由函数的奇偶性与单调性解不等式、抽象函数的奇偶性专项训练-2026年暑假预习新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数奇偶性与单调性的综合应用及抽象函数奇偶性，通过精选例题与变式构建从具体到抽象的解题逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |由函数的奇偶性与单调性解不等式|5例+5变式|具体函数奇偶性与单调性解不等式，含解析式求解、单调性证明|从奇偶性定义到单调性应用，构建“性质→转化→解集”的推理链条| |抽象函数的奇偶性|3例+3变式|抽象函数奇偶性判断，含单调性证明、抽象不等式求解|通过抽象函数关系式推导奇偶性，深化符号意识与推理能力|

暑假培优预习：由函数的奇偶性与单调性解不等式、抽象函数的奇偶性专项训练 暑假培优预习：由函数的奇偶性与单调性解不等式、抽象函数的奇偶性专项训练 考点目录 由函数的奇偶性与单调性解不等式 抽象函数的奇偶性 考点一 由函数的奇偶性与单调性解不等式 例1．（25-26高二下·辽宁·期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 例3．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 例5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，且定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性定义证明：在上单调递减； (3)解关于m的不等式． 变式1．（25-26高一上·宁夏吴忠·期中）已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·辽宁大连·期末）设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知为上的奇函数，，若对，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 变式5．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 考点二 抽象函数的奇偶性 例1．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知满足对任意，都有，且，当时，． (1)计算，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断并证明在上的单调性； (3)求不等式的解集． 例2．（25-26高一上·贵州遵义·期末）定义在上的函数，满足对于任意成立，且不恒为0. (1)求的值，判断的奇偶性，并证明. (2)求证：. (3)如果. ①求证：； ②求的值. 例3．（25-26高一上·河北·期中）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求证：在区间上单调递减； (3)若，解不等式． 变式1．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知函数的定义域是且，对定义域内的任意，都有，且当时，，. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)求证：在上是增函数； (3)解不等式：. 变式2．（24-25高一上·重庆·期中）已知定义域在上的函数满足：，且当时，. (1)求，的值； (2)证明是偶函数； (3)解不等式. 变式3．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)判断在上的单调性，并用定义证明． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优预习：由函数的奇偶性与单调性解不等式、抽象函数的奇偶性专项训练 暑假培优预习：由函数的奇偶性与单调性解不等式、抽象函数的奇偶性专项训练 考点目录 由函数的奇偶性与单调性解不等式 抽象函数的奇偶性 考点一 由函数的奇偶性与单调性解不等式 例1．（25-26高二下·辽宁·期末）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原不等式转化为，再结合单调性即可得解. 【详解】因为是定义在R上的偶函数，故可转化为， 又因为在上单调递增，故，解得或，即解集为. 例2．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C．[0，2] D． 【答案】C 【分析】由偶函数定义可得，再通过偶函数的性质，对称区间上单调性相反，可得到函数在定义域上的单调性情况，通过单调性求解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且，所以． 又函数在上单调递减，所以函数在上单调递增． 所以等价于,即，解得． 例3．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知奇函数的定义域为，满足对任意、，且，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造辅助函数，判断其奇偶性与单调性，分和两种情况转化不等式求解. 【详解】设，定义域为， 因为是定义域为的奇函数，故， 则， 因此是定义域为的偶函数。 对任意，，由， 可得当时，，即， 因此在上单调递增；由偶函数对称性可知，在上单调递减， 由，得，且， 当时，两边同乘（不等号方向不变），得，即， 结合在上单调递增，得； 当时，两边同乘（不等号方向改变），得，即， 又在上单调递减，得； 综上，不等式的解集为. 