一元二次不等式恒成立问题与有解问题专项训练-2026年暑假预习新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦一元二次不等式恒成立与有解问题，按实数集、区间恒成立及区间有解三级逻辑分层设计，通过精选例题与变式实现高频考点突破，培养推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实数集上恒成立|8题（4例+4变式）|含参数不等式、命题真假判断|从无限制区间切入，建立判别式与参数关系的基础模型| |区间上恒成立|8题（4例+4变式）|指定区间参数范围、最值求解|拓展至有限区间，强化端点代入与函数最值分析的推理能力| |区间上有解|8题（4例+4变式）|存在性命题、参数范围逆向求解|对比恒成立构建补集思想，深化数学语言表达的应用意识|

暑假预习：一元二次不等式恒成立问题与有解问题3种高频考点专项训练 暑假预习：一元二次不等式恒成立问题与有解问题3种高频考点专项训练 考点目录 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 一元二次不等式在某区间上恒成立问题 一元二次不等式在某区间上有解问题 考点一 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 例1．（25-26高二下·山东青岛·期末）不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，时直接验证不等式成立，时利用一元二次不等式恒成立的条件求解，最终合并得到的取值范围. 【详解】分两种情况进行讨论： 当时，原不等式化为，该式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等式为关于的一元二次不等式，若要对一切实数恒成立，需同时满足： （1）二次项系数小于0，即，解得； （2）判别式，代入系数得，解不等式得； 综上所述，的取值范围为. 例2．（25-26高二下·吉林长春·期末）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由“，使得”是假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足, 综上，，则实数m的取值范围是. 例3．（25-26高二下·安徽宿州·期末）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【详解】由为假命题，得为真命题， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 例4．（25-26高一下·云南文山·期末）对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用基本不等式得到，再利用一元二次不等式在上恒成立得，从而可得实数的取值范围. 【详解】已知正实数满足，所以，当且仅当时，取得最大值9. 因为一元二次不等式在上恒成立， 所以，即，解得. 所以. 变式1．（25-26高二下·重庆·期末）使命题“，”是假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为不等式恒成立问题，对参数进行分类讨论求出充要条件，然后分析即可得出结论. 【详解】命题“，”是假命题等价于“，”是真命题， 即，不等式恒成立， 当时，则不等式化简为恒成立， 当时，不等式恒成立， 则等价于，解得， 综上所述命题“，”是真命题的充要条件是 即命题“，”是假命题的充要条件是， 若要找命题“，”是假命题的充分不必要条件， 则只需要找的真子集，由选项知只有是的真子集. 变式2．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过对进行分类讨论来求解不等式恒成立问题. 【详解】首先，若，明显不恒成立. 若，恒成立. 若，可知当时最大， 所以即可， 解得. 所以综上所述，. 变式3．（25-26高一下·上海宝山·期末）若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】对任意，不等式都成立， 所以，即， 解得，即k的取值范围是. 变式4．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 【答案】 【分析】对参数分和两类讨论，求解范围后合并即可. 【详解】①当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； ②当时，一元二次不等式对恒成立， 则有 ， 解得. 即实数a的取值范围为. 考点二 一元二次不等式在某区间上恒成立问题 例1．（25-26高一下·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 例2．（25-26高一上·江西新余·期末）使得，为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先研究真命题的充要条件，再分析必要条件就是满足真包含的集合即可. 【详解】若，为真命题，则时，， 而，故当时，取到最大值6，故， 因此是所求必要不充分条件的范围的真子集， 故选项中只有满足条件， 故选：C 例3．（25-26高二下·重庆荣昌·期末）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围为______． 【答案】/ 【分析】先求出命题为真命题时的取值范围，进而即可得到命题为假命题时的取值范围． 【详解】若命题：“，”为真命题， 由，当且仅当时取等号，则， 所以命题为假命题时，． 例4．（25-26高一上·广东中山·期末）当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】先分和进行讨论，当时根据不等式讨论分析可知：为的零点，可得，结合基本不等式求解. 【详解】由可得. 当时，由可得，因为关于的不等式恒成立，所以， 因为是开口向上的抛物线，所以不恒成立，故舍去； 当时，则有当时，；当时，. 因为在时恒成立， 所以当时，；当时，. 即是 的零点. 所以，化简可得， 所以，当且仅当， 即等号成立. 故答案为： 变式1．（25-26高一上·湖南湘西·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】A 【分析】参变分离可得，再根据基本不等式求解最小值即可. 【详解】由在区间恒成立，可得， 即在区间恒成立. 因为，则，当且仅当，时等号成立， 所以，故，即的最大值为， 故选：A. 变式2．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若不等式对恒成立，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设，对、分类讨论的符号后可得的符号，从而得，最后结合基本不等式可求的最大值. 【详解】设， 若，则，而对恒成立， 故对恒成立即对恒成立， 而为开口向上的抛物线，故在不恒成立，故舍； 若，则当时，，故在上恒成立； 当时，，故在上恒成立； 而为开口向上的抛物线，故， 故，即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为， 故选：D. 变式3．（25-26高一上·河南许昌·期末）若命题“，”为真命题，则实数的一个值为________． 【答案】（不唯一） 【分析】分离参数后，求出的最小值为，得出的取值范围，即可得解. 【详解】由题意，，对任意恒成立， 因为，所以当时，的最小值为， 所以， 故答案为：（不唯一） 变式4．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）写出使得命题“”是假命题的一个实数的值_____． 【答案】（答案不唯一，满足的都可以） 【分析】由全称量词命题为真求出，再取补集即可． 【详解】假设命题“”是真命题， 则恒成立，即恒成立， 因为时，，当且仅当等号成立，所以， 因此若命题“”是假命题，则， 所以所求实数的一个值为． 故答案为：. 考点三 一元二次不等式在某区间上有解问题 例1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原命题“”为假命题，等价于它的否定“”为真命题， 即对于，成立. 设，开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 最小值为，因此原命题为假等价于，即原命题为假对应集合为. 充分不必要条件对应集合是的真子集，选项中仅有，满足条件， 因此命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是. 例2．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】原全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. 例3．（24-25高一上·湖北武汉·期末）存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】应用存在性条件结合一元二次不等式计算求解. 【详解】存在，使不等式成立， 则实数，即得， 所以，所以的取值范围是 例4．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】使用分离参数的方法，将不等式转化为的形式，只需即可. 【详解】因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 故答案为：. 变式1．（25-26高一上·湖北孝感·期中）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意参变分离得，再根据对勾函数求最值即可． 【详解】由时，有解， 所以， 又在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时， 所以． 故选：C． 变式2．（25-26高一上·吉林·期中）若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由给定不等式分离参数，利用基本不等式求出最小值，再利用存在性问题的解决方法求出范围. 【详解】当时，不等式， 由不等式在区间有解，得不等式在上有解. 而，当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 所以a的取值范围是. 故选：B 变式3．（25-26高一上·广东深圳·期中）若命题“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由题知命题的否定为真命题，分离参数求分式的最值，再利用换元法和基本不等式求解即可. 【详解】由题得命题的否定“，不等式有解”为真命题， 所以，即在内有解. 令，则， 所以，当且仅当即，即时取等号， 所以. 故答案为：. 变式4．（25-26高一上·重庆开州·阶段检测）已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】令函数，由题意可知函数在区间上的最大值，由二次函数可知最大值，然后列不等式解得实数的取值范围. 【详解】令函数， 由题意可知函数在区间的最大值 由二次函数可知， ，，， ①时，，，即，∴， ②时，，，即，∴， 综上所述：. 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：一元二次不等式恒成立问题与有解问题3种高频考点专项训练 暑假预习：一元二次不等式恒成立问题与有解问题3种高频考点专项训练 考点目录 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 一元二次不等式在某区间上恒成立问题 一元二次不等式在某区间上有解问题 考点一 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 例1．（25-26高二下·山东青岛·期末）不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·吉林长春·期末）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·安徽宿州·期末）若命题“”为假命题，则实数的取值范围是___________. 例4．（25-26高一下·云南文山·期末）对任意满足的正实数，一元二次不等式在上恒成立，则实数的取值范围为___________． 变式1．（25-26高二下·重庆·期末）使命题“，”是假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·河南商丘·期末）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·上海宝山·期末）若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是______． 变式4．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______． 考点二 一元二次不等式在某区间上恒成立问题 例1．（25-26高一下·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·江西新余·期末）使得，为真命题的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·重庆荣昌·期末）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围为______． 例4．（25-26高一上·广东中山·期末）当时，关于的不等式恒成立，则的最小值为__________. 变式1．（25-26高一上·湖南湘西·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的最大值为（    ） A．6 B． C． D．8 变式2．（25-26高一上·辽宁锦州·期末）若不等式对恒成立，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D． 变式3．（25-26高一上·河南许昌·期末）若命题“，”为真命题，则实数的一个值为________． 变式4．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）写出使得命题“”是假命题的一个实数的值_____． 考点三 一元二次不等式在某区间上有解问题 例1．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·天津滨海新区·期中）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一上·湖北武汉·期末）存在，使不等式成立.则实数的取值范围是____________． 例4．（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 变式1．（25-26高一上·湖北孝感·期中）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 变式2．（25-26高一上·吉林·期中）若关于的不等式在区间上有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·广东深圳·期中）若命题“，不等式恒成立”为假命题，则实数的取值范围为__________. 变式4．（25-26高一上·重庆开州·阶段检测）已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为________. 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