暑假培优复习：几何法求二面角问题、几何法解决已知二面角求其他量问题专项训练-2026年暑假复习高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦几何法解二面角问题，通过精选例题与变式构建完整训练体系，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何法求二面角|3例+3变式|涉及四棱锥、三棱台等几何体，包含证明与计算|从线面垂直证明到二面角求解，构建"作-证-算"完整逻辑链| |已知二面角求其他量|3例+3变式|含动态问题与存在性探究|以二面角为已知条件，反推距离、体积等几何量，强化空间转化能力|

暑假培优复习：几何法求二面角问题、几何法解决已知二面角求其他量问题专项训练 暑假培优复习：几何法求二面角问题、几何法解决已知二面角求其他量问题专项训练 考点目录 几何法求二面角问题 几何法解决已知二面角求其他量问题 考点一 几何法求二面角问题 例1．（25-26高一下·青海西宁·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 例2．（25-26高一下·河北沧州·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，且. (1)若平面，证明：. (2)设平面平面. （ⅰ）证明：. （ⅱ）若，求二面角的正弦值的取值范围. 例3．（25-26高一下·山西吕梁·期末）如图，在三棱台中，底面满足，， ，，分别为的中点，且. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，求平面与平面的夹角的正弦值. 变式1．（25-26高一下·福建福州·期末）如图，在棱长为的正方体中，为上的动点（不含端点）．设． (1)若． （i）证明：平面． （ii）求二面角的正切值． (2)求证：无论取何值，三棱锥的体积为定值，并求出该定值． 变式2．（25-26高一下·广东广州·阶段检测）矩形中，， 为线段的中点，将沿 折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，解以下问题： (1)证明：面； (2)求二面角的余弦值； (3)在上是否存在点使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 变式3．（25-26高一下·安徽亳州·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，，.过点作，垂足在棱上. (1)证明：； (2)若的面积为60，. （i）求二面角的正切值； （ii）求点到平面的距离. 考点二 几何法解决已知二面角求其他量问题 例1．（25-26高一下·河北·期末）如图，四棱锥的底面是以为中心的矩形，，，侧棱底面，且，点为棱的中点，点为棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)点是线段上的动点（不与端点重合），若二面角的大小为，若，求的值． 例2．（25-26高一下·陕西安康·期末）在直三棱柱中，，. (1)若为的中点，为的中点，求证：平面； (2)若二面角的正切值为. （i）求； （ii）若为棱上（不包括端点）的动点，求三棱锥体积的取值范围. 例3．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，四棱锥的体积为，底面为矩形，为正三角形，平面平面，，为的中点． (1)若为的中点，证明：平面； (2)棱上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由． 变式1．（25-26高一下·广西南宁·期末）如图，在三棱柱中，已知侧面，，，， (1)求证：平面； (2)是线段上的动点，当平面平面时，求线段的长； (3)在棱上是否存在一点，使得二面角平面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 变式2．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，且，，且，且，平面，，点为的中点，点在线段上且满足. (1)求证：平面； (2)①若，求直线到平面的距离. ②若平面与平面所成角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 变式3．（25-26高一下·湖南·期末）现有两块含30°角的全等直角三角板，较短直角边长均为，如图，与为这两个三角板，其中，．初始时，将这两块三角板的直角顶点重合于点，斜边，共线，如图1所示，然后将这两块三角板绕点反向平行移开，得到四棱锥（图2）． (1)求证：平面平面； (2)设平面平面． （ⅰ）求直线与直线所成角的大小； （ⅱ）当二面角的大小为时，求四棱锥的体积的大小． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优复习：几何法求二面角问题、几何法解决已知二面角求其他量问题专项训练 暑假培优复习：几何法求二面角问题、几何法解决已知二面角求其他量问题专项训练 考点目录 几何法求二面角问题 几何法解决已知二面角求其他量问题 考点一 几何法求二面角问题 例1．