27.3 实际问题与反比例函数 课时练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦反比例函数实际应用，分层设计从基础概念到综合建模，通过生活情境与跨学科问题培养模型意识与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|反比例函数概念、简单实际问题列式与图像识别|以工程、行程等生活情境题为主（如1-3题），巩固“速度-时间”等基本关系| |提升层|反比例函数性质应用、简单计算|结合表格数据求解析式（如19题），培养运算能力与推理意识| |综合层|分段函数、跨学科应用（物理、医学）|设计电路（20题）、药物释放（19题）等复杂情境，发展数学建模与创新意识|

…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 27.3 实际问题与反比例函数 一、单选题 1.益阳始建高铁站，该站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为 土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度 （单位： /天）与完成运送任务所需的时间 （单位：天）之间的函数关系式是（   ） A.                              B.                            C.                            D.  2.小明乘车从甲地到乙地，行车的速度v（km/h）和行车时间t（h）之间的函数图象是（   ） A.                                            B.  C.                                            D.  3.公元前 世纪，古希腊数学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力 阻力臂 动力 动力臂”.若现在已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为 和 ，则动力 (单位: )关于动力臂 (单位: )的函数图象大致是（  ） A.        B.        C.        D.  4.某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18°C的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y(°C)随时间x(小时)变化的函数图象，其中BC段是双曲线y= (k≠0)的一部分，则当x=16时，大棚内的温度为(    ) A. 18℃                                  B. 15.5℃                                  C. 13.5℃                                  D. 12℃ 5.已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流O（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示.下列说法正确的是（   ） A. 函数解析式为I＝                                            B. 蓄电池的电压是18V C. 当I≤10A时，R≥3.6Ω                                          D. 当R＝6Ω时，I＝4A 6.蓄电池的电压为定值.使用此电源时，用电器的电流 （ ）与电阻 （ ）之间的函数关系如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过 ，那么用电器的可变电阻应控制在（   ）范围内. A.                               B.                               C.                               D.  7.近似眼镜的度数 （度）与镜片焦距 （米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近似眼镜，则镜片焦距 的取值范围是（    ） A. 0米 米               B.  米               C. 0米 米               D.  米 8.如果以 的速度向水箱注水，5h可以注满.为了赶时间，现增加进水管，使进水速度达到 ，那么此时注满水箱所需要的时间 与 之间的函数关系式为（   ） A.                           B.                           C.                           D.  9.已知甲，乙两地相距 （单位： ），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间 （单位： ）关于行驶速度 （单位： ）的函数图象是（   ） A. B. C. D.  10.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（ ）的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120kPa时，气球将会爆炸，为了安全起见，气球的体积应（    ） A. 不大于                       B. 大于                       C. 不小于                       D. 小于 二、填空题 11.如果用s表示路程（单位：千米），t表示时间（单位：小时），v表示速度（单位：千米/时），那么t＝________时（用s和v表示）. 12.某中学要在校园内划出一块面积为100 m2的矩形土地做花圃,设这个矩形的相邻两边长分别为xm和ym,那么y关于x的函数解析式为________. 13.某物体对地面的压强P（Pa）与物体和地面的接触面积S（m2）成反比例函数关系（如图）。当该物体与地面的接触面积为0.25m²时，该物体对地面的压强是________ Pa。 14.一定质量的二氧化碳，其体积V（m3）是密度ρ（kg/m3）的反比例函数，请你根据图中的已知条件，写出反比例函数的关系式，当V=1.9m3时，ρ=________． 15.小刚欲用撬棍撬动一块大石头,已知阻力和阻力臂不变,分别为900牛顿和0.5米,则当动力臂为1.5米时,撬动石头需要的力大于________牛顿.(提示根据杠杆原理:阻力x阻力臂=动力x动力臂) 16.某产品的进价为50元，该产品的日销量 （件）是日销价 （元）的反比例函数，且当售价为每件100元时，每日可售出40件，为获得日利润为1500元，售价应定为________. 三、解答题 17.小明要把一篇社会调查报告录入电脑，当他以100字/分钟的速度录入文字时，经过240分钟能完成录入。设他录入文字的速度为v字/分钟时，完成录入的时间为t分钟。求t与v之间的函数关系式(不必写出自变量的取值范围)。 18.某市为促进经济发展，增强对外贸易的竞争力，把距离港口360千米的普通公路升级成了同等长度的高速公路，结果汽车行驶的平均速度比原来提高了50%，行驶时间缩短了2小时，求汽车原来的平均速度. 19.某药研所研发了一种治疗某种疾病的新药，经测试发现：新药在人体的释放过程中，10分钟内（含10分钟），血液中含药量y（微克）与时间x（分钟）的关系满足 ；10分钟后，y与x的关系满足反比例函数 ．部分实验数据如表： 时间x（分钟） … 10 15 … 含药量y（微克） … 30 20 … （1）分别求当 和 时，y与x之间满足的函数关系式． （2）据测定，当人体中每毫升血液中的含药量不低于3微克时，治疗才有效，那么该药的有效时间是多少？ 20.电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便.某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1 ， R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0 ， 该读数可以换算为人的质量m， 温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝ ； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压. （1）求k，b的值； （2）求R1关于U0的函数解析式； （3）用含U0的代数式表示m； （4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量. 21.通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散.学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当 和 时，图象是线段；当 时，图象是反比例函数的一部分. （1）求点A对应的指标值； （2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由. 22.正比例函数y＝kx与反比例函数y＝ 的图象相交于A ， B两点，已知点A的横坐标为1，点B的纵坐标为﹣3． （1）直接写出A ， B两点的坐标； （2）求这两个函数的表达式． 答案解析部分 一、单选题 1. A 考点：根据实际问题列反比例函数关系式 解：平均运送土石方的速度 （单位： /天）与完成运送任务所需的时间 ， ∴ ， ∴ . 故答案为：A. 分析：根据工作效率×工作时间=工作总量可直接得出结论. 2. B 考点：反比例函数的图象，反比例函数的实际应用 解：∵v= （t＞0）， ∴v是t的反比例函数， 故答案为：B. 分析：根据时间t、速度v和路程s之间的关系，在路程不变的条件下，得v= ，则v是t的反比例函数，且t＞0. 3. A 考点：反比例函数的实际应用 解：∵由杠杆定理可知： ，即： ， ∴ 是 的反比例函数. 故答案为：A. 分析：由杠杆定理，可知：动力 (单位: )关于动力臂 (单位: )的乘积是一个定值，即： 是 的反比例函数，即可得到答案. 4. C 考点：反比例函数的实际应用 解：∵点（12，18）在双曲线y= 上， ∴k=12×18=216 ∴ 当x=16时y=13.5. 故答案为：C. 分析：观察图象可知点（12，18）在双曲线y= 上，将其代入函数解析式求出k的值，可得到函数解析式；再将x=16代入函数解析式，求出对应的y的值. 5. C 考点：反比例函数的实际应用 解：设 ，将 代入可得 ，故A错误； ∴蓄电池的电压是36V，故B错误； 当 时， ，该项正确； 当当 时， ，故D错误， 故答案为：C. 分析：由已知条件：电流O（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，由点（4，9），可求出此反比例函数解析式，可对A，B作出判断；再求出当I≤10A，可求出R的取值范围，可对C作出判断；然后将R=6Ω代入函数解析式，可求出I的值，可对D作出判断. 6. A 考点：反比例函数的实际应用 解：由物理知识可知：I= ， 由图象可知点（9，4）在反比例函数的图象上， 当I≤9时，由R≥4， 故答案为：A. 分析：由函数图像即可判断求解. 7. B 考点：反比例函数的实际应用 解：设反比例函数的解析式为 ， 由题意，将点 代入得： ，解得 ， 则反比例函数的解析式为 ， 当 时， ， 在 范围内，y随x的增大而减小， 当 时， ， 即若要配制一副度数小于400度的近似眼镜，则镜片焦距 x 的取值范围是 米， 故答案为：B． 分析：先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再利用反比例函数的性质即可得． 8. A 考点：反比例函数的实际应用 解： ， ， 故答案为：A. 分析：根据工作总量=工作效率×工作时间得到 ，从而即可得出答案. 9. B 考点：反比例函数的实际应用 解：根据题意有：v•t=s， ∴t＝ （v＞0）， 故t与v之间是反比例函数，且根据实际意义v＞0、t＞0， 所以，图象在第一象限. 故答案为：B. 分析：根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型以及自变量的取值范围即可进行判断. 10. C 考点：反比例函数的实际应用 解：因为气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（ ）的反比例函数，所以可设 ，由题图可知，当 时， ，所以 ，所以 .为了安全起见，气球内的气压应不大于120kPa，即 ，所以 . 故答案为：C. 分析：由题意设设 ，把（1.6，60）代入得到k=96，推出 ，当P=120时， ，由此即可判断． 二、填空题 11. 考点：根据实际问题列反比例函数关系式 解：∵时间＝路程÷速度，s表示路程（单位：千米），t表示时间（单位：小时），v表示速度， ∴ . 故答案为： . 分析：根据等量关系“时间=路程÷速度”，把相关字母代入即可求解. 12. y＝ (x＞0) 考点：根据实际问题列反比例函数关系式 解：由题意，得y关于x的函数解析式是y＝ (x＞0). 故答案为y＝ (x＞0). 分析：根据等量关系“矩形一边长=面积÷另一边长”即可列出关系式. 13. 4000 考点：反比例函数的实际应用 解：设反比例函数的解析式为 ， 把（0.5，2000）代入上式，得 解得v=1000 ∴反比例函数的解析式为 当S=0.25时，. 分析：先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后求出当S=0.25时的函数值即为所求。 14. 考点：反比例函数的实际应用 解：设函数关系式为：V= ，由图象可得：V=5，ρ=1.9，代入得： k=5×1.9=9.5， 故V= ， 当V=1.9时，ρ=5kg/m3 ． 故答案为5kg/m3 ． 分析：由图象可得k=9.5，进而得出V=1.9m3时，ρ的值． 15. 300 考点：反比例函数的实际应用 解：设需要的力大小为x, 由题意得：900×0.5=x×1.5， 解得：x=300. 故答案为：300. 分析：根据条件： 杠杆原理:阻力x阻力臂=动力x动力臂, 代入数值即可求出当动力臂为1.5米时,撬动石头需要的力. 16. 80元 考点：反比例函数的实际应用 解：设y与x的函数解析式为y＝ （k≠0）. 由题意得 40＝ ， 解得k＝4000， 所以y＝ . 设为获得日利润1500元，售价应定为x元， 根据题意得y（x−50）＝1500， 即 （x−50）＝1500， 解得x＝80. 经检验：x＝80是原分式方程的解. 答：为获得日利润1500元，售价应定为80元. 故答案为：80元. 分析：由y与x成反比例函数关系，可设出函数式为y＝ （k≠0），然后根据当售价为每件100元时，每日可售出40件求出k的值，再设为获得日利润1500元，售价应定为x元，根据每天可售出y件，每件的利润是（x−50）元，总利润为1500元，根据利润＝售价−进价可列方程求解. 三、解答题 17. 解：由题意，得vt=240×100， 故t= 考点：反比例函数的实际应用 分析：根据题意，计算得到社会调查的总字数，根据t与v之间的关系列出关系式即可。 18. 解：设原来的速度为xkm/h． ，解得x=60，经检验，x=60是此分式方程的解 考点：根据实际问题列反比例函数关系式 分析：找出题目中的等量关系式：原来行驶时间—现在行驶时间=2小时，然后解出方程即可 19. （1）解：当 时，将 代入 ， 解得 ，即 ； 当 时，将 代入 中， 解得 ，即 ． （2）解：当 时， ， 解得 ； 当 时， ，解得 ， ∴有效时间为 （分钟）． 考点：待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的实际应用 分析：（1）先求出 ，再利用待定系数法进行计算求解即可； （2）先求出 ，再计算求解即可。 20. （1）解：把（0，240），（120，0）代入R1＝km＋b，得 ，解得： ； （2）解：∵ ， ∴ ； （3）解：由（1）可知： ， ∴R1＝ m＋240， 又∵ ， ∴ = m＋240，即： ； （4）解：∵电压表量程为0~6伏， ∴当 时， 答：该电子体重秤可称的最大质量为460千克. 考点：一次函数的实际应用，反比例函数的实际应用 分析：（1） 将点（0，240），（120，0）代入R1＝km＋b，建立关于b，k的方程组，解方程组求出k，b的值. （2）利用已知条件可得到R1关于U0的函数解析式. （3）利用（1）可得到R1与m的函数解析式，与（2）中函数解析式联立方程组，然后求出m与U0.的函数解析式 （4）根据电压表量程为0~6伏，将U0=6代入（3）中的函数解析式，可求出m的值. 21. （1）解：令反比例函数为 ，由图可知点 在 的图象上， ∴ ， ∴ .将x=45代入 将x=45代入得： 点A对应的指标值为 . （2）解：设直线 的解析式为 ，将 、 代入 中， 得 ，解得 . ∴直线 的解析式为 . 由题得 ，解得 . ∵ ， ∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36. 考点：反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的实际应用 分析：（1）将点（20，45）代入反比例函数解析式，可求出k的值，将x=45代入函数解析式可求出点A对应的指标值. （2）利用点A，B的坐标求出直线AB的函数解析式，利用已知条件建立关于x的不等式组，求出不等式组的解集，即可作出判断.  22. （1）解：∵正比例函数 与反比例函数 的图象相交于A、B两点， ∴点A、B关于原点对称， 又∵点A的横坐标为1，点B的纵坐标为-3， ∴点A的纵坐标是3，点B的横坐标是-1． ∴A（1，3），B（-1，-3）； （2）解：把A（1，3）的值代入函数 与 可得， ， 两函数解析式分别为 ， ． 考点：待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象的对称性，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题 分析：（1）根据正比例函数图象与反比例函数梯形的中心对称性，可得点A、B关于原点对称，从而求出A、B的坐标； （2）将A坐标分别代入  与  ， 求出相对应的k值即可.   1 学科网（北京）股份有限公司 $