期末培优：求二面角问题、已知二面角求其他量问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦二面角求解与逆向应用，通过不同几何体情境构建从直接计算到条件转化的完整训练体系，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求二面角问题|例3+变式3|涉及长方体、四棱锥等几何体，求二面角正切值、余弦值|从线面垂直证明到二面角平面角构造，体现空间角计算的逻辑链条| |已知二面角求其他量问题|例3+变式3|折叠问题、存在性探索等，求距离、线段长度|以二面角为条件，逆向推导空间量，强化几何直观与转化思想|

期末培优：求二面角问题、已知二面角求其他量问题专项训练 期末培优：求二面角问题、已知二面角求其他量问题专项训练 考点目录 求二面角问题 已知二面角求其他量问题 考点一 求二面角问题 例1．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）如图，在长方体中，，，点P为棱中点. (1)求证：平面PAC； (2)求异面直线与CP所成角的大小； (3)求二面角的平面角的正切值. 【答案】(1)证明： 如图所示，连接正方形的对角线，交于点，则是的中点， 又是的中点，因此在中，是中位线，故. 又平面，平面，所以平面，得证. (2) (3) 【分析】（1）结合图形，利用中位线证明线线平行，进而证明线面平行； （2）利用平行线转化异面直线所成角，结合三角形和三角函数求角的大小； （3）由几何关系确定∠POD是二面角的平面角，进而在中计算正切值. 【详解】（1）略. （2）由（1）知，因此异面直线与所成角等于与所成的角. 正方形边长为2，故，则； ，，， 在中：； 是中位线，， 故. 在中， ， 因此是直角三角形，， 故： ，得， 即异面直线与所成角的大小为. （3）由，，，得平面，因此，，故就是二面角的平面角. 为中点，，， 在中，. 又，因此， 所以二面角的平面角的正切值为. 例2．（25-26高一下·江苏徐州·阶段检测）在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．    (1)求证：平面SCD； (2)求二面角的余弦值； (3)求点B到平面SCD的距离． 【答案】(1)取SD的中点M，连接ME，MC， 因为E，M分别为SA，SD的中点，则且， 又因为F为BC的中点，且四边形ABCD为菱形，则且， 可得且，可知四边形EFCM是平行四边形，则， 且平面SCD，平面SCD，所以平面SCD． (2) (3) 【分析】（1）作辅助线，可证，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）作辅助线，根据线面垂直分析可知为二面角的平面角，即可得结果； （3）由（2）可知：平面ABCD，利用等体积转化法求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）取AB的中点O，连接SO，CO，AC，    因为，则， 且平面平面ABCD，平面平面，平面SAB， 所以平面ABCD， 由题意可知：为等边三角形，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得， 又因为，则，， 可知为二面角的平面角， 在中，则，，， 可得， 所以二面角的余弦值为． （3）由（2）可知：平面ABCD， 且，， 设点B到平面SCD的距离为h， 因为，则， 即，解得， 所以B到平面SCD的距离为． 例3．（25-26高一下·山西朔州·阶段检测）如图所示，正方体的棱长为1，，求： (1)与所成角的度数； (2)与平面所成角的正切值； (3)平面与平面所成二面角的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正方体的性质，利用几何法求异面直线所成角； （2）根据正方体的性质，结合已知条件，利用几何法求线面角； （3）根据正方体的性质，结合已知条件，利用几何法求面面角． 【详解】（1）由题意得， 或其补角即为与所成的角， 在正方体中，平面， 平面，， 又，且， 平面， 平面， ， 在中，，， ， ， 即与所成角的度数为． （2）如图所示，过点O作于点E，连接， 平面平面，且交线为， 平面，从而即为与平面所成的角， 在中，，， ， 即与平面所成角的正切值为． （3）由(1)知，平面， 又平面， 平面平面， 即平面与平面所成二面角的大小为． 变式1．（25-26高一下·湖南·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，M，N分别为PA，BC的中点，底面四边形是边长为2的菱形且，AC交BD于点O. (1)求证：平面PCD； (2)求证：平面平面ABCD； (3)求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)取PD的中点E，连接ME，CE，如图. ∵M为PA的中点， ∴，， ∵N为BC的中点且四边形ABCD为菱形， ∴，. ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 又∵平面PCD，平面PCD， ∴平面. (2)如图，连接， ∵，O是的中点， ∴， 由菱形知，又，PO，平面， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. (3) 【分析】（1）取PD的中点E，连接ME，CE，先证明四边形为平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明即可； （2）连接，先证平面，再利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）过点B作于点F，连接DF，OF，先证明为二面角的平面角，再在中利用余弦定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，过点B作于点F，连接DF，OF. ∵平面PAC，平面PAC， ∴. ∵，BD，平面BDF，. ∴平面BDF， ∴，. ∴为二面角的平面角. ∵，，PC，PA，OF共面， ∴， ∵O是AC的中点， ∴F是PC的中点， 又∵， ∴，， ∴. ∵F是PC的中点，又， ∴， ∴， ∴二面角的平面角的余弦值为. 变式2．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点，是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值． 注：本题用空间向量方法不给分 【答案】(1)连接 ，交 于点 ，连接， 因为 是菱形，菱形对角线互相平分，故是 中点， 又 是 中点，因此在中，是中位线，得， 又 平面，不在平面内 ， 所以； (2)因为 是菱形，，， 故 是正三角形，是 中点，由正三角形三线合一得 ， 又平面 平面 ，交线为 ，且 平面 ， 由面面垂直的性质定理得： ； (3) 【分析】（1）连接 ，交 于点 ，连接，由，即可证明； （2）由，结合面面垂直的性质定理即可证明； （3）过 作 于 ，连接 ， 确定 就是二面角 的平面角，进而可求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3） 过 作 于 ，连接 ， 由（2）知 平面 ， 平面 ，故 ； 又 ，，平面 ， 因此 平面 ，平面 ， 所以 ，即 就是二面角 的平面角， 正 边长为 ，是 中点，故 ，， 在 中： ， 正 边长为 ，是 中点，故 ； 又 平面 ，平面 得， 在 中： ，​​ 故二面角的余弦值 . 变式3．（25-26高一下·重庆·阶段检测）在正三棱台中，，为的中点． (1)求三棱台的体积； (2)设分别为棱上的点，且均在同一个平面上． (i)当为的中点时，证明：； (ii)当最小时，求平面与平面的夹角的正弦值． 【答案】(1) (2)(i) 如图延长，交于点， 因为均在同一个平面上，则三点共线， 过点作交于点， 因为为的中点，，所以， 所以，因为，则， 所以，又为的中点，所以， 又，所以. (ii) 【分析】（1）利用棱台体积公式计算即可； （2）(i)利用相似三角形对应线段成比例证明；(ii)由(i)中线段的比例关系求出最小时的位置，再结合面面角的定义找到平面与平面的夹角，利用余弦定理求解. 【详解】（1）取上下底面的中心，连接， 因为，则， 所以三棱台的高， 又， 所以 （2）(i)略 (ii)设，则， 由(i)知，所以， 又，所以，整理得， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以当，即为中点时，最小， 此时，且，所以四边形为平行四边形， 所以，所以，为等边三角形， 在正三棱台中，，所以， 所以， 取的中点，连接，则， 又平面平面， 所以平面与平面的夹角为或其补角， 在中，， 所以， 在等边三角形中，， 在中，， 所以平面与平面的夹角的正弦值为. 考点二 已知二面角求其他量问题 例1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方形的边长为6，点为边的中点，将沿着折起，使点到的位置，此时点在平面内的射影在上，是线段上一点. (1)求点到平面的距离； (2)求证：； (3)当二面角的余弦值为时，求. 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）设点在平面内的射影为，则平面；过点作，交于，连接，，根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质得到，即三点共线；以点为原点，以，为轴，轴建立平面直角坐标系，结合直线与直线相交求出点、点坐标，得到，，结合勾股定理即可求出. （2）设对角线，的交点为，连接，根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质得到，结合勾股定理及勾股定理逆定理证出，进而得到线面垂直，即可得证. （3）过点作，交于，连接，结合二面角定义得到为二面角的平面角，即，利用勾股定理求出，根据点到直线的距离公式求出直线方程，与方程联立求得点，利用两点间距离公式即可求出. 【详解】（1）设点在平面内的射影为，则平面. 又平面，所以. 过点作，交于，连接，，则. 又，平面，所以平面. 又平面，所以，所以三点共线，即. 在平面中，以点为原点，以，为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，，，. 所以直线：；直线：， 因为，所以，则直线：. 联立，解得，即，所以. 联立，解得，即，所以. 又平面，平面，所以. 在中，. 所以点到平面的距离为2. （2）设对角线，的交点为，连接， 所以，，所以，，. 又平面，平面，所以，. 又，平面，所以平面. 又平面，所以. 在中，，，所以. 在中，，，所以. 在中，，所以. 又，平面，所以平面. 因为是线段上一点，所以平面，所以. （3）过点作，交于，连接. 因为平面，平面，所以. 又，平面，所以平面. 又平面，所以. 所以即为二面角的平面角，所以. 在中，，则，又， 由勾股定理得，，即，解得. 设直线：，则， 所以，整理得，解得或， 即直线：或. 又直线：， 联立，解得；联立，解得，即或， 当时，； 当时，， 所以或. 例2．（25-26高一下·天津滨海·月考）如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为平行四边形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 又，，，平面，所以平面. (2) (3)存在， 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明即可. （2）连接，结合线面角的定义得到为直线与平面所成的角，在中结合三角函数求解即可. （3）取中点，连接，，结合二面角的定义得到为二面角的平面角，设，在中，结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）连接， 由（1）中平面，所以为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，，且为的中点，所以， 又，在中，， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）取中点，连接，， 在中，， 因为平面，又平面，所以， 在中，，所以，所以， 又点为中点，所以， 同理， 所以为二面角的平面角， 设， 在中，， 在中，， 在中，，，， 由余弦定理可得，即， 化简得到，解得或（舍去）， 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为，此时． 例3．（24-25高一下·广东惠州·阶段检测）如图，在长方体中，，，点E在棱上移动. (1)证明：平面； (2)当为的中点时，求点到平面的距离； (3)当二面角的正切值为时，求的值. 【答案】(1)在长方体中，有平面， 又平面，， 又， 四边形为正方形，， 又，，平面， 平面. (2) (3) 【分析】（1）先证明，再证明，最后得到平面. （2）利用等体积法计算即可. （3）先找出二面角的平面角，然后利用正切值为求出的长度，最后得到的值. 【详解】（1）略 （2）设点到平面的距离为， 在中，，， 故， 而， 又， ， ，即点到平面的距离为. （3）过作于，连， 由平面，得，且， 可得平面，则， 为二面角的平面角， 设，，则， 由，得， ，解得， 此时，得， 即当二面角的正切值为时，. 变式1．（25-26高一下·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，是的中点，，，设平面交于． (1)求证：为的中点； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明：连接，，因为四边形是矩形，所以， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以，所以， 因为是的中点，所以为的中点． (2)证明：因为，是的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，且， 所以平面， 又平面，所以， 因为，且，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． (3) 【分析】（1）先根据线面平行的判定证明平面，再根据线面平行的性质，及矩形的性质证明，进而根据三角形的性质即可证明结论； （2）先根据等腰三角形的性质证明，再根据线面垂直的判定及性质证明，从而根据线面垂直的判定及面面垂直的判定即可证明结论； （3）先确定直线与平面所成的角，再证明为二面角的平面角，从而得到，再结合余弦定理，勾股定理，正切函数的定义即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点作，垂足为，设中点为，连接，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，所以为直线与平面所成角， 由（1）易得，，所以四边形是平行四边形，所以， 所以为直线与平面所成角． 由（2）知平面，又平面，所以， 又，所以为二面角的平面角，即， 设，在中，由余弦定理得，解得， 所以，，， 又，所以， 所以，即直线与平面所成角的正切值为． 变式2．（25-26高一下·新疆·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点在棱上，且平面． (1)求出的值并说明理由; (2)若二面角的正切值为 （ⅰ）求出的长度; （ⅱ）求二面角的正切值. 【答案】(1)2 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）连接交于点，利用线面平行判定定理以及三角形相似可求得的值； （2）（ⅰ）利用面面垂直性质定理可证明平面，利用二面角定义作出二面角的平面角，结合正切值可得； （ⅱ）同理根据（ⅰ）中已有分析得出二面角的平面角，即可求出其正切值. 【详解】（1）连接交于点，连接，如下图所示： 因为平面，又点在棱上，可知平面平面， 因此，所以， 因为，，所以，且， 所以. （2）（ⅰ）取的中点为，连接，如下图所示： 因为是边长为6的等边三角形，所以，且 又平面平面，且平面平面， 因此平面，平面， 所以， 又，分别为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 因此为二面角的平面角， 在直角中，，可得， 又因为，所以. （ⅱ）作，垂足为，作交于点，连接，如下图所示： 同理根据（ⅰ）中分析可知即为二面角的平面角， 由（1）中可得，， 因此， 可得二面角的正切值为. 变式3．（25-26高一下·广东广州·月考）如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点． (1)求证：平面；平面平面； (2)若二面角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，得到，利用线面平行的判定定理，证得平面，再利用线面垂直的判定定理，证得平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面． （2）取中点，连接，证得平面，得到，进而证得平面，得到，得到为二面角的平面角，在直角中，求得，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为、分别为、中点，可得， 又因为平面，平面，所以平面， 因为平面，且平面，所以， 在正方形中，， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （2）解：取中点，连接， 因为为中点，为的中位线，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为是正方形，， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，所以， 在直角中，， 所以，所以， 即四棱锥的高为， 所以四棱锥的体积为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：求二面角问题、已知二面角求其他量问题专项训练 期末培优：求二面角问题、已知二面角求其他量问题专项训练 考点目录 求二面角问题 已知二面角求其他量问题 考点一 求二面角问题 例1．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）如图，在长方体中，，，点P为棱中点. (1)求证：平面PAC； (2)求异面直线与CP所成角的大小； (3)求二面角的平面角的正切值. 例2．（25-26高一下·江苏徐州·阶段检测）在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．    (1)求证：平面SCD； (2)求二面角的余弦值； (3)求点B到平面SCD的距离． 例3．（25-26高一下·山西朔州·阶段检测）如图所示，正方体的棱长为1，，求： (1)与所成角的度数； (2)与平面所成角的正切值； (3)平面与平面所成二面角的大小． 变式1．（25-26高一下·湖南·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，M，N分别为PA，BC的中点，底面四边形是边长为2的菱形且，AC交BD于点O. (1)求证：平面PCD； (2)求证：平面平面ABCD； (3)求二面角的平面角的余弦值. 变式2．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，正三角形与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点，是的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求二面角的余弦值． 注：本题用空间向量方法不给分 变式3．（25-26高一下·重庆·阶段检测）在正三棱台中，，为的中点． (1)求三棱台的体积； (2)设分别为棱上的点，且均在同一个平面上． (i)当为的中点时，证明：； (ii)当最小时，求平面与平面的夹角的正弦值． 考点二 已知二面角求其他量问题 例1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方形的边长为6，点为边的中点，将沿着折起，使点到的位置，此时点在平面内的射影在上，是线段上一点. (1)求点到平面的距离； (2)求证：； (3)当二面角的余弦值为时，求. 例2．（25-26高一下·天津滨海·月考）如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为平行四边形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 例3．（24-25高一下·广东惠州·阶段检测）如图，在长方体中，，，点E在棱上移动. (1)证明：平面； (2)当为的中点时，求点到平面的距离； (3)当二面角的正切值为时，求的值. 变式1．（25-26高一下·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，是的中点，，，设平面交于． (1)求证：为的中点； (2)求证：平面平面； (3)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成角的正切值． 变式2．（25-26高一下·新疆·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，是边长为6的等边三角形，平面平面，点在棱上，且平面． (1)求出的值并说明理由; (2)若二面角的正切值为 （ⅰ）求出的长度; （ⅱ）求二面角的正切值. 变式3．（25-26高一下·广东广州·月考）如图所示，是正方形，是正方形的中心，底面，底面边长为，是的中点． (1)求证：平面；平面平面； (2)若二面角为，求四棱锥的体积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $