几何法求线面角、已知线面角求其他量问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

几何法求线面角、已知线面角求其他量问题专项训练 几何法求线面角、已知线面角求其他量问题专项训练 考点目录 几何法求线面角 已知线面角求其他量问题 考点一 几何法求线面角 例1．（25-26高一下·天津蓟州·期中）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，为中点，平面，，为中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，进而证明出线面平行； （2）由余弦定理求出，从而由勾股定理逆定理得到，由线面垂直得到，从而证明出结论； （3）作出辅助线，得到直线与平面所成角，求出各边长，求出余弦值. 【详解】（1）连接，因为底面为平行四边形， 为中点，故与相交于， 因为为的中点，则， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为，， 由余弦定理得， 即，解得， 因为，所以， 因为平面，平面，所以， 因为平面，且交于， 所以平面. （3）取的中点，连接，则， 因为平面，所以平面， 则为直线与平面所成角， 其中，故， 因为，， 由勾股定理得，故， 由勾股定理得，所以， 即直线与平面所成角的余弦值为． 例2．（25-26高二下·陕西商洛·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)若，，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面角的定义结合线面垂直的判定定理作出线面角的平面角，计算即可求解. 【详解】（1）因为底面是菱形，是的中点， 所以是中点，又因为是的中点， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面； （2）由（1）知， 所以与平面所成的角就等于与平面所成的角， 因为是菱形，，， 所以，，是等边三角形. 因为底面，底面， 所以. 因为，，平面， 所以平面. 连接，则平面，， 所以就是与平面所成的角. 因为是等边三角形，， 所以，. 在中，，则. 在中，. 在中，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 例3．（25-26高一下·广东东莞·期中）如图，正三棱柱中，，是的中点， (1)求证：∥平面； (2)求直线和平面所成的角. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证得，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）由线面垂直的判定定理证得侧面，可知即为直线和平面所成的角，求解即可. 【详解】（1）连接交于点，连接， 因为分别为和的中点，所以， 因为平面，平面， 所以∥平面； （2）因为三棱柱是正三棱柱，所以侧面， 侧面，所以， 为正三角形，因为是的中点，所以， 又，侧面，从而侧面， 所以即为直线和平面所成的角， 设，在直角三角形中，， ， 在中，，所以， 所以. 所以直线和平面所成的角为. 变式1．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，三棱柱中，侧面均为菱形，，为AB的中点． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）连接，与交于点，连结，由平面几何知识可证得，再由线面平行的判定可得证； （2）由已知可得，，，再由线面垂直的判定可得平面，即得即为直线与平面所成的角，解三角形即可求得其大小． 【详解】（1），与交于点，连接， 四边形是平行四边形，为的中点， 为的中点，得，又平面，平面， 故平面． （2）由，，且为，的中点， 得，，， 又，为平面内两条相交直线， 得平面，故即为直线与平面所成的角； 由，，，得四边形为菱形， 又，故四边形为正方形，， 则为等腰直角三角形，且，故， 因此直线与平面所成角为． 变式2．（24-25高一下·江苏无锡·期末）如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点． (1)求证：平面． (2)求直线与面所成的角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接、，即可证明，从而得到平面； （2）求出三棱锥的体积，再由等体积法求出点到平面的距离，最后利用锐角三角函数计算可得. 【详解】（1）取的中点，连接、，则，且. 因为，，所以且. 所以四边形为平行四边形. 所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为底面为梯形，，，， 所以，， ， 又垂直于面，为棱的中点， 所以到平面的距离为，所以， 因为垂直于面，平面，所以，， 所以，， 所以， 所以， 设点到平面的距离为，则，即，所以， 设直线与面所成的角为，则， 直线与面所成的角的正弦值为. 变式3．（25-26高一下·河北衡水·期中）如图，在正三棱柱中，E，F分别是，的中点，点G在棱上，且满足. (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取BC的中点K，连接FK交BE于点H，连接AH，首先证明四边形AGFH为平行四边形，进而有，再由线面平行的判定证明结论； （2）取AB的中点M，过M作，先证明四边形MNEC为平行四边形，则，再由线面垂直的判定证明平面，进而结合线面角的定义得是与平面所成的角，即可求. 【详解】（1）如图，取BC的中点K，连接FK交BE于点H，连接AH， 又F是的中点，所以H是BE的中点， 所以，且，所以， 又，所以， 又，且，所以，且， 所以四边形AGFH为平行四边形，则， 又平面ABE，平面ABE，所以平面. （2）取AB的中点M，过M作，且，连接CM，GN，EN， 又E是的中点，所以，且，所以，且， 所以四边形MNEC为平行四边形，则， 又，所以. 因为平面ABC，平面ABC，所以， 又，平面，所以平面， 所以平面，则是与平面所成的角， 其中， 在中，， 即EG与平面所成角的正切值为. 考点二 已知线面角求其他量问题 例1．（24-25高一下·新疆喀什·期末）已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面． (1)求证：平面； (2)已知， （ⅰ）当直线与平面所成的角为时，求四棱锥的体积； （ⅱ）当时，求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理可得，结合利用线面垂直的判定定理可得证； （2）（ⅰ）根据线面角的定义可得是直线与平面所成的角，可得，由此求得，即可得菱形的面积，再利用棱锥的体积公式计算即可；（ⅱ）利用线面垂直的性质定理可得，，则，，根据定义可得即为异面直线与所成角（或补角），再利用余弦定理计算即可. 【详解】（1）四边形是菱形，， 又平面，平面，， 又，平面， 平面. （2）（ⅰ）平面，是直线与平面所成的角，于是， ，，又， 所以， 菱形的面积为， 故四棱锥的体积. （ⅱ）平面，平面，，， 所以，， 因为，所以即为异面直线与所成角（或补角）， 又，所以在中，由余弦定理， 即，解得， 所以为锐角，即为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值. 例2．（24-25高三上·河北石家庄·月考）如图，三棱锥中，底面ABC，，D是平面ABC内的一点． (1)若平面PAB，求三棱锥的体积； (2)若，当直线PD与平面ABC所成角的正弦值为时，求二面角的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定点的位置，判断三棱锥的高和底面积不变，再利用锥体的体积公式求体积. （2）先根据给出的线面角和确定点的位置，结合面积的射影关系求二面角的三角函数. 【详解】（1）如图： 在中，，，，所以为直角三角形，且. 又平面，平面，所以， P平面，，所以平面. 又平面，所以. 所以， 所以. （2）如图： 因为底面，所以为直线与平面所成的角. 因为，，所以，. 又，，所以. 取中点，连接，则 又，平面，，所以平面. 所以为在平面内的射影. 在中，，，所以. 在中，，，，因为，所以为直角三角形，且. 设二面角为，则， 所以. 例3．（24-25高三上·北京·开学考试）在四棱锥中，分别为的中点，平面，.    (1)若平面，求证：； (2)若，直线与平面所成的角为，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件得到，利用线面平行的性质得到，即可证明结果； （2）过作面于，连接，则为直线与平面所成的角，从而有，得到，设，根据条件得到，再利用等体积法，即可求解. 【详解】（1）因为平面，又面，所以， 又，，面， 所以面，又面， 所以， 又平面，面，面面，所以， 故，又是的中点， 所以. （2）过作面于，连接， 则为直线与平面所成的角，所以， 又，所以， 设，由（1）知，所以， 又平面，面，所以，又为中点， 所以，又，所以， 得到，又，所以，得到， 又，由， 得到，整理得到， 所以.    变式1．（25-26高二上·上海·月考）如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． (1)求异面直线与所成的角的大小； (2)在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，1 【分析】（1）根据线线平行可得异面直线所成的角，根据三角形的边角关系即可求解， （2）根据几何法求解线面角，利用三角形的边角关系即可求解. 【详解】（1）因为为正方形，则， 则异面直线与所成的角为与所成的角，即或其补角， 因为三角形是等边三角形，则 平面，平面，，． 所以异面直线AC与BD所成的角为． （2）作交于点，连接， 平面，平面， 则与平面所成的角为， 设，则， 则. 变式2．（25-26高二上·河北石家庄·开学考试）如图，在直三棱柱中，，.    (1)求证：； (2)若与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得平面，再由性质定理可得答案； （2）作，交于点， 可得与平面所成的角即为，求出可得根据可得答案. 【详解】（1）因为直三棱柱中平面，平面， 所以，因为，所以， 因为，平面，所以平面， 平面，所以， 连接相交于点， 因为，所以侧面为正方形，所以， 且，平面，所以平面， 平面，可得；    （2）做，交于点， 因为平面，平面，所以， 且，平面， 所以平面，所以与平面所成的角即为， 可得， 因为为边长为2的正方形，所以，所以， 可得，所以，，， 所以， 所以.    变式3．（25-26高一下·辽宁·月考）如图1，在等腰直角中，，，分别是，的中点，为线段上一点（不含端点），将沿翻折到的位置，连接，，得到四棱锥，如图2所示，且．    (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的平面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意证得，利用线面垂直的判定得到平面，得出，再由，进而证得平面； （2）连接，得到与平面所成的角为，设，结合题意，列出方程求得，即为的中点，过作，得到二面角的平面角为，在直角中，即可求解. 【详解】（1）证明：因为，且，所以，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面． （2）解：如图所示，连接， 因为分别是与的中点，可得， 又因为平面，所以直线与平面所成的角为， 由直线与平面所成角的正切值为，即， 设，则，， 所以，解得，即为的中点， 过作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以二面角的平面角为， 由，，则， 所以， 因为，所以．    2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $几何法求线面角、已知线面角求其他量问题专项训练 几何法求线面角、己知线面角求其他量问题专项训练 考点目录 几何法求线面角 已知线面角求其他量问题 考点一 几何法求线面角 例1.(25-26高一下·天津蓟州期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°， AD=AC=1,O为AC中点，PO⊥平面ABCD,P0=2,M为PD中点. 力 M B A (1)证明：PB/平面ACM; (2)证明：AD⊥平面PAC; (3)求直线AM与平面ABCD所成角的余弦值. 例2.(25-26高二下·陕西商洛·阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，侧棱PA⊥底面 ABCD,E是PD的中点，F是AC的中点 D (I)求证：EF/平面PAB; (2)若PA=AB=2,LABC=60°，求直线EF与平面PAC所成角的余弦值， 几何法求线面角、己知线面角求其他量问题专项训练 例3.(25-26高一下广东东莞期中)如图，正三棱柱ABC-AB,C,中，A4=√2AC,E是AC的中点， B B C (I)求证：AB,I平面BEC: (2)求直线BC,和平面ACC,A,所成的角 变式1.(25-26高一下·福建莆田期中)如图，三棱柱ABC-A,B,C,中，侧面AAB,B,AAC,C均为菱形，AA=2, ∠ABB,=∠ACC,=60°，D为AB的中点. A y D B (1)求证：AC∥平面CDB,: (2)若∠BAC=60°，求直线AC,与平面BB,CC所成角的大小. 2 几何法求线面角、己知线面角求其他量问题专项训练 变式2.(24-25高一下·江苏无锡期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ADC=90°，PD垂 直于面ABCD,AB∥CD,PD=AD=AB=2,CD=4,E为棱PC的中点. D: (I)求证：BE∥平面PAD. (②)求直线BC与面BDE所成的角的正弦值. 变式3.(25-26高一下·河北衡水·期中)如图，在正三棱柱ABC-A,BC,中，E,F分别是CC,BC的中点，点G 在棱AA,上，且满足AA,=4A,G A C G B E (I)证明：FG/1平面ABE; (2)若AB=AA=4,求EG与平面ABBA所成角的正切值. 3 几何法求线面角、己知线面角求其他量问题专项训练 考点二 已知线面角求其他量问题 例1.(24-25高一下·新疆喀什·期末)已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为2的菱形，PD⊥底面ABCD. D (I)求证：AC⊥平面PBD; (2)已知PD=1, (i)当直线PB与平面ABCD所成的角为45时，求四棱锥P-ABCD的体积； (i)当BD=√时，求直线PB与AD所成角的余弦值. 例2.(24-25高三上·河北石家庄·月考)如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,PA=AC=2,BC=1,AB=√5，D 是平面ABC内的一点. A B (I)若AD⊥平面PAB,求三棱锥P-BCD的体积； ②若AD1DC,当直线PD与平面ABC所成角的正弦值为Y6时，求二面角D-PC-A的正切值. 4 几何法求线面角、己知线面角求其他量问题专项训练 例3.(24-25高三上·北京·开学考试)在四棱锥P-ABCD中，E,F分别为AC,PB的中点，PA⊥平面ABCD, BC⊥PC. D 4 (1)若DE/平面PBC，,求证：AD=DC; (2)若AC=BC=2,直线BC与平面AFC所成的角为45°，求PA的长. 变式1.(25-26高二上·上海月考)如图，已知正方形0BDC的边长为1，A0⊥平面0BDC,三角形ABC是等边 三角形. A B D C (I)求异面直线AC与BD所成的角的大小： (2)在线段AC上是否存在一点E,使得ED与平面BCD所成的角大小为30°？若存在，求出CE的长度，若不存在， 说明理由. 5 几何法求线面角、己知线面角求其他量问题专项训练 变式2.(25-26高二上河北石家庄开学考试)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，∠BAC=90°，AA,=AC=2 A B C A (1)求证：AC⊥BC; 2若4C与平面BCCB所成角的正弦值为5，求三棱锥A-4BC的体积 4 变式3.Q526高一下辽宁月考)如图1，在等骏直角48C中，∠C=受D,E分别是4C,B的中点，F为 线段CD上一点（不含端点），将ADE沿DE翻折到△A,DE的位置，连接AC,A,B,得到四棱锥A,-BCDE,如 图2所示，且A,F⊥CD. A D F B 图1 图2 (I)证明：AF⊥平面BCDE; 2)者直线A北与平面8CDE所成角的正切值为5。求三面角4-BD-C的平面角的正切值， 6