第八章 课时作业9 圆锥曲线中定点与定值问题-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦圆锥曲线定点定值问题，通过4道典型解答题覆盖双曲线、椭圆、抛物线，以题载法强化代数推理与模型构建，提升运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定值证明|2题（双曲线斜率积、椭圆向量积）|结合韦达定理，通过代数恒等变形证定值|圆锥曲线方程→直线联立→根与系数关系→推理化简得定值| |定点探究|2题（椭圆圆过定点、抛物线直线过定点）|分类讨论斜率，利用参数无关性求定点|曲线定义求轨迹→直线方程设参→联立消元→参数系数为0得定点|

课时9 圆锥曲线中定点与定值问题 解答题 1、(2024·福建龙岩3月质检节选)已知双曲线C：x2－y2＝4，A是双曲线C的左顶点，直线x＝my＋1(m≠±1)交双曲线C于E，F两点，求证：直线AE与AF的斜率之积为定值． 2、(2025·河南郑州市质检)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点和两焦点构成的三角形为等腰直角三角形，且面积为2，M为椭圆C的右顶点． (1)求椭圆C的方程； (2)若过点P(t，0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，则当实数t取何值时，以AB为直径的圆恒过点M? 3、（2025·河北衡水市期末）设椭圆的左、右焦点分别为，短轴的两个端点为，且四边形是边长为2的正方形.分别是椭圆的左、右顶点，动点满足，连接，交椭圆于点. (1)求椭圆的方程； (2)求证：（O为坐标原点）为定值. 4．已知圆E恒过定点，且与直线相切，记圆心E的轨迹为，直线与交于A，B两点，直线与交于C，D两点，且，M，N分别为弦的中点，其中A，C均在第一象限，直线与直线的交点为G． (1)求圆心E的轨迹的方程； (2)直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标？若不是，请说明理由． 课时9 圆锥曲线中定点与定值问题参考答案 1、【解】由消去x，得(m2－1)y2＋2my－3＝0，则Δ＞0，m≠±1．设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝－.又A(－2，0)，则kAE＝，kAF＝，所以kAE·kAF＝＝＝＝＝＝，即直线AE与AF的斜率之积为定值． 2、【解】 (1)由题意知解得b＝c＝，又a2＝b2＋c2，则a＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)由(1)知M(2,0).若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝t(－2<t<2)，此时A，B，由·＝0，得·＝0，解得t＝或t＝2(舍)，即t＝.若直线l的斜率存在，不妨设直线l：y＝k(x－t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(1＋2k2)x2－4k2tx＋2k2t2－4＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝.由题意知·＝0，即(x1－2，y1)·(x2－2，y2)＝0，易得(1＋k2)x1x2－(2＋k2t)(x1＋x2)＋4＋k2t2＝0，即(1＋k2)(2k2t2－4)－(2＋k2t)·4k2t＋(4＋k2t2)(1＋2k2)＝0，整理得k2(3t2－8t＋4)＝0，因为k不恒为0，故解得t＝或t＝2(舍).综上，当t＝时，以AB为直径的圆恒过点M. 3、（1）【解】由题设，，得，椭圆的方程为. （2）【证明】由（1）知，由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，联立，消去得，其中是直线与椭圆一个交点，所以，则，代入直线得，故.又，将代入，得，则.所以，为定值. 4．【解】（1）设圆E的圆心．因为圆E恒过定点且与直线相切，即圆心E到点的距离与到直线的距离相等，即圆心E的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以圆心E的轨迹方程为． （2）直线恒过定点．直线的方程为，直线的方程为，设，，联立，消去x整理得，，则，则，则，所以，同理可得．当时，直线的方程为，即 ．因为，所以直线的方程，故当时，，此时过定点；当时，由，得，此时直线的方程为，同样经过点．综上，直线恒过定点，该定点为． . 学科网（北京）股份有限公司 $