27.3 实际问题与反比例函数 课时练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦反比例函数核心知识，通过基础巩固、综合应用、实际建模三层设计，实现从概念理解到问题解决的能力进阶，培养数学建模与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|反比例函数定义、图像上点的坐标特征|单选题1直接应用k=xy求点坐标，填空题11-14强化概念理解| |中档|与一次函数交点、几何图形综合|单选题4-5结合函数图像比较大小，填空题15-16融入矩形、坐标变换| |综合|实际问题建模与求解|解答题20-22以饮水机加热、消毒含药量等情境，构建函数模型解决实际问题|

27.3 实际问题与反比例函数 课时练习 一、单选题 1．点（－2，5）在反比例函数 （k≠0）的图象上，则下列各点在该函数图象上的是（　　） A．（5，－2） B．（ ，2） C．（－5，－2） D．（ ，2） 2．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（﹣3，0）和点B（0，2）都在坐标轴上，若反比例函数y＝ 的图象经过矩形AOBC的对称中心，则k的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．1.5 D．﹣1.5 3．若正比例函数 与反比例函数 图象的一个交点的横坐标为-1，则 的值为（　　）． A．1 B．-1 C．2 D．-2 4．在平面直角坐标系中，函数y=kx-1与 的图象相交，其中有一个交点为P（2，m），点A（x1，y1）在y=kx-1图象上．点B（x2，y2）在 图象上，下列说法正确的是（　　） A．当x1=x2< 2时，y1< y2 B．当x1=x2> 2时，y1< y2 C．当y1=y2< 1时，x1> x2 D．当y1=y2 > 1时，x1 > x2 5．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D（﹣2，3），AD＝5，若反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过点B，则k的值为（　　） A．4 B． C．10 D． 6．某气球内充满了一定质量 的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 （单位： ）是气体体积 （单位： ）的反比例函数： ，能够反映两个变量 和 函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中， 轴于点 ， ，双曲线 过点 ，交 于点 ，连接 ， .若 ， ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 8．《长沙晚报》对外发布长沙高铁两站设计方案，该方案以三湘四水，杜鹃花开 ，塑造出杜鹃花开的美丽姿态，该高铁站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为 土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度 （单位： 天）与完成运送任务所需的时间t（单位：天）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 9．已知某品牌显示器的使用寿命为定值．这种显示器可工作的天数y与平均每天工作的小时数x是反比例函数关系，图象如图所示．如果这种显示器至少要用2000天，那么显示器平均每天工作的小时数x应控制在（　　） A． B． C． D． 10．如图，平行于x轴的直线与函数y＝ （k1＞0，x＞0），y＝ （k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为6，则k1﹣k2的值为（　　） A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6 二、填空题 11．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 （单位： ）与电阻 （单位： ）成反比例函数关系，图像如图所示，则这个反比例函数解析式为　 　． 12．一次函数y=-x+1与反比例函数 (k＜0)中，x与y的部分对应值如下表： x -3 -2 -1 1 2 3 y=-x+1 4 3 2 0 -1 -2 1 2 -2 -1 - 则不等式 ＞0的解集为　 　. 13．已知反比例函数 的图像与一次函数 的图像的一个交点的横坐标是 .下列结论：① ；②当 时， ；③ 随 的增大而增大；④以双曲线 与直线 的两个交点和坐标原点为顶点的三角形的面积是 .其中不正确的是　 　 （填序号）. 14．在压力不变的情况下，压强是受力面积的反比例函数，当物体的压力F为100牛时，该物体的压强p与受力面积S的函数关系式是　 　. 15．如图，点A，D在反比例函数y＝ 的图象上，AB，CD都与y轴垂直，分别交y轴于点B，C．已知点A的坐标（1，m），BC＝ ，CD＝ ，则该反比例函数表达式是 　 　． 16．如图，正比例函数 与函数 的图象交于A，B两点， 轴， 轴，则 　 　. 三、解答题 17．如图所示的双曲线是函数 为常数， )图象的一支若该函数的图象与一次函数 的图象在第一象限的交点为 ，求点A的坐标及反比例函数的表达式. 18．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程.以下是我们研究函数y＝|2x﹣2|﹣4性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题： （1）请直接写出如表中m，n的值，并在图中补全该函数图象； x …… ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …… y＝|2x﹣2|﹣4 …… 4 m 0 ﹣2 ﹣4 ﹣2 0 n 4 …… （2）结合函数图象，直接写出该函数的一条性质； （3）已知函数y＝ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 的解集. 19．如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，E是BC上一点（不包括B，C两端点），连结AE和DE，作DF⊥AE于点F. （1）若AE＝AD，求证：△ADF≌△EAB； （2）在（1）条件下，求△DEF的面积； （3）设AE＝x，DF＝y，请求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围. 20．学校的学生专用智能饮水机在工作过程：先进水加满，再加热至100℃时自动停止加热，进入冷却期，水温降至25℃时自动加热，水温升至100℃又自动停止加热，进入冷却期，此为一个循环加热周期，在不重新加入水的情况下，一直如此循环工作。如图，表示从加热阶段的某一时刻开始计时，时间为x（分）与对应的水温为y（℃）函数图象关系，已知AB段为线段，BC段为双曲线一部分，点A为（0，28），点B为（9，100），点C为（a，25）。 （1）求出AB段加热过程的y与x的函数关系式和a的值。 （2）若水温y（℃）在45≤y≤100时为不适饮水温度，在0≤x≤a内，在不重新加入水的情况下，不适饮水温度的持续时间为多少分？ 21．某校对教室采取喷洒药物的方式进行消毒.在消毒过程中，先进行5min的药物喷洒，接着封闭教室10min，然后打开门窗进行通风.教室内每立方米空气中的含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数关系如图所示，在打开门窗通风前分别满足两个一次函数关系，在通风后满足反比例函数关系. （1）求药物喷洒后空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（min）之间的函数表达式； （2）如果室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于20分钟，才能有效消毒，通过计算说明此次消毒是否有效？ 22．某中学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温 （℃）和通电时间 （min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程.设某天水温和室温都为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题： （1）分别求出当 和 时， 和 之间的关系式； （2）求出图中 的值； （3）下表是该中学的作息时间，若同学们希望在上午第一节下课8：40时能喝到不超过40℃的开水，已知第一节下课前无人接水，请直接写出生活委员应该在什么时间或时间段接通饮水机电源.（不可以用上课时间接通饮水机电源） 时间 节次 上午 7：30 到校 8：00～8：40 第一节 8：50～9：30 第二节 …… …… 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：∵点（－2，5）在反比例函数 （k≠0）的图象上， ∴将点（－2，5）代入 得： ， ∴ ． A、将（5，－2）代入 ，等式成立，点在该函数图象上，符合题意； B、将（ ，2）代入 ，等式不成立，点不在该函数图象上，不符合题意； C、将（－5，－2）代入 ，等式不成立，点不在该函数图象上，不符合题意； D、将（ ，2）代入 ，等式不成立，点不在该函数图象上，不符合题意． 故答案为：A． 【分析】先根据点（2，5）在反比例函数的图象上求出k的值，再对各项进行逐一的判断即可。 2．【答案】D 【解析】【解答】解：∵点A（-3，0）和点B（0，2）都在坐标轴上， ∴矩形AOBC的中心点为（ ，1）， ∵反比例函数y＝ 的图象经过矩形AOBC的对称中心， ∴k= ， 故答案为：D. 【分析】利用点A，B都在坐标轴上，可求出矩形AOBC的中心点的坐标；再根据反比例函数y＝ 的图象经过矩形AOBC的对称中心，可求出k的值. 3．【答案】D 【解析】【解答】解：∵正比例函数y=-2x与反比例函数 图象的一个交点的横坐标为-1， ∴当x=-1时，y=-2x=-2×（-1）=2， ∴交点坐标是（-1，2）， ∵反比例函数 图象过交点， ∴k=-1×2=-2， 故答案为：D． 【分析】先求出交点坐标是（-1，2），再利用待定系数法求函数解析式即可。 4．【答案】D 【解析】【解答】解：将点P的坐标代入反比例函数表达式得：m= =1， 故点P的坐标为（2，1），如图：在图象上作出直线x=2和y=1， 当x1=x2＜2时，A、B在平行线y轴的直线上，且直线直线x=2的左侧， 当x＜2时，此时y1、y2的大小，不确定，故A不符合题意； 当x1=x2＜2时，A、B在平行线y轴的直线上，且在x=2的右侧， 从图象看，在x＞2时，y1＞y2，故B不符合题意； 当y1=y2＜1时，即点A、B在平行线x轴的直线上，且在直线y=1的下方， 此时x1、x2的大小，不确定，故C不符合题意； 当y1=y2＞1时，即点A、B在平行线x轴的直线上，且在直线y=1的上方， 此时x1＞x2，故D符合题意； 故答案为：D． 【分析】求出点P的坐标为（2，1），在图像上作出直线x=2和y=1，利用数形结合的方法，逐次求即可。 5．【答案】D 【解析】【解答】解： 设A（t，0）， ∵D（﹣2，3），AD＝5， ∴（t+2）2+32＝52，解得t＝2， ∴A（2，0）， 设C（0，m）， ∵D点向右平移2个单位，向上平移（m﹣3）个单位得到C点， ∴A点向右平移2个单位，向上平移（m﹣3）个单位得到B点， ∴B（4，m﹣3）， ∵AC＝BD， ∴22+m2＝（4+2）2+（m﹣3﹣3）2，解得m＝ ， ∴B（4， ）， 把B（4， ）代入y＝ 得k＝4× ＝ . 故答案为：D. 【分析】设A（t，0），利用两点间的距离公式得到（t+2）2+32=52，解方程得到A（2，0），设C（0，m），根据矩形的性质通过点的平移得到B（4，m-3），则利用AC=BD得到22+m2=（4+2）2+（m-3-3）2，解方程得B点坐标，然后把B点坐标代入y= 中可得到k的值. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：当m一定时， 与V之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数. 故答案为：B. 【分析】利用已知条件可知 与V之间成反比例函数，由此可得答案. 7．【答案】D 【解析】【解答】如图：过点A作AH垂直于x轴于点H， 设 ， 轴， 四边形OCBH为矩形， OH=BC，CO=BH AH=BH-AB=4a-3a=a， 点A坐标( )， ， 双曲线 与BC交于点D， 点D的坐标( )， ， ， S矩形COHB ， ， ， ， ， S矩形COHB ， ， 整理得： ， 解得： ， 故答案为：D. 【分析】如解：图：过点A作AH垂直于x轴于点H，可得四边形OCBH为矩形，根据 ，设 ，根据矩形的性质可求 ，则可得点A坐标( )，点D的坐标( )， ， ， ，可求出矩形OCBH的面积等于 ， ， ， ， ，则有 ，即可解出 的值. 8．【答案】A 【解析】【解答】解（1）∵vt=106， ∴v= ， 故答案为：A． 【分析】由总量=vt，求出v即可． 9．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可设 ， ∵图象过点 ， ∴ ． ∴ ． ∴当 时， ． 观察图象可得： ∴当 时， ． 故答案为：A． 【分析】先求出，再求出反比例函数的解析式，最后根据图象进行求解即可。 10．【答案】A 【解析】【解答】解：设：A、B点的坐标分别是A（ ，m）、B（ ，m）， 则：△ABC的面积＝ •AB•yA＝ •（ ﹣ ）•m＝6， 则k1﹣k2＝12． 故答案为：A． 【分析】△ABC的面积＝ •AB•yA，先设A、B两点坐标（其y坐标相同），然后计算相应线段长度，用面积公式即可求解． 11．【答案】 【解析】【解答】设 ， 把(8，6)代入得： ， 解得， ， ∴这个反比例函数的解析式为： ， 故答案为： ． 【分析】先求出 ，再求出 ，最后求解即可。 12．【答案】-1＜x＜0或x＞2 【解析】【解答】解：由表中的对应值可得一次函数y＝-x+1与反比例函数 (k＜0)图象的交点坐标为(-1，2)和(2，-1) 所以当-1＜x＜0或x＞2时， 即不等式 ＞0的解集为-1＜x＜0或x＞2 故答案为-1＜x＜0或x＞2 【分析】由表中的对应值先确定图象的交点坐标，然后利用函数图象，写出反比例函数图象在一次函数图象上方所对应自变量的范围即可. 13．【答案】③ 【解析】【解答】解：把 代入 中，得 ， 交点为 ， 把 代入比例函数 中，得 ，故结论①正确； 把 代入 ，解得 ，如图： 由图象可知，当 时， ，故结论②正确； 在每个象限内， 随 的增大而减小，故结论③错误； 联立方程组 ， 解得， 或 ， 交点坐标为： 和 ， 直线 与 轴的交点 ， 双曲线 与直线 的两个交点和坐标原点为顶点的三角形的面积为： ， 故结论④正确； 故答案为③. 【分析】把交点的横坐标代入一次函数中求出交点坐标，再代入反比例函数中求得 ，即可判断②；作出函数图象，通过图象观察，即可判断②③；联立两个函数解析式的方程组，解方程组求得交点坐标，并求得直线与 轴的交点，利用三角形面积公式求得构成三角形的面积是 ，即可判断④. 14．【答案】 【解析】【解答】根据题意得： ， ∴当物体的压力F为100牛时，该物体的压强p与受力面积S的函数关系式是： ， 故答案是： . 【分析】根据题意得： ，然后将F=100代入可得P与S的关系式. 15．【答案】 【解析】【解答】解：设点D（） ∵点A，D在反比例函数图象上， ∴ ∵BC＝ ， ∴ 解之： ∴. ∴反比例函数解析式为： 故答案为：. 【分析】利用CD的长设点D（），根据反比例函数图象上点的坐标特点，可得到，再根据BC的长，可得到，解方程出求出n的值，可得到点D的坐标；然后将点D的坐标代入函数解析式求出k的值，即可得到函数解析式. 16．【答案】12 【解析】【解答】解：设A（t， ）， ∵正比例函数 与函数 的图象交于A，B两点， ∴B（-t，- ）， ∵ 轴， 轴， ∴C（t，- ）， ∴ ； 故答案为：12. 【分析】利用函数解析式设A（t， ），再根据两函数图象交于点A，B，利用反比例函数的对称性，可表示出点B的坐标，从而可得到点C的坐标；然后利用三角形的面积公式，可求出△ABC的面积. 17．【答案】解： 点 在一次函数 的图象上， 点A的坐标为 . 又 点A在反比例函数 为常数， )的图象上， 反比例函数的表达式为 . 【解析】【分析】先将x=2代入一次函数 中可得，点A的坐标为 ，再将点A的坐标代入 可得反比例函数的解析式. 18．【答案】（1）解：将 代入 =2， 将x=4代入 =2， 故 ； 图象如下： （2）解：根据函数图象得出： ①该函数图象关于直线 对称或该图象是轴对称图形； ②当 时，y随x的增大而增大，当 时，y随x的增大而减小； ③函数有最小值，当x=1时，取得最小值 ； （3）解：由图可知，两函数有一个交点 ， 当 ，即 的图象在函数 图象的上方，得： 或 . 【解析】【分析】(1)把x = -2、x =4分别代入解析式求出对应的函数值即可解答； (2)根据（1）的数据描点、连线画出函数图象，观察图象根据对称性或增减趋势或最值写出这个函数的一条性质即可； (3)找出y＝ 的图象在下面的部分x的范围即可. 19．【答案】（1）证明： 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ； （2）解： ， ， 在 中，由勾股定理得： ， ， ， ； （3）解： 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， 则 ， 即 ， 是 上一点（不包括 ， 两端点）， ， ， 自变量 的取值范围： . 【解析】【分析】（1）利用矩形的性质可证得∠B=90°，AD∥BC，利用平行线的性质可证得∠DAF=∠AEB，利用AAS可证得结论. （2）利用全等三角形的性质可求出DF的长，利用勾股定理求出AF的长，由此可求出EF的长；然后利用三角形的面积公式求出△DEF的面积. （3）利用矩形的性质及三角形的面积公式可证得AE·DF=AD·CD，由此可得到y与x之间的函数解析式；再根据点E是BC上一点，不包括B，C两点，可求出x的取值范围. 20．【答案】（1）解：设线段AB解析式为y=kx+b，代入（0，28）（9，100）得b=28，k=8， y=8x+28， a= =36 （2）解：反比例函数解析式为y= ，当y=45时，代入线段AB和反比例图像 45=8x+28，x= ， =20，所以不适宜饮水的持续时间为20- = 分 【解析】【分析】（1）观察图象可知A（0，28），B（9，100），设函数解析式y=kx+b，将点A，B坐标分别代入，可求出AB的函数解析式；利用点B的坐标求出反比例函数解析式，再将点C的坐标代入，可求出a的值. （2）将y=45代入反比例函数解析式和一次函数解析式，求出对应的x的值，然后然后求差，即可作出判断。 21．【答案】（1）解：①当 时， 设 ，将 代入， 则 ，解得： ， ∴ ； ②当 时， 设 ，将 ， 代入， 则 ，解得： ， ∴ ； ③当 时， 设 ，将 代入， 则 ， ∴ . 故答案为：当 ， ；当 时， ；当 时， ； （2）解：此次消毒有效.理由如下： 当 时， ，解得 ， 当 时， ，解得 ， ∵ ， ∴此次消毒有效. 【解析】【分析】（1）·①当0≤x<5时，设y=kx，将（5，10）代入可得k的值，进而得到函数解析式；②当5≤x<15时，设y=kx+b，将（5，10）、（15，8）代入求解可得k、b的值，据此可得函数解析式；③当x≥15时，设y=，将（15，8）代入可得k的值，据此可得函数解析式； （2）分别令2x=5、=5，求出x的值，进而求出差值，据此判断. 22．【答案】（1）解：当 时，设 ， 将 ， 代入 ， 得 ， ， 所以当 时， ； 当 时，设 ， 将 代入，得 ， 所以当 时， ； 故当 时， ；当 时， （2）解：将 代入 ， 解得 （3）解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ . 所以生活委员应该在这天早上7：30～7：40时间段，或7：58～8：00将饮水机电源打开. 【解析】【分析】（1）当0≤x≤8时，设y=k1x+b，将（0，20）、（8，100）代入可得k1、b的值；当8<x≤a时，设y=，将（8，100）代入可得k2的值； （2）将y=20代入反比例函数解析式中可得a的值； （3）分别令一次函数、反比例函数解析式中的y≤40，求出x的范围即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $