带电粒子在组合场中的运动：粒子由磁场进入电场、粒子由电场进入磁场 专项训练-2027届高考物理一轮复习

**基本信息** 聚焦带电粒子在组合场中运动的两类典型场景，通过精选例题与变式训练，系统构建磁场-电场、电场-磁场转换问题的解题逻辑，强化运动模型建构与科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |粒子由磁场进入电场|3例+3变式|磁场中圆周运动与电场中类平抛/匀变速直线运动组合，涉及边界条件分析|洛伦兹力提供向心力→轨迹半径与圆心确定→电场中运动分解→运动学公式应用| |粒子由电场进入磁场|3例+3变式|电场中加速/偏转后进入磁场做圆周运动，需结合能量关系与几何约束|动能定理/类平抛规律→进入磁场速度大小与方向→洛伦兹力提供向心力→轨迹半径与周期计算|

带电粒子在组合场中的运动：粒子由磁场进入电场、粒子由电场进入磁场专项训练 带电粒子在组合场中的运动：粒子由磁场进入电场、粒子由电场进入磁场专项训练 考点目录 带电粒子在组合场中的运动：粒子由磁场进入电场 带电粒子在组合场中的运动：粒子由电场进入磁场 考点一 带电粒子在组合场中的运动：粒子由磁场进入电场 例1．（2026·安徽合肥·模拟预测）在粒子加速器的束流传输系统中，设计了一段磁场-电场组合装置用于筛选和注入特定能量的离子，其原理如图所示。在平面直角坐标系的第一象限有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，在第二象限内有沿轴正方向的匀强电场，电场强度，从轴上坐标为（0.1 m，0）的点，沿轴正方向以大小为的速度向磁场射入一个比荷的带负电的粒子，粒子经磁场偏转后从坐标为（0，0.1 m）的点进入电场。为提升束流能量，现将粒子入射速度改为，不计粒子的重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)粒子在磁场中运动的时间；（结果保留两位有效数字） (3)粒子经过轴时到点的距离。 例2．（2026·山东枣庄·三模）如图所示，y>0区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，y<0区域内有沿y轴正方向的匀强电场。质量为m，电荷量为q（q>0）的正电粒子从点以速度沿y轴负方向发射，从M点第一次进入电场，速度方向与x轴负方向的夹角为60°，从N点第一次返回磁场，M、N的距离为h，图中两点均未画出，不计带电粒子的重力。求： (1)磁感应强度的大小； (2)电场强度的大小； (3)粒子从P运动至M所经历的时间。 例3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图所示，xOy平面内，OP与x轴夹角，在xOP范围内（含边界）存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度，第二象限有平行于y轴向下的匀强电场，场强。比荷的带正电微粒以速度从x轴上a点平行于OP射入磁场，并从OP上的b点离开磁场，垂直y轴上的c点进入电场，最后回到x轴上的点d离开电场，已知，，不计微粒的重力，求： (1)a点与O点的距离； (2)微粒经过d点的速度大小； (3)微粒从a点运动到d点的时间。 变式1．（2026·天津·一模）如图所示，一半径为L的圆与x轴相切于原点O，圆内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，与x轴垂直的竖直虚线与磁场最右端相切于N点，其右侧的第I象限内存在沿方向的匀强电场。现有一束比荷为带正电粒子沿着+y方向从原点O射入磁场，粒子由N点离开磁场，方向沿x轴正方向，进入电场后，经电场偏转打到x轴上M点，且与x轴正方向成45°，不计粒子的重力。求： (1)粒子射入磁场时的速度和其在磁场中的运动时间； (2)电场强度的大小和M点的坐标。 变式2．（25-26高三下·湖南·阶段检测）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内，有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，在第二象限内、半径为R的圆形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁场的边界圆刚好与两坐标轴相切，与x轴、y轴的切点分别为P点、Q点，在P点有一粒子源。在坐标平面内，在与x轴正向的夹角θ满足范围内的各个方向，源源不断地向磁场中射出质量为m、电荷量为q、速度大小均为v0的带正电的粒子，其中沿y轴正向射出的粒子恰好从Q点射出磁场，不计粒子的重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)沿y轴正向射出的粒子经过x轴正半轴上的位置距O点的距离； (3)匀强磁场中有粒子通过的区域的面积。 变式3．（2026·天津和平·一模）利用电场和磁场可以控制带电粒子的轨迹。如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，MN为过圆心O的竖直轴，纸面内边长也为R的正方形abcd内存在与ab边平行的匀强电场，bc边所在直线与MN重合，ab边与圆相切。质量为m、电荷量为q的粒子从P点正对圆心O以大小为的速度垂直射入磁场，速度方向与MN夹角为，之后从MN与圆的交点b射出磁场立即进入电场，最后恰好从d点射出电场，打在ad边左侧距离为R处的竖直照相底片上，不计粒子重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度B； (2)粒子打到照相底片上时的速度大小； (3)粒子从进入磁场到打到照相底片上的运动总时间t。 考点二 带电粒子在组合场中的运动：粒子由电场进入磁场 例1．（25-26高二下·海南儋州·期末）如图所示，在平面直角坐标系第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，第四象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，在轴下方放置一长度为的绝缘薄板，薄板平面与轴垂直且上端紧贴轴。第二象限内放射源装置中静止的铀核（）经历一次衰变生成钍核（）并放出一个质量为、电荷量为的带正电的粒子（不计粒子重力），该粒子从轴上点以大小为的速度平行于轴进入电场后恰好从薄板上边缘点处射入磁场，粒子射入磁场时的速度方向与的夹角为，之后粒子恰好未与薄板碰撞。 (1)写出第二象限内放射源装置中铀（）的衰变方程； (2)求匀强磁场磁感应强度的大小和粒子在薄板右侧运动的时间； (3)若认为衰变后的钍核不稳定，将动能一次性转为光子释放，求光子的波长。（真空中光速为，普朗克常量为） 例2．（25-26高二下·甘肃定西·期末）如图是一种利用磁场偏转的粒子收集装置原理图。竖直平面内放置有两块平行于水平面的收集板，收集板从高到低依次放置，平行板处于垂直纸面向里的磁感应强度为的匀强磁场中，两块收集板的右端在同一竖直面上，收集板长度从高到低依次变大，因而左端位置不同。粒子收集装置下表面上开有一个小孔，一个粒子源被固定在其小孔正下方一段距离的位置上，粒子源发射出速度为0、质量为、电荷量绝对值为的粒子，通过匀强电场加速器加速，可以通过调节加在电场加速器两块极板上的电压，从而使粒子具有不同的动能，这些粒子被加速后通过小孔进入磁场后，在磁场的作用下运动，并打到右侧的两片收集板上（如图中、所示）。收集板刚好与粒子出射点在同一高度，板竖直方向比板高，板最左端离粒子出射口的水平距离为，板最左端离粒子源的水平距离为。，板的右侧离点足够远，磁场上边缘离底面距离为。重力及粒子间的相互作用、板的厚度忽略不计。求（结果可用分数表示）： (1)试判断粒子的电性，并写出粒子在磁场中运动的半径与的关系式（用，，，表示）； (2)若要使射入磁场的粒子击中板上表面，则的范围； (3)粒子击中收集板后发生反射，反射前后粒子速度方向与收集板平面的夹角大小不变，反射速度最大值为撞击前速度的倍。为了使粒子在撞击收集板反弹后不会碰到收集板，则的范围。 例3．（2026·贵州黔西南·二模）在科学研究中经常用电场和磁场来控制带电粒子的运动轨迹。如图，在平面直角坐标系xOy的第一象限内的、的正方形区域内存在电场强度大小可调节、方向沿y轴负方向的匀强电场，x>d区域内有垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一足够大光屏PQ（厚度不计）平行于y轴放置，Q点的坐标为，一电子从O点以大小为的初速度沿x轴正方向射入，经电场、磁场偏转后，打到光屏PQ上。已知电子的质量为m、电荷量为，不计电子的重力，求： (1)调节电场强度的大小，使电子经电场偏转后，从坐标为的S点射入磁场，则此时电场强度E的大小为多少？ (2)接第（1）问，电子在磁场中做圆周运动的圆心到PQ的距离L； (3)调节电场强度的大小，使电子在磁场中做圆周运动的半径最大，则半径的最大值为多少？ 变式1．（2026·江苏镇江·一模）如图所示，在xOy坐标平面第三象限存在着方向沿轴正方向的匀强电场，在其他象限存在垂直纸面的匀强磁场，其中第一、二象限向外，第四象限向里，磁感应强度大小相等。一质量为、电荷量为的带正电粒子从轴上的点，以初速度沿着轴负方向射入匀强电场，经过一段时间从点与轴负方向成角进入磁场，已知点坐标，粒子在运动过程中恰好不再返回电场，粒子重力忽略不计。求： (1)电场强度大小； (2)磁感应强度大小； (3)若第四象限的磁感应强度增大为原来的倍，要使粒子能够通过坐标为的点，则的值为多大。 变式2．（2026·云南昆明·三模）如图所示，在竖直平面内的xoy直角坐标系中，轴上方存在正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度（大小未知），方向沿轴向上，磁场方向垂直纸面向里。轴下方存在方向沿轴向上的匀强电场（图中未画出），场强为（大小未知）。一质量为、电荷量为的带正电小球（可视为质点），从y轴上的点以速度沿轴正方向抛出，经轴上的点后与轴正方向成进入轴上方后恰能做匀速圆周运动。、两点间距离与、两点间距离满足关系：，重力加速度为，以上物理量中、、、为已知量，其余量大小未知。求： (1)电场强度与的大小之比； (2)若小球可多次（大于两次）通过点，则磁感应强度为多大； (3)若小球可恰好两次通过点，则磁感应强度为多大；小球两次通过点的时间间隔为多少。 变式3．（2026·福建福州·三模）现代高能粒子实验中需要获取轨迹可控的高能粒子，发现用磁场约束粒子运动轨迹的方法十分有效。如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，空间中存在三个有电场或磁场的区域。区域Ⅰ是半径为的圆形区域，与轴相切于点，存在磁感应强度大小，方向垂直于纸面向外的匀强磁场；区域Ⅱ在区间内存在平行轴的匀强电场，，场强大小，场强方向沿y轴负向；区域Ⅲ为的区间，存在磁感应强度大小，方向垂直于纸面向外的匀强磁场，坐标为的点是边界上一点。一群质量为，电荷量为带正电的粒子沿轴正向射入区域Ⅰ，粒子射入的横坐标范围为，这群粒子都从点离开区域Ⅰ，不计粒子重力。求： (1)粒子初速度的大小； (2)能到达点的粒子，经过点时速度与轴的夹角及该粒子射入区域Ⅰ的横坐标； (3)若满足（2）的粒子从点进入区域Ⅲ后，受到一个与速度方向总相反的阻力作用，阻力大小（为已知量），观察发现该粒子轨迹呈螺旋状并与区域Ⅲ磁场左边界相切于点（未画出）。求点纵坐标的值及过点的速度。 2 学科网（北京）股份有限公司 $带电粒子在组合场中的运动：粒子由磁场进入电场、粒子由电场进入磁场专项训练 带电粒子在组合场中的运动：粒子由磁场进入电场、粒子由电场进入磁场专项训练 考点目录 带电粒子在组合场中的运动：粒子由磁场进入电场 带电粒子在组合场中的运动：粒子由电场进入磁场 考点一 带电粒子在组合场中的运动：粒子由磁场进入电场 例1．（2026·安徽合肥·模拟预测）在粒子加速器的束流传输系统中，设计了一段磁场-电场组合装置用于筛选和注入特定能量的离子，其原理如图所示。在平面直角坐标系的第一象限有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，在第二象限内有沿轴正方向的匀强电场，电场强度，从轴上坐标为（0.1 m，0）的点，沿轴正方向以大小为的速度向磁场射入一个比荷的带负电的粒子，粒子经磁场偏转后从坐标为（0，0.1 m）的点进入电场。为提升束流能量，现将粒子入射速度改为，不计粒子的重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)粒子在磁场中运动的时间；（结果保留两位有效数字） (3)粒子经过轴时到点的距离。 【答案】(1)0.4T (2) (3)0.3m 【详解】（1）设粒子在磁场中做圆周运动的半径为r，根据几何关系得 根据圆周运动，洛伦兹力提供向心力得 解得 （2）根据圆周运动，洛伦兹力提供向心力得 解得 由几何关系可得轨迹圆心角为60°，根据圆周运动知识 得 （3）由上述几何关系粒子经第一象限磁场偏转到达y轴时 在第二象限中，由牛顿第二定律 由运动学方程 得 水平位移 例2．（2026·山东枣庄·三模）如图所示，y>0区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，y<0区域内有沿y轴正方向的匀强电场。质量为m，电荷量为q（q>0）的正电粒子从点以速度沿y轴负方向发射，从M点第一次进入电场，速度方向与x轴负方向的夹角为60°，从N点第一次返回磁场，M、N的距离为h，图中两点均未画出，不计带电粒子的重力。求： (1)磁感应强度的大小； (2)电场强度的大小； (3)粒子从P运动至M所经历的时间。 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1） 粒子运动轨迹如图所示圆心为，设半径，由几何关系知 解得 由 解得 （2）粒子刚进入电场时，水平及竖直分速度大小分别为， 设M、N间的距离为x，粒子从M运动到N的时间为，则 解得 根据牛顿第二定律 解得 （3）粒子在磁场中运动的周期为 则在磁场中粒子由P运动至M的时间 解得 粒子从N点进入磁场，设轨迹圆的圆心为，经历时间由Q点再次进入电场，由几何关系，可知点在M点的正上方，粒子会再次经过M点,经历时间 粒子由P点开始至第二次运动至M的时间为 联立解得 综上所述，粒子从P运动到M的时间为或 例3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图所示，xOy平面内，OP与x轴夹角，在xOP范围内（含边界）存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度，第二象限有平行于y轴向下的匀强电场，场强。比荷的带正电微粒以速度从x轴上a点平行于OP射入磁场，并从OP上的b点离开磁场，垂直y轴上的c点进入电场，最后回到x轴上的点d离开电场，已知，，不计微粒的重力，求： (1)a点与O点的距离； (2)微粒经过d点的速度大小； (3)微粒从a点运动到d点的时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）不计微粒的重力，微粒在磁场中由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，得 解得半径 由几何关系，解得a点与O点的距离 （2）微粒在c点的速度仍为，微粒进入电场后仅受电场力作用做类平抛运动。由几何关系，得c点到d点沿方向的位移为 由动能定理有 解得微粒经过的速度 （3）微粒在磁场中运动周期 微粒在磁场中做匀速圆周运动的圆心角 微粒在磁场中运动时间 微粒在磁场与电场之间匀速运动时间 微粒在电场中做类平抛运动，电场中沿方向做匀加速直线运动，由牛顿第二定律，得 解得 设电场中运动时间为，由匀变速直线运动位移与时间的关系，得 解得电场中运动时间 微粒从运动到的时间 变式1．（2026·天津·一模）如图所示，一半径为L的圆与x轴相切于原点O，圆内有垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，与x轴垂直的竖直虚线与磁场最右端相切于N点，其右侧的第I象限内存在沿方向的匀强电场。现有一束比荷为带正电粒子沿着+y方向从原点O射入磁场，粒子由N点离开磁场，方向沿x轴正方向，进入电场后，经电场偏转打到x轴上M点，且与x轴正方向成45°，不计粒子的重力。求： (1)粒子射入磁场时的速度和其在磁场中的运动时间； (2)电场强度的大小和M点的坐标。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）粒子在磁场中做匀速圆周运动，其轨迹为圆周，轨迹半径为，由洛伦兹力提供向心力得 由图可知 解得 粒子在磁场中圆周运动周期   由图可知 解得 （2）粒子进入电场做类平抛运动，沿方向做匀加速直线运动，其位移大小等于L；沿方向做匀速直线运动，在M点分解速度有， 且， 联立解得 根据 解得 所以M点的坐标为 变式2．（25-26高三下·湖南·阶段检测）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内，有沿y轴负方向的匀强电场，电场强度大小为E，在第二象限内、半径为R的圆形区域内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁场的边界圆刚好与两坐标轴相切，与x轴、y轴的切点分别为P点、Q点，在P点有一粒子源。在坐标平面内，在与x轴正向的夹角θ满足范围内的各个方向，源源不断地向磁场中射出质量为m、电荷量为q、速度大小均为v0的带正电的粒子，其中沿y轴正向射出的粒子恰好从Q点射出磁场，不计粒子的重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度大小； (2)沿y轴正向射出的粒子经过x轴正半轴上的位置距O点的距离； (3)匀强磁场中有粒子通过的区域的面积。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意结合几何关系可知，粒子在磁场中做圆周运动的半径 根据牛顿第二定律 解得 （2）粒子在电场中做类平抛运动，得，， 联立解得 （3）由于粒子做圆周运动的半径与磁场边界圆的半径相等，因此所有粒子出磁场时速度均与y轴垂直。两个边界粒子的运动轨迹如图所示。与x轴正向成角射出的粒子在磁场中做圆周运动的圆心在点，出射点在A点；与x轴正向成角射出的粒子在磁场中做圆周运动的圆心在点，根据几何关系可知，该粒子出射点刚好在，根据几何关系可知，磁场中有粒子通过的区域的面积刚好等于以为圆心，R为半径、圆心角为扇形的面积，大小为 变式3．（2026·天津和平·一模）利用电场和磁场可以控制带电粒子的轨迹。如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，MN为过圆心O的竖直轴，纸面内边长也为R的正方形abcd内存在与ab边平行的匀强电场，bc边所在直线与MN重合，ab边与圆相切。质量为m、电荷量为q的粒子从P点正对圆心O以大小为的速度垂直射入磁场，速度方向与MN夹角为，之后从MN与圆的交点b射出磁场立即进入电场，最后恰好从d点射出电场，打在ad边左侧距离为R处的竖直照相底片上，不计粒子重力，求： (1)匀强磁场的磁感应强度B； (2)粒子打到照相底片上时的速度大小； (3)粒子从进入磁场到打到照相底片上的运动总时间t。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）粒子在磁场中运动，根据洛伦兹力提供向心力有 由几何关系 解得 （2）在电场中，粒子做类平抛运动有， 又 解得 （3）粒子在磁场中的运动时间 其中 粒子在电场中的运动时间 粒子离开电场后的运动时间 可得 考点二 带电粒子在组合场中的运动：粒子由电场进入磁场 例1．（25-26高二下·海南儋州·期末）如图所示，在平面直角坐标系第一象限内有沿轴负方向的匀强电场，第四象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，在轴下方放置一长度为的绝缘薄板，薄板平面与轴垂直且上端紧贴轴。第二象限内放射源装置中静止的铀核（）经历一次衰变生成钍核（）并放出一个质量为、电荷量为的带正电的粒子（不计粒子重力），该粒子从轴上点以大小为的速度平行于轴进入电场后恰好从薄板上边缘点处射入磁场，粒子射入磁场时的速度方向与的夹角为，之后粒子恰好未与薄板碰撞。 (1)写出第二象限内放射源装置中铀（）的衰变方程； (2)求匀强磁场磁感应强度的大小和粒子在薄板右侧运动的时间； (3)若认为衰变后的钍核不稳定，将动能一次性转为光子释放，求光子的波长。（真空中光速为，普朗克常量为） 【答案】(1) (2)； (3) 【详解】（1）铀核衰变方程： （2）粒子在点的速度 粒子在磁场中做圆周运动，有 粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹如图所示 根据几何关系可得 联立解得 根据几何关系可知，粒子在挡板右侧磁场中运动的时间 而粒子做圆周运动的周期 解得 （3）核反应符合动量守恒定律，则有 其中 所释放光子 则波长 例2．（25-26高二下·甘肃定西·期末）如图是一种利用磁场偏转的粒子收集装置原理图。竖直平面内放置有两块平行于水平面的收集板，收集板从高到低依次放置，平行板处于垂直纸面向里的磁感应强度为的匀强磁场中，两块收集板的右端在同一竖直面上，收集板长度从高到低依次变大，因而左端位置不同。粒子收集装置下表面上开有一个小孔，一个粒子源被固定在其小孔正下方一段距离的位置上，粒子源发射出速度为0、质量为、电荷量绝对值为的粒子，通过匀强电场加速器加速，可以通过调节加在电场加速器两块极板上的电压，从而使粒子具有不同的动能，这些粒子被加速后通过小孔进入磁场后，在磁场的作用下运动，并打到右侧的两片收集板上（如图中、所示）。收集板刚好与粒子出射点在同一高度，板竖直方向比板高，板最左端离粒子出射口的水平距离为，板最左端离粒子源的水平距离为。，板的右侧离点足够远，磁场上边缘离底面距离为。重力及粒子间的相互作用、板的厚度忽略不计。求（结果可用分数表示）： (1)试判断粒子的电性，并写出粒子在磁场中运动的半径与的关系式（用，，，表示）； (2)若要使射入磁场的粒子击中板上表面，则的范围； (3)粒子击中收集板后发生反射，反射前后粒子速度方向与收集板平面的夹角大小不变，反射速度最大值为撞击前速度的倍。为了使粒子在撞击收集板反弹后不会碰到收集板，则的范围。 【答案】(1)负电， (2) (3) 【详解】（1）由题意可知收集板在小孔右侧，磁场方向垂直纸面向里，粒子进入磁场后向右偏转，根据左手定则，粒子带负电。 粒子在电场中加速，由动能定理得 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力得 解得 （2）当射入磁场的粒子恰好击中板上表面左端，如下图所示： 由几何关系得 解得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力得 粒子在电场中加速，由动能定理得 解得 当射入磁场的粒子恰好与磁场上边界相切，板的右侧离点足够远，故一定会击中板上表面，如下图所示： 由几何关系得 粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力得 粒子在电场中加速，由动能定理得 解得 则的范围满足 （3）当粒子恰好撞击收集板左端，粒子圆周运动半径 根据洛伦兹力提供向心力得 粒子在电场中加速，由动能定理得 解得 当粒子击中收集板后发生反射，反射后粒子在磁场中圆周运动的半径恰好等于。 反射前后粒子速度方向与收集板平面的夹角大小不变，反射速度最大值为撞击前速度的倍。根据半径与速度成正比，可得粒子反射前粒子在磁场中圆周运动的半径 因为，粒子一次反射后轨迹恰好与板下表面相切。 根据洛伦兹力提供向心力得 粒子在电场中加速，由动能定理得 解得 则的范围满足 例3．（2026·贵州黔西南·二模）在科学研究中经常用电场和磁场来控制带电粒子的运动轨迹。如图，在平面直角坐标系xOy的第一象限内的、的正方形区域内存在电场强度大小可调节、方向沿y轴负方向的匀强电场，x>d区域内有垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。一足够大光屏PQ（厚度不计）平行于y轴放置，Q点的坐标为，一电子从O点以大小为的初速度沿x轴正方向射入，经电场、磁场偏转后，打到光屏PQ上。已知电子的质量为m、电荷量为，不计电子的重力，求： (1)调节电场强度的大小，使电子经电场偏转后，从坐标为的S点射入磁场，则此时电场强度E的大小为多少？ (2)接第（1）问，电子在磁场中做圆周运动的圆心到PQ的距离L； (3)调节电场强度的大小，使电子在磁场中做圆周运动的半径最大，则半径的最大值为多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）电子在电场中做类平抛运动，沿x轴方向，有 沿y轴方向，有 电子不考虑重力，根据牛顿第二定律有 解得 （2）电子从S点射入磁场时 电子进入磁场时的速度 解得 设速度方向与竖直方向夹角为，则 电子进入磁场后做匀速圆周运动， 电子进入磁场后做圆周运动的圆心到PQ的距离为 解得 （3）当电子在磁场中有最大运动半径时，进入磁场的速度最大，则此时电子从Q点进入磁场，沿y轴方向， 沿x轴方向， 进入磁场的最大速度 解得 由 解得 变式1．（2026·江苏镇江·一模）如图所示，在xOy坐标平面第三象限存在着方向沿轴正方向的匀强电场，在其他象限存在垂直纸面的匀强磁场，其中第一、二象限向外，第四象限向里，磁感应强度大小相等。一质量为、电荷量为的带正电粒子从轴上的点，以初速度沿着轴负方向射入匀强电场，经过一段时间从点与轴负方向成角进入磁场，已知点坐标，粒子在运动过程中恰好不再返回电场，粒子重力忽略不计。求： (1)电场强度大小； (2)磁感应强度大小； (3)若第四象限的磁感应强度增大为原来的倍，要使粒子能够通过坐标为的点，则的值为多大。 【答案】(1) (2) (3)2或4 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，有， 根据牛顿第二定律有 联立解得 （2）在磁场中运动速度       轨迹如图       其中 则                        又                解得 （3）粒子的运动轨迹如图所示 第四象限内磁场为原来的k倍，则 再由                     解得 式中n只能取1，故      或                  解得 式中n也只能取1，故    综上，粒子接收器能接收到粒子时k的值为2或4。 变式2．（2026·云南昆明·三模）如图所示，在竖直平面内的xoy直角坐标系中，轴上方存在正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度（大小未知），方向沿轴向上，磁场方向垂直纸面向里。轴下方存在方向沿轴向上的匀强电场（图中未画出），场强为（大小未知）。一质量为、电荷量为的带正电小球（可视为质点），从y轴上的点以速度沿轴正方向抛出，经轴上的点后与轴正方向成进入轴上方后恰能做匀速圆周运动。、两点间距离与、两点间距离满足关系：，重力加速度为，以上物理量中、、、为已知量，其余量大小未知。求： (1)电场强度与的大小之比； (2)若小球可多次（大于两次）通过点，则磁感应强度为多大； (3)若小球可恰好两次通过点，则磁感应强度为多大；小球两次通过点的时间间隔为多少。 【答案】(1) (2) (3)，，， 【详解】（1）小球在轴上方匀速圆周运动，可得 小球从A到P的过程中， 结合，可得 由牛顿第二定律可得 解得 （2）小球第一次通过点时与轴正向成，可知小球在点时 点时的速度 且 由类平抛的位移公式可得 小球多次经过点，轨迹如图甲所示：小球在磁场中运动个周期后，到达轴上的点，、关于原点对称，之后回到并不断重复这一过程，从而多次经过点；设小球在磁场中圆周运动的半径为，由几何关系可得 又由洛伦兹力提供向心力有 联立解得 （3）小球恰能两次经过点，轨迹如图乙、丙所示： 由规律可知，小球恰能两次经过点满足的几何关系为 解得     小球在复合电磁场中运动的周期   小球从点到点时间             两次通过点的时间间隔为       解得   变式3．（2026·福建福州·三模）现代高能粒子实验中需要获取轨迹可控的高能粒子，发现用磁场约束粒子运动轨迹的方法十分有效。如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，空间中存在三个有电场或磁场的区域。区域Ⅰ是半径为的圆形区域，与轴相切于点，存在磁感应强度大小，方向垂直于纸面向外的匀强磁场；区域Ⅱ在区间内存在平行轴的匀强电场，，场强大小，场强方向沿y轴负向；区域Ⅲ为的区间，存在磁感应强度大小，方向垂直于纸面向外的匀强磁场，坐标为的点是边界上一点。一群质量为，电荷量为带正电的粒子沿轴正向射入区域Ⅰ，粒子射入的横坐标范围为，这群粒子都从点离开区域Ⅰ，不计粒子重力。求： (1)粒子初速度的大小； (2)能到达点的粒子，经过点时速度与轴的夹角及该粒子射入区域Ⅰ的横坐标； (3)若满足（2）的粒子从点进入区域Ⅲ后，受到一个与速度方向总相反的阻力作用，阻力大小（为已知量），观察发现该粒子轨迹呈螺旋状并与区域Ⅲ磁场左边界相切于点（未画出）。求点纵坐标的值及过点的速度。 【答案】(1) (2)30°或60°，或 (3)或，或 【详解】（1）由磁聚焦原理，沿着y轴正向入射的粒子将汇聚于O点，轨迹圆与磁场圆半径相同，则     由牛顿第二定律得 解得 （2）区域Ⅱ中带电粒子在匀强电场中做类斜抛运动，假设入射粒子与x轴正向夹角为时能到达P点，由运动的分解可知，x方向有 y方向有 根据牛顿第二定律有 解得或 该粒子射入区域Ⅰ的横坐标由几何关系得     解得或 （3）粒子进入区域Ⅲ轨迹呈螺旋状，取一小段时间，粒子在x方向上由动量定理得     即 其中， 则 解得，或 粒子在方向上由动量定理得     即或 解得或 2 学科网（北京）股份有限公司 $