期末培优：求线面角问题、已知线面角求其他量、线面角最值与范围问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦线面角三类核心问题，通过分层典例构建从基础求解到动态最值的递进训练，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求线面角|2例+2变式|正方体、翻折梯形等几何体中直接求角|线面角定义→几何法/向量法应用| |已知角求量|2例+2变式|四棱锥、三棱锥中由角求长度/体积|方程思想→线面角公式逆向应用| |最值与范围|2例+2变式|动态翻折、动点问题中角的范围确定|函数思想→空间几何动态分析|

期末培优：求线面角问题、已知线面角求其他量、线面角最值与范围问题专项训练 期末培优：求线面角问题、已知线面角求其他量、线面角最值与范围问题专项训练 考点目录 求线面角问题 已知线面角求其他量 线面角最值与范围问题 考点一 求线面角问题 例1．（25-26高一下·河北唐山·阶段检测）如图，在正方体中，． (1)作出过与平行的平面，并证明； (2)求直线和平面所成的角． 例2．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）如图，梯形中，，，，，将沿翻折至，使得平面平面. (1)证明：直线平面； (2)设线段中点为，求直线与平面所成角的正弦值. 变式1．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点（异于），，，为圆所在平面外一点，且垂直于圆所在平面． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 变式2．（25-26高一下·湖南益阳·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． (3)求直线与平面所成角的大小． 考点二 已知线面角求其他量 例1．（25-26高一下·北京顺义·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，底面．    (1)证明: 平面平面； (2)设平面平面于直线l，证明：； (3)若在线段BC上是否存在点 F，使得平面PAB，若存在点 F，则为何值时，直线EF与底面ABCD所成角为. 例2．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点.    (1)证明：直线平面； (2)若直线与平面的夹角的正切值为， （i）求四棱锥的体积； （ii）求三棱锥的外接球的半径. 变式1．（24-25高一下·河南商丘·期末）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，平面平面，，点是棱上的一点． (1)记平面与平面的交线为，求证：； (2)若，求二面角的正弦值； (3)若直线与平面所成角的余弦值为，求线段的长． 变式2．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别为棱，，的中点. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面和平面所成角（锐角）的正切值. 考点三 线面角最值与范围问题 例1．（24-25高一下·湖北黄石·期末）如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点.将沿DE翻折到，沿EF翻折到， (1)求证：平面平面； (2)当F是边BC的中点时，求二面角的余弦值； (3)若，连接DF，设直线SE与平面所成角为，求的最大值. 例2．（25-26高一下·山西太原·阶段检测）如图，三棱锥中，平面PAC，，，，点E满足，． (1)证明：平面ABC； (2)若在棱AB上存在一点D，使得． （ⅰ）求BD的长； （ⅱ）若F是棱BC上的动点，求直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围． 变式1．（25-26高一下·福建龙岩·月考）在梯形中，，，，为线段的中点，若沿把这个梯形折成一个四棱锥，使到达的位置，为的中点，为线段上动点. (1)当四棱锥的体积最大时，求该四棱锥外接球的表面积； (2)设直线与平面所成的角为，求的最大值. 变式2．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）如图（1），在矩形中，，，点为的中点，为线段上一动点.过点作于点的延长线交于点. (1)求的取值范围（只需写出结果，无需推理过程）； (2)现将沿折起，使得平面平面. （i）当点为线段的中点时，求二面角平面角的余弦值； （ii）设直线与平面所成角为，求的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：求线面角问题、已知线面角求其他量、线面角最值与范围问题专项训练 期末培优：求线面角问题、已知线面角求其他量、线面角最值与范围问题专项训练 考点目录 求线面角问题 已知线面角求其他量 线面角最值与范围问题 考点一 求线面角问题 例1．（25-26高一下·河北唐山·阶段检测）如图，在正方体中，． (1)作出过与平行的平面，并证明； (2)求直线和平面所成的角． 【答案】(1)作法：连接，如图所示： 则平面即为过与平行的平面. 证明：在正方体中，由且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面即为过与平行的平面. (2) 【分析】（1）先根据题意作出平面，然后利用线面平行的判定定理证明即可； （2）先找出线面角，然后根据定义说明线面角，最后在直角三角形中结合已知条件求解即可. 【详解】（1）略 （2）设与交于点，连接，如图所示： 在正方体中，因为平面，平面， 所以，在正方形中，由，且， 所以平面，即平面，平面， 所以为斜线在平面内的射影， 所以为直线和平面所成的角， 又，则，， 在直角三角形中，， 又，所以，即直线和平面所成的角为. 例2．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）如图，梯形中，，，，，将沿翻折至，使得平面平面. (1)证明：直线平面； (2)设线段中点为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)由已知，在梯形中，，，所以， 又，所以， 取的中点，连接，易知四边形为正方形， 因为，可知， 所以，所以， 又因为翻折前，所以翻折后， 又因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面， 又因为平面，所以， 又，，且平面，所以直线平面. (2). 【分析】（1）根据面面垂直的性质，可证得，再根据线面垂直的判定定理，即可证明； （2）法一：运用等体积法，可求得点到平面的距离，进而可求得点到平面的距离，根据勾股定理，可求得，进而可求得直线与平面所成角的正弦值； 法二：运用直接法，在中过作，垂足为，根据几何关系，可求得点到平面的距离，根据勾股定理，可求得，进而可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）法一：设点到平面的距离为， 由（1）可知直线平面，所以点到平面的距离为， 因为翻折后，所以， 因为直线平面，所以，所以， 由（1）可知平面，所以，所以， 由，解得， 设点到平面的距离为，则由，解得， 又，所以， 设直线与平面所成角为，则， 直线与平面所成角的正弦值为. 法二设点到平面的距离为， 在中过作，垂足为，下证平面． 由（1）可知平面，面，所以， 又，，平面 由（1）可知直线平面，所以， 在中，，， 设点到平面的距离为，则由，解得， 又，所以， 设直线与平面所成角为，则， 直线与平面所成角的正弦值为. 变式1．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）如图所示，已知是圆的直径，为圆上一点（异于），，，为圆所在平面外一点，且垂直于圆所在平面． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)平面，平面，． 是圆O的直径，C为圆上一点， ． 又，且平面，平面． 平面，平面平面. (2) 【分析】（1）先证，得到平面，最后得到平面平面. （2）先找出直线与平面所成角，然后求出的长度，最后得到其正弦值. 【详解】（1）略 （2）如图所示，过点作于点， 平面，平面，， 又，平面，平面． 即为直线与平面所成角． ，，可得． . 即直线AC与平面PBC所成角的正弦值为． 变式2．（25-26高一下·湖南益阳·期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，垂足为，，交于点，点是的中点． (1)求证：平面． (2)求证：平面． (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可. （3）根据线线平行及线面角的定义，在三角形中求解即可. 【详解】（1）证明：因为底面是正方形，，为对角线，所以为中点， 又点是的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. （2）证明：因为平面，，平面， 所以，，且为直角三角形. 因为底面是正方形，所以. 又，平面，，所以平面， 因为平面，所以. 在中，，点是的中点，所以. 又，平面，，所以平面. （3）正方形中，， 所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 又平面，所以即为直线与平面所成角，也即直线与平面所成角. 在中，，点是的中点，所以，， 所以. 故直线与平面所成角为. 考点二 已知线面角求其他量 例1．（25-26高一下·北京顺义·期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，底面．    (1)证明: 平面平面； (2)设平面平面于直线l，证明：； (3)若在线段BC上是否存在点 F，使得平面PAB，若存在点 F，则为何值时，直线EF与底面ABCD所成角为. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1） 可证平面，由面面垂直的判定定理即可证明；           （2） 可证平面，由线面平行的性质定理即可证明；         （3）由线面平行的判定定理得出点F在BC的处，再证得平面，所以即为EF与底面所成角，求解即可得出答案. 【详解】（1）因为底面，平面，则， 又因为底面为正方形，则 ， 且，平面， 可得平面， 又因为平面PBD，所以平面平面. （2）在正方形中，则， 且平面，平面，可知平面， 且平面，平面平面，所以. （3）存在点F在BC的处，使得平面． 在线段PA上取点K，使，连接KE，KB，EF． 在中，，即， 则，且， 在正方形中，F在BC的处，则，且， 可得，且，可知为平行四边形， 则，且平面，平面，所以平面， 在AD的处取点M，连接． 中，点E，M分别为的处，则，且， 因为平面，则平面，即EF在平面上的射影MF， 可知即为EF与底面所成角，                           在中，，    若，，所以. 例2．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，是等边三角形，平面平面，点是的中点.    (1)证明：直线平面； (2)若直线与平面的夹角的正切值为， （i）求四棱锥的体积； （ii）求三棱锥的外接球的半径. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）设中点为，证明平面即可证明结论； （2）（i）设中点为，过点作平面，即可证明是直线与平面所成的角，再结合几何关系得，最后计算四棱锥的体积即可. （ii）根据（1）得点与点关于平面对称，进而根据对称性转化为求三棱锥的外接球半径，设中点为中点为中点为，三棱锥的外接球球心为，半径长为，再结合几何关系即可求得答案. 【详解】（1）证明：设中点为，则由是等边三角形知 由四边形为矩形得， 又平面平面，平面平面，平面 所以平面， 又平面，所以 又，平面 所以平面. 由点是的中点，得， 所以四点共面， 所以直线平面    （2）解：（i）设中点为， 所以，又因为， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 过点作平面，因为平面平面， 所以点在上. 所以是直线与平面所成的角， 因为是等边三角形，， 所以在中，，， 因为直线与平面的夹角的正切值为 所以在中，，所以. 因为四边形为矩形， 所以在中，，即，解得， 所以 因此四棱锥的体积是.    （ii）由（1）知直线平面中点为， 所以，点与点关于平面对称， 所以，三棱锥的外接球与三棱锥的外接球关于平面对称， 接下来求三棱锥的外接球半径. 设中点为中点为中点为， 三棱锥的外接球球心为，半径长为. 则平面， ， 即， 解得，因此. 所以三棱锥的外接球的半径为    变式1．（24-25高一下·河南商丘·期末）如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，平面平面，，点是棱上的一点． (1)记平面与平面的交线为，求证：； (2)若，求二面角的正弦值； (3)若直线与平面所成角的余弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由线面平行的判定定理、性质定理可得答案； （2）分别取的中点，由余弦定理求出，面面垂直的性质定理得平面，再由线面垂直的性质定理得出为二面角的平面角．求出正弦值即可； （3）由面面垂直的性质定理得平面，设，设到平面的距离为h，根据求出，再由直线与平面所成角的余弦值得．在中由余弦定理求出可得答案． 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面平面，平面，所以； （2）分别取的中点，连接，如图所示． 因为，所以， 又，由余弦定理得 ， 又，所以， ， 所以，即，即． 又平面平面，平面平面， 平面，所以平面，又平面， 所以，，因为分别为的中点， 所以，，又，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角． 因为，， 所以， 所以， 即二面角的正弦值为； （3）连接，如图所示，因为， 点为的中点，所以，， 又平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以，又， 所以． 显然点E不与点A重合，设， 所以 ． 设到平面的距离为h，则，解得， 又直线与平面所成角的余弦值为， 所以， 所以．在中，， 则， 在中，， 即， 整理得，解得或（舍）， 所以． 变式2．（24-25高一下·河南南阳·期末）如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别为棱，，的中点. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求平面和平面所成角（锐角）的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据中位线定理及线面平行的判定定理即可证明； （2）取的中点，连接，.根据中位线定理及线面垂直的性质可得，.根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质即可证明； （3）根据线面垂直的性质可得.结合线面垂直的判定定理可得平面，故即为直线与平面所成的角，即.设，则可求得，，.连接，过点作，交的延长线于点，连接.根据线面垂直的性质及线面垂直的判定可得平面，进而，故即为平面和平面所成的角.过点作于点.证明与全等，所以.由等面积法可解得.在中求出即可求解. 【详解】（1）∵，分别为棱，的中点，∴. ∵平面，平面，∴平面. （2） 取的中点，连接，. ∵，分别为棱，的中点，∴. ∵平面，∴平面.∵平面，∴. ∵，分别为棱，的中点，∴.∵，∴. ∵，，平面，∴平面. ∵平面，∴. （3）∵平面，平面，∴. ∵，，，平面，∴平面， ∴即为直线与平面所成的角，∴. 设，则，，. 如图，连接.易得平面和平面的交线为.过点作，交的延长线于点，连接. ∵平面，平面，平面，∴，. ∵，，，平面，∴平面. 又平面，∴，∴即为平面和平面所成的角. 过点作于点. ∵，，，∴与全等，∴. 由可得，∴. ∴， 即平面和平面所成的角的正切值为. 考点三 线面角最值与范围问题 例1．（24-25高一下·湖北黄石·期末）如图，正方形中，边长为4，为中点，是边上的动点.将沿DE翻折到，沿EF翻折到， (1)求证：平面平面； (2)当F是边BC的中点时，求二面角的余弦值； (3)若，连接DF，设直线SE与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到，，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面. （2）取的中点，证得，，得到二面角的平面角为，在中，利用余弦定理，即可求解； （3）设在面上的射影为，得到为与平面所成角，设，求得，在中求出和，结合得到，令，得到，令，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）证明：因为是正方形，为的中点，所以，， 又因为,且平面，所以平面， 因为平面SEF，所以平面平面. （2）解：取的中点，由题意得，则，， 所以二面角的平面角为， 在中，因为，，， 可得，所以二面角的余弦值为. （3）解：设在面上的射影为，连接，则为直线与平面所成角， 设，则， 可得， 在中，由，，， 可得，且， 因为，即，可得， 又因为，所以， 令，则，则， 令，任取， 则， 因为，，，所以即， 所以在上单调递减， 所以当，即时，取得最大值为. 例2．（25-26高一下·山西太原·阶段检测）如图，三棱锥中，平面PAC，，，，点E满足，． (1)证明：平面ABC； (2)若在棱AB上存在一点D，使得． （ⅰ）求BD的长； （ⅱ）若F是棱BC上的动点，求直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)由平面PAC，PE，平面PAC， 所以，． 因为，，所以． 在中，， 在中，，所以，即． 又，AC，平面ABC， 所以平面ABC． (2)（ⅰ）；（ⅱ）． 【分析】（1）根据线面垂直的性质以及判定定理求解即可. （2）（ⅰ）D为AB上靠近B的三等分点，根据线面垂直的判定定理、性质以及线线平行的性质求解即可. （ⅱ）根据线面平行得到F到平面PDE的距离即C到平面PDE的距离，再根据正弦函数的定义求解即可. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）D为AB上靠近B的三等分点， 即，使得． 理由如下：连接DE， 因为，所以，所以． 因为平面PAC，平面PAC， 所以，所以． 由（1）可知平面ABC，平面ABC，所以． 又因为，平面PDE，平面PDE， 所以平面PDE． 因为平面PDE，所以．所以． （ⅱ）由（ⅰ）可知，且平面PDE，平面PDE， 所以平面PDE，则F到平面PDE的距离即C到平面PDE的距离，记为h． 由（ⅰ）知：平面PDE，所以． 在中，由 得， 设直线PF与平面PDE所成角为，则， 所以， 所以直线PF与平面PDE所成角的正弦值的取值范围为． 变式1．（25-26高一下·福建龙岩·月考）在梯形中，，，，为线段的中点，若沿把这个梯形折成一个四棱锥，使到达的位置，为的中点，为线段上动点. (1)当四棱锥的体积最大时，求该四棱锥外接球的表面积； (2)设直线与平面所成的角为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先作出辅助线确定四棱锥的高，然后根据四棱锥体积公式列出表达式，进而求得的大小，然后求得外接球半径，从而得到四棱锥外接球的表面积. （2）先确定为直线与平面所成的角，然后用三角函数将其正切值的表达式表示出来，结合基本不等式的性质求出最大值即可. 【详解】（1）因为，，， ∴平面， ∴平面平面，平面平面， 过P作于H，则平面， 设，则， ， 当时，取最大值，此时平面，将此四棱锥补成正方体， 对角线PC为四棱锥外接球的直径，故， 故外接球的表面积为. （2）连接CH，由（1）知在平面上的射影为， 所以为直线与平面所成的角，设，则， ∵，， ∴， 令，，，则 令，则 当且仅当，即时取等号，故的最大值为. 变式2．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期末）如图（1），在矩形中，，，点为的中点，为线段上一动点.过点作于点的延长线交于点. (1)求的取值范围（只需写出结果，无需推理过程）； (2)现将沿折起，使得平面平面. （i）当点为线段的中点时，求二面角平面角的余弦值； （ii）设直线与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）令，则，即可求解； （2）（i）连接，由已知得，面，即，即证面，即二面角的平面角，在中计算即可； （ii）连接，由面，得直线与平面所成角为有，令，得，最后利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）若令，则，所以， 当点与点重合时，，当点与点重合时，，所以， 所以； （2） （i）连接，由已知得，面，故① 又平面平面，平面平面，， 所以平面平面，所以②， 由①、②及与相交，得面， 则二面角的平面角， 由（1）知，， 所以， 当点为线段的中点时，由，则， 故， 即二面角的平面角的余弦值为. （ii）连接，由面，知直线与平面所成角为 则， 令，则 由，且得，. 当且仅当，即时，取到最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $