解答题专训12 圆锥曲线的轨迹、弦长、面积问题（专项训练）（北京专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

解答题专训12 圆锥曲线的轨迹、弦长、面积问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 圆锥曲线的轨迹问题 3 题型2 圆锥曲线的弦长问题 5 题型3 圆锥曲线的面积问题 7 重难专题分层过关练 10 巩固过关 10 创新提升 22 解题方法及技巧提炼 1.轨迹方程的求法 （1）直接法求轨迹方程 先设动点坐标为；再根据题目中动点运动的几何等量关系（如距离、角度、斜率等），直接将几何条件转化为含的代数等式。 同时需注意等量关系中的隐含限制条件（如构成三角形需三点不共线、斜率存在需分母不为0等），对所得方程进行化简和范围约束，最终得到符合条件的动点轨迹方程。 （2）几何法求轨迹方程 利用平面几何性质（如垂直平分线性质、角平分线性质、圆的性质），找到动点满足的几何等式，再转化为坐标方程，简化计算。 先明确动点与已知曲线（或可求轨迹的点）的 “相关关系”（即随运动）； 再根据几何条件，用表示出Q的坐标（即，）。 接着将代入Q所在的已知曲线方程，得到含的等式；最后化简该等式，并结合实际条件（如定义域）约束，即得动点P的轨迹方程。 （4）定义法求轨迹方程 首先分析动点满足的几何条件，判断是否符合圆、椭圆、抛物线、双曲线等基本轨迹的定义（如椭圆定义：到两定点距离和为定值且大于定点间距）。 若直接匹配定义，可直接写出对应轨迹的标准方程；若需确定参数，设出标准方程形式，结合题目条件（如定点坐标、定值大小）用待定系数法求解参数，最后验证方程是否符合轨迹定义及题目限制。 1.直线与圆锥曲线的位置关系 （1）直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点. （2）判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0). ①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离. ②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝ 或 |AB|＝|AB|＝|y1－y2| ＝，k为直线斜率且k≠0. 3.中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解. (1)利用根与系数的关系：将直线方程代入椭圆的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论. (2)点差法：若直线l与椭圆C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，直线AB的斜率k，将点A，B代入圆锥曲线的方程，两式相减，整理得(分别以＋＝1，－＝1，y2＝2px为例)，椭圆中k＝－·；双曲线中k＝·；抛物线中k＝. 4.常用结论 （1）圆锥曲线中最短的焦点弦为通径，椭圆、双曲线中长为，抛物线中长为2p. （2）过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－；同理，双曲线中kPA·kPB＝(以上焦点在x轴上). 题型通法及变式提升 题型1 圆锥曲线的轨迹问题 【典例1】（25-26高二上·北京西城·期中）平面直角坐标系xOy中，点M到点的距离比它到x轴的距离多1，记点M的轨迹为C． (1)求轨迹C的方程； (2)设斜率为k的直线l过定点，若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围． 【解】（1）设点，由题知， 两边平方，并整理得, 所以轨迹C的方程为. （2）易知直线， 当时，如下图所示： 联立，消去y得，， 当，即或时，有且仅有一个公共点且满足题意； 当，即时，无公共点； 当时，令，， 当时，无公共点；当时，有一个公共点； 综合以上可知当时，有且仅有一个公共点， 故k的取值范围是． 【变式1】（25-26高三上·北京通州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，过动点向轴作垂线，垂足为，. (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线的倾斜角为，求直线的方程； 【解】（1）因为过动点向轴作垂线，垂足为， 所以， 又，所以，， 又，即， 所以可得,,化简可得， 因为与两点不重合所以 则动点的轨迹方程. （2）因为直线的倾斜角为， 所以直线的斜率， 又，所以直线的斜率, 又点，所以直线的方程为, 即. 【变式2】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知以点为圆心的圆与直线相切． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线l过点且与圆C交于AB两点，劣弧AB所对圆周角为，求直线l的方程； (3)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，满足，求点P的轨迹方程． 【解】（1）已知圆的圆心，且圆与直线相切， 可得：圆的半径， 综上可得：圆C的方程为：， （2）根据题意，其圆心为，半径为，已知劣弧所对的圆周角为，则所对的圆心角为，由此可知， 设圆心到直线的距离为，因此可得：，解得：. 当直线l的斜率不存在时，其方程为， 联立方程：，解得：或， 此时直线l与圆C的交点为，，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设其方程为，即， 则圆心C到直线l的距离，解得， 所以直线l的方程为， 综上，直线l的方程为或； （3）如图，PM为圆C的切线，连接MC，PC，则， 所以为直角三角形，即． 设，由（1）知，， 因为，所以， 化简得点P的轨迹方程为． 题型2 圆锥曲线的弦长问题 【典例2】（25-26高三上·北京房山·期中）已知双曲线的一条渐近线的斜率为为上一点. (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度. 【解】（1）由题得:，解得， 所以双曲线的方程为：. （2）设， 如图所示： 由题得直线的方程为， 联立得：，整理得：， 所以， 所以 所以. 【变式1】（25-26高二上·北京门头沟·期中）已知是椭圆的左、右焦点，其中，长轴长为 (1)求椭圆的方程； (2)求直线被椭圆截得的弦长. 【解】（1）因为椭圆的长轴长为，所以，解得， 又椭圆的右焦点为，所以， 又，所以，解得， 所以椭圆的方程为； （2）将直线方程代入椭圆方程，得， 整理得，即， 方程的判别式 设直线与椭圆的两交点为 所以，所以. 【变式2】（25-26高二上·北京·期末）已知椭圆. (1)求椭圆的短轴长和离心率； (2)过点的直线与椭圆交于两点，若弦的中点为，求直线的方程与弦的长. 【解】（1）椭圆，即， ∴ ∴椭圆的短轴长， ∵，∴， ∴椭圆的离心率. （2）设， 则，即，∴， ∵点为弦的中点，则，即， ∴，即， ∵直线，即， ∴， 联立方程组，整理得， 则， ∴. 题型3 圆锥曲线的面积问题 【典例3】（25-26高二上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，抛物线C：上一点到焦点的距离为2. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C相交于A，B两点，求的面积. 【解】（1）依题意得，抛物线C的焦点F坐标为，准线方程为， 由抛物线的定义可知，，解得， 所以抛物线C的方程为； （2）设，， 则 ， 由，得， 则，， 所以， 又因为原点O到直线的距离， 所以的面积. 【变式1】（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知抛物线：的焦点为，且经过点. (1)求抛物线的标准方程、焦点坐标及准线方程； (2)抛物线上一点，若，求点的坐标； (3)直线：与抛物线交于、两点，若（为坐标原点）的面积为4，求值. 【解】（1）抛物线经过点， ，故， 抛物线的方程为， 抛物线的焦点的坐标为，准线方程为， （2）由向准线引垂线，垂足为， 若，由抛物线定义可知：，且准线方程：， ∴点的横坐标为，代入抛物线方程得到. ， 所以点的坐标为. （3）因为直线的方程为，所以直线过点， 联立，消可得， 方程的判别式， 设，， 由已知为方程的两根， 所以，， 又的面积， 所以， 由已知，，解得， 所以的值为或. 【变式2】（25-26高二上·北京顺义·期中）已知椭圆（）长轴长为4，且椭圆C的离心率，其左右焦点分别为，.直线. (1)求椭圆C的方程； (2)当直线l与椭圆C有两个公共点时，求m的取值范围； (3)当时，直线l与椭圆C交于P，Q两点，求的面积. 【解】（1）由题设，则，故椭圆； （2）联立，则，即， 由直线l与椭圆C有两个公共点，则，得. （3）由题设，联立，由（2）知， 所以，则，或，则，不妨令，而， 如下图，在中，则其面积为.    重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，一动直线分别交，于A，B（A，B横坐标同号）两点，且的面积恒为4. (1)求中点的轨迹的方程； (2)若直线交轨迹于，两点，的面积为，求的值. 【解】（1）解：设，，由题知， 则，    设，则，，所以， 因此，中点的轨迹的方程. （2）解：设，， 将代入，整理得， 则，解得，，， 由弦长公式可得： ， 设点到直线的距离为，则， 所以， 两边同时平方，化简整理得， 解得或（舍），所以. 2．（2026·陕西渭南·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)动直线：与椭圆交于，两点，求线段中点的轨迹方程． 【解】（1）由题意知，，；故，； 由可得：，解得，故； 故椭圆的标准方程． （2）设，线段的中点坐标为； 联立直线与椭圆方程： 可得：； 则，解得：； 故，； 则，； 则，，即，整理可得：； 故的中点轨迹为：； 因为，故，故； 综上，轨迹方程为． 3．（2026·北京丰台·一模）已知椭圆，椭圆上一点到两焦点的距离之和为． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点．若直线与直线的斜率之和为0，求直线的方程． 【解】（1）由题意，得，解得， 故． 代入点，得，解得， 故． 由，得，故离心率. （2） 设直线的方程为，由题意可知存在且． 联立消去，得， 设， 则， 由韦达定理，得． 由已知，得， 所以． 整理得． 代入得． 解得，符合． 所以直线的方程为，即. 4．（2026·北京海淀·三模）已知椭圆的离心率为，为椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，线段的长为． (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆上一点，直线与直线交于点，直线与轴交于点，设直线的斜率分别为，求的值． 【解】（1）椭圆的离心率为， 设椭圆的焦距为，则， 又，则，结合， 解得， 故椭圆的方程为； （2）由（1）知，直线AC的方程为， 易知直线的斜率一定存在，设直线方程为， 由，解得，即点， 由消去得， 设点,则，即，， 则点， 直线的斜率为， 直线的方程为，令，得，则点， 则的斜率， 因此，即，所以. 5．（2025·北京顺义·一模）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为. (1)求的方程和短轴长； (2)直线：与E相交于不同的两点B，C，直线，分别与直线交于点M，N.当时，求的值. 【解】（1）已知椭圆 的标准方程为：， 因为 是椭圆的一个顶点，所以。又离心率为，解得， 所以，解得， 所以椭圆的方程为，短轴长为； （2）将直线的方程代入椭圆的方程得， 可得，整理得， 设直线与椭圆的交点为和， 所以， 直线的方程为：，与直线联立求得交点的坐标为)， 直线的方程为：，与直线联立求得交点的坐标为， 因为，即，所以， 因为 和 ，代入得， 化简， 展开分子 ， 所以， 所以 ， 又， 所以，整理得，解得. 6．（2025·北京平谷·一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，斜率为的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为点，直线与轴交于点为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)求的值. 【解】（1）由题意可知：，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2） 设直线的方程为，点. 由得，. 所以，即. ，. 直线与轴交于点，所以，又点， 直线的方程为， 令，得，① 又因为， 代入①式得，， 所以. 7．（25-26高三下·北京丰台期末）已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线与椭圆交于不同的两点，设直线，分别与轴交于点，若的面积为1，求直线的斜率． 【解】（1）由题，联立，解得，所以椭圆的方程为； （2） 设直线的方程为，即，，， 联立，化简得， ，，，， ，， 直线的方程为，令，，故， 直线的方程为，令，，故， 由，可得， ，化简为，解得. 8．（25-26高三上·北京大兴·期中）已知椭圆的离心率为，且过点，O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 【解】（1）由题意可得，解得， 故椭圆C的方程为； （2）由题意可得直线斜率不为，则可设，设、， 联立，消去得， ， ，； 则， 则， 化简得，即， 则，即直线的方程为. 9．（2026·北京东城·二模）已知椭圆的一个顶点为.且过点. (1)求椭圆的方程及焦距 (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点.直线的斜率分别记为与，当时，求的面积. 【解】（1）由题意，因为椭圆的一个顶点为,且过点， 所以，解得， 所以椭圆的方程为，焦距为. （2）设过点的直线为，， 由，化简得， 则，即， 所以， 即， 则， 所以直线方程为，， 故， 且点到直线的距离， 所以. 10．焦点在轴上的椭圆，离心率为，短轴长为2． (1)求该椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左、右焦点，分别向斜上方作斜率为1的两条射线，依次交椭圆的上半部分于点，求四边形的面积． 【解】（1）设椭圆的标准方程为． 由题意知，，，解得，，． 故椭圆的标准方程是． （2）椭圆的左、右焦点是，延长交椭圆于另一点，连接，． 利用椭圆的对称性可知，故， 则． 易知直线的方程为，与椭圆联立方程组，． 而点到直线的距离等于点到直线的距离， 从而，故四边形的面积为． 11．（25-26高三上·北京东城·期末）已知椭圆：离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆交于不同两点，.当的面积为时，求直线的斜率. 【解】（1）椭圆上的点到两焦点的距离之和为4，，即， 又椭圆：离心率为，，， 又，， 椭圆的方程为. （2）    设直线的方程为， 当时，此时方程与椭圆只有一个交点，不符合题意， 设， 联立，得，即， ， 根据弦长公式，得， ， 又椭圆的右顶点为到直线 的距离为， 又的面积为时，， 即，，解得， 当时，直线的斜率为； 当时，直线的斜率为. 综上所述，直线的斜率为. 12．（2026·北京延庆·模拟预测）已知椭圆C：过点，点B为其上顶点，且直线AB斜率为. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设P为第四象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积. 【解】（Ⅰ）由题意: 设直线：， 令，则，于是，. 所以， 椭圆方程为. （Ⅱ）设，且， 又，所以直线， 令， 则， 直线，令， 则， 所以四边形的面积为 ， 所以四边形的面积为. 创新提升 13．（2026·北京丰台·二模）已知椭圆的左顶点为，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点且斜率为的直线与椭圆的另一个交点为，线段的垂直平分线与轴交于点，与轴交于点．过点且与平行的直线与轴交于点．若与的面积之比为，求的值． 【解】（1）由题意， 解得． 所以椭圆的方程为． （2）    由题意，直线的方程为， 由，得． 由题意，． 设，则， 解得， 所以线段的中点为． 线段垂直平分线的方程为：， 令得，所以． 令得，所以． 所以． 因为过点与直线平行的直线的方程为，故， 所以． 因为， 所以，整理得． 若，则，解得，故； 若，则，解得，故． 综上，或． 14．（2026·北京·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，以线段为直径的圆过C的上下顶点，点在C上，其中e为C的离心率. (1)求椭圆C的方程和短轴长； (2)点在C上，且在x轴的上方，满足，直线与直线的交点为P，求的面积. 【解】（1）设，上下顶点分别为. 由以线段为直径的圆过C的上下顶点，得，得，即. 因为，即，所以， 由点在C上，得，，解得， 所以，则， 短轴长. （2）根据题意，画出图象如图所示： 因为，所以， 又，则，即，. 设， 由得，即， 因为点在椭圆上， 所以，即， 两式相减得，即， ，又点在轴的上方，所以. 又得，即. 于是. 15．（2026·北京顺义·一模）已知椭圆过点和，且． (1)求椭圆的方程； (2)过点斜率为的直线交椭圆于，直线分别交直线于点．若，求的值． 【解】（1）由题意可知： 所以椭圆C的方程为. （2）直线的方程为，设，， 直线与椭圆方程联立可得：，消去可得：， 则. 直线的方程为：，令可得， 直线的方程为：，令可得. ， 法一：易知与异号 法二：      16．（2026·北京顺义·三模）椭圆的长轴长为4，离心率为，下顶点为A． (1)求椭圆的方程； (2)经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方），与轴的交点为．点关于轴的对称点为．过点作与轴平行的直线交直线于点．设与的面积分别为与，若，求直线的斜率． 【解】（1）长轴为4，即，. 离心率为，即，. 因为且，所以. 椭圆:. （2） 设直线:，，，. 联立直线与椭圆得，解得或， 所以，. 且要求，那么，即或. 易得直线为. 当时，，所以. 因为，且(时取正，时取负)， 所以. 因为(时取正，时取负)， ， 所以. 因为，所以， ，解得， . 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题专训12 圆锥曲线的轨迹、弦长、面积问题 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 1 题型1 圆锥曲线的轨迹问题 3 题型2 圆锥曲线的弦长问题 3 题型3 圆锥曲线的面积问题 3 重难专题分层过关练 4 巩固过关 4 创新提升 6 解题方法及技巧提炼 1.轨迹方程的求法 （1）直接法求轨迹方程 先设动点坐标为；再根据题目中动点运动的几何等量关系（如距离、角度、斜率等），直接将几何条件转化为含的代数等式。 同时需注意等量关系中的隐含限制条件（如构成三角形需三点不共线、斜率存在需分母不为0等），对所得方程进行化简和范围约束，最终得到符合条件的动点轨迹方程。 （2）几何法求轨迹方程 利用平面几何性质（如垂直平分线性质、角平分线性质、圆的性质），找到动点满足的几何等式，再转化为坐标方程，简化计算。 先明确动点与已知曲线（或可求轨迹的点）的 “相关关系”（即随运动）； 再根据几何条件，用表示出Q的坐标（即，）。 接着将代入Q所在的已知曲线方程，得到含的等式；最后化简该等式，并结合实际条件（如定义域）约束，即得动点P的轨迹方程。 （4）定义法求轨迹方程 首先分析动点满足的几何条件，判断是否符合圆、椭圆、抛物线、双曲线等基本轨迹的定义（如椭圆定义：到两定点距离和为定值且大于定点间距）。 若直接匹配定义，可直接写出对应轨迹的标准方程；若需确定参数，设出标准方程形式，结合题目条件（如定点坐标、定值大小）用待定系数法求解参数，最后验证方程是否符合轨迹定义及题目限制。 1.直线与圆锥曲线的位置关系 （1）直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点. （2）判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程.消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0). ①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离. ②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合. 2.圆锥曲线的弦长公式 设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝ 或 |AB|＝|AB|＝|y1－y2| ＝，k为直线斜率且k≠0. 3.中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解. (1)利用根与系数的关系：将直线方程代入椭圆的方程，消元后得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解，注意不能忽视对判别式的讨论. (2)点差法：若直线l与椭圆C有两个交点A，B，一般地，首先设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点M(x0，y0)，直线AB的斜率k，将点A，B代入圆锥曲线的方程，两式相减，整理得(分别以＋＝1，－＝1，y2＝2px为例)，椭圆中k＝－·；双曲线中k＝·；抛物线中k＝. 4.常用结论 （1）圆锥曲线中最短的焦点弦为通径，椭圆、双曲线中长为，抛物线中长为2p. （2）过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－；同理，双曲线中kPA·kPB＝(以上焦点在x轴上). 题型通法及变式提升 题型1 圆锥曲线的轨迹问题 【典例1】（25-26高二上·北京西城·期中）平面直角坐标系xOy中，点M到点的距离比它到x轴的距离多1，记点M的轨迹为C． (1)求轨迹C的方程； (2)设斜率为k的直线l过定点，若直线l与轨迹C恰好有一个公共点，求实数k的取值范围． 【变式1】（25-26高三上·北京通州·期中）在平面直角坐标系中，已知点，过动点向轴作垂线，垂足为，. (1)求动点的轨迹方程； (2)若直线的倾斜角为，求直线的方程； 【变式2】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知以点为圆心的圆与直线相切． (1)求圆C的标准方程； (2)若直线l过点且与圆C交于AB两点，劣弧AB所对圆周角为，求直线l的方程； (3)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M，O为坐标原点，满足，求点P的轨迹方程． 题型2 圆锥曲线的弦长问题 【典例2】（25-26高三上·北京房山·期中）已知双曲线的一条渐近线的斜率为为上一点. (1)求的方程； (2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的长度. 【变式1】（25-26高二上·北京门头沟·期中）已知是椭圆的左、右焦点，其中，长轴长为 (1)求椭圆的方程； (2)求直线被椭圆截得的弦长. 【变式2】（25-26高二上·北京·期末）已知椭圆. (1)求椭圆的短轴长和离心率； (2)过点的直线与椭圆交于两点，若弦的中点为，求直线的方程与弦的长. 题型3 圆锥曲线的面积问题 【典例3】（25-26高二上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系中，抛物线C：上一点到焦点的距离为2. (1)求抛物线C的方程； (2)若直线与抛物线C相交于A，B两点，求的面积. 【变式1】（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知抛物线：的焦点为，且经过点. (1)求抛物线的标准方程、焦点坐标及准线方程； (2)抛物线上一点，若，求点的坐标； (3)直线：与抛物线交于、两点，若（为坐标原点）的面积为4，求值. 【变式2】（25-26高二上·北京顺义·期中）已知椭圆（）长轴长为4，且椭圆C的离心率，其左右焦点分别为，.直线. (1)求椭圆C的方程； (2)当直线l与椭圆C有两个公共点时，求m的取值范围； (3)当时，直线l与椭圆C交于P，Q两点，求的面积. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（2026·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，一动直线分别交，于A，B（A，B横坐标同号）两点，且的面积恒为4. (1)求中点的轨迹的方程； (2)若直线交轨迹于，两点，的面积为，求的值. 2．（2026·陕西渭南·三模）已知椭圆：（）的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)动直线：与椭圆交于，两点，求线段中点的轨迹方程． 3．（2026·北京丰台·一模）已知椭圆，椭圆上一点到两焦点的距离之和为． (1)求椭圆的方程和离心率； (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点．若直线与直线的斜率之和为0，求直线的方程． 4．（2026·北京海淀·三模）已知椭圆的离心率为，为椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，线段的长为． (1)求椭圆的方程； (2)为椭圆上一点，直线与直线交于点，直线与轴交于点，设直线的斜率分别为，求的值． 5．（2025·北京顺义·一模）已知椭圆：的一个顶点为，离心率为. (1)求的方程和短轴长； (2)直线：与E相交于不同的两点B，C，直线，分别与直线交于点M，N.当时，求的值. 6．（2025·北京平谷·一模）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，斜率为的直线与椭圆交于两点，与轴交于点，点关于轴的对称点为点，直线与轴交于点为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)求的值. 7．（25-26高三下·北京丰台期末）已知椭圆的一个顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点作直线与椭圆交于不同的两点，设直线，分别与轴交于点，若的面积为1，求直线的斜率． 8．（25-26高三上·北京大兴·期中）已知椭圆的离心率为，且过点，O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程； (2)若过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程. 9．（2026·北京东城·二模）已知椭圆的一个顶点为.且过点. (1)求椭圆的方程及焦距 (2)过点的直线与椭圆交于不同的两点.直线的斜率分别记为与，当时，求的面积. 10．焦点在轴上的椭圆，离心率为，短轴长为2． (1)求该椭圆的标准方程； (2)过椭圆的左、右焦点，分别向斜上方作斜率为1的两条射线，依次交椭圆的上半部分于点，求四边形的面积． 11．（25-26高三上·北京东城·期末）已知椭圆：离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆交于不同两点，.当的面积为时，求直线的斜率. 12．（2026·北京延庆·模拟预测）已知椭圆C：过点，点B为其上顶点，且直线AB斜率为. （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设P为第四象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求四边形的面积. 创新提升 13．（2026·北京丰台·二模）已知椭圆的左顶点为，焦距为． (1)求椭圆的方程； (2)设为原点，过点且斜率为的直线与椭圆的另一个交点为，线段的垂直平分线与轴交于点，与轴交于点．过点且与平行的直线与轴交于点．若与的面积之比为，求的值． 14．（2026·北京·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，以线段为直径的圆过C的上下顶点，点在C上，其中e为C的离心率. (1)求椭圆C的方程和短轴长； (2)点在C上，且在x轴的上方，满足，直线与直线的交点为P，求的面积. 15．（2026·北京顺义·一模）已知椭圆过点和，且． (1)求椭圆的方程； (2)过点斜率为的直线交椭圆于，直线分别交直线于点．若，求的值． 16．（2026·北京顺义·三模）椭圆的长轴长为4，离心率为，下顶点为A． (1)求椭圆的方程； (2)经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方），与轴的交点为．点关于轴的对称点为．过点作与轴平行的直线交直线于点．设与的面积分别为与，若，求直线的斜率． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $