精品解析：辽宁本溪市某校2025-2026学年高一下学期6月测试数学试卷

高一数学试题 考试时间：120分钟满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求． 1. 已知为虚数单位，且复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，所以. 2. 已知向量 ， 若与垂直，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵ 与垂直， ∴ . ∵ ，，∴ ，解得. ∴ ，∴ . 3. 在中，角，，所对的边分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在中，，则， 因为， 则. 4. 已知，则（ ） A. B. 7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式和降幂公式进行化简，利用商数关系转化为求值即可，注意“1”可以转化为进行计算． 【详解】 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分和两种情况讨论求解即可. 【详解】当时，； 当时，， 所以的值域为． 6. 一辆汽车在一条水平的公路上行驶，如图，在处时测得公路右侧一座楼阁屋顶仰角为，向前行驶60米到达处时又测得楼阁屋顶仰角为，继续向前行驶60米到达处时再次测得楼阁屋顶仰角为．则该楼阁的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】设该楼阁的高度米，根据题意得，，，，再结合，根据余弦定理求得即可得答案. 【详解】设该楼阁的高度米， 根据题意，，， 所以，，， 因为， 所以， 因为， ， 所以，即， 整理得，解得米，即该楼阁的高度米. 7. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据最小正周期公式及条件，可得的表达式，根据x的范围，可得，根据存在零点，可得的范围，即可得答案. 【详解】函数，设函数的最小正周期为T， 由可得，（）， 所以，即， 又函数在上存在零点， 且当时，，所以≥，解得， 综上，的最小值为4. 8. 已知中为直角，分别以，，所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，体积分别为，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式求解即可. 【详解】以所在直线为轴，旋转一周形成的圆锥的体积为：； 以所在直线为轴，旋转一周形成的圆锥的体积为：； 以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体的体积为：. 因为， 所以，所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项符合要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 的最小正周期为 D. 是图象的一个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平移规则可得，即A错误，根据解析式可得其奇偶性和周期，可得BC正确，结合零点的含义可判断D. 【详解】由题意知，即，即A错误， 由于，且， 知函数为奇函数，B正确， 函数的最小正周期为，C正确， ，则是图象的一个零点，零点不是一个点，D错误. 10. 在中内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为直角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，，且有两解，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理和正弦函数、余弦函数的单调性，结合选项，逐项分析、判断，即可求解. 【详解】设外接圆的半径为， 对于A，若，由正弦定理得，则，所以A正确； 对于B，若，可得， 因为，可得或， 即或，所以是直角三角形或钝角三角形，所以B不正确； 对于C，若为锐角三角形，可得，所以， 因为，可得， 则且， 所以，所以C正确； 对于D，若，，可得， 要使得有两解，则满足，即的取值范围是，所以D正确. 11. 如图，在正方体中，，点是正方形内的动点（包含边界），点为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 若点在线段上，则的最小值为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若点是棱的中点，则过，，的平面截正方体所得的截面图形的周长为 D. 若点是线段的中点，则点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】将空间折线最值通过翻折转化为平面共面线段，利用余弦定理求解；空间动点轨迹则借助投影和勾股定理转为截面圆上的弧长；截面与体积问题通过实际作图、计算边长和等体积法逐一验证. 【详解】正方体棱长为，为中点，故. 选项A.将沿翻折，使它与共面，的最小值为翻折后到的线段长. 和均为等边三角形，边长， 翻折后. 由余弦定理得， 即最小值为，正确. 选项B.在面内，到面的距离为，设满足， 由勾股定理，到在面的垂足（中点）的距离满足，即. 的轨迹是以为圆心、​为半径的圆弧. 该圆与正方形的交点为​中点和中点，对应圆心角为， 故轨迹弧长为，正确. 选项C.当是​中点时，为​上的点，. 取的中点，的中点，连接，则. 因为，则四边形为为平行四边形，则. 则过截面为四边形， 则，，，，总周长为，错误. 选项D.是​中点，三边为，则； 由等体积法​，结合得，正确. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 复数是纯虚数，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的概念求解即可. 【详解】由题意知，，解得. 13. 如图，已知三棱台的体积为，上、下底面边长之比为，若截去三棱锥，则剩余部分的体积为__________．（用表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用棱台性质及棱台与棱锥体积公式计算即可得. 【详解】由相似可知，三棱台上、下底面的面积之比为， 设棱台的高为，上底面的面积为，则点到平面的距离也是， 从而有， 则剩余部分的体积为． 14. 希腊数学家海伦在其所著的《度量术》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即三角形的三条边长分别为，，，则它的面积，其中，这个公式称之为海伦公式．若，，求面积的最大值______． 【答案】. 【解析】 【分析】根据正弦定理和面积公式即可得答案. 【详解】已知，所以， 化简得，所以. 由三角形内角和，得，因此. 根据正弦定理，所以，因为，所以. 则半周长，进而. 展开整理，因此. 由基本不等式，时，，当且仅当时取等号， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，求 （1）的值； （2）的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由， ，， 即，，又 即 【小问2详解】 易知，，则，又 从而，，由（1）知 又，，从而, 则 从而 16. 如图，直三棱柱有外接圆柱，点，分别在棱和上，. （1）若，且三棱柱有一个内切球，求三棱柱的体积； （2）若，连接，，将三棱柱的侧面和展开成一个平面图形，求展开图形中面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆柱上下底面的圆心位置结合棱柱内切球的性质即可得解； （2）由（1）的结论结合基本不等式即可得解. 【小问1详解】 ，是圆柱的上下底面圆心，而且点，分别在棱和上，由此可知是为斜边的直角三角形. , 设的内切圆的半径为，则由等面积法，可知:,，故三棱柱的内切球的半径也是，故三棱柱的高，进而三棱柱的体积. 【小问2详解】 三棱柱的侧面和展开成一个平面图形, 设，则，，，所以. 17. 已知函数的一系列对应值如下表： （1）根据表格提供的数据求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间和对称中心； （3）将图像向右平移单位后，将得到图像纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半，再将得到的图像横坐标不变，将得到的图像向下平移一个单位，再纵坐标变为原来的倍后得到，若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）递增区间为，对称中心为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数在表格中的对应数据，结合正弦型函数的性质，即可求解； （2）由（1）知：，结合正弦函数的性质，即可求解； （3）先利用三角函数的图象变换，求得，令，把方程化为，求得方程的解，转化为与的图象有两个公共点，结合图象，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 根据函数在表格中的对应数据， 设的最小正周期为，可得，则， 由，解得，可得， 又由，可得，可得，解得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 由（1）知：.　 令，解得， 所以函数的单调递增区间为， 再令，解得， 所以函数的对称中心为. 【小问3详解】 先将图像向右平移单位后，得到， 再将图像纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半，得到， 最后将图像向下平移一个单位，纵坐标变为原来的倍后，得到， 令，方程，即为， 解得或， 因为，设，可得， 要使方程存在4个不相等的实数根， 当，即在上存在两解， 所以，即有两个根，且， 即与的图象有两个公共点，且， 画出函数与的图象， 结合图象，可得或或， 解得或或， 所以所求的的取值范围是. 18. 在中，，设分别为. （1）若. （i）求的值； （ii）求的最小值； （2）若，求的值. 【答案】（1）（i）0；（ii）3 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）由可得答案；（ii）方法一：由得，利用基本不等式得，再由的范围可得答案；方法二：设，由正弦定理得，再利用弦花切，再利用基本不等式可得答案； （2）设，由正弦定理得，由余弦定理得，求出，，再由余弦的二倍角公式可得答案. 【小问1详解】 （i）因为， 所以. （ii）方法一： 由得， 即 ， 所以， ，当且仅当时等号成立，即， 因为，所以，即， 所以，所以的最小值为3. 方法二： 设，则， 因为，故， 所以， 在中，由正弦定理得， 即，所以， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为，所以， 当且仅当时等号成立， 因为，所以，即， 所以，所以的最小值为3； 【小问2详解】 设，则， 在中， 由正弦定理得， 即， 因为，所以，① 在中，由余弦定理得，② ，③ 由②③得， 由①②得， 故，即，所以， 所以， 所以. 19. 如图，正的边长为1，是边上的中线且点满足，过点的直线与边分别交于点（点可以和端点重合） （1）设，试用表示； （2）当时，求的值； （3）设，请用表示，并求其取值范围. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算计算即可求解； （2）根据，结合向量数量积运算律计算求解； （3）根据正弦定理用表示出，，可得，令，根据三角恒等变换可得，多次利用换元法结合二次函数性质可得的值域，进而计算可解. 【小问1详解】 因为是边上的中线且点满足， 故 , 则； 【小问2详解】 因为，， ， 所以； 【小问3详解】 由题意可知 在中，，，， 由正弦定理得：，即， 所以， 在中，， 由正弦定理得：，即， 所以， 则， 令 因为 ， ， 所以， 因为，所以，， 令，则， 令，则， 所以， 令，则， 由二次函数性质可知，在上单调递增， 当时，有最小值，当时，有最大值， 所以的值域为，即的值域为， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题 考试时间：120分钟满分：150分 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求． 1. 已知为虚数单位，且复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知向量 ， 若与垂直，则 （ ） A. B. C. D. 3. 在中，角，，所对的边分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. 7 C. D. 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 一辆汽车在一条水平的公路上行驶，如图，在处时测得公路右侧一座楼阁屋顶仰角为，向前行驶60米到达处时又测得楼阁屋顶仰角为，继续向前行驶60米到达处时再次测得楼阁屋顶仰角为．则该楼阁的高度（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 8. 已知中为直角，分别以，，所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体，体积分别为，若，则（    ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题有多个选项符合要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 的最小正周期为 D. 是图象的一个零点 10. 在中内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为直角三角形 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，，且有两解，则的取值范围是 11. 如图，在正方体中，，点是正方形内的动点（包含边界），点为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 若点在线段上，则的最小值为 B. 若，则点的轨迹长度为 C. 若点是棱的中点，则过，，的平面截正方体所得的截面图形的周长为 D. 若点是线段的中点，则点到平面的距离为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 复数是纯虚数，则实数__________. 13. 如图，已知三棱台的体积为，上、下底面边长之比为，若截去三棱锥，则剩余部分的体积为__________．（用表示） 14. 希腊数学家海伦在其所著的《度量术》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即三角形的三条边长分别为，，，则它的面积，其中，这个公式称之为海伦公式．若，，求面积的最大值______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知，求 （1）的值； （2）的值. 16. 如图，直三棱柱有外接圆柱，点，分别在棱和上，. （1）若，且三棱柱有一个内切球，求三棱柱的体积； （2）若，连接，，将三棱柱的侧面和展开成一个平面图形，求展开图形中面积的取值范围. 17. 已知函数的一系列对应值如下表： （1）根据表格提供的数据求函数的解析式； （2）求函数的单调递增区间和对称中心； （3）将图像向右平移单位后，将得到图像纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半，再将得到的图像横坐标不变，将得到的图像向下平移一个单位，再纵坐标变为原来的倍后得到，若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围． 18. 在中，，设分别为. （1）若. （i）求的值； （ii）求的最小值； （2）若，求的值. 19. 如图，正的边长为1，是边上的中线且点满足，过点的直线与边分别交于点（点可以和端点重合） （1）设，试用表示； （2）当时，求的值； （3）设，请用表示，并求其取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $