1.1 集合的概念 学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学学习任务单聚焦集合的概念，涵盖元素与集合的定义、元素的确定性互异性无序性、元素与集合的关系符号、常用数集记法及列举法描述法。以课前预习填空梳理基础，课堂探究分层设计深化理解，当堂检测限时巩固，构建从概念到应用的学习支架。 资料突出数学眼光与数学思维的培养，通过“能否构成集合”的实例判断发展抽象能力，借助元素关系推理与表示法应用强化逻辑思维。分层探究题兼顾不同学生，当堂检测聚焦易错点，助力学生用数学语言精准表达集合概念，提升学习效果。

1.1 集合的概念·学案 班级：＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿　　学号：＿＿＿＿ 一、课前预习（阅读教材第2～5页，完成填空） 1．一般地，我们把研究对象统称为＿＿＿＿，把一些元素组成的总体叫做＿＿＿＿。通常用＿＿写字母A，B，C，…表示集合，用＿＿写字母a，b，c，…表示元素。 2．集合中元素的三个特性：＿＿＿＿性、＿＿＿＿性、＿＿＿＿性。 3．只要构成两个集合的元素是＿＿＿＿的，我们就称这两个集合是相等的。 4．a是集合A的元素，记作a＿＿A，读作"a＿＿＿＿A"；a不是集合A的元素，记作a＿＿A，读作"a＿＿＿＿＿＿A"。 5．常用数集及其记法：非负整数集（自然数集）记作＿＿；正整数集记作＿＿或＿＿；整数集记作＿＿；有理数集记作＿＿；实数集记作＿＿。 6．把集合的所有元素＿＿＿＿＿＿出来，并用花括号"{ }"括起来表示集合的方法叫做＿＿＿＿法；用集合所含元素的＿＿＿＿＿＿表示集合的方法称为＿＿＿＿法。 二、课堂探究 探究一　能否构成集合的判断 判断下列各组对象能否构成集合，能的打√，不能的打×，并在括号后写明理由： (1)我们班所有身高不低于175 cm的同学（　　）理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (2)较小的数（　　）理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (3)所有的等边三角形（　　）理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (4)接近0的数（　　）理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (5)到直线l的距离等于定长d的所有点（　　）理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (6)π的近似值（　　）理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 我总结的判断方法（一句话）：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 探究二　元素与集合的关系 用∈或∉填空： 0＿＿N　　　－3＿＿N　　　0.5＿＿Z　　　√2＿＿Q π＿＿R　　　－1＿＿N*　　　0＿＿N*　　　0＿＿{0} 探究三　列举法 例1　用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合； ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (2)方程x²＝x的所有实数根组成的集合。（写出解方程过程） ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 列举法的注意点（听讲后补全）：元素之间用＿＿隔开；花括号已含"＿＿＿＿"之意，括号内不能再写"所有""全体"等字样；由互异性，元素不＿＿＿＿。 探究四　描述法 思考：能否用列举法表示不等式x－3＜7的解集？为什么？ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 这个解集用描述法表示为：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 描述法的格式：竖线左边写＿＿＿＿＿＿及其取值范围，竖线右边写元素满足的＿＿＿＿＿＿＿＿。 例2　试分别用描述法和列举法表示下列集合： (1)方程x²－2＝0的所有实数根组成的集合； 描述法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　列举法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合。 描述法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　列举法：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 练习：用列举法表示集合A＝{x∈Z|－2≤x＜3}＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；用描述法表示"大于3的所有实数组成的集合"：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 探究五　★拔高探究（优生班课上完成，普通班选做） 设A＝{x|y＝x²＋1}，B＝{y|y＝x²＋1，x∈R}，C＝{(x，y)|y＝x²＋1，x∈R}。 (1)三个集合的代表元素分别是什么？A：＿＿＿　B：＿＿＿　C：＿＿＿＿＿ (2)A＝＿＿＿＿＿＿；B＝＿＿＿＿＿＿；C中的元素是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 (3)用∈或∉填空：1＿＿A；1＿＿C；(1，2)＿＿C。 三、当堂检测（限时4分钟） 1．下列各组对象能构成集合的是（　　） A．我们班跑得快的同学　　B．充分接近√2的实数 C．大于－1的所有整数　　D．2026年高考数学的所有难题 2．用∈或∉填空：0＿＿N；√2＿＿Q；－2＿＿Z。 3．用列举法表示集合{x∈N|x＜4}＝＿＿＿＿＿＿＿＿。 4．已知集合A含有两个元素1和a²，则实数a不能取的值是＿＿＿＿＿＿。 四、课堂小结（自我梳理） 本节课学了：一个概念（＿＿＿＿与＿＿＿＿）；三个特性（＿＿＿性管判断、＿＿＿性管检验、＿＿＿性管相等）；两个符号（＿＿、＿＿）；五个数集（＿＿、＿＿、＿＿、＿＿、＿＿）；两种表示法（＿＿＿法、＿＿＿法）。 参考答案与解析 一、课前预习 1．元素、集合、大、小。　2．确定、互异、无序。　3．一样（完全相同）。 4．∈、属于；∉、不属于。　5．N；N*或N₊；Z；Q；R。 6．一一列举、列举；共同特征、描述。 二、课堂探究 探究一：(1)√，身高标准明确，任何人可判断是否属于；(2)×，"较小"无客观界限；(3)√，是否等边有明确判定；(4)×，"接近"无确定标准；(5)√，距离是否等于d可以判定，元素无穷多不影响构成集合；(6)×，精确到几位算"近似"没有标准。判断方法：任取一个对象，能明确回答"是"或"不是"这个集合的元素，就能构成集合。（答出"标准是否确定"即可） 探究二：0∈N；－3∉N；0.5∉Z；√2∉Q；π∈R；－1∉N*；0∉N*；0∈{0}。 探究三：例1(1)A＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}。(2)由x²＝x得x²－x＝0，即x(x－1)＝0，解得x＝0或x＝1，故B＝{0，1}。（注意：不能两边约去x，会丢掉根x＝0）注意点依次填：逗号、全体、重复。 探究四：思考——不能，解集中的元素是所有小于10的实数，无法一一列举，也无规律可用省略号表示；描述法：{x∈R|x＜10}（或{x|x＜10}）。格式依次填：代表元素、共同特征。例2(1)描述法{x∈R|x²－2＝0}，列举法{√2，－√2}；(2)描述法{x∈Z|10＜x＜20}，列举法{11，12，13，14，15，16，17，18，19}。练习：A＝{－2，－1，0，1，2}（注意3取不到、－2取得到）；{x∈R|x＞3}或{x|x＞3}。 探究五：(1)A的代表元素是x，B的代表元素是y，C的代表元素是点(x，y)。(2)A＝R（对任何实数x都有对应的y，条件对x没有限制）；B＝{y|y≥1}（y是x²＋1，最小值为1）；C中的元素是抛物线y＝x²＋1上的所有点。(3)1∈A；1∉C（C装的是点，不是数）；因为1²＋1＝2，点(1，2)在抛物线上，(1，2)∈C。 三、当堂检测 1．C。A项"跑得快"、B项"充分接近"、D项"难题"都没有确定标准；C项任取一个数能明确判断是否为大于－1的整数。 2．0∈N（自然数含0）；√2∉Q（√2是无理数）；－2∈Z。 3．{0，1，2，3}。易错：漏掉0，或多取4（x＜4是严格小于）。 4．a≠1且a≠－1（即a不能取1和－1）。由互异性，a²≠1。只答a≠1不完整。 易错提醒 0∈N而0∉N*；含参数问题解出后必须检验互异性；花括号内不写"所有""全体"；方程组的解集元素是有序数对，写作{(2，1)}而非{2，1}。 学科网（北京）股份有限公司 $