例4．（25-26高一下·四川泸州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求函数在上的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式：． 【答案】(1)，； (2)函数在R上单调递增，理由如下：                                       任取，，且，                                                     则，   由，得， ，                                   则，即， 所以函数在R上单调递增. (3)． 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数定义求出解析式. （2）确定函数的单调性，再利用单调函数的定义推理得证. （3）利用奇函数的性质及单调性求出不等式的解集. 【详解】（1）由是定义在R上的奇函数，得，                         当时，，则                           所以函数在R上的解析式为，.   （2）略 （3）由是奇函数，得，   又在R上单调递增，则，解得，                         所以原不等式的解集为． 例5．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数，且定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性定义证明：在上单调递减； (3)解关于m的不等式． 【答案】(1) 函数为奇函数，理由如下： 因为函数定义域为，定义域关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数. (2) 证明：取，规定， 则 因为，所以， 所以，即， 由，所以函数在上单调递减. (3) 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断即可； （2）利用函数单调性定义证明即可； （3）利用函数奇偶性与单调性建立不等式组求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为函数在上单调递减，且函数为奇函数， 所以函数在上单调递减，由， 所以函数在上单调递减， 所以不等式即， 因为函数是奇函数，所以， 又函数在上单调递减， 所以不等式的解集等价于或， 解得或， 所以关于m的不等式的解集为：. 变式1．（25-26高一上·宁夏吴忠·期中）已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上单调递增，结合定义域和奇偶性，得到不等式组，求出答案. 【详解】对任意的，都有，故在上单调递增， ，故， 解得，故实数的取值范围为. 变式2．（25-26高二下·辽宁大连·期末）设是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，且是定义在上的偶函数，所以， 又因为在上单调递减，所以， 所以或，解得或， 所以不等式的解集为. 变式3．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知为上的奇函数，，若对，当时，都有，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件确定的单调性和奇偶性，进而可求解. 【详解】由，得， 因为，所以，即， 设，则在上单调递减， 而，则，解得； 因为为上的奇函数，所以， 则为上的偶函数，故在上单调递增， 而，则，解得； 当时，，故该点不在解集内. 综上，原不等式的解集为. 变式4．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)函数在上单调递增， 证明如下： 任取，且， 因为， 则 由， 则 即， 故函数在上单调递增. (3) 【详解】（1）函数是定义在上的偶函数，则，即，整理可得对任意的恒成立，故， 所以， 因为， 则，解得， 故. （2）略 （3）因为函数为上的偶函数，且该函数在上单调递增， 根据偶函数的对称性可知，在上单调递减， 由可得，得， 即，即， 可得或，解得或或. 因此，不等式的解集为. 变式5．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数是定义在上的奇函数． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在定义域上的单调性，并用定义加以证明； (3)解不等式： . 【答案】(1) (2)在上单调递增.              证明如下：任取且， ， ，且，，， 所以，即，   所以在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质即可求出函数的解析式； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）结合函数的单调性以及奇函数的性质将问题转化为，解不等式即可求解. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，则，                           又，则.                         . （2）略 （3）在上是奇函数且单调递增， 由得  ，          ，解得：  ，         不等式的解集为. 考点二 抽象函数的奇偶性 例1．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知满足对任意，都有，且，当时，． (1)计算，判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断并证明在上的单调性； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) 依题意，函数对任意的，都有， 令，得， 是奇函数，理由如下： 用代替，得，则， 所以是奇函数. (2) 在上是单调递减的函数，证明如下： 任取，则，由已知得， 则， ∴，∴在上是单调递减函数． (3) 【分析】（1）利用赋值法求得，根据函数奇偶性的定义判断并证明函数的奇偶性. （2）根据函数的单调性的定义进行判断并证明即可. （3）利用特殊值法，结合代入法进行求解，再根据已知等式，结合函数的单调性及一元二次不等式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由于，则，所以， 又因为，所以． 因为， 又因为，所以不等式可化为， 由于在上是单调递减， ，即，即， 所以不等式的解集为. 例2．（25-26高一上·贵州遵义·期末）定义在上的函数，满足对于任意成立，且不恒为0. (1)求的值，判断的奇偶性，并证明. (2)求证：. (3)如果. ①求证：； ②求的值. 【答案】(1)；函数是偶函数， 证明：令，得，所以. 因为的定义域为，所以函数是偶函数. (2)令，得，即对任意实数都成立. 用替换，即用替换，可得. (3)①因为对于任意成立， 所以，所以； 且，所以. ②. 【分析】（1）利用赋值法，令，可得；令，可得函数的奇偶性； （2）利用赋值法，令，可得，用代换，可得； （3）①利用，可证及，由此得；②根据函数是偶函数，且是周期为3的周期函数，求得的值，即可求得的值. 【详解】（1）令，得，即. 因为不恒为0，所以，即； 函数是偶函数. （2）略 （3）①略 ②因为，所以，即. 由①，得，所以函数是周期为的函数. 所以. 所以. 由（2）得，. 所以，所以，即，解得或. 因为，所以，所以，所以. 又，所以. 所以. 例3．（25-26高一上·河北·期中）已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求证：在区间上单调递减； (3)若，解不等式． 【答案】(1) 函数为奇函数，理由如下： 因函数的定义域为，关于原点对称， 令，则，可得． 令，则，即， 用代换，可得，所以为奇函数． (2) 由（1）知，则，即， 令，且，则且， 可得， 因为当时，，所以，即， 所以函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减． (3) 【分析】（1）先求得，再令，得到，即可证得为奇函数； （2）由（1）得到，令且，根据题意，证得，即可得证； （3）由（2）求得，根据题意，把不等式转化为，得到不等式，求解即得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）知，可得， 由题设，可得，又，故原不等式可化为， 由（2）函数在上单调递减，可得，解得， 故不等式的解集为． 变式1．（24-25高一上·江苏常州·期中）已知函数的定义域是且，对定义域内的任意，都有，且当时，，. (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)求证：在上是增函数； (3)解不等式：. 【答案】(1)是偶函数，证明如下： 因为， 令，则，所以， 令，则，所以， 令，， 即对任意的都有成立， 所以函数是偶函数； (2)证明:依题意，任取，且， 则，即， 因为当时，， 而，则，所以， 所以，即， 所以在上是增函数； (3) 【分析】（1）利用赋值法依次得到，再利用偶函数的定义与赋值法即可得证； （2）利用已知条件得到，结合函数单调性的定义即可得证； （3）利用赋值法可得，从而将原不等式化为，结合的单调性得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为是偶函数，， ， ， 所以不等式可化为， 由（2）可知，在上是增函数， 所以， 所以，，且， 解得，，且， 所以， 故原不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于熟练掌握赋值法，得到所需函数值，从而利用函数的奇偶性与单调性即可得解. 变式2．（24-25高一上·重庆·期中）已知定义域在上的函数满足：，且当时，. (1)求，的值； (2)证明是偶函数； (3)解不等式. 【答案】(1)； (2)证明：易知函数定义域关于原点对称， 令，则，满足偶函数的定义，证毕； (3) 【分析】（1）令和计算即可； （2）令结合（1）的结论及偶函数的定义证明即可； （3）令，根据条件判定函数的单调性计算即可解不等式. 【详解】（1）令，则； 令，则； （2）略 （3）令，易知， 则， 所以在上单调递增， 又为偶函数，所以在上单调递减， 所以， 则， ，即， 即不等式的解集为. 变式3．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，. (1)判断函数的奇偶性，并证明； (2)判断在上的单调性，并用定义证明． 【答案】(1)为奇函数，证明见解析； (2)在上的单调递增，证明见解析. 【分析】（1）利用赋值法先求出，再找到的关系，进而可证奇偶性; （2）借助函数单调性的定义，进行赋值证明即可. 【详解】（1）在上是奇函数，证明如下： 结合题意：令，则，解得， 若，则， 令，则， 所以，故在上是奇函数. （2）在上的单调递增，证明如下： 任取，且， 令，则， 因为在上是奇函数，所以， 所以， 因为当时，， 由，所以，所以， 所以，即， 所以在上的单调递增. 2 学科网（北京）股份有限公司 $