25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过“已知两根和与积求方程”的问题导入，衔接因式分解法与一般形式方程的推导，构建从特殊到一般的知识支架，帮助学生理解韦达定理的核心内容。 其亮点在于以推理意识为核心，通过代数证明推导定理，结合分层练习题（如不解方程求代数式值）培养运算能力与模型意识。课堂小结系统梳理知识，学生能提升数学思维，教师可借助完整资源高效教学。

人教版数学九年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月14日 第25章 一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 练习题 知识点回顾：对于一元二次方程 $$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$，当 $$\Delta=b^2-4ac\geq0$$ 时，方程存在两个实数根 $$x_1、x_2$$，根与系数的关系（韦达定理）：$$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$$，$$x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a}$$。特殊形式：当方程为 $$x^2+px+q=0$$ 时，$$x_1+x_2=-p$$，$$x_1\cdot x_2=q$$。常考应用：不解方程求两根和、两根积、代数式的值，已知一根求另一根、求方程参数取值。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知方程 $$x^2-5x+6=0$$ 的两根为 $$x_1、x_2$$，则 $$x_1+x_2$$ 的值为（） A. 5 B. -5 C. 6 D. -6 2. 一元二次方程 $$2x^2+3x-2=0$$ 的两根之积为（） A. 1 B. -1 C. $$\dfrac{3}{2}$$ D. $$-\dfrac{3}{2}$$ 3. 已知方程 $$x^2+kx-3=0$$ 的一个根是 1，则另一个根是（） A. 3 B. -3 C. 1 D. -1 4. 若方程 $$2x^2-4x+m=0$$ 的两根之和为 2，则$$m$$ 的取值为（） A. 2 B. -2 C. 任意实数 D. 无法确定 5. 已知 $$x_1、x_2$$ 是方程 $$x^2-2x-1=0$$ 的两根，则$$\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}$$ 的值为（） A. 2 B. -2 C. $$\dfrac{1}{2}$$ D. $$-\dfrac{1}{2}$$ 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 方程 $$x^2+4x-5=0$$ 的两根之和为__________，两根之积为__________。 2. 已知 $$x_1、x_2$$ 是方程 $$3x^2-6x+1=0$$ 的两根，则$$x_1+x_2=$$__________，$$x_1x_2=$$__________。 3. 已知方程 $$x^2+ax+2=0$$ 的两根之和为 -3，则 $$a=$$__________。 4. 若方程 $$x^2-(m-1)x+3=0$$ 两根之积为 3，则 $$m=$$__________。 5. 已知方程一根为 2，两根之和为 5，则另一根为__________。 三、解答题（共60分） 1.（24分）不解方程，直接利用根与系数的关系，求下列方程两根的和与积。 （1）$$x^2-8x+3=0$$ （2）$$2x^2+5x-1=0$$（3）$$3x^2-4x=0$$ （4）$$x^2-9=0$$ 2.（18分）已知 $$x_1、x_2$$ 是方程 $$x^2-4x+2=0$$ 的两根，不解方程求下列代数式的值。 （1）$$x_1^2+x_2^2$$ （2）$$(x_1-x_2)^2$$ （3）$$x_1^2+x_2^2-x_1x_2$$ 3.（18分）综合应用题。 （1）已知关于 $$x$$ 的方程 $$x^2+mx+8=0$$ 的一个根是 2，求 $$m$$ 的值和方程的另一个根； （2）已知方程 $$2x^2-6x+k=0$$ 的两根互为倒数，求 $$k$$ 的值。 参考答案 一、选择题：1.A 2.B 3.B 4.C 5.A 二、填空题：1.-4、-5 2.2、$$\dfrac{1}{3}$$ 3.3 4.1 5.3 三、解答题：1.（1）和：8，积：3；（2）和：$$-\dfrac{5}{2}$$，积：$$-\dfrac{1}{2}$$；（3）和：$$\dfrac{4}{3}$$，积：0；（4）和：0，积：-9。2.由题意得 $$x_1+x_2=4，x_1x_2=2$$，（1）原式$$=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=16-4=12$$；（2）原式$$=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=16-8=8$$；（3）原式$$=12-2=10$$。3.（1）设另一根为$$x_2$$，$$2x_2=8$$，得$$x_2=4$$，$$2+4=-m$$，$$m=-6$$；（2）两根互为倒数则$$x_1x_2=1$$，即$$\dfrac{k}{2}=1$$，解得$$k=2$$。 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 新课导入 导入课题 如果一个方程的两根之和为1，两根之积为-2，你能说出这个方程吗？ 今天我们进一步学习一元二次方程根与系数的关系. 推进新课 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 思考：从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2) =0 (x1, x2为已知数) 的两根为x1和x2, 将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？ 把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0. 这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项q=x1x2. 于是x1+x2=-p, x1x2=q. 思考：一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两根的和、积与系数又有怎样的关系呢？ 已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-4ac≥0时，两根分 别为x1= ，x2= 。 x1+x2= ， x1x2= . 因此，方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系： 例 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列 方程两根x1，x2的和与积. (1) x2-6x-15=0 (2) 3x2+7x-9=0 (3) 5x-1=4x2 解：(1)x1+x2=-(-6)=6, x1x2=-15 不解方程，求下列方程两根的和与积. x2-3x=15； 5x2-1=4x2+x 解：x1+x2=3 x1x2=-15 解：化简得 x2-x-1=0 x1+x2=1 x1x2=-1 设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别 为x1，x2，则有 Δ≥0且 x1x2＞0 Δ≥0且 x1x2＜0 x1+x2＞0 x1+x2＜0 x1+x2＞0 x1+x2＜0 两根同为正数 两根同为负数 两根异号且正根的绝对值大 两根异号且负根的绝对值大 随堂演练 基础巩固 关于x的方程x2+px+q=0的根为x1=1+ ，x2=1- ，则p= ，q= . 已知方程5x2+kx－6=0的一根是2，则另一根是 ， k＝ . -2 -1 -7 3. 求下列方程的两根x1，x2的和与积： （1）x2－3x+2=0； （2）x2+x=5x+6 解：x1+x2=3 x1x2=2 解：化简得 x2-4x-6=0 x1+x2=4 x1x2=-6 知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 1. 若，是方程 的两个根， 则( ) A A. B. C. D. 2.若,是一元二次方程 的两个实数根，则 ____. 中考考法 13 3. 请写出一个满足下列条件的一元二次方程： 二次项系数不为1，且两根之和为负，两根之积为负.你所写 的一元二次方程是_______________________________. （答案不唯一） 中考考法 14 知识点2 一元二次方程的根与系数的关系的应用 4. 已知,是关于 的一元二次方程 的两个实数根，其中，则 ____. 思路支架 中考考法 15 5.[2025泸州] 若一元二次方程的两根为 , ，则 的值为____. 10 【点拨】 一元二次方程的两根为 , ， ， . 中考考法 16 6. [2025河北] 若一元二次方程 的两根之和 与两根之积分别为，，则点 在平面直角坐标系中位 于( ) C A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 中考考法 17 课堂小结 若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则 若方程x2+px+q=0有两个实根x1，x2，则 x1+x2=-p, x1x2=q. 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题。 $