25.2.2 降次——解一元二次方程（公式法）课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“25.2.2 公式法”解一元二次方程，核心内容包括根的判别式（Δ=b²-4ac）及求根公式推导与应用。课堂导入通过复习配方法步骤及小练笔，再推导一般形式方程，构建从配方法到公式法的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于以素养目标为导向，通过推导求根公式培养推理能力（数学思维），结合典例分析不同判别式情况（Δ>0、=0、<0）和实际问题（直角三角形面积）发展模型意识（数学语言），含知识思维导图辅助梳理。帮助学生提升逻辑推理与应用能力，教师可高效开展分层教学。

25.2 降次——解一元二次方程 25.2.2 公式法 知识思维导图 1.知道一元二次方程根的判别式和求根公式的推导过程. 2.理解根的判别式 =b2-4ac的含义，能独立判断一元二次方程实数根的三种情况：两个不等实根、两个相等实根、无实数根。 3.通过对一元二次方程一般式配方推导求根公式，体会降次、化归数学思想，提升逻辑推理与代数推导能力. 素养目标 课堂小结 复习回顾配方法解一元二次方程操作步骤 1.将常数项移到方程的右边 2.二次项系数化为1 3.方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 4.利用平方根的意义直接开平方 5.解两个一元一次方程 5x2+10x–4=0； 解：移项，得 5x2+10x=4. 二次项系数化为1，得x2+2x=. 配方，得x2+2x+12= + 12， (x+1)2= . ∴ x+1=± ， x1= –1，x2= – –1. 复习小练笔--用配方法解方程 探索新知 用配方法解一般形式一元二次方程：ax2+bx+c=0 (a≠0). 解：移项，得 ax2+bx = –c. 二次项系数化为1，得 x2+ x = – . 配方，得 x2+ x + ()2 = – + ()2 ， 即 (x + )2 = . ∵a≠0，所以4a2>0. （1）当 b2–4ac>0 时，>0， x + =± . ∴方程有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = . 探索新知 （2）当 b2–4ac=0 时，=0，∴方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – . （3）当 b2–4ac<0 时，<0，(x + )2 <0，∵ x取任何实数都不能使 (x + )2 <0 成立，∴方程无实数根. 探索新知 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根由方程的系数 a，b，c 确定. b2–4ac 叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ=b2– 4ac. ①当Δ=b2–4ac>0时方程两个不相等的实数根 ②当Δ=b2–4ac=0时，方程两个相等的实数根 ③当Δ=b2–4ac<0时方程无实数根 当 Δ ≥ 0 时，方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的实数根可写为 x = 的形式，这个式子叫作一元二次方程 ax2+bx+c=0 的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法叫作公式法. 知识归纳 例 用公式法解下列方程： （1）2x2– 3x – 4=0； 解：∵ a=2，b= – 3，c= – 4， ∴Δ=b2 – 4ac=(–3)2– 4×2×(–4)=41>0. ∴方程有两个不相等的实数根 x = = = ， 即 x1=，x2= . 典例分析 （2）x2 –2x+1=0； 解：∵ a=1，b= – 2，c= 1， ∴ Δ=b2 – 4ac=(–2)2– 4×1×1=0. 方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – = – = . （3）5x2 – 4x +1=0 解：∵a=5，b= – 4，c= 1， ∴Δ=b2 – 4ac=(–4)2– 4×5×(1)=-4<0. 方程无实根 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1.将一元二次方程化为一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0）并确定 a，b，c 的值； 2.求出Δ= b2–4ac 的值； 3.若 Δ= b2–4ac≥0 则利用求根公式求解； 若 Δ=b2–4ac<0，则方程无实数根. 4.根据求根公式，写出方程的根. 1.用公式法解下列方程： 【选自教材第12页 练习】 （1）x2+x – 6=0； 解：因为 a=1，b=1，c= –6， 所以 Δ=b2 – 4ac=12– 4×1×(–6)=25>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， 即 x1=2，x2= – 3. 即学即练 （2）x2 – x – =0； 解：因为 a=1，b= –，c= – ， 所以 Δ=b2 – 4ac=(–)2– 4×1×(– )=4>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， 即 x1= +1，x2= – 1. 【选自教材第12页 练习】 （3）3x2 – 6x +4=0； 解：因为 a=3，b= – 6，c= 4， 所以 Δ=b2 – 4ac=(–6)2– 4×3×4= – 12<0. 方程无实数根. （4）2x2 – 3x=0； 解：因为 a=2，b= – 3，c= 0， 所以 Δ=b2 – 4ac=(–3)2– 4×2×0=9>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ，即 x1=0，x2= . 【选自教材第12页 练习】 （5）x2+4x+8=4x+11； 解：方程化为 x2– 3=0，此时a=1，b=0，c= –3， 所以 Δ=b2 – 4ac=02– 4×1×(–3)=12>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， 即 x1= ，x2= – . 【选自教材第12页 练习】 （6）x(2x– 4)=5 – 8x. 解：方程化为 2x2+4x–5=0，此时a=2，b=4，c= –5， 所以 Δ=b2 – 4ac=42– 4×2×(–5)=56>0. 方程有两个不相等的实数根 x = = = ， 即 x1= –1+ ，x2= –1 – . 【选自教材第12页 练习】 1.一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则 b2–4ac 满足的条件是（ ） A. b2–4ac=0 B. b2–4ac>0 C. b2–4ac<0 D. b2–4ac≥0 A 2.利用求根公式求 -3x2+-8x= 0的根时，a，b，c 的值分别是（ ） A. 3, , 8 B. -3, 8, C. -3, –8, D. 3, –8, – C 当堂检测 3.一元二次方程 x2−5x+2=0的根的判别式的值是 ( ) A.33 B.23 C.17 D. C 4.关于x的方程 2x2+mx=3的根的判别式的值 ( ) A.是正数 B.是负数 C.是0 D.无法确定 A 5.下列方程中，无实数根的是 ( ) A. x2−1=0 B. x2−2x+1=0 C. x2+x+1=0 D. x2+x−1=0 6.关于一元二次方程 x2−3x+1=0的根的情况，下列结论正确的是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断根的情况 C A 课堂小结 1.公式法:用求根公式解一元二次方程的方法 2.一元二次方程根的判别式 Δ= b2–4ac 当Δ>0时，方程有两个不等的实数根,x = 当Δ=0时，方程有两个相等的实数根,x1 = x2 = – ； 当Δ<0时，方程无实数根. 课堂小结 1.用配方法解下列方程： （1）x2+10x+16=0； （2）x2–x– = 0； 解：移项，得 x2+10x= –16. 配方，得x2+10x+52= –16+52， (x+5)2=9. 由此可得 x+5=±3， x1= –2，x2= –8. 解：移项，得 x2–x = . 配方，得x2–x+()2= + ()2， (x – )2=1. 由此可得 x – =±1， x1= ，x2= – . 课后分层作业--基础层 2.一个直角三角形的两条直角边的长相差 5，面积是 7，求斜边的长. 解：设这个直角三角形的较短直角边长为x，则较长直角边长为(x+5). 根据题意，得 x(x+5)=7，所以 x2+5x–14=0， 解得 x= – 7（不合题意，舍去），x=2. 当x=2时，x+5=7. 由勾股定理，得直角三角形斜边的长为==. 答：这个直角三角形斜边的长为. 课后分层作业--提升层 3.已知关于 x 的一元二次方程 mx2–(3m+2)x+2m+=0 (m≠0)， 求证：方程有两个不相等的实数根. 证明： Δ=b2 – 4ac = [–(3m+2)]2– 4m(2m+)=9m2+12m+4 –8m2–10m =m2+2m+4=(m+1)2+3. 因为 (m+1)2≥0，所以(m+1)2+3>0，即 Δ>0. 所以方程有两个不相等的实数根. 课后分层作业--提升层 4. （1）因为 x3–8x2+19x–12=(x–1)(x–3)(x–4)，所以 1，3，4 是一元三次方程 x3–8x2+19x–12=0 的三个根，计算1+3+4，1×3+3×4+4×1，1×3×4 的值，它们与一元三次方程 x3–8x2+19x–12=0 的系数有什么关系？ 解：1+3+4=8，是该方程中二次项系数的绝对值； 1×3+3×4+4×1=19，是该方程中一次项系数的值； 1×3×4=12，是该方程中常数项的绝对值. 课后分层作业--拓展层 （2）如果一元三次方程 ax3+bx2+cx+d=0 有三个实数根 x1，x2，x3，那么 ax3+bx2+cx+d 可以化为 a(x–x1)(x–x2)(x–x3).由此你能发现根 x1，x2，x3 与一元三次方程的系数之间的关系吗？ 解：因为 a(x–x1)(x–x2)(x–x3) =ax3–a(x1+x2+x3)x2+a(x1x2+x2x3+x1x3)x–ax1x2x3 =ax3+bx2+cx+d， 所以 x1+x2+x3= – ，x1x2+x2x3+x1x3= ，x1x2x3= – . $