（25-26高一下·青海西宁·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧平面，是的中点． (1)求证：平面； (2)求侧面与底面所成二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明：在正方形中，， 又侧平面，侧平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为△是正三角形，M是的中点，则， 又，平面，所以平面． (2) (3) 【分析】（1）先由面面垂直性质证平面得，再结合正三角形中线，利用线面垂直判定定理证平面； （2）取上下底中点构造辅助线，先证底面、平面，确定为二面角平面角，再通过边长计算直角三角形边长求出其余弦值； （3）先由面面垂直推平面得到，进而求得面积，利用等体积法，转换三棱锥与体积列方程求解点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）取，的中点分别为，连接， 则，因为，所以， 因为△PAD是正三角形，所以， 又侧面平面，侧面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以是侧面与底面所成二面角的平面角． 因为正方形的边长为2，则，， 所以，所以， 即侧面与底面所成二面角的余弦值为． （3）因为在正方形ABCD中，， 又侧面平面，侧平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以△为等腰直角三角形，， ， 设到平面的距离为d，则， 解得，即到平面的距离为． 例2．（25-26高一下·河北沧州·期末）如图，在四棱锥中，底面，，，且. (1)若平面，证明：. (2)设平面平面. （ⅰ）证明：. （ⅱ）若，求二面角的正弦值的取值范围. 【答案】(1)因为底面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面. 因为平面，平面，平面平面，所以. 所以平面，因为平面，所以. (2)（ⅰ）证明：如图1，过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以. （ⅱ） 【分析】（1）先证线面垂直，再利用线面垂直的定义证明线线垂直. （2）（ⅰ）根据面面垂直的性质定理证明线面垂直，进而证明平面，再根据线面垂直的定义得到线线垂直. （ⅱ）构造二面角的平面角，结合三角形的边角关系求二面角的正弦值的取值范围. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）略 （ⅱ）如图2，过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接. 因为平面，平面，所以，因为，所以平面， 因为平面，所以，又，，所以平面，因为平面，所以， 所以为二面角的平面角. 由（ⅰ）知，所以，设（）， 则，所以. ，，， 则. 又，所以随着的增大而增大， 当时，， 当时，， 所以二面角的正弦值的取值范围为. 例3．（25-26高一下·山西吕梁·期末）如图，在三棱台中，底面满足，， ，，分别为的中点，且. (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，求平面与平面的夹角的正弦值. 【答案】(1)记的交点为D，的交点为E，连接， 因为是三角形的中线，所以 ， 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为平面 ， 平面 ，所以平面 . (2)由（1）可知，，，所以，所以， 因为，所以， 因为M，N分别为的中点，所以，且， 所以 ，所以 ， 因为，所以，所以，， 所以，所以， 所以， 又 是平面内的相交直线，所以平面， 又平面，所以平面平面. (3) 【分析】（1）由题意证得，根据线面平行的判定定理证明即可； （2）根据线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理证明即可； （3）结合（2）可得面面角的平面角，由余弦定理解三角形计算即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知，，， 所以（或其补角）即为平面与平面的夹角， 因为且，所以，， 所以四边形为平行四边形，， 因为，所以， 由余弦定理得，所以, 所以，则， 又，， 所以， 因为 ，所以即为平面与平面的夹角， 所以. 变式1．（25-26高一下·福建福州·期末）如图，在棱长为的正方体中，为上的动点（不含端点）．设． (1)若． （i）证明：平面． （ii）求二面角的正切值． (2)求证：无论取何值，三棱锥的体积为定值，并求出该定值． 【答案】(1)（i）在正方体中，连接交于，连接， 由四边形为正方形，得为中点，又为中点，则， 又平面，平面，所以平面. （ii） (2)三棱锥的体积即三棱锥的体积， 在正方体中，由平面，得到平面的距离为， 又，因此， 所以无论取何值，三棱锥的体积为定值. 【分析】（1）（i）连接交于，利用线面平行的判定推理得证；（ii）利用定义法求出二面角的正切. （2）利用锥体的体积公式，结合等体积法计算即可得证. 【详解】（1）（i）略 （ii）由（i）得，，而，则， 即为二面角的平面角，在中，，， 则，所以二面角的正切值为. （2）略 变式2．（25-26高一下·广东广州·阶段检测）矩形中，， 为线段的中点，将沿 折起，使得平面平面．在新构造的四棱锥中，解以下问题： (1)证明：面； (2)求二面角的余弦值； (3)在上是否存在点使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：如图，连接，在矩形中，， 为线段的中点， ，， ，， 又平面平面，平面，平面平面， 平面. (2)； (3)存在，是线段上靠近点 的三等分点. 【分析】（1）通过勾股定理逆定理证明，再利用面面垂直的性质推出线面垂直； （2）由 平面得，二面角的平面角即为，在直角三角形中利用边长比求得余弦值； （3）设交于点，可证，因此只要，就有，进而可得平面． 【详解】（1）略； （2）平面，， ． 在中，，， 又，平面，平面，平面平面， 为二面角的平面角， 在中，， ∴二面角的余弦值为． （3）存在．如图所示，连接、，设交于点， ，且， ． 取的三等分点，使，连接、、，则， 又平面，平面， 平面． 故存在满足条件的点，且是线段上靠近点 的三等分点． 变式3．（25-26高一下·安徽亳州·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，，.过点作，垂足在棱上. (1)证明：； (2)若的面积为60，. （i）求二面角的正切值； （ii）求点到平面的距离. 【答案】(1)因为平面 平面 ，且两平面的交线为 ，又 平面 ，且 ，所以由面面垂直的性质定理，得 因为 平面 ，所以 (2)（i）4.；（ii）. 【分析】（1）利用面面垂直的性质，由 推出 平面 ，再得到 . （2）（i）先由底面直角三角形求出 ，再利用 的面积求出 ；根据 求出 .在底面内过 作 ，证明 是所求二面角的平面角，再计算其正切值.（ii）先求 的面积，再用三棱锥等体积法求点 到平面 的距离. 【详解】（1）略 （2）（i）因为 ，，，所以由勾股定理， 又因为 ，所以 是 中边 上的高. 由 ，得所以 . 在直角三角形 和 中， 两式相减，结合 ，得 . 又因为 在线段 上，所以 于是 联立 与 ，解得 在平面 内，过点 作 ，垂足为 ，连接 . 由第（1）问可知 ，又 ，且 与 相交于点 ，所以 平面 ，从而 . 其中， 平面 ， 平面 ，且 、 均过棱 上的点 ，所以 是二面角 的平面角. 在平面 内，因为 ，，所以 ，从而 . 于是 在直角三角形 中， 故二面角 的正切值为 . （ii）在直角三角形 中， 又因为 ，所以 设点 到平面 的距离为 . 以 为底面时，因为 平面 ，三棱锥 的体积为 以 为底面时，同一个三棱锥的体积为 由等体积关系，得 解得 因此，点 到平面 的距离为 . 考点二 几何法解决已知二面角求其他量问题 例1．（25-26高一下·河北·期末）如图，四棱锥的底面是以为中心的矩形，，，侧棱底面，且，点为棱的中点，点为棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)点是线段上的动点（不与端点重合），若二面角的大小为，若，求的值． 【答案】(1)因为点，分别为，的中点，则， 且平面，平面，所以平面， 在矩形中，为中心，则为的中点， 因为为的中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又因为，，平面，所以平面平面． (2) 【分析】（1）可证平面，平面，结合面面平行的判定定理分析证明； （2）利用三垂线法作二面角的平面角，可知为二面角的平面角，分和两种情况，结合几何性质运算求解即可. 【详解】（1）略 （2）如图，连接，过点作于点． 因为底面，点在线段上，所以底面． 在底面内过点作于点，连接． 因为，，， 所以平面，由平面可得， 故为二面角的平面角，即． 设，，则， 因为，则， 在矩形中，，，则，， 点到的距离， 因为，， 当时，点在线段上， 由相似三角形可得， 在中，， 由得，解得； 若，则点落在线段上，二面角为钝角，与矛盾； 故，即的值为． 例2．（25-26高一下·陕西安康·期末）在直三棱柱中，，. (1)若为的中点，为的中点，求证：平面； (2)若二面角的正切值为. （i）求； （ii）若为棱上（不包括端点）的动点，求三棱锥体积的取值范围. 【答案】(1)连结， 因为为的中点，为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. (2)（i）6 （ii） 【分析】（1）利用中位线定理先证明，再利用线面平行判定定理证明即可； （2）（i）取线段BC中点，即可证得，则二面角的平面角为，在直角三角形中表示出即可求；（ii）根据三棱锥的体积公式表示出三棱锥体积，再根据取值范围求三棱锥体积的取值范围. 【详解】（1）略 （2）（i）取线段BC中点，连结， 因为直三棱柱，平面， 又因为平面，所以； 设，则， 因此，又因为为线段BC中点，所以； 因为,所以，且， 因此二面角的平面角为， 所以，解得，所以； （ii）若为棱上（不包括端点）的动点， 则，， 所以三棱锥体积， 因为，所以， 因此三棱锥体积的取值范围为. 例3．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，四棱锥的体积为，底面为矩形，为正三角形，平面平面，，为的中点． (1)若为的中点，证明：平面； (2)棱上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：取的中点，连接，， ，分别为，的中点，所以，，   因为，，所以，， 所以，四边形为平行四边形，，   又平面，平面，平面．   (2)存在， 【详解】（1）略 （2）已知平面平面，交线为；为正三角形，为中点，故，得平面，即为四棱锥的高， 设的高 ；底面矩形面积 , 因为四棱锥的体积为，所以，解得即 , 所以，，，，， 平面与平面的交线为，由底面为矩形，得； 又平面平面，交线为，平面，得 平面， 在平面内，过点作，垂足为，连接： 因为平面，平面，故； 又，且，平面，得 平面； 因为平面，故， 因为平面，平面，且，， 所以就是平面与平面所成二面角的平面角，记为，由题知， 所以， 由平面，平面，得，即为直角三角形，。 在中，，又因为，所以 再由勾股定理得 设， 所以 ， ， 联立两式，得,又，所以是等边三角形， 所以1， 因为，故， 因此，棱上存在满足条件的点，且 变式1．（25-26高一下·广西南宁·期末）如图，在三棱柱中，已知侧面，，，， (1)求证：平面； (2)是线段上的动点，当平面平面时，求线段的长； (3)在棱上是否存在一点，使得二面角平面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为侧面，侧面，得 ， 由， 则， 所以，所以， 又交于点B，且都在平面内，故平面. (2) (3) 【分析】（1）由 ，，根据线面垂直的判定定理即可证结论； （2）先证明平面平面，因此过作交线的垂线，可得到平面平面，即可求得= ； （3）由上一问平面，故过作交所在直线于点，则为二面角的平面角，利用其正切值为，建立方程，求出的值，即得的值． 【详解】（1）略 （2）由已知侧面，平面，知平面平面， 过作于，平面，平面平面， 则平面，因平面，故平面平面， 此时 . （3）上存在点，使得二面角平面角的正切值为. 由（2）知：平面，平面，则， 过P作交于，且都在平面内， 所以平面，则二面角的平面角为或其补角， 设，则，，. 由，则，所以， 由，即， 解得或（舍去）. 所以，所以. 变式2．（25-26高一下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，且，，且，且，平面，，点为的中点，点在线段上且满足. (1)求证：平面； (2)①若，求直线到平面的距离. ②若平面与平面所成角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)如图，取中点为，连接， 由，则， 由分别为中点，则，， 由，则，故， 则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面； (2)①；② 【分析】（1）取中点为，连接，通过证明，可得四边形是平行四边形，最后利用线面平行判定定理即可得； （2）①借助勾股定理、余弦定理与三角形面积公式可得面积，再利用等体积法可得点到平面距离，结合平面即可得解；②找到平面与平面所成角后，利用勾股定理与余弦定理计算可得，再借助等体积法求出点到平面的距离，结合线面角定义即可得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）①由平面，、、、平面， 故、、、， 又且，故四边形为矩形，则，故， 则有，， 由，，故，而平面， 故平面，而平面，故， 故， ，故， 由，，，故，故， 则，则， 由平面，故点到平面距离即为直线到平面的距离， 又，设点到平面距离为， 故， 整理得，即， 即到平面距离为； ②过点作于点，连接， 则，故， 设，则， ， ，故, 故，故， 结合几何体特征可得即为平面与平面所成角的补角， ，， 则， 解得（负值舍去），即，与①中相同， 由、，故，又平面， 故点与点到平面距离相同， 故， 设点到平面的距离为， 则，故， 设直线与平面所成角为，则. 变式3．（25-26高一下·湖南·期末）现有两块含30°角的全等直角三角板，较短直角边长均为，如图，与为这两个三角板，其中，．初始时，将这两块三角板的直角顶点重合于点，斜边，共线，如图1所示，然后将这两块三角板绕点反向平行移开，得到四棱锥（图2）． (1)求证：平面平面； (2)设平面平面． （ⅰ）求直线与直线所成角的大小； （ⅱ）当二面角的大小为时，求四棱锥的体积的大小． 【答案】(1)由与平行且相等，得四边形为平行四边形， 所以为，的中点． 又由于，，所以，， 又因为，平面，，所以平面． 又平面， 所以平面平面 (2)（ⅰ）60°（ⅱ）． 【分析】（1）通过，确定，，可得平面，进而求证即可； （2）（ⅰ）通过平面，得到，可得直线与所成的角即为（或其补角），进而求解即可； （ⅱ）作，，垂足分别为，，确定是二面角的平面角，可得，再结合体积公式、三角函数性质即可求解. 【详解】（1）略 （2）（ⅰ）因为，平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面，所以． 所以直线与所成的角等于直线与所成的角，即（或其补角）． 在中，，，． 故直线与直线所成角的大小为60°． （ⅱ）作，，垂足分别为，， 因为，所以，， 所以是二面角的平面角，则， 因为， 所以，所以， 所以，为的中点， 所以，故． 则，，． 因为，，，，平面， 所以平面， 因为平面，所以． 所以． 故四棱锥的体积为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $