精品解析：陕西咸阳市永寿县马坊中学2025-2026学年度第二学期第二次阶段性作业八年级数学

2025—2026学年度第二学期第二次阶段性作业 八年级数学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列等式从左到右是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 将用提公因式法分解因式，应提的公因式是（　　） A. B. C. D. 3. 已知可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 4. 因式分解，则代数式等于（ ） A. B. C. D. 5. 若a、b、c为三角形的三条边长，且，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 6. 下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 7. 对于实数，，定义新运算“”，规定：．将多项式因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若，，则△ABC的周长是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 9. 数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（ ） A. 甲： B. 乙： C. 丙： D. 丁： 10. 在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为x的值，当时，，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄15设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ） A. 151416 B. 151515 C. 141514 D. 131415 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 11. 与的公因式是________． 12. 因式分解：______． 13. 若正方形的面积是，则该正方形的边长为_____． 14. 如果把多项式因式分解得，那么_____． 15. 已知可因式分解成，其中常数均为整数，则________． 三、解答题（共7小题，计55分．解答应写出过程） 16. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 17. 利用因式分解计算： （1） （2） 18. 已知是正整数，利用因式分解证明：能被整除． 19. 如图，一个长方形的长和宽分别为，，它的周长是，面积是．求的值． 20. 观察下面的因式分解过程： am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b） 利用这种方法解决下列问题： （1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm （2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状． 21. 若一个正整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“梦想数”．例如：因为5可以表示为的形式，所以5是“梦想数”． （1）若13是“梦想数”，则13可以表示为的形式； （2）请你再写两个小于30的“梦想数”（5和13除外）：________，________； （3）已知（x，y，k是正整数），要使M为“梦想数”，求k的值．（用因式分解的方法解答） 22. 阅读下面材料，完成相应任务： 配方法因式分解 一般地，我们将形如的多项式叫做完全平方式，有些多项式不是完全平方式，但可以通过“添项”的方式，使多项式中的部分项是完全平方式，并且要使变形前后两个多项式的值保持不变，此方法称为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．在因式分解、求代数式最值等问题中有着广泛的应用． 例如，我们可以用配方法将多项式因式分解： 任务一： （1）运用配方法将多项式因式分解； （2）用配方法说明多项式的值一定是一个正数． 任务二： “创新小组”的同学受“配方法因式分解”的启发，在将多项式因式分解时，将“”看成一个整体，令，则原多项式可化为，然后用配方法将多项式因式分解，再把代入分解的结果，便达到将原多项式因式分解的目的． （3）请你帮助“创新小组”写出将多项式因式分解的过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期第二次阶段性作业 八年级数学 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列等式从左到右是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题关键．把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解．根据因式分解的定义逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，结果不是整式乘积的性质，不属于因式分解，不符合题意，选项错误； B、，结果不是整式乘积的性质，不属于因式分解，不符合题意，选项错误； C、是因式分解，故该选项正确； D、，不是整式，不属于因式分解，不符合题意，选项错误； 故选：C． 2. 将用提公因式法分解因式，应提的公因式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义及确定公因式的方法是解题的关键：公因式的定义：多项式的各项都有一个公共的因式，我们把因式叫做这个多项式的公因式；需要注意：公因式必须是每一项中都含有的因式；公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；确定公因式的方法：定系数，即确定各项系数的最大公因数；定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案． 【详解】解：将用提公因式法分解因式，应提的公因式是， 故选：． 3. 已知可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征求解，需考虑和、差两种完全平方形式． 【详解】解：∵可以用完全平方公式进行因式分解， ∴， ∴． 4. 因式分解，则代数式等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平方差公式因式分解，正确运用平方差公式将多项式分解是解题的关键． 将用平方差公式分解得，由等式性质两边除以即可得出． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴ ． 故选：D． 5. 若a、b、c为三角形的三条边长，且，则m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】对等式左边用平方差公式因式分解，结合三角形三边关系判断m的符号． 【详解】解： ， ∵为三角形的三条边长， ∴， ， ∴， ， ∴， 即． 6. 下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、多项式无法化为两数差的平方形式，不能用完全平方公式分解． B、为平方差形式，不能用完全平方公式分解． C、，能用完全平方公式分解． D、多项式无法化为两数和或差的平方形式，不能用完全平方公式分解． 7. 对于实数，，定义新运算“”，规定：．将多项式因式分解的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了新运算法则，因式分解，理解题意是解决本题的关键． 根据新运算定义，先计算得到多项式，然后进行因式分解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：D． 8. 已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若，，则△ABC的周长是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先把因式分解可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴△ABC的周长是6． 故选：B 【点睛】本题考查因式分解的应用，将已知等式移项后因式分解是求解本题的关键． 9. 数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（ ） A. 甲： B. 乙： C. 丙： D. 丁： 【答案】D 【解析】 【分析】甲：利用完全平方公式进行因式分解即可；乙：利用平方差公式进行因式分解即可；丙：利用提取公因式法进行因式分解即可；丁：不能进行因式分解． 【详解】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 10. 在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆．如将因式分解的结果为，取个人年龄作为x的值，当时，，，由此可以得到数字密码1016．小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄15设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ） A. 151416 B. 151515 C. 141514 D. 131415 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，涉及提公因式法和平方差公式，理解新定义，正确因式分解，是解答的关键．对多项式先进行因式分解，再代值求出每个因式的值，然后对因式的值排列组合即可得出答案． 【详解】解：， 当时，， 故密码为或， 故选：A． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 11. 与的公因式是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据公因式的定义，分别求出系数的最大公约数和相同字母的最低次幂，相乘即可得到公因式． 【详解】与的公因式为． 12. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，利用提取公因式法和公式法相结合因式分解即可．熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键，注意分解一定要彻底． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若正方形的面积是，则该正方形的边长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了运用公式法进行因式分解，熟练掌握完全平方式的特点是解决问题的关键． 正方形的面积是边长的平方，给定表达式是一个完全平方式，运用公式法把多项式分解，即可得出答案． 【详解】解：给定面积表达式为 ，可因式分解为 ， 根据正方形面积公式，边长等于面积的算术平方根，且，， 故该正方形的边长为， 故答案为：． 14. 如果把多项式因式分解得，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式乘多项式，正确的计算是解题的关键． 通过展开因式分解后的表达式，比较系数，求出和的值，然后计算它们的乘积． 【详解】解：展开 得 ， 与 比较系数，得 和 ， 解得 ，， 所以 ． 故答案为：． 15. 已知可因式分解成，其中常数均为整数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】将原式分解因式化简后对应系数求出，，的值，代入求解即可． 【详解】解： ， 根据题意得， ，，， ． 三、解答题（共7小题，计55分．解答应写出过程） 16. 把下列各式因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 利用因式分解计算： （1） （2） 【答案】（1） 1600 （2） 4000 【解析】 【分析】本题考查用公式法因式分解简便运算，掌握公式法因式分解是解题关键． （1）用完全平方公式先分解因式再计算即可； （2）用平方差公式先分解因式再计算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 已知是正整数，利用因式分解证明：能被整除． 【答案】证明： ， ∵是正整数， ∴能被整除，即能被整除． 【解析】 【分析】先利用平方差公式对原式进行因式分解，得到，由此证明分解后的式子含有因数，即可说明原式能被整除． 【详解】略 19. 如图，一个长方形的长和宽分别为，，它的周长是，面积是．求的值． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件可得、，再对因式分解后，整体代入求值即可． 【详解】解：∵长方形的周长为，面积为， ∴，， ∴， ∴ ． 20. 观察下面的因式分解过程： am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b） 利用这种方法解决下列问题： （1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm （2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状． 【答案】（1）（a+3b）（2﹣3m）； （2）△ABC是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）仿照样例，先分组，组内提公因式后组与组之间提取公因式，便可达到分解因式的目的； （2）用样例的方法，把已知等式左边分解因式，再根据几个因式积为0的性质得出一次方程求得a、b、c之间的关系，便可确定△ABC的形状． 【详解】解：（1）2a+6b﹣3am﹣9bm ＝（2a+6b）﹣（3am+9bm） ＝2（a+3b）﹣3m（a+3b） ＝（a+3b）（2﹣3m）； 或 2a+6b﹣3am﹣9bm ＝（2a﹣3am）+（6b﹣9bm） ＝a（2﹣3m）+3b（2﹣3m） ＝（2﹣3m）（a+3b）； （2）∵a2﹣ac﹣ab+bc＝0， ∴（a2﹣ac）﹣（ab﹣bc）＝0， ∴a（a﹣c）﹣b（a﹣c）＝0， ∴（a﹣c）（a﹣b）＝0， ∴a﹣c＝0或a﹣b＝0， ∴a＝c 或 a＝b， ∴△ABC是等腰三角形． 【点睛】本题考查因式分解的应用，等腰三角形的判定，解题的关键是正确解读样例，根据样例进行因式分解． 21. 若一个正整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“梦想数”．例如：因为5可以表示为的形式，所以5是“梦想数”． （1）若13是“梦想数”，则13可以表示为的形式； （2）请你再写两个小于30的“梦想数”（5和13除外）：________，________； （3）已知（x，y，k是正整数），要使M为“梦想数”，求k的值．（用因式分解的方法解答） 【答案】（1）2，3 （2）10，25．（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“梦想数”的概念解答； （2）根据“梦想数”的概念解答； （3）根据完全平方公式将代数式进行变形，可求k的值． 【小问1详解】 解：由题意得； 【小问2详解】 解：由，， 故是“梦想数”； 【小问3详解】 解： 要使M是“梦想数”， 则为完全平方式， ， 是正整数， ，此时，是“梦想数”． 22. 阅读下面材料，完成相应任务： 配方法因式分解 一般地，我们将形如的多项式叫做完全平方式，有些多项式不是完全平方式，但可以通过“添项”的方式，使多项式中的部分项是完全平方式，并且要使变形前后两个多项式的值保持不变，此方法称为配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．在因式分解、求代数式最值等问题中有着广泛的应用． 例如，我们可以用配方法将多项式因式分解： 任务一： （1）运用配方法将多项式因式分解； （2）用配方法说明多项式的值一定是一个正数． 任务二： “创新小组”的同学受“配方法因式分解”的启发，在将多项式因式分解时，将“”看成一个整体，令，则原多项式可化为，然后用配方法将多项式因式分解，再把代入分解的结果，便达到将原多项式因式分解的目的． （3）请你帮助“创新小组”写出将多项式因式分解的过程． 【答案】（1）； （2）解： ， ∵， ∴， 即原式的值一定是一个正数； （3）解：设， 原式 ． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，理解题意，掌握配方法的过程是解题的关键． （1）仿照题意，运用配方法进行因式分解即可； （2）运用配方法将多项式变形为，再根据非负数的性质即可说明； （3）设，则原多项式可化为，再利用配方法进行因式分解即可． 【详解】解：（1） ； （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $