精品解析：辽宁大连市第八中学2025-2026学年高一下学期4月份阶段测试数学试题

2025-2026学年度下学期高一年级4月份阶段测试 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 亲爱的考生，本场考试需要2小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是第二象限角，则点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. “点M的坐标为”是“点M为函数图象的对称中心”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知和的夹角为，且，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. -1 5. 为了得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 7. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 4 8. 已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则的化简的结果可能是（ ） A. B. C. D. 10. 若向量，满足，，则（ ） A. 与垂直 B. 与的夹角为 C. D. 在方向上的投影向量为 11. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.已知函数，函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的值域是 B. 函数是周期函数 C. 函数的图象关于对称 D. 方程只有一个实数根 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 的单调增区间为________. 13. 若向量，，，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________． 14. 某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成，已知，为等腰梯形内一点（含边界），则的取值范围为___________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知关于的方程的两个不等实根分别是和. （1）求的值； （2）若，求的值. 16. 某同学为学校文创社设计了一款如图所示的扇环形的展示铭牌，铭牌的外弧半径，设铭牌对应的圆心角为，内弧半径（），若铭牌的面积为. （1）求关于的函数解析式； （2）记弧，的长度分别为，求的最小值. 17. 摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，在开始运行一周的过程中，开始转动后距离地面的高度为，设 （1）求的解析式； （2）当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时刻”，求游客在开始运行一周的过程中，处于“震撼时刻”的时间段； （3）若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点），在运行一周的过程中，运行两人首次距离地面的高度相等，求时间. 18. 已知函数． （1）若，，求的对称中心； （2）已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，已知函数，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 19. 如图所示，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求：； （2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求的值； （3）如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，，，点分别为中点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期高一年级4月份阶段测试 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 亲爱的考生，本场考试需要2小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为时针经过2小时相当于转了一圈的，且按顺时针转所形成的角为负角，综合以上即可得到本题答案. 【详解】因为时针旋转一周为12小时，转过的角度为，按顺时针转所形成的角为负角， 所以经过2小时，时针所转过的弧度数为. 故选：B. 2. 已知是第二象限角，则点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】已知是第二象限角，求和终边所在位置，判断和的符号，确定点所在象限. 【详解】是第二象限角，则， ，的终边在一三象限，， ，的终边在三四象限和轴非负半轴，， 则点位于第四象限. 故选：D 3. “点M的坐标为”是“点M为函数图象的对称中心”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的对称中心，再进行判断. 【详解】由解得，所以的对称中心为，. 而⫋， 所以“点M的坐标为”是“点M为函数图象的对称中心”的充分不必要条件. 4. 已知和的夹角为，且，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律及数量积的定义即得. 【详解】因为和的夹角为，，， 所以. 故选：D. 5. 为了得到函数的图象，只需将的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【详解】， 将函数的图象向右平移个单位长度得的图象.即C对. 6. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助反三角函数的性质计算即可得. 【详解】由，故，故. 故选：B. 7. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田．已知正八边形ABCDEFGH的边长为，点P是正八边形ABCDEFGH边上的一点，则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】过点作直线的垂线，垂足为点，计算出，分析可知当点在线段上时，在方向上的投影取最小值，结合平面向量数量积的几何意义求得结果. 【详解】过点作直线的垂线，垂足为点，， 如图，由平面向量数量积的几何意义可知，等于的模与在方向上的投影的乘积， 当点在线段上时，在方向上的投影取最小值， 此时，，，， 故的最小值为. 故选：B. 8. 已知函数，将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，已知在上恰有5个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得，换元转化为在上恰有5个不相等的实根，结合的性质列出不等式求解. 【详解】，令，由题意在上恰有5个零点，即在上恰有5个不相等的实根，由的性质可得，解得． 故选：D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，则的化简的结果可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可得，根据同解的平方关系可得，，于是有=，再分，去绝对值即可得答案. 【详解】解：因为， 所以， 即函数的定义域为：， 所以， ， 所以==. 故选：AB. 10. 若向量，满足，，则（ ） A. 与垂直 B. 与的夹角为 C. D. 在方向上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量的数量积即可判断AB，计算即可判断C，根据投影向量的定义计算即可判断D. 【详解】由，所以，故A正确； 由， 所以，所以，又，所以，故B正确； ， 所以，所以，故C错误； 在方向上的投影向量为 ， 所以在方向上的投影向量为，故D正确. 11. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，.已知函数，函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数的值域是 B. 函数是周期函数 C. 函数的图象关于对称 D. 方程只有一个实数根 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据，可得，则，去绝对值符号，从而可求出的值域，基尔克的函数的节诶稀释，作出函数图象，再根据函数图象逐一分析各个选项即可得解. 【详解】因为，所以， 则， 当时，， 当时，， 所以， 所以， 作出函数的图象， 当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时， 所以函数的值域是，故A正确； 作出函数的图象， 由图可知函数是以为周期的周期函数，故B正确； 函数的图象关于对称，故C正确； 对于D，方程根的个数即为方程方程根的个数， 即为两个函数图象交点的个数， 当时，，当时，， 由图可知，两个函数图象没有交点， 所以方程无解，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上） 12. 的单调增区间为________. 【答案】 【解析】 【分析】求出给定函数的定义域，由对数函数、正弦函数单调性结合复合函数单调性求解作答. 【详解】依题意，，则，解得， 函数中，由得， 即函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递增， 又函数在上单调递增， 所以函数的单调增区间为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：函数的单调区间是定义域的子区间，求函数的单调区间，正确求出函数的定义域是解决问题的关键. 13. 若向量，，，已知与的夹角为钝角，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据与的夹角为钝角，得到，注意排除与反向共线这种情况，进而即可求出答案． 【详解】由，，则， 又与的夹角为钝角， 则，即，解得， 当与反向共线时，，解得，此时夹角不是钝角， 综上所述，k的取值范围是． 故答案为：． 14. 某三角图标如图所示，该图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成，已知，为等腰梯形内一点（含边界），则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先建立直角坐标系求出各点坐标和向量坐标，再计算向量数量积转化为与横坐标相关式子，最后确定横坐标范围从而得出数量积取值范围. 【详解】由题意可得，大三角形为等边三角形， 又因为，且等边三角形， 所以，又因为，所以， 作垂直于直线于， 在直角中，， 所以，， 作垂直于直线于，根据等腰梯形的对称性可得： ，即， 所以大三角形的边长为4，， 以为原点，为轴，垂直于为轴，建立直角坐标系， 则，， 所以，作垂直于直线于， 在三角形中，， ，所以， 平移直线到，则， 所以，作垂直于直线于， 在三角形中，， ，所以， 根据图形关系可得，等腰梯形满足：，，腰长均为， 则，设，则， 因此：问题转化为求点横坐标的范围， 又因为等腰梯形最小横坐标为，最大横坐标为， 且对梯形内任意点，， 因此，即的取值范围是. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知关于的方程的两个不等实根分别是和. （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据韦达定理得到根与系数的关系，再利用三角恒等变换计算得到答案. （2）化简得到原式，再根据题意计算得到答案. 【小问1详解】 因为关于的方程的两个不等实根分别是和 所以，即， ，， ， 从而， 则； 【小问2详解】 . 因为 ； 因为且，所以， 所以. 所以. 16. 某同学为学校文创社设计了一款如图所示的扇环形的展示铭牌，铭牌的外弧半径，设铭牌对应的圆心角为，内弧半径（），若铭牌的面积为. （1）求关于的函数解析式； （2）记弧，的长度分别为，求的最小值. 【答案】（1）且； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用扇形的面积公式及已知得，整理即可得； （2）应用扇形的弧长公式可得，再由基本不等式求最小值. 【小问1详解】 由题意，则， 所以且； 【小问2详解】 由 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值. 17. 摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，在开始运行一周的过程中，开始转动后距离地面的高度为，设 （1）求的解析式； （2）当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时刻”，求游客在开始运行一周的过程中，处于“震撼时刻”的时间段； （3）若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点），在运行一周的过程中，运行两人首次距离地面的高度相等，求时间. 【答案】（1） （2）第六分钟到第十二分钟为“震撼时刻”. （3） 【解析】 【分析】（1）根据最值可求解，根据周期可求解，进而代入，可得，即可求解解析式， （2）解不等式，即即可得解， （3）根据，结合正切函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，，则， 又易知，所以，得， 又当时，，则， 因，则， 所以，化简得. 【小问2详解】 由题意易知，所谓“震撼时刻”，即要求， 化简得， 因，则，故，则， 故第六分钟到第十二分钟为“震撼时刻”. 【小问3详解】 设乙的座舱高度与时间函数为， ， 因为甲乙离地面高度相等，即， 可得：，即， 可解得，即， 故时，有最小值， 即当时，甲乙首次高度相等. 18. 已知函数． （1）若，，求的对称中心； （2）已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，已知函数，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由得函数的最小正周期是，结合周期可得值，然后由结合正弦函数的对称中心求解； （2）由平移变换得出的表达式，再由零点求得，然后分别求出时，，的值域，由可得参数范围． 【小问1详解】 ∵的最小正周期为， 又∵，，∴的最小正周期是， 故，解得， 当时．，由， 的对称中心为； 当时，，由， 的对称中心为； 综上所述，的对称中心为或． 【小问2详解】 ∵函数图象向右平移个单位，得到函数的图象， ∴． 又∵是的一个零点， ，即， ∴或，， 解得或， 由可得 ∴， 对任意，存在，使得成立， 则， 当时，，，， 当时，，，， 由可得，解得． 19. 如图所示，设是平面内相交成的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． （1）在仿射坐标系中，若，求：； （2）在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求的值； （3）如图所示，在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上，，，点分别为中点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，结合，即可求解； （2）由，分别求得和，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解； （3）设，求得，根据，求得，再由，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：在仿射坐标系中，向量分别为同向的单位向量， 可得，且，所以， 因为向量，可得， 所以， 所以. 【小问2详解】 解：在仿射坐标系中，由， 可得，且， 所以， ，可得， ， 因为向量与的夹角为， 可得， 解得. 【小问3详解】 解：在仿射坐标系中，分别在轴，轴正半轴上， 设，其中，所以， 因为，点分别为中点，可得 又因为分别为中点，可得， 所以， 可得， 因为，所以，即，即， 又由向量，且， 所以， 因为，可得， 代入得， 又因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $