的不等式，求解即可得答案．根据二次函数解析式得出对称轴为是解题关键． 【详解】解：∵抛物线解析式为， 且二次项系数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，在对称轴右侧随增大而增大， ∵当时，随增大而增大， ∴， 解得：， 即的取值范围是． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列表达式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解析式写出和，作差整理后结合已知绝对值的关系即可得到结论． 【详解】解：由题意，得 ，， 两式作差，得 ， 等式两边同乘，得 ． ∵ ， ∴ ，即． 又∵ ， ∴ ， ∴ ，即，故C符合题意． 题型8.把y=ax2+bx+c化成顶点式 【典例】抛物线的顶点坐标是__________． 【答案】 【分析】将抛物线的一般式通过配方法转化为顶点式，即可得到顶点坐标，也可利用顶点坐标公式求解． 【详解】解： 抛物线顶点坐标为． 【跟踪专练1】将二次函数化成的形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法，将二次函数的一般式转化为的形式，对比选项得到结果． 【详解】解：． 【跟踪专练2】将二次函数化成的形式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的一般式化为二次函数的顶点式，掌握好配方法是解题的关键．通过配方法将其转化成，即可得出答案． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练3】二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法正确的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C． D．当时，抛物线的顶点坐标为 【答案】D 【分析】由二次函数对称轴公式即可判断A选项，由二次函数的性质即可判断B选项，由图象可得当时，，即可判断C选项，当时，，结合二次函数的性质即可判断D选项． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，故A选项错误； ∵二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，故B选项错误； 由图象可得当时，， ∴，故C选项错误； 当时，，此时抛物线的顶点坐标为，故D选项正确． 题型9.画y=ax2+bx+c图象 【典例】在同一坐标系中画出函数和的图象，试写出这两个函数的图象都具有的一个性质______． 【答案】对称轴都为（答案不唯一） 【分析】首先画出两个函数的图象，然后根据图象求解即可． 【详解】如图所示， 由图象可得，两个函数的图象的对称轴都为， 故答案为：对称轴都为（答案不唯一）． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 【跟踪专练1】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则时，该函数的自变量的取值范围是________ 【答案】 【分析】首先利用抛物线的对称性得到（0，3）的对称点，然后再利用求出x的取值范围即可． 【详解】∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，3），且对称轴为x=-1， ∴点（0，3）关于x=-1的对称点坐标为（-2，3） ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的对称性，以及结合二次函数图象观察函数的取值问题． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点，且点为顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为C点，则平移后抛物线的表达式为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的表达式求出点A的坐标为，根据正方形的性质可以求出点C的坐标，进而求出点C的坐标，进而求解． 【详解】解：当时，，故A点坐标为， 过点C作交于D，      则， ∴C点坐标为 ∵二次函数的图象经过正方形的顶点C， ∴ ， 解得或（舍去） ∴C点坐标为， ∴平移后抛物线的表达式为， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质、二次函数的性质，解题的关键是求出b的值． 题型10.y=ax2+bx+c的图象与性质 【典例】二次函数，若点，是它图象上的两点，则______．（填<、>、=） 【答案】> 【分析】将A、B两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出和的值，再比较两个值的大小得到结果． 【详解】解：将代入得：， 将代入得：， ∵， ∴． 【跟踪专练1】二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出二次函数与轴的交点坐标为，即可排除A选项，再分两种情况，分别分析对称轴的位置，即可得出结果． 【详解】解：在中，当时，，故二次函数与轴的交点坐标为，故A选项不符合题意； 当时，对称轴为直线，在轴的右侧，故B选项不符合题意； 当时，对称轴为直线，在轴的左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意． 【跟踪专练2】如图，已知的顶点坐标分别为、、，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是__________ 【答案】 【分析】由对称轴时，二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，即可求解． 【详解】解：∵抛物线与y轴的交点为， 又∵， ∴对称轴时，二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点， ∴． 【跟踪专练3】已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再根据与对称轴的位置关系分类讨论，求出关于的分段函数表达式，最后根据表达式判断函数图象． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，的最小值为， 分三种情况讨论： ①当在对称轴左侧，即， 解得时，随的增大而减小 ， 当时，取得最小值； ②当包含对称轴，即， 解得时，的最小值为顶点的纵坐标， ； ③当在对称轴右侧，即时，随的增大而增大 ， 当时，取得最小值， 综上所述，与的函数关系为：， 观察图象可知，当时，图象为平行于轴的线段； 当或时，图象为开口向上的抛物线的一部分 ，故A符合题意． 题型11..y=ax2+bx+c的最值 【典例】若二次函数有最大值7，则的值为________． 【答案】6 【分析】将二次函数解析式配方为顶点式，根据二次函数有最大值，列出关于的方程，求解即可得到的值. 【详解】解：， ， 二次函数开口向下， 二次函数的最大值为， 二次函数的最大值为， ， 解得. 【跟踪专练1】汽车刹车后行驶的距离（单位：米）与行驶的时间（单位：秒）的函数关系式是，则汽车从开始刹车到停下来所用的时间是（   ） A．2秒 B．1.5秒 C．1秒 D．秒 【答案】B 【分析】汽车刹车后停下来时，行驶距离s达到最大值，本题利用二次函数的性质，将解析式配方为顶点式，顶点的横坐标即为刹车到停车的时间. 【详解】解：∵ 对解析式配方得： ∵二次项系数 ∴当时，取得最大值，即汽车停下来. 因此汽车从开始刹车到停下来所用时间是秒． 【跟踪专练2】定义运算：，例如，则函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算与二次函数最值问题，根据新定义运算规则得到二次函数解析式，再利用配方法将二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质即可求出最小值． 【详解】解： ， 二次项系数，抛物线开口向上， 当时，函数取得最小值，最小值为． 【跟踪专练3】我们规定：若，，则．例如， ，，则．已知，，且，则的最大值是（     ） A．14 B．12 C．8 D．6 【答案】C 【分析】先根据新运算的定义求出与之间的关系式，再利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 由二次函数的性质可知，在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 又∵当时，， 当时，， ∴的最大值是8． 题型12.二次函数图象与各项系数符号 【典例】已知抛物线开口向下，那么的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，抛物线的开口方向由二次项系数决定：当二次项系数大于0时，抛物线开口向上；当二次项系数小于0时，抛物线开口向下． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数，解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴ ∴的值可以是2． 【跟踪专练2】如图所示，在直角坐标系中，根据抛物线的位置判断a，b，c的正负，则a___0，b___0，c___0．（选用“”“”及“”号填写） 【答案】 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置求解． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴． 【跟踪专练3】二次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先推导出，得到，再根据二次函数的图像求解即可． 【详解】解：由二次函数的图象，得， 则， ∴二次函数的图象开口向上，顶点在第三象限，只有选项A符合． 题型13.由二次函数图象判断式子符号 【典例】已知二次函数，且，，则一定有_____． 【答案】 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，根据题意抛物线开口向上，顶点在轴的下方是解题的关键． 根据题意可知抛物线与轴有两个交点，即可判断． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵， ∴当时，， ∴抛物线的顶点在轴的下方， ∴抛物线与轴有两个交点， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知二次函数（a、b、c为常数，且）的图象顶点为，经过点．有以下结论：①；②；③；④时，y随x的增大而减小；其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． ①根据函数图象的开口方向即可判断a的符号；②根据对称轴以及抛物线与y轴的交点位置可判断b与c的符号；③将点代入抛物线即可，④根据二次函数的增减性即可判断． 【详解】解：①由抛物线的开口方向向下，则，故①正确； ②∵抛物线的顶点为， ∴，即， ∵，则， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴，即， ∴，故②错误； ③∵抛物线经过点， ∴，即，故③正确； ④∵抛物线的顶点为，且开口方向向下， ∴时，y随x的增大而减小，即④正确； 综上，正确的共有3个． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③关于的方程一定有两个不相等的实数根；④．其中结论正确的有______． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 根据图像可知，抛物线开口向上，与轴负半轴有交点，得到、，；根据抛物线与轴有两个交点得到；由图像可知，抛物线与直线有两个交点，则关于的方程一定有两个不相等的实数根，将点代入抛物线得到，根据得到，据此逐一判断即可． 【详解】解：抛物线对称轴为直线，即， 由图像可知，抛物线开口向上，与轴负半轴有交点， 则、，， 因此，， 故①正确； 由图像可知，抛物线与轴有两个交点， 则，即， 故②正确； 由图像可知，抛物线与直线有两个交点， 则关于的方程一定有两个不相等的实数根， 故③正确； 将点代入抛物线得：， 由于， 则， 即， 由于， 则， 解得， 故④正确， 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 【跟踪专练3】已知二次函数（）的部分图象如图所示，其对称轴为直线，现有下列结论，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象和性质判断各选项即可. 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴交点在负半轴，对称轴为直线， ∴，，， ∴， ∴，， ∴A、B选项不符合题意； ∵由图象可知，当时，， ∴， 把代入得， ∴C选项不符合题意； ∵抛物线的对称轴为直线，当时，， ∴当时，， ∴， ∴D选项符合题意． 题型14.一次函数二次函数图象综合判断 【典例】一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象一定不经过第______象限．    【答案】三 【分析】此题主要考查了一次函数以及二次函数的图象综合判断，直接利用一次函数图象经过的象限得出a，b的符号，进而结合二次函数图象的性质得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一，第三，第四象限， ∴，， ∴， 且当时，， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴在x轴的右侧，与y轴交于正半轴， 故图像一定不经过第三象限， 故答案为：三． 【跟踪专练1】．函数和函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象问题． 先求出的顶点坐标， 再分情况讨论即可． 【详解】解：当时，， 即函数的顶点为，B、D不符合要求； 当时，函数经过一、三象限，函数开口向上，C符合； 当时，函数经过二、四象限，函数开口向下，无符合选项； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，已知抛物线 ，则直线不经过的象限是________． 【答案】第二象限 【分析】此题主要考查了一次函数图象与二次函数图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 先由二次函数图象得到字母系数的正负，再根据一次函数的图象的象限进行判断． 【详解】解：由二次函数的图象可知，对称轴在轴的右侧，可知、异号，，由直线应经过一、三、四象限，故直线不经过第二象限． 故答案为：第二象限． 【跟踪专练3】已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（     ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】先根据抛物线的开口方向和与y轴的交点可得，，可知一次函数的图象经过一、二、四象限，再根据对称轴可得二次函数，然后结合图象可得，最后根据一次函数，当时，判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴． ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． ∵抛物线的对称轴是， ∴，即二次函数． 当时，． 对于一次函数，当时，， 所以图象D符合题意． 题型15.抛物线上对称两点求对称轴 【典例】已知二次函数（），其中，，满足，，则该二次函数图象的对称轴是直线________． 【答案】 【分析】根据，中的系数判定出的值，再根据抛物线上两点的纵坐标相等则两点关于对称轴对称，对称轴的横坐标等于两对称点的横坐标之和的一半求解． 【详解】解：令，则， ∴是二次函数图像上的点； 令，则， ∴是二次函数图像上的点， 且点与点的纵坐标相等， ∴两点关于对称轴对称， ∴对称轴为． 【跟踪专练1】若，是抛物线上的两个点，则它的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用抛物线的对称性求解，抛物线上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称，对称轴为两点横坐标的平均值． 【详解】解：∵ 两点纵坐标相等， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴为直线． 【跟踪专练2】定义：如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，那么这个二次函数图像的对称轴为______． 【答案】轴（或直线） 【分析】根据题意可得这个二次函数经过点和，根据抛物线的对称性，即可求解． 【详解】解：∵一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数 ∴满足， ∴这个二次函数的图像经过点和 ∴这个二次函数图像的对称轴为轴． 【跟踪专练3】当x取和时，多项式的值相等．当x取和时，该多项式的值分别为和，则的值可能是（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据函数值相等得到对称轴，结合对称轴，图形开口得到，由此即可求解． 【详解】解：当x取和时，多项式的值相等， 设， ∴二次函数图象的对称轴为：，且图象开口向上， 当x取和时，该多项式的值分别为和， ∵， ∴时的函数值小于时的函数值， 根据对称性得到，的函数值与时的函数值相等， ∴， ∴B选项符合题意， 故选：B ． 题型16.由二次函数的对称性求函数值 【典例】已知，两点都在抛物线上，那么_________． 【答案】 【详解】解：∵，两点都在抛物线上， ∴、是方程的两个根， 整理方程得， 对于一元二次方程（），根据根与系数的关系，两根之和为， 在方程中，，， ∴． 【跟踪专练1】已知函数的部分图像如下，则代数式的值为_____________． 【答案】0 【分析】本题考查了二次函数的性质，先由函数图象可知函数的图像过点，代入解析式求解即可． 【详解】解：∵函数的图像过点，且顶点坐标为， ∴函数的图像过点， ∴， 故答案为：0． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 【答案】 【分析】根据题意判断出的符号，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，比较大小即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， ∵二次函数的图象对称轴为直线，在函数图象上， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，二次函数的图象上有点，，， ∵， ∴． 【跟踪专练3】已知是抛物线上的点，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出抛物线对称轴，再根据开口方向得到点到对称轴的距离与函数值的大小关系，比较三个点到对称轴的距离即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越近，函数值越大． 分别计算三个点到对称轴 的距离： 点的距离：， 点的距离：， 点的距离：． ∵， ∴． 题型17.二次函数图象的平移 【典例】将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为． 【跟踪专练1】将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出结果． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是． 【跟踪专练2】如果抛物线（其中a、m、k是常数，且）经过点、，那么抛物线与x轴的交点坐标是______． 【答案】和 【分析】由题意可得抛物线是由抛物线向右平移个单位得到的，结合平移的性质计算即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：抛物线是由抛物线向右平移个单位得到的， ∵抛物线（其中a、m、k是常数，且）经过点、， ∴抛物线与x轴的交点坐标为和，即和． 【跟踪专练3】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 题型18.待定系数法求函数解析式 【典例】若二次函数的图像过点，则a的值为______． 【答案】2 【分析】将点代入二次函数解析式得到关于a的方程求解即可． 【详解】解：将点代入二次函数得：，解得：． 【跟踪专练1】假设你是一名人工智能工程师，正在开发一个预测模型．你收集了一组数据，其中自变量代表时间（天），代表某商品的日销量（件）．经过初步分析，你发现与之间的关系可以用二次函数来拟合（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设二次函数解析式为，利用待定系数法解答即可求解． 【详解】解：设二次函数解析式为， 把、和代入得，， 解得， ∴二次函数解析式为， 故选：． 【跟踪专练2】已知二次函数图像经过，则______． 【答案】2026 【分析】将已知点的坐标代入二次函数解析式，得到与的关系式，再将所求代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：将点代入，得 ， 整理得，即， ∴． 【跟踪专练3】某光电研究所研究某种合金的熔点，随着一些稀土材料的加入，合金的熔点逐渐变化，其最高熔点部分图象近似于抛物线的部分图象，已知下列标出的四个点，有三个点在近似抛物线部分图象上，标出的点为：，，，．若分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数部分图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论，当二次函数的图象过点时，为定值；当二次函数的图象不经过点时，使用待定系数法求出、、的值，并求出的值，比较后得出结论． 【详解】解：①当二次函数的图象过点时， 将点代入，得； ②二次函数的图象不经过点时， 将点， ，代入，得： ， 解得， ∴； ∵， ∴的最大值为． 解答题 1．把一根长为的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，以其中一个正方形的边长为自变量，设两个正方形的面积和为． (1)写出与的函数关系式及自变量的取值范围； (2)求出的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列函数关系式，二次函数的最值问题，求自变量的取值范围，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得另一个正方形的边长为，根据正方形面积计算公式列出对应的函数关系式即可，再根据正方形的边长大于0列出不等式求出自变量的取值范围即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∵要围成两个正方形，且正方形的边长大于0 ∴， ∴； （2）解： ， ∵，且， ∴当时，y有最小值，最小值为． 2．已知函数是二次函数． (1)求的值，并写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键； （1）根据二次函数的定义，得到，求出的值，进而写出函数解析式，化为顶点式求出对称轴和顶点坐标即可； （2）根据增减性，求出时，函数的最大值和最小值即可． 【详解】（1）解：由题意，， 解得； ∴， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴当时，函数值最大为； 当时，函数值最小为； ∴． 3．如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】此题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键． （1）将点代入求出的值，再将点代入求解即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）观察图象，利用数形结合法求解即可； 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，； 故答案为：；； （2）解：∵，， 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得， 解得，， ∴直线的解析式为：； （3）解：对于抛物线， ∵， ∴当时，有最小值为0， ∵，， ∴当时，y的取值范围为． 4．抛物线是由抛物线如何平移得到的？并说明抛物线的 (1)开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)函数的最大值或最小值． 【答案】(1)抛物线是由抛物线向上平移3个单位长度得到的， 开口向上，顶点坐标为，对称轴是y轴 (2)最小值为3 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移． （1）根据二次函数的图象和性质，即可得出答案； （2）根据二次函数的图象和性质，即可得出答案． 【详解】（1）解：抛物线是由抛物线向上平移3个单位长度得到的， 抛物线的开口向上，顶点坐标为，对称轴是y轴； （2）解：因为开口向上，所以函数有最小值， 当时，函数有最小值，最小值为3． 5．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求m的值． (3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，并求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)1或 (3)点P的坐标为 【分析】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键时将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质和二次函数的知识求解. 利用轴上的点坐标为，轴上的点坐标为代入直线的表达式求出点的坐标，再利用顶点坐标式待定系数法求出抛物线的表达式； 把时，代入抛物线的表达式求出； 把点关于对称轴的对称点为，连接，与对称轴的交点即为点，利用直线与对称轴的交点求法即可得到点的坐标. 【详解】（1）解：对于，当时，；当时， ． 抛物线的顶点为， ．又抛物线经过点， ，解得， 抛物线对应的函数解析式为， （2）点在抛物线上， ，解得， 的值为1或． （3）如图，设点B关于对称轴的对称点为，连接，与对称轴的交点即为点P． 点的坐标为，对称轴是直线， ，则直线的函数解析式为． 联立解得 故点P的坐标为． 6．已知二次函数． (1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)当时，请直接写出的取值范围__________． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质． （1）根据顶点式即可求解； （2）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得y的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为 （2）解：∵，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，函数最小值为， ∵ ∴y的取值上界由处的函数值决定， 将代入，得， ∴当时，y的取值范围， 故答案为：． 7．已知二次函数的表达式为：． (1)将该二次函数配方成顶点式； (2)写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2) 图象开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为 【分析】（1）利用配方法进行求解即可； （2）根据顶点式直接写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标即可. 【详解】（1）解：． （2）略 8．二次函数（a，b，c是常数）的部分图象如图所示．若，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系． 由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过可得，，的等量关系，然后得到，根据的取值范围求出的取值范围，即可求出的取值范围． 【详解】解：抛物线开口向上， ． 抛物线的对称轴在轴左侧， ， ． 抛物线经过点，， ，， ， ， ． ， ， ，即． 9．在平面直角坐标系中，抛物线（是实数）． (1)当时，若点在该拋物线上，求的值． (2)抛物线的顶点坐标为_______，抛物线的顶点还在某条_______（A．直线   B．抛物线）上，且表达式为_______； (3)已知点，都在该抛物线上，求证：． 【答案】(1) (2)A，． (3)见解析 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先把代入得出函数解析式，再把点坐标代入函数解析式即可得出的值； （2）设①，②，可得，从而知顶点在一条直线上，且表达式为； （3）由点、都在该二次函数图象上，可得对称轴为直线，从而得出，则，最后得出，据此即可证明结论． 【详解】（1）解：当时，， ∵点在该函数图象上， ∴． （2）解：∵抛物线， ∴抛物线的顶点是， 设①，②， 由①得，由②得， ， ∴顶点在一条直线上，且表达式为， 故答案为：A，． （3）证明：∵点、都在该二次函数图象上， ∴对称轴为直线， ， ， ， ， ∴． 10．已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的表达式． (2)若此二次函数的图象同时经过和两点，求n的值． (3)设时，此二次函数的最大值为，求t的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据两点的纵坐标相等，则两点关于对称轴对称，进而得到，然后解方程即可求解； （3）由（2）知，抛物线的对称轴为直线，开口向上，得到和的纵坐标相等，故分当时和当时两种情况，利用二次函数的性质列方程求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴，解得， ∵， ∴， ∴此二次函数的表达式为； （2）解：由知，抛物线的对称轴为直线， ∵此二次函数的图象同时经过和两点， ∴，解得或， 当时，，则； 当时，，则， 综上，满足条件的n值为0或96； （3）解：由（2）知，抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴和的纵坐标相等， 当时，时的函数值最大，又最大值为， ∴， 解得或，都不符合题意，舍去； 当时，时的函数值最大，又最大值为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， 综上，满足条件的t值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11二次函数及其图象与性质暑假预习讲义 1. 概念判定：牢记二次函数一般式y=ax2+bx+c（a≠0），能辨别二次函数，根据定义求解参数取值；结合实际情境列二次函数表达式。 2. 解析式分类：认识一般式、顶点式两种常用形式，初步理解a、h、k各自对图像的影响。 3. 作图方法：掌握描点法画y=ax2基础抛物线，熟知二次函数图像名称为抛物线。 4. 开口规律：由a正负判断开口方向，a>0向上、a<0向下；|a|越大，抛物线开口越窄。 5. 基础几何要素：针对y=ax2，准确找出对称轴、顶点坐标，明确该函数对称轴为y轴，顶点在原点。 6. 增减性分析：结合图像判断对称轴左右区间内函数增减性，能根据自变量取值判断函数变化趋势。 7. 最值求解：根据开口方向判定抛物线存在最高/最低点，会求简单二次函数的最大值或最小值。 8. 图像平移：理解y=ax2+k上下平移、y=a(x-h)2左右平移规律，做到图像平移与解析式变换互推。 9. 易错规避：谨记a≠0是二次函数必要条件；避免对称轴两侧增减性记反；画图时抛物线两端要延伸。 10. 核心思想：树立数形结合思想，以图像为载体研究函数性质，为二次函数综合应用打好铺垫。 预习必备 知识梳理 1.二次函数的定义 2.二次函数判定步骤 3.实际问题列函数解析式 4.二次函数的图象与性质 5.二次函数图象与a，b，c的关系 6..图象画法 7.二次函数的平移 8.高频易错点汇总 常考题型 精讲精练 1列二次函数关系式. 2.二次函数的识别 3.由二次函数定义求参数 4. y=ax2图象与性质 5.y=ax2+k图象与性质 6.y=a(x-h)2图象与性质 7.y=a(x-h)2+k图象与性质 8.把y=ax2+bx+c化成顶点式 9.画y=ax2+bx+c图象 10.y=ax2+bx+c的图象与性质 11..y=ax2+bx+c的最值 12.二次函数图象与各项系数符号 13.由二次函数图象判断式子符号 14.一次函数二次函数图象综合判断 15.抛物线上对称两点求对称轴 16.由二次函数的对称性求函数值 17.二次函数图象的平移 18.待定系数法求函数解析式 强化题型 解答题10题 知识点 01 二次函数定义 1.一般定义 形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且 a≠0的函数叫做二次函数。 x 是自变量，y 是因变量； 最高次数必须是2 次； 二次项系数 a 不能为 0，若 a=0，式子变为一次函数 y=bx+c。 2.各项名称 项 系数 要求 二次项 ax2 a≠0（核心判定条件） 一次项 bx b 可以等于 0 常数项 c c 可以等于 0 特殊简化形式（均属于二次函数） 1 b=0，c≠0：y=ax2+c 2 b≠0，c=0：y=ax2+bx 3 b=0，c=0：y=ax2（最简二次函数） 知识点 02 二次函数判定步骤 1.整理式子，把所有项移到等式左侧，化为右边为 0 的整式形式； 2.看自变量最高次数是否为 2； 3.检查二次项系数 a≠0； 4.排除分式、根式含自变量的式子（必须是整式）。 例：y=3x2-5 是；y=2x-1 不是；y=不是（分式）。 知识点 03 根据实际问题列二次函数关系式 常见实际模型： 面积问题：正方形、矩形、圆形面积； 利润问题：单件利润 × 销量，单价变化带来二次关系； 运动问题：竖直上抛、自由落体 h=-gt2+v0t+h0； 增长率模型：两年增长 y=a(1+x)2。 书写要求：根据实际场景写出自变量取值范围（如长度x>0，销量整数）。 知识点 04 已知函数类型求参数 题型：若 \(y=(m-2)xm2-2+3x-1 是二次函数，求m 解题条件组： 解出次数 = 2，同时二次项系数不为 0。 知识点05:特殊形式：y=ax2(a0) 知识点06：y=ax2+bx+c的图象与性质 知识点07：y=ax2+k图象与性质 知识点08:y=a(x-h)2图象与性质 知识点09：二次函数y=ax2+bx+c图象与a，b，c的关系 · a定开口：正上负下，|a|越大开口越窄； · a、b定对称轴：口诀左同右异，b=0对称轴为y轴； · c定抛物线与y轴交点正负，c=0过原点； ·Δ=b2-4ac决定抛物线和x轴交点数量。 知识点10:图象画法（描点法） 1.化顶点式：将 y=ax2+bx+c 化为 y=a(x−h)2+k。 2.定三要素：开口方向、对称轴 x=h、顶点 (h,k)。 3.对称描点：在对称轴两侧取对称点，用平滑曲线连接。 知识点11:二次函数的平移 （1）平移步骤： ① 将抛物线解析式转化成顶点式 y=a(x-h)2+k，确定其顶点坐标(h,k)； ② 保持抛物线y=ax2 的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，具体平移方法如下： （2）平移规律 在原有函数的基础上 “h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”。概括成八个字“左加右减，上加下减”。 知识点 12 本节全题型易错汇总 1.平移混淆 “左加右减、上加下减”，左右平移忘记只改x； 2.顶点式看错h符号，如y=(x+2)2+1顶点误写(2,1)，正确(-2,1)； 3.对称轴公式符号记错，写成\x=； 4.识图 “左同右异” 不会用，判断对称轴位置出错； 5.配方时提取系数后漏乘常数； 6.求最值不分a正负，分不清最大 / 最小值； 7.描图画抛物线用直线连接，不用平滑曲线； 8.忽略实际问题自变量取值范围求最值（不能直接取顶点）。 题型1列二次函数关系式. 【典例】把变成一般式，它的常数项为_____． 【跟踪专练1】两个正方形的周长之和是．若以两个正方形面积之和为因变量，其中一个正方形的边长（单位：）为自变量，则它们之间的关系式是_______． 【跟踪专练2】如图，矩形的面积为，点在边上，点在边上，四边形是正方形，记线段的长为的长为，正方形的面积为．当在一定范围内变化时，随的变化而变化，则与满足的函数关系分别是（　　） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，一次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．反比例函数关系，二次函数关系 题型2.二次函数的识别 【典例】下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】粉末床熔融工艺是目前金属增材制造领域发展最快的技术，现准备用该方式打印一圆柱形工件，记工件的底面圆半径为，高为，工件体积为． (1)当是常量时，是的______函数． (2)当是常量时，是的______函数． 【跟踪专练2】下列各式中，是的二次函数的是（     ） A． B． C． D． 题型3.由二次函数定义求参数 【典例】若是关于x的二次函数，则m的值为______． 【跟踪专练1】已知二次函数，在对称轴的右侧部分，函数值y随自变量x的增大而增大，则________． 【跟踪专练2】已知函数是关于的二次函数，则的值是（    ） A．或 B． C． D． 题型4. y=ax2图象与性质 【典例】如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【跟踪专练1】如图是函数的图象，则k的取值范围是______． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交抛物线，于点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型5.y=ax2+k图象与性质 【典例】抛物线在y轴右侧的部分是_____（填“上升”或“下降”）． 【跟踪专练1】已知点在抛物线上，且，则________．（填“<”或“>”或“=”） 【跟踪专练2】如果一次函数、的图象都经过，那么函数的大致图象是（ ） A． B． C． D． 题型6.y=a(x-h)2图象与性质 【典例】写一个对称轴是直线且开口向下的二次函数解析式为______． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，平行于x轴的直线与两条抛物线和（）相交于点A，B，C，D．若，，，则h的值为_________． 【跟踪专练3】点、在二次函数的图象上，则（　  ） A． B． C． D． 题型7.y=a(x-h)2+k图象与性质 【典例】抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【跟踪专练1】二次函数的对称轴，顶点坐标分别是（     ） A．直线， B．直线， C．直线， D．直线， 【跟踪专练2】抛物线，当时，随增大而增大，则的取值范围是___________． 【跟踪专练3】已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列表达式正确的是（     ） A． B． C． D． 题型8.把y=ax2+bx+c化成顶点式 【典例】抛物线的顶点坐标是__________． 【跟踪专练1】将二次函数化成的形式为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】将二次函数化成的形式为__________． 【跟踪专练3】二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，下列说法正确的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C． D．当时，抛物线的顶点坐标为 题型9.画y=ax2+bx+c图象 【典例】在同一坐标系中画出函数和的图象，试写出这两个函数的图象都具有的一个性质______． 【跟踪专练1】二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则时，该函数的自变量的取值范围是________ 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过正方形的顶点，且点为顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为C点，则平移后抛物线的表达式为（    ）      A． B． C． D． 题型10.y=ax2+bx+c的图象与性质 【典例】二次函数，若点，是它图象上的两点，则______．（填<、>、=） 【跟踪专练1】二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，已知的顶点坐标分别为、、，若二次函数的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b的取值范围是__________ 【跟踪专练3】已知二次函数，当时，的最小值为，则下列与的函数关系图象正确的是（     ） A．B．C．D． 题型11..y=ax2+bx+c的最值 【典例】若二次函数有最大值7，则的值为________． 【跟踪专练1】汽车刹车后行驶的距离（单位：米）与行驶的时间（单位：秒）的函数关系式是，则汽车从开始刹车到停下来所用的时间是（   ） A．2秒 B．1.5秒 C．1秒 D．秒 【跟踪专练2】定义运算：，例如，则函数的最小值为__________． 【跟踪专练3】我们规定：若，，则．例如， ，，则．已知，，且，则的最大值是（     ） A．14 B．12 C．8 D．6 题型12.二次函数图象与各项系数符号 【典例】已知抛物线开口向下，那么的取值范围是__________． 【跟踪专练1】如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 【跟踪专练2】如图所示，在直角坐标系中，根据抛物线的位置判断a，b，c的正负，则a___0，b___0，c___0．（选用“”“”及“”号填写） 【跟踪专练3】二次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 题型13.由二次函数图象判断式子符号 【典例】已知二次函数，且，，则一定有_____． 【跟踪专练1】如图，已知二次函数（a、b、c为常数，且）的图象顶点为，经过点．有以下结论：①；②；③；④时，y随x的增大而减小；其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【跟踪专练2】如图，抛物线与轴交于点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③关于的方程一定有两个不相等的实数根；④．其中结论正确的有______． 【跟踪专练3】已知二次函数（）的部分图象如图所示，其对称轴为直线，现有下列结论，其中错误的是（     ） A． B． C． D． 题型14.一次函数二次函数图象综合判断 【典例】一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象一定不经过第______象限．    【跟踪专练1】．函数和函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B．C． D． 【跟踪专练2】如图，已知抛物线 ，则直线不经过的象限是________． 【跟踪专练3】已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（     ） A．B．C． D． 题型15.抛物线上对称两点求对称轴 【典例】已知二次函数（），其中，，满足，，则该二次函数图象的对称轴是直线________． 【跟踪专练1】若，是抛物线上的两个点，则它的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】定义：如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，那么这个二次函数图像的对称轴为______． 【跟踪专练3】当x取和时，多项式的值相等．当x取和时，该多项式的值分别为和，则的值可能是（    ） A． B． C． D．0 题型16.由二次函数的对称性求函数值 【典例】已知，两点都在抛物线上，那么_________． 【跟踪专练1】已知函数的部分图像如下，则代数式的值为_____________． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 【跟踪专练3】已知是抛物线上的点，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 题型17.二次函数图象的平移 【典例】将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为______． 【跟踪专练1】将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果抛物线（其中a、m、k是常数，且）经过点、，那么抛物线与x轴的交点坐标是______． 【跟踪专练3】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 题型18.待定系数法求函数解析式 【典例】若二次函数的图像过点，则a的值为______． 【跟踪专练1】假设你是一名人工智能工程师，正在开发一个预测模型．你收集了一组数据，其中自变量代表时间（天），代表某商品的日销量（件）．经过初步分析，你发现与之间的关系可以用二次函数来拟合（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知二次函数图像经过，则______． 【跟踪专练3】某光电研究所研究某种合金的熔点，随着一些稀土材料的加入，合金的熔点逐渐变化，其最高熔点部分图象近似于抛物线的部分图象，已知下列标出的四个点，有三个点在近似抛物线部分图象上，标出的点为：，，，．若分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数部分图象，并得到对应的函数表达式，则的最大值等于（   ） A． B． C． D． 解答题 1．把一根长为的铁丝分成两部分，分别围成两个正方形，以其中一个正方形的边长为自变量，设两个正方形的面积和为． (1)写出与的函数关系式及自变量的取值范围； (2)求出的最小值． 2．已知函数是二次函数． (1)求的值，并写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当时，求的取值范围． 3．如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． (1) _______； _______； (2)求直线的函数表达式； (3)当 时， 的取值范围为_____． 4．抛物线是由抛物线如何平移得到的？并说明抛物线的 (1)开口方向、顶点坐标、对称轴； (2)函数的最大值或最小值． 5．如图，直线交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线的顶点为A，且经过点B． (1)求抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求m的值． (3)请在抛物线的对称轴上找一点P，使的值最小，并求出点P的坐标． 6．已知二次函数． (1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)当时，请直接写出的取值范围__________． 7．已知二次函数的表达式为：． (1)将该二次函数配方成顶点式； (2)写出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 8．二次函数（a，b，c是常数）的部分图象如图所示．若，求的取值范围． 9．在平面直角坐标系中，抛物线（是实数）． (1)当时，若点在该拋物线上，求的值． (2)抛物线的顶点坐标为_______，抛物线的顶点还在某条_______（A．直线   B．抛物线）上，且表达式为_______； (3)已知点，都在该抛物线上，求证：． 10．已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的表达式． (2)若此二次函数的图象同时经过和两点，求n的值． (3)设时，此二次函数的最大值为，求t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $