第八章 课时作业5 椭圆的方程与性质-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦椭圆方程与性质，通过定义应用、几何性质分析、轨迹与最值问题，系统构建“概念-性质-应用”解题体系，强化数学抽象与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-3、多选7|标准方程转换、定义法|从标准方程到焦点、离心率的概念生成| |性质应用|单选4-6、多选8-9、填空10-12|离心率计算、几何关系证明、代入法求轨迹|性质推导到轨迹、最值的应用拓展| |综合拓展|解答13-14|方程求解、最值与参数范围|多性质综合到方程求解与参数范围的逻辑链条|

课时5 椭圆的方程与性质 一、单选题 1．已知椭圆2x2－my2＝1的一个焦点坐标为(0，－)，则实数m＝(　 ) A． B． C．－ D．－ 2．设椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离是(　 　) A．20 B．14 C．2 D． 3、椭圆与椭圆的关系为（    ） A．有相同的长轴长与短轴长 B．有相同的焦距 C．有相同的焦点 D．有相同的离心率 4．（2026·湖南岳阳县第一中学月考）已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，且PF2⊥F2Q，且＝4，PF2＋F2Q＝6，则椭圆E的标准方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 5.已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过E的右焦点且斜率为1的直线l交E于A，B两点，且原点O到直线l的距离等于E的短轴长，则E的离心率为(　 　) A． B． C． D． 6．(2026·辽宁大连市模拟)已知是椭圆的上顶点，是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 二．多选题 7、已知椭圆的方程为16x2＋25y2＝400，则(　 　) A．长轴的长为5 B．离心率e＝ C．F(3,0)是一个焦点 D．椭圆上存在一点P到两焦点的距离的和等于10 8、已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，则下列说法正确的有(　　) A．PF1＋PF2＝4 B．存在满足∠F1PF2＝90°的点P C．直线PA1与直线PA2的斜率之积为－ D．若△F1PF2的面积为2，则点P的横坐标为± 9、（2026·广西南宁市 开学考试）椭圆C：的焦点为，，上顶点为A，直线与椭圆C的另一个交点为B，若，则有（    ） A．椭圆C的焦距为2 B．的周长为8 C．椭圆C的离心率为 D．的面积为 三．填空题 10、已知P为椭圆上的任意一点，O为坐标原点，M满足，则点M的轨迹方程为 ． 11、（2026·河南郑州市模拟）若F为椭圆的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为___________． 12．点在圆上移动，点在椭圆上移动，则线段长的最大值为 ． 四．解答题 13．(2026·陕西西安市模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，过F2作垂直于x轴的直线l，交椭圆于A，B两点，且满足AF2＝c. (1)求椭圆C的离心率； (2)M，N是椭圆C短轴的两个端点，设点P是椭圆C上一点(异于椭圆C的顶点)，直线MP，NP分别与x轴相交于R，Q两点，O为坐标原点，若OR·OQ＝4，求椭圆C的方程． 14、（2025·上海高考）已知椭圆，，，是的右顶点． （1）若的焦点是，求离心率的值； （2）若，且上存在一点，满足，求的值； （3）若中垂线的斜率为2，与交于，两点，且为钝角，求的取值范围． 课时5 椭圆的方程与性质参考答案 1．D【解析】椭圆2x2－my2＝1的标准方程为：＋＝1，一个焦点坐标为(0，－)， 可得＝，解得m＝－．故选D. 2．B【解析】由椭圆的定义知PF1＋PF2＝2a，又椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为6，即PF1＝6，且a＝10，所以6＋PF2＝20，故PF2＝14．故选B. 3、B【解析】对于椭圆，则且焦点在x轴上，所以长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，焦点为，离心率为，对于椭圆，因为，则，可得，且焦点在y轴上，所以长轴长为， 短轴长为，焦距为8，焦点为，离心率为，所以A，C，D错误，B正确.故选B. 4．C【解析】如图，连接PF1，QF1，由椭圆的对称性得四边形PF1QF2为平行四边形， 所以PF2＋F2Q＝PF2＋PF1＝2a＝6，得a＝3.又因为PF2⊥F2Q，所以四边形PF1QF2为矩形， 设PF2＝m，F2Q＝n，则＝mn＝4，所以得或 则F1F2＝2，则c＝，b2＝a2－c2＝4，椭圆E的标准方程为＋＝1.故选C. 5.A【解析】设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，右焦点为F(c,0)，所以直线l的方程为y＝x－c．因为原点O到直线l的距离等于E的短轴长，所以＝2b，得c2＝8b2．又a2＝b2＋c2，所以c2＝8(a2－c2)，即8a2＝9c2，所以e＝＝．故选A. 6．C【解析】设，，且，所以.又因为，所以当时取最大值，所以.故选C. 7、BCD【解析】把原方程化成标准方程，得＋＝1，于是a＝5，b＝4，c＝＝3，因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是2a＝10和2b＝8，离心率e＝＝，两个焦点坐标分别是(－3,0)和(3,0)，椭圆上任一点P到两焦点的距离的和等于2a＝10．故选BCD. 8、CD【解析】由椭圆方程知a＝4，b＝3，c＝，PF1＋PF2＝2a＝8，A错误； 当P为椭圆上、下顶点时，cos∠F1PF2＝＝>0，即∠F1PF2的最大值小于，B错误； 若P(x′，y′)，则＝，＝，有＝，而＋＝1，所以 －16y′2＝9(x′2－16)，即有＝－，C正确； 若P(x′，y′)，△F1PF2的面积为2，即＝2，故y′＝±2，代入椭圆方程得x′＝±，D正确．故选CD. 9、ABD【解析】由题意可知，，，故为等边三角形，则，， 又，所以，，，所以焦距，A正确. 离心率，C错误. 由椭圆定义可知，的周长，B正确． 设，则，又，由余弦定理可得，所以，D正确.故选ABD． 10、【解析】设点，由得点.而P为椭圆上的任意一点，于是得，整理得，所以点M的轨迹方程是. 11、20【解析】如图，设为椭圆C的左焦点， 则有椭圆的定义可得△ABF的周长为AF+BF+AB=2a-+2a-+AB=4a+AB--=20+AB--,当A,B,共线时，AB--=0,当A,B,不共线时，AB--<0,所以△ABF周长的最大值为20. 12． 【解析】如图，设点在圆上， 设，而, 则，故, 此时.又因为，所以长的最大值是. 13．【解】(1)由题意，令x＝c，可得y2＝b2，解得y＝±，可得＝c，又由 c2＝a2－b2，整理得6a2－6c2＝ac，即6－6e2＝e，即6e2＋e－6＝0，解得e＝，即椭圆C的离心率为. (2)由椭圆C的方程，可得M(0，b)，N(0，－b)，设P(x0，y0)，所以b2x＋a2y＝a2b2，则直线MP的方程为y＝x＋b，令y＝0，可得xR＝，同理直线NP的方程为y＝ x－b，令y＝0，可得xQ＝. 因为OR·OQ＝＝a2＝4，解得a＝2.又因为 e＝，所以c＝，则b＝＝1，所以椭圆C的方程为＋y2＝1. 14、【解】（1）由题意，，故，故. （2）由题意，，不妨设，，故，.由，得，即，故.由在椭圆上，故，解得（负根舍）. （3）由题意，斜率为，故，，所以可设中点为，则方程为.设，，，，由，得， △，所以， 因为，.因为为钝角，且，，不共线，故，即，解得0＜，所以.又，所以． . 学科网（北京）股份有限公司 $