精品解析：陕西省咸阳市永寿县常宁镇中学2024-2025学年八年级下学期第三次月考数学试题

2024~2025学年度第二学期课后综合作业（三） 八年级数学（北师大版） 考生注意：本试卷共6页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在多项式中，各项公因式是( ) A. B. C. D. 4. 如图，，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C D. 6. 如图，将沿射线方向平移得到，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．若，，则的长为（ ） A. 13 B. 8 C. 5 D. 3 7. 某次军事实战演习过程中，甲、乙两地相距m米，通讯员原计划t小时从甲地到达乙地，现需提前n小时，则平均每小时要多走（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，在四边形中，，连接， 过点D作分别交、于E、F， 若， 则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 3 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9 因式分解：______． 10. 若分式有意义，则x的取值范围是________． 11. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，交于点O，若，则的度数为________． 12. 若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为________． 13. 如图，中，，．点为边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转后得到，连接，则线段的长度的最小值为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解不等式组：． 15. 因式分解：． 16. 解方程：． 17. 如图，已知，请用尺规作图法，在外求作一点D，使点D到的三个顶点距离都相等．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在中，，，点E在上，，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 随着农业数字化转型加速推进，某乡村振兴示范县积极发展特色农产品电商产业．当地一家农产品电商店铺计划购进两种以本地特色花卉为原料的加工产品，已知购进一个A产品比购进一个B产品多5元，且用1600元购进B产品的数量与用1800元购进A产品的数量相等．购进一个A产品需要多少元？ 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，将先向右平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别为，，． （1）请画出平移后的； （2）点C关于原点O中心对称的点的坐标为______． 22. 如图，是某小区的一块空地，现要对该空地进行改造，在空地内的点O处安装喷泉，且点O到三边的距离相等，即．的三边，，的长分别为a，b，c． （1）这块空地的面积用含a，b，c，m的代数式表示为_______； （2）现测得米，米，米，米．利用因式分解求这块空地的面积． 23. 如图，A玉米试验田是半径为的圆去掉宽为的排水沟后剩下的部分，B玉米试验田是半径为的圆中间去掉半径为的圆形水井后剩下的部分，这两块试验田的玉米都收了． （1）这两块试验田平均每平方米的产量分别是多少？ （2）A试验田平均每平方米的产量是B试验田平均每平方米产量的多少倍？ 24. 如图，在中，，的平分线交于点，过作，垂足为，延长交于点． （1）求证：等腰三角形； （2）已知，，求的长． 25 某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳等多种文体活动，现有以下三种收费方式： 类型 收费方式 不办卡 每小时10元 会员卡 办卡需210元，每活动1小时收费4元 普通卡 进入文体中心要收取10元/日，可免费文体活动2小时，后续收费5元/小时 （注：不足一个小时的按一小时计算） 小明打算一个月（30天）每天都去文体中心活动． （1）设小明平均每天活动的时间为x小时（x为正整数，且），选择办会员卡一个月需要花费元，选择办普通卡一个月需要花费元，请分别写出，与x之间的关系式； （2）对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，小明选择哪种更划算？ 26. 有些代数问题，我们可以采用构造几何图形的方法研究，借助直观、形象的几何模型，加深认识和理解，从中感悟“数形结合”的思想方法，感悟代数和几何内在的一致性．如图1是由两个边长分别为m，n的小正方形和两个全等的小长方形拼成的大正方形，则根据大正方形的面积可以验证公式：． （1）图2是由四个全等的直角三角形（边长分别为a，b，c，且）和一个小正方形拼成的大正方形，利用图1验证公式的方法求出a、b、c满足的等量关系式； （2）如图2，在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积； （3）如图3，以（2）中的a，b，c为边长作三个正方形，并将以a，b为边长的两个小正方形放置于以c为边长的大正方形内，若阴影部分的面积为1，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第二学期课后综合作业（三） 八年级数学（北师大版） 考生注意：本试卷共6页，满分120分，时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的定义，根据分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．对选项进行判断即可． 【详解】解：A. 是整式，不是分式； B. 是整式，不是分式； C. 是分式； D. 是整式，不是分式； 故选：C． 2. 下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形指的是一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合的图形；中心对称图形是一个图形绕某个点旋转180度后与原来的图形能够互相重合的图形．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形与中心对称图形的概念可知： A、是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既是轴对称图形也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、是中心对称图形而不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 在多项式中，各项的公因式是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式公因式，根据多项式的公因式定义来进行求解． 【详解】解：在多项式中，各项的公因式是， 故选：A． 4. 如图，，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，掌握各知识点是解题的关键． 由平行线的性质得到，结合等边对等角，以及三角形的外角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5. 下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查因式分解的定义，根据将一个多项式写成几个整式的积的形式叫因式分解逐个判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 不是因式分解，不符合题意， 是整式乘法运算，不是因式分解，不符合题意， 是因式分解，符合题意， 不是因式分解，不符合题意， 故选：C． 6. 如图，将沿射线方向平移得到，点A，B，C的对应点分别为D，E，F．若，，则的长为（ ） A. 13 B. 8 C. 5 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据题意平移得出即可得到答案． 【详解】解：将沿射线方向平移得到，， ， 故选：D． 7. 某次军事实战演习过程中，甲、乙两地相距m米，通讯员原计划t小时从甲地到达乙地，现需提前n小时，则平均每小时要多走（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列代数式，异分母分式的减法，能根据题意分别表示原速度和现速度是解决此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故选：B． 8. 如图，在四边形中，，连接， 过点D作分别交、于E、F， 若， 则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】连接交于点O，证明为等边三角形，则设，则，由 ，则在中，，得到，最后对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接交于点O， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴设，则， 而， ∴， ∵， ∴ ∴在中，， ∴，解得：， ∴， 在中，， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，平行线的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理 ，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，在对余下的多项式继续分解. 【详解】． 故答案为 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后再利用平方差公式继续进行二次因式分解，分解因式一定要彻底. 10. 若分式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分式的分母不等于零是解题的关键． 根据分式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得：． 故答案为． 11. 如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接，交于点O，若，则的度数为________． 【答案】##52度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形锐角互余，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的定义，正确添加辅助线是解题的关键． 延长至点，使得，连接，先证明，再证明，，那么，再由直角进行锐角互余求解即可． 【详解】解：延长至点，使得，连接 ∵的垂直平分线是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ 故答案为：． 12. 若一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和一元一次不等式的关系；直接利用一次函数图象，结合时，则时对应x的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：根据函数图象可得与轴交于，且随的增大而增大， ∴关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 13. 如图，中，，．点为边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转后得到，连接，则线段的长度的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，正确掌握旋转的性质及全等三角形的判定是解题的关键． 将绕点逆时针旋转后得到，连接，过作于点，则，由旋转性质可知：，，，证明，所以，当时，最小，与重合，即时最小，再由所对直角边是斜边斜边的一半得出，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转后得到，连接，过作于点，则， 由旋转性质可知：，，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， 如图，当时，最小，与重合，即时最小， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴线段的长度的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先求出两个不等式解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴原不等式组的解集为． 15. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查应用完全平方公式进行因式分解，整体思想，能够熟练运用完全平方公式是解决本题的关键． 将看做一个整体，再用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键，最后的检验是解题的易错点． 先将分式方程化成整式方程求解，然后检验即可解答． 【详解】解：， ， ， ； 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． 17. 如图，已知，请用尺规作图法，在外求作一点D，使点D到的三个顶点距离都相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、垂直平分线的性质，熟练掌握尺规作垂直平分线的方法是解题的关键．利用尺规分别作、的垂直平分线交于点，连接，，，根据垂直平分线的性质可得，则点D即为所求． 【详解】解：如图，分别作、的垂直平分线交于点，连接，，， ∵、的垂直平分线交于点， ∴，， ∴， 即点D到的三个顶点距离都相等， ∴点D即为所求． 18. 如图，在中，，，点E在上，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．先判断为等腰直角三角形得到，然后根据“”证明，即可解决问题． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解，注意：代入的数值要使分式有意义． 先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ； 当时，原式 20. 随着农业数字化转型加速推进，某乡村振兴示范县积极发展特色农产品电商产业．当地一家农产品电商店铺计划购进两种以本地特色花卉为原料的加工产品，已知购进一个A产品比购进一个B产品多5元，且用1600元购进B产品的数量与用1800元购进A产品的数量相等．购进一个A产品需要多少元？ 【答案】购进一个A产品元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设购进一个B产品元，则购进一个A产品元，根据数量关系列分式方程求解即可． 详解】解：设购进一个B产品元，则购进一个A产品元，那么有 ， 解得，， 当时，， ∴是原分式方程的解， 则（元） 答：购进一个A产品元． 21. 如图，三个顶点的坐标分别为，，，将先向右平移6个单位长度，再向上平移4个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别为，，． （1）请画出平移后的； （2）点C关于原点O中心对称的点的坐标为______． 【答案】（1）作图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了利用平移变换作图，中心对称性质，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形是解题的关键． （1）依据平移规律，即可得出，，的坐标，依据的坐标，画出平移后的； （2）根据关于原点成中心对称的点，横纵坐标均为相反数即可求解． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 解：∵， ∴点C关于原点O中心对称的点的坐标为， 故答案为：． 22. 如图，是某小区的一块空地，现要对该空地进行改造，在空地内的点O处安装喷泉，且点O到三边的距离相等，即．的三边，，的长分别为a，b，c． （1）这块空地的面积用含a，b，c，m的代数式表示为_______； （2）现测得米，米，米，米．利用因式分解求这块空地的面积． 【答案】（1） （2）424平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、列代数式、角平分线的性质等知识点，用提公因式法把所得代数式进行因式分解成为解题的关键． （1）如图：连接，再根据以及三角形面积公式列出表达式即可； （2）用提公因式法把（1）中得到的代数式进行因式分解，再把所给数值代入计算即可． 【小问1详解】 解：如图：连接， ∵，的三边，，的长分别为a，b，c， ∴这块空地的面积为：． 【小问2详解】 解：， ∵米，米，米，米， ∴原式（平方米）． 答：这块空地的面积是424平方米． 23. 如图，A玉米试验田是半径为的圆去掉宽为的排水沟后剩下的部分，B玉米试验田是半径为的圆中间去掉半径为的圆形水井后剩下的部分，这两块试验田的玉米都收了． （1）这两块试验田平均每平方米的产量分别是多少？ （2）A试验田平均每平方米的产量是B试验田平均每平方米产量的多少倍？ 【答案】（1）A玉米试验田平均每平方米的产量是，B玉米试验田平均每平方米的产量是 （2）A试验田平均每平方米的产量是B试验田平均每平方米产量的倍 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，圆面积和分式的运算，读懂题意，列出式子，再进行分式的混合运算是关键． （1）利用圆环的面积计算方法求得试验田的面积，用总产量除以面积得出答案，再进一步把分母作差比较即可； （2）利用（1）的结果和式子，直接列式计算即可． 【小问1详解】 解：A玉米试验田平均每平方米的产量是： ， B玉米试验田平均每平方米的产量是： ， 答：A玉米试验田平均每平方米的产量是，B玉米试验田平均每平方米的产量是． 【小问2详解】 解： ． 答：A试验田平均每平方米的产量是B试验田平均每平方米产量的倍． 24. 如图，在中，，的平分线交于点，过作，垂足为，延长交于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是得到结论． 【小问1详解】 证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； 【小问2详解】 解：连接， ，平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键． 25. 某文体中心提供阅读、观影、球类、游泳等多种文体活动，现有以下三种收费方式： 类型 收费方式 不办卡 每小时10元 会员卡 办卡需210元，每活动1小时收费4元 普通卡 进入文体中心要收取10元/日，可免费文体活动2小时，后续收费5元/小时 （注：不足一个小时的按一小时计算） 小明打算一个月（30天）每天都去文体中心活动． （1）设小明平均每天活动的时间为x小时（x为正整数，且），选择办会员卡一个月需要花费元，选择办普通卡一个月需要花费元，请分别写出，与x之间的关系式； （2）对于会员卡和普通卡两种不同的收费方式，小明选择哪种更划算？ 【答案】（1）（x为正整数，且）；（x为正整数，且） （2）当小明平均每天活动的时间为少于7小时且大于等于2小时，选择普通卡更划算；当小明平均每天活动的时间为等于7小时，两种方案费用相同；当小明平均每天活动的时间为多于7小时，选择会员卡更划算 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据每一种方案的收费方式进行计算，即可解答； （2）分三种情况：当时；当时；当时；然后进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：（x为正整数，且）， （x为正整数，且）， 即（x为正整数，且）；（x为正整数，且）； 【小问2详解】 解：当时，，解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 所以，当小明平均每天活动的时间为少于7小时且大于等于2小时，选择普通卡更划算；当小明平均每天活动的时间为等于7小时，两种方案费用相同；当小明平均每天活动的时间为多于7小时，选择会员卡更划算． 26. 有些代数问题，我们可以采用构造几何图形的方法研究，借助直观、形象的几何模型，加深认识和理解，从中感悟“数形结合”的思想方法，感悟代数和几何内在的一致性．如图1是由两个边长分别为m，n的小正方形和两个全等的小长方形拼成的大正方形，则根据大正方形的面积可以验证公式：． （1）图2是由四个全等的直角三角形（边长分别为a，b，c，且）和一个小正方形拼成的大正方形，利用图1验证公式的方法求出a、b、c满足的等量关系式； （2）如图2，在（1）的条件下，若，，求阴影部分的面积； （3）如图3，以（2）中的a，b，c为边长作三个正方形，并将以a，b为边长的两个小正方形放置于以c为边长的大正方形内，若阴影部分的面积为1，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用： （1）大正方形的面积用两种方法表示出来，即可得出答案； （2）根据完全平方公式变形得出，再求出面积即可； （3）四边形的面积为，再求解即可． 【小问1详解】 解：大正方形的面积为：， 大正方形是由中间的小正方形和4个全等的三角形组成，面积为：， 所以； 【小问2详解】 解： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； 【小问3详解】 解： ∵， ∴四边形的面积为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$