25.2.3 因式分解法 课件 2026—2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“因式分解法解一元二次方程”，通过“快速口算x(x-2)=0”导入，引出乘积为零特征与零值原理，衔接一元二次方程概念，为解法学习搭建认知支架。 其亮点在于以竖直上抛物体落回地面情境引导建模，培养数学眼光，合作探究归纳“移项、分解、降次、求解”步骤发展推理意识，典例含“直接开方漏根”警示强化规范思维。分层练习助学生掌握降次思想，教师可借清晰流程提升教学效率。

25.2.3　 因式分解法 第二十五章　一元二次方程 学习目标 1 2 会选择合适的方法进行因式分解，并解一元二次方程. 在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降次的数学思想． 01 复习导入：情境创设 挑战一下：快速口算 请直接说出方程的根：x(x - 2) = 0，你是如何快速得出答案的？ 01 特征：乘积为零 方程变形为两个整式的乘积等于0的形式，这是使用因式分解法的关键前提，也是将“二次”降为“一次”的基础。 02 理论依据：零值原理 若 ab = 0，则必有 a = 0 或 b = 0（至少其一）。利用这一基本性质，可将复杂的一元二次方程拆解为两个简单的一元一次方程求解 因式分解法解一元二次方程 这是解一元二次方程中最简便、最快捷的方法之一，让我们一起探索如何通过“降次”来解决问题！ 1.7.2013 好，我们来挑战一个简单的方程：x乘以(x-2)等于0。大家能立刻说出它的解吗？没错，x=0或者x=2。为什么这么快？因为我们利用了一个非常重要的数学原理：如果两个数的乘积是0，那么其中至少有一个数是0。这个简单的原理，就是我们今天要学习的因式分解法的核心。 ‹#› 探究与应用 根据物理学规律,如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛,那么物体经过x s后的离地高度(单位:m)约为10x-5x2.根据上述规律,物体经过多少秒落回地面?(只列出方程,不用求解) 活动1 探究用因式分解法解一元二次方程 问题情境 图25-2-1 解:设物体经过x s落回地面,这时它离地面的高度为 0 m,即10x-5x2=0. 2 合作探究 问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s后的离地高度(单位：m)约为10x−5x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面? 2 合作探究 分析：设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0 m，即 . 将方程的左边分解因式，得 . 所以 . 因此，方程10x−5x2=0的两个根是 . 对于这两个根，x1=0表示物体抛离地面的时刻，即在0 s时 物体被抛出，此刻物体的高度是0 m；而x2=2表示物体在抛离地 面2 s时落回地面. 10x−5x2=0 x(10−5x)=0 如果ab=0， 那么a=0或b=0. x=0或10−5x=0 x1=0，x2=2 请大家解这个方程. 你认为哪种解法更简单？ 02 探究新知： 01 原理：零乘积性质 若两个实数的乘积为 0，则至少其中一个实数为 0。这是解一元二次方程实现“降次”的关键理论依据，也是因式分解法的核心基石。 ab = 0 ⟺ a = 0 或 b = 0 02 因式分解法：化繁为简的求解策略 将一元二次方程通过整理变形，使方程右边为 0，左边分解为两个一次因式的乘积，进而利用“零乘积性质”将其转化为两个一元一次方程求解。 第一步 移项变形 右式化为 0 第二步 因式分解 左式拆乘积 第三步 降次求解 解一次方程 1.7.2013 我们把刚才那个重要的原理正式化，它叫做“零乘积性质”，即如果ab=0，那么a=0或者b=0。基于这个性质，我们得到了解一元二次方程的另一种方法——因式分解法。它的基本思想就是把复杂的二次方程，通过变形和分解，变成两个简单的一次方程来解决。 ‹#› 02 探究新知：常用因式分解方法回顾 01 提公因式法 ma + mb + mc = m(a + b + c) 核心是从多项式各项中找出公共的因式，这是因式分解最基础、最优先考虑的步骤，如同寻找公约数。 02 平方差公式 a² - b² = (a + b)(a - b) 适用于两项式结构，特征是两项均为平方形式且符号相反。关键在于准确识别公式中的“a”与“b”。 03 完全平方公式 a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 针对三项式，首末两项为同号的平方项，中间项是两底数乘积的2倍。是配方法的基础依据。 解题策略：面对方程时，先观察左侧多项式的项数与符号特征。第一步永远优先尝试提取公因式，随后根据剩余部分的结构，判断其是符合平方差形式还是完全平方式，从而选择最匹配的公式进行分解。 1.7.2013 要熟练运用因式分解法，前提是我们要熟练掌握因式分解的技巧。主要有三种：提公因式法，就是找出共同的因子；平方差公式，适用于两个平方项相减的形式；完全平方公式，适用于完全平方式。解题时，我们要先观察方程左边的结构，选择最合适的分解方法。 ‹#› 2 合作探究 10x−5x2=0 解： x(10−5x)=0， x=0或10−5x=0， x1=0，x2=2. 思考 解方程10x−5x2=0时，二次方程是如何降为一次的? 降次 在上述解法中，由10x−5x2=0到x=0或10−5x=0的过程，不是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 2 合作探究 思考 归纳因式分解法解一元二次方程的步骤： 一移 将方程化为等号一边为0的形式； 二分 将方程左边因式分解； 三化 至少有一个因式为零，得到两个一元一次方程； 四解 两个一元一次方程的解就是原方程的解． 10x−5x2=0 解： x(10−5x)=0， x=0或10−5x=0， x1=0，x2=2. (1)你能根据“如果ab=0,那么a=0,或b=0”解这个方程吗? 引发思考 解:(1)将方程的左边分解因式,得x(10-5x)=0. ∴x=0,或10-5x=0. 因此,方程10x-5x2=0的两个根是x1=0,x2=2. (2)解方程时,二次方程是如何降为一次的?  解: (2)先分解因式,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次. 03 典例精讲：基础典例2 (公式整理型) 解方程： 5x² - 2x - = x² - 2x + 01 移项变零 将所有项移至左侧，右侧化为0，注意移项变号： 5x² - 2x - - x² + 2x - = 0 02 合并同类项 合并同类项化简，一次项抵消，得到标准式： 4x² - 1 = 0 （即 (2x)² - 1² = 0） 03 平方差分解 套用公式 a² - b² = (a+b)(a-b) 因式分解： (2x + 1)(2x - 1) = 0 04 降次解根 由“积为0则因子为0”，分别求解得： x₁ = - ，x₂ = 1.7.2013 第二个例子稍微复杂一些，因为两边都有未知数。我们首先要做的就是移项，把所有项都移到左边，让右边变成0。移项后，我们发现-2x和+2x抵消了，剩下的正好是一个平方差的形式。利用平方差公式分解后，再求解就非常简单了。 ‹#› 03 典例精讲：拔高典例3 (整体思想) 题目：解方程(x - 4)² = (5 - 2x)² 易错陷阱警示：切勿直接对等式两边同时开方，这样会忽略平方根的“正负双重性”，导致只得到 x-4=5-2x这一个解，从而漏掉负根的情况，造成答案不完整。 01 移项构造形式 将方程右边整体移至左边，构造平方差公式 a² - b² = 0的标准形式： (x - 4)² - (5 - 2x)² = 0 02 整体思想分解 将 x-4和 5-2x看作整体，套用 a² - b² = =(a+b)(a-b)\) 公式： (-x + 1)(3x - 9) = 0 03 降次求解得根 令每个因式分别为0，解两个一元一次方程，最终得到两个根： x₁ = 1，x₂ = 3 1.7.2013 接下来是一个拔高题，也是一个非常经典的易错题。看到两边都是平方，很多同学会直接开方，这样就会漏掉一个根。正确的做法是移项，把它变成平方差的形式。把(x-4)和(5-2x)分别看作一个整体，利用平方差公式分解，这样才能求出所有的解。 ‹#› 2 合作探究 思考 学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗? 解法 降次方法 变形结果 方程的根 适用范围 配方法 公式法 因式分解法 x= 先配方 再开方 (x+n)2=p (p≥0) x=−n± 所有一元二次方程 直接代入求根公式 (x−a)(x−b)=0 因式分解 ax2+bx+c=0 (Δ≥0) x1=a，x2=b 所有一元二次方程 部分一元二次方程 3 典例分析 例4 解下列方程： (1)x(x−2)+x−2=0； (2)5x2−2x− =x2−2x+· 解：(1)左边分解因式，得 (x−2)(x+1)=0. 于是 x−2=0或x+1=0， 即 x1=2，x2=−1. 解：(2)移项、合并同类项，得 4x2−1=0. 左边分解因式，得 (2x+1)(2x−1)=0. 于是 2x+1=0或2x−1=0, 即 x1=− ，x2=. (教材补充例题)用因式分解法解下列方程: (1)x2=3x;　　　　　 理解应用 例 1 解:(1)移项,得x2-3x=0. 左边分解因式,得x(x-3)=0. 于是x=0,或x-3=0, 即x1=0,x2=3. (2)x2-2x+1=0;　　　　　 (3)4x2-9=0. 解: (2)左边分解因式,得(x-1)2=0. 于是x-1=0,即x1=x2=1. 解: (3)左边分解因式,得(2x+3)(2x-3)=0. 于是2x+3=0,或2x-3=0, 即x1=-,x2=. 04 课堂练习：【基础巩固·必做】 运用因式分解法快速求解下列一元二次方程，注重解题步骤的规范性与完整性。 01 x² + x = 0 思路：提取公因式 x，将方程化为乘积形式求解 02 x² - 2x = 0 思路：提取公因式 x，注意保留根式的准确性 03 3x² - 6x = -3 思路：先移项化为一般式，再利用完全平方公式因式分解 04 4x² - 81 = 0 思路：识别平方差形式，利用 a² - b² = (a+b)(a-b) 05 3x(2x + 1) = 4x + 2 思路：先整理右边项，再提取公因式 (2x + 1) 06 (x - 1)² = 2(x - 1) 思路：移项后提取公因式 (x - 1)，切记不可直接约去 1.7.2013 理论学习完了，现在是练习时间。我们先从基础题开始，这六道题都是对今天所学方法的直接应用，请大家动手算一算，巩固一下基本步骤。 ‹#› 04 课堂练习：【能力提升·必做】 01 因式分解法解方程 求解方程：2 = - 9 思考：观察等式两边的结构特征，右边是否可以利用平方差公式进行因式分解？这能帮助我们避免复杂的展开计算。 02 方程根的定义与应用 已知方程 + (m-2)x - 2m = 0 的一个根为 0，求 m的值及方程的另一个根。 思考：方程的根满足方程本身，这是解决此类参数问题的核心依据。 核心策略：解决含参方程问题，“代入法”是最直接的钥匙；面对复杂的一元二次方程，先观察是否可因式分解，这是快速解题的捷径。 1.7.2013 基础题完成得不错！接下来是两道能力提升题，它们稍微复杂一些，需要先进行一些变形或利用方程根的性质。大家思考一下，看看如何运用今天学的知识来解决它们。 ‹#› 4 巩固练习 1. 直接说出下列方程的根. (1) x(x+2)=0； (1) x1=0，x2=−2； (2) (x−2)(x+1)=0； (2) x1=2，x2=−1 ； (3) (3y+6)(2y−4)=0； (3) y1=−2，y2=2； (4) (x−5)2=0. (4) x1=x2=5. 2. 小明同学解方程：2(x−2)=(x−2)2的过程如下： 小明：两边同除以(x−2)，得2=x−2， 第一步 则x=4． 第二步 你认为小明的解法是否正确？若不正确，从第____步开始出现错误；并写出你的解答过程． 4 巩固练习 (x−2)可能为0，等式两边不能同时除以值可能为0的式子，直接除以(x−2)会漏掉x=2这个根． 解：小明的解法不正确，从第一步开始出错． 正确解答过程如下： 2(x−2)=(x−2)2， 移项，得 2(x−2)−(x−2)2=0， 提取公因式，得 (x−2)(2−x+2)=0， 整理得 (x−2)(4−x)=0， 则 x−2=0 或 4−x=0， 解得 x1=2，x2=4． 4 巩固练习 学 步骤 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (1)将方程的右边化为0; (2)将方程的左边化为两个一次式相乘; (3)使两个一次式分别等于0,得到两个一元一次方程; (4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解. 变式 解下列方程: (1)(x+2)2=3x+6; 　　　　 (2)x2-1=2(x+1). 解:(1)移项,得(x+2)2-3x-6=0. 左边分解因式,得(x+2)(x-1)=0. 于是x+2=0,或x-1=0, 即x1=-2,x2=1. 解: (2)移项,得x2-1-2(x+1)=0. 左边分解因式,得(x+1)(x-3)=0. 于是x+1=0,或x-3=0, 即x1=-1,x2=3. 6 课堂小结 一元二次方程 概念 相关概念 解法 应用 只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2的方程. 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根. 直接开平方法 降次 配方法 转化 公式法 应用 因式分解法 记 重点 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | $