25.2.2 用公式法解一元二次方程（Word试题版）-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（人教版·新教材）

**基本信息** 该同步练习通过“基础达标-能力提升-思维拓展”三层设计，系统覆盖根的判别式应用、公式法解方程及综合探究，梯度合理，巩固路径清晰，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础达标|根的判别式判别根的情况、确定字母范围、公式法解方程|以选择、填空、直接解方程为主，融入中考真题，强化运算能力与符号意识| |能力提升|方程根的估计、新定义运算、直线与方程结合、综合证明|结合跨知识情境（如直线象限与方程解），培养推理意识与应用意识| |思维拓展|等腰三角形与方程根关系、根的差计算|分多问探究，涉及分类讨论与根与系数关系，发展创新意识与几何直观|

25.2.2 用公式法解一元二次方程 01 基础达标 知识点一 利用根的判别式判别一元二次方程根的情况 （吉林中考） 1. 一元二次方程x2－2x＝0根的判别式的值为( ) A. 4 B. 2 C. 0 D. －4 （北京中考） 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 知识点二 利用根的判别式确定字母的取值或范围 3. 关于x的方程的根的判别式________，若方程有两个不相等的实数根，则m________；若方程有两个相等的实数根，则m________；若方程没有实数根，则m________． （上海中考） 4. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 1 5. 已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ） A. B. 1 C. D. 知识点三 用公式法解一元二次方程 6. 用公式法解方程时，应先找出对应的________，________，________，计算出________，可得方程的根是_________． 7. 用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是______． 8. 用公式法解下列方程： （1）． （2）． 02 能力提升 （四川中考） 9. 若是关于x的一元二次方程的一个根，下面对a的值估计正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 定义运算：．例如．则方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 11. 直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 1个或2个 12. 用公式法解下列方程： （1）． （2）． 13. 已知关于x的一元二次方程（x－3）（x－2）=|m|． （1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不等的实数根； （2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根． 03 思维拓展 14. 关于x的一元二次方程有实数根． （1）求k的取值范围． （2）若等腰三角形的一边长，另两边b，c恰好是这个方程的两个实数根，求k的值． （3）若方程的两个实数根之差等于2，求k的值． 25.2.2 用公式法解一元二次方程 01 基础达标 知识点一 利用根的判别式判别一元二次方程根的情况 （吉林中考） 【1题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程判别式的公式进行计算即可. 【详解】解:在这个方程中，a＝1，b＝－2，c＝0， ∴， 故选：A. 【点睛】本题考查一元二次方程判别式，熟记公式正确计算是本题的解题关键. （北京中考） 【2题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】计算一元二次方程根的判别式进而即可求解． 【详解】解： 一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：A. 【点睛】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 知识点二 利用根的判别式确定字母的取值或范围 【3题答案】 【答案】 ①. ②. ③. ④. 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况． 【详解】解：关于的方程的根的判别式， 若方程有两个不相等的实数根，则，解得； 若方程有两个相等的实数根，则，解得； 若方程没有实数根，则，解得． （上海中考） 【4题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴， ∴， 故选：A. 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键． 【5题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴判别式， 整理得：， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键． 知识点三 用公式法解一元二次方程 【6题答案】 【答案】 ①. 4 ②. ③. ④. 41 ⑤. ， 【解析】 【分析】找出，及的值，计算出根的判别式的值大于，代入求根公式即可求出解． 【详解】解：， ， ，，， ， ∴， 解得：，． 用公式法解方程时，应先找出对应的，，，计算出，可得方程的根是，． 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据公式法的求根公式，可得出一元二次方程的各项系数的值，即可得出答案． 【详解】解：根据题意及求根公式， 得，，， 该一元二次方程为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟知求根公式是解题关键． 【8题答案】 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）找出，及的值，计算出根的判别式的值，代入求根公式即可求出解； （2）先化为一般式，然后找出，及的值，计算出根的判别式的值大于，代入求根公式即可求出解． 【小问1详解】 解：． ，，， ， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：． ， ，，， ， ∴， 解得：，． 02 能力提升 （四川中考） 【9题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，能正确解出关于的一元二次方程及对求出的进行估值是解题的关键． 将方程的根代入方程，解关于的一元二次方程并估值即可． 【详解】解：将代入方程得，， 解得， 又 所以． 又因为， 所以， 即． 故选：B． 【10题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】先根据新定义得出方程，再根据一元二次方程的根的判别式可得答案． 【详解】解：根据定义得： ＞ 原方程有两个不相等的实数根， 故选 【点睛】本题考查了新定义，考查学生的学习与理解能力，同时考查了一元二次方程的根的判别式，掌握以上知识是解题的关键． 【11题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况. 【详解】∵直线不经过第二象限， ∴， ∵方程， 当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解， 当a<0时，方程为一元二次方程， ∵∆=， ∴4-4a>0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D. 【点睛】此题考查一次函数的性质：利用函数图象经过的象限判断字母的符号，方程的解的情况，注意易错点是a的取值范围，再分类讨论. 【12题答案】 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【分析】（1）（2）先化为一般式，然后找出，及的值，计算出根的判别式的值大于，代入求根公式即可求出解． 【小问1详解】 解：． ， ，，， ， ∴， 解得：，． 【小问2详解】 解：． 整理，得， 即， ，，， ， ∴， 解得：，． 【13题答案】 【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为±2，方程的另一个根是4 【解析】 【分析】（1）移项，整理化成方程的一般形式，求出根的判别式，即可判断方程根的情况． （2）把x=1代入原方程，可得出m的值，再把m的绝对值代回原方程，解出x的另一个值． 【详解】解：（1）移项整理成一般形式：，Δ==1+4， ∵≥0， ∴1+4>0， ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是1，则（1－3）（1－2）=， ∴m=±2， ∴， 故答案为：m的值是±2，方程的另一个根是4． 视频 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的解的定义． 03 思维拓展 【14题答案】 【答案】（1） （2）3或4 （3） 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，若，则方程有实数根； （2）已知，则可能是底，也可能是腰，分两种情况求得的值后，再求出．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验； （3）利用根与系数的关系结合完全平方公式的变形公式求的值即可． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：； 【小问2详解】 解：∵两边恰好是的两个实数根， ，， ①当为等腰三角形的腰时，设，则， 三角形的三边长为，满足三边之间关系，此时； ②当为等腰三角形的底时，则，方程有两个相等的实数根， 三角形的三边长为，满足三边之间关系，此时； 综上所述，的值为或． 【小问3详解】 解：设关于的一元二次方程的实数根为，， 则，， ∵方程的两个实数根之差等于， ∴，则， ， ， 解得：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $