1.2集合间的基本关系（导学案）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦集合的基本关系，核心内容包括子集、真子集、集合相等及空集的概念与符号表示，Venn图的应用。通过类比实数关系，结合班级学生、三角形类型等具体情境导入，引导学生从具体到抽象，搭建旧知（实数关系）到新知（集合关系）的学习支架。 这份导学案以探究问题链驱动学习，通过实例分析与追问促进数学抽象和逻辑推理，设置辨析题突破易混点，题型分类明确且分层练习覆盖不同难度，助力学生掌握集合关系判断与参数求解，培养直观想象与数学表达能力，适合自主学习与课堂教学使用。

1.2 集合的基本关系 （导学案） 1、理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集。 2、在具体情境中，了解空集的含义，并会判断给定集合间的关系，并会用符号和Venn图表示。 3、通过集合间关系探究，经历从具体到抽象归纳过程，体会类比思想，发展逻辑推理与数学抽象、直观想象核心素养。 重点：子集、真子集、集合相等、空集的概念及符号表示；Venn图表示集合间的关系。 难点：子集与真子集的区别；属于关系（）与包含关系（）的区分；空集的性质及有关结论。 阅读教材，完成以下问题： 【1】集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 维恩图 子集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集 ______   或   真子集 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集 ______    集合 相等 一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等 ______    【答案】 （或） （或） 【2】空集： 定义 ___的集合叫做空集 符号 ___ 规定 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的___ 【答案】 不含任何元素 真子集 【3】Venn图 （1）定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法． （2）适用范围：元素个数较少的集合． （3）使用方法：把______写在封闭曲线的内部． 【答案】元素 【4】子集、真子集及其性质： 对任意的x∈A，都有x∈B，则AB(或BA)；若集合AB，但存在元素x∈B，且xA，则AB(或BA)； A；AA；AB，BCAC. 若集合A含有n个元素，则A的子集有____个，A的非空子集有____个，A的非空真子集有____个． 【答案】 探究一、集合间的基本关系 问题1：观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？如何用数学语言表述这种关系？ (1)； (2)为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，为这个班全体学生组成的集合； (3)是两条边相等的三角形是等腰三角形. 【答案】其中一个集合中的每一个元素都是另一个集合中的元素 子集：一般地，对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就称集合为集合的子集，记作(或)，读作“包含于”(或“包含”). 符号语言：对任意的，总有，则. 图：用平面上封闭曲线的内部代表集合. 追问1：已知，，是的子集，但中是否存在不属于的元素？ 【答案】有， 追问2：已知，，集合与集合是什么关系？ 【答案】 问题2：请你举出几个具有包含关系的集合实例，并画出Venn图. 【答案】(1)； (2)； 【知识点拨】 问题3：：方程的实数根组成一个集合，这个集合中有几个元素？ 【答案】0个元素 师追问：包含关系与属于关系有什么区别？试结合实例作出解释。，，三者之间有什么关系？ 【答案】为空集；含元素0；为数字元素，三者意义各不相同。 【辨析1】判断正误： (1)任意两个集合之间一定有包含关系 (   ) (2)空集是任何集合的真子集 (   ) (3)若,则中至少有一个元素不属于 (   ) (4) 任何集合都有子集和真子集 (   ) (5)集合{ (   ) 【答案】×，×，√，×，√ 集合 元素个数 所有子集 子集个数 0 1 1 2 2 4 3 8 【辨析2】填写表格,回答后面的问题: ①你能直接说出集合的子集的个数吗? ②如果一个集合的元素个数为,你能用表示该集合子集、真子集的个数吗? 【知识点拨】 设集合中有个元素，则： (1)集合的子集个数为：个； (2)集合的真子集个数为：个； (3)集合的非空真子集个数为：个. 【例1】写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 解：集合的所有子集为， 真子集有， 【例2】判断下列各题中集合是否为集合的子集，并说明理由： (1)是8的约数}； (2)是长方形}，是两条对角线相等的平行四边形}. 解：(1)因为不是的约数，所以集合不是集合的子集. (2)因为若是长方形，则一定是两条对角线相等的平行四边形， 所以集合是集合的子集. 【题型1：子集个数】 1、设集合，则集合的子集有 、个 、个 、个 、个 【答案】 2、集合的真子集个数是( ). 【答案】 3、已知为非零实数，则集合非空子集个数是______ 【答案】 4、设已知集合满足，则所有满足条件的集合个数是( ) 、6个 、7个 、8个 、9个 【答案】 5、满足的集合的个数为 、6个 、7个 、8个 、9个 【答案】 6、满足的集合的个数为 、6个 、7个 、8个 、9个 【答案】 【题型2：判断集合关系】 1、指出下列各组集合之间的关系： (1) (2)是等边三角形是等腰三角形 (3). 【答案】 2、已知集合，，，用适当的符号填空： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______. 【答案】 【知识点拨】 判断集合间关系的常用方法： (1)列举观察法:当集合中的元素较少时,可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系； (2)元素特征法:先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征,再利用元素的特征判断得出集合之间的关系； (3)数形结合法:利用数轴或图,其中不等式解集之间的关系适合用数轴法. 【题型3：利用集合间关系求参】 1、已知集合，，若，求实数的取值范围. 解：∵，，若， ∴分两种情况： ①当时，则即 ②当时，则即 解得： 综上可得，实数的取值范围是： 2、已知集合，，若，求实数的取值范围. 解：据题意得： 所以， 解得， 无解，即的解集为. 【知识点拨】 由集合间的关系求参数的取值范围问题的解决策略： 1.求解此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，积累直观想象的经验，同时还要注意验证集合的端点值，做到准确无误，一般含“”用实心圆点表示，不含“”用空心圆圈表示； 2.涉及“”或“，且 ”的问题，一定要分和两种情况进行讨论，其中的情况易被忽略，应引起足够。 一、单选题 1．集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知， 所以与的关系为 2．已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【详解】由，得或，解得或． 当时，，，，符合题意， 当时，A不满足元素互异性，不符合题意，所以. 3．由数字2，0，2，6组成的集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】由已知， 其子集为，，，，，，，，共计8个. 4．若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以的真子集个数为个 5．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为集合， ， 所以. 6．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合相等可得一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系可得，进而可得所求值. 【详解】已知 ，，所以一元二次方程 的两个根就是 和. 设一元二次方程的两根为​，则： ，， 所以，即，因此 7．下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 【答案】C 【分析】对于A，根据集合元素的无序性判断；对于B，根据特征元素判断；对于C，根据集合相等的定义判断；对于D，根据集合相等的定义判断. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性，可知，故错误； 对于B，特征元素不相同，故不是相等集合，故错误； 对于C，都是数集，且范围相同，故相等，故正确； 对于D，不是空集，0是一个元素，故错误； 故选C. 8．给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 【答案】D 【分析】根据元素与集合，集合与之间的关系一一判断即可. 【详解】由于元素与集合之间用或表示，所以①错误，②正确， 由于，集合与集合之间用或等表示，所以③错误，④正确， 根据集合与集合的关系可得⑤，⑥均正确， 所以正确的是②④⑤⑥， 故选：D. 二、多选题 9．已知集合，则（   ） A． B． C．M的子集个数为4 D．M的子集个数为8 【答案】BD 【分析】由列举法求得集合，由集合元素的个数得到集合的子集个数，即可判断各个选项. 【详解】由题可知，则，B选项正确， ，A选项错误， 的子集个数为8，C选项错误，D选项正确． 故选：BD. 10．设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先表示出集合，然后根据再对集合进行分类讨论，由此可求得结果. 【详解】，， 因为，且集合中至多有一个元素，所以或或， 若，则； 若，则； 若，则； 故选：ABD. 11．下列命题中，是真命题的有（    ） A．集合的所有真子集为 B．若（其中），则 C．是等边三角形是等腰三角形 D． 【答案】BC 【分析】根据真子集的定义即可判断A；根据等集的定义即可判断B；根据子集的定义即可判断CD. 【详解】集合真子集是，共3个，所以A为假命题； 由，知，，则，则B为真命题； 等边三角形是特殊的等腰三角形，所以C为真命题； ，所以，所以D为假命题． 故选：BC. 三、填空题 12．已知集合，且集合的所有非空真子集的元素之和为6，则______． 【答案】 【分析】写出所有非空真子集，结合题意即可得解. 【详解】集合的所有非空真子集为，所以元素之和为， 故. 故答案为： 13．集合的全部非空子集的元素和等于_________. 【答案】240 【分析】先确定集合中的元素个数，对于集合中的任意一个元素，其余个元素每个都有“选”和“不选”两种情况，即可得到任意一个元素所在所有子集中出现的次数，进而可求解. 【详解】集合中共有个元素， 对于集合中的任意一个元素，它在所有子集中出现的次数为次， 则集合的全部非空子集的元素和等于. 故答案为：. 14．若集合，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15．已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据的正负情况讨论求解即可； （2）根据子集的定义即可求解. 【详解】（1）当都为正数时，； 当都为负数时，； 当中有一个是正数，另外两个是负数时，； 当中有一个是负数，另外两个是正数时，. 综上所述，. （2）集合的所有子集为： . 16．利用图示法判断下列两个集合之间的关系： (1)，是8的因数； (2)，． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由韦恩图表示集合之间的关系即可求解； （2）由数轴法表示集合之间的关系即可求解. 【详解】（1）∵，，如图1，∴． （2）∵，，如图2，∴． 17．已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由真子集的定义，确定的取值范围； （2）由子集的定义，确定的取值范围； （3）由集合相等求出的值. 【详解】（1）   若是的真子集，则由图知，， 故的取值范围为. （2）   若是的子集，已知，则， 则由图知，， 故的取值范围为. （3）若，则. 18．已知，若，求的值 【答案】或或 【分析】求解方程，得.讨论和两种情况，即可求得的值. 【详解】由，得，解得或. 所以， 当时，，满足； 当时，, 因为，所以或， 所以或. 综上所述，或或. 19．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由，对集合进行分类讨论：①若，②若为，，③若，由此求得的值即可. （2）先化简集合，，再由 ，能求得的值. 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 集合的基本关系 （导学案） 1、理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集。 2、在具体情境中，了解空集的含义，并会判断给定集合间的关系，并会用符号和Venn图表示。 3、通过集合间关系探究，经历从具体到抽象归纳过程，体会类比思想，发展逻辑推理与数学抽象、直观想象核心素养。 重点：子集、真子集、集合相等、空集的概念及符号表示；Venn图表示集合间的关系。 难点：子集与真子集的区别；属于关系（）与包含关系（）的区分；空集的性质及有关结论。 阅读教材，完成以下问题： 【1】集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 维恩图 子集 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集 ______   或   真子集 如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集 ______    集合 相等 一般地，如果集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A与集合B相等 ______    【2】空集： 定义 ___的集合叫做空集 符号 ___ 规定 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的___ 【3】Venn图 （1）定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法． （2）适用范围：元素个数较少的集合． （3）使用方法：把______写在封闭曲线的内部． 【4】子集、真子集及其性质： 对任意的x∈A，都有x∈B，则AB(或BA)；若集合AB，但存在元素x∈B，且xA，则AB(或BA)； A；AA；AB，BCAC. 若集合A含有n个元素，则A的子集有____个，A的非空子集有____个，A的非空真子集有____个． 探究一、集合间的基本关系 问题1：观察下面几个例子，类比实数之间的相等关系、大小关系，你能发现下面两个集合之间的关系吗？如何用数学语言表述这种关系？ (1)； (2)为立德中学高一(2)班全体女生组成的集合，为这个班全体学生组成的集合； (3)是两条边相等的三角形是等腰三角形. 追问1：已知，，是的子集，但中是否存在不属于的元素？ 追问2：已知，，集合与集合是什么关系？ 问题2：请你举出几个具有包含关系的集合实例，并画出Venn图. 【知识点拨】 问题3：：方程的实数根组成一个集合，这个集合中有几个元素？ 追问：包含关系与属于关系有什么区别？试结合实例作出解释。，，三者之间有什么关系？ 【辨析1】判断正误： (1)任意两个集合之间一定有包含关系 (   ) (2)空集是任何集合的真子集 (   ) (3)若,则中至少有一个元素不属于 (   ) (4) 任何集合都有子集和真子集 (   ) (5)集合{ (   ) 集合 元素个数 所有子集 子集个数 【辨析2】填写表格,回答后面的问题: ①你能直接说出集合的子集的个数吗? ②如果一个集合的元素个数为,你能用表示该集合子集、真子集的个数吗? 【知识点拨】 设集合中有个元素，则： (1)集合的子集个数为：个； (2)集合的真子集个数为：个； (3)集合的非空真子集个数为：个. 【例1】写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 【例2】判断下列各题中集合是否为集合的子集，并说明理由： (1)是8的约数}； (2)是长方形}，是两条对角线相等的平行四边形}. 【题型1：子集个数】 1、设集合，则集合的子集有 、个 、个 、个 、个 2、集合的真子集个数是( ). 3、已知为非零实数，则集合非空子集个数是______ 4、设已知集合满足，则所有满足条件的集合个数是( ) 、6个 、7个 、8个 、9个 5、满足的集合的个数为 、6个 、7个 、8个 、9个 6、满足的集合的个数为 、6个 、7个 、8个 、9个 【题型2：判断集合关系】 1、指出下列各组集合之间的关系： (1) (2)是等边三角形是等腰三角形 (3). 2、已知集合，，，用适当的符号填空： (1)______； (2)______； (3)______； (4)______. 【知识点拨】 判断集合间关系的常用方法： (1)列举观察法:当集合中的元素较少时,可列举出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系； (2)元素特征法:先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征,再利用元素的特征判断得出集合之间的关系； (3)数形结合法:利用数轴或图,其中不等式解集之间的关系适合用数轴法. 【题型3：利用集合间关系求参】 1、 已知集合，，若，求实数的取值范围. 2、 已知集合，，若，求实数的取值范围. 【知识点拨】 由集合间的关系求参数的取值范围问题的解决策略： 1.求解此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，积累直观想象的经验，同时还要注意验证集合的端点值，做到准确无误，一般含“”用实心圆点表示，不含“”用空心圆圈表示； 2.涉及“”或“，且 ”的问题，一定要分和两种情况进行讨论，其中的情况易被忽略，应引起足够。 一、单选题 1．集合，则与的关系为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，若，则实数（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 3．由数字2，0，2，6组成的集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．8 D．16 4．若，则的真子集个数为（     ） A．8 B．7 C．6 D．3 5．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 7．下面关于集合的表示正确的是（   ） A． B．. C． D．. 8．给出下列关系：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的是（    ） A．①②④⑤ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥ 二、多选题 9．已知集合，则（   ） A． B． C．M的子集个数为4 D．M的子集个数为8 10．设集合，，若，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 11．下列命题中，是真命题的有（    ） A．集合的所有真子集为 B．若（其中），则 C．是等边三角形是等腰三角形 D． 三、填空题 12．已知集合，且集合的所有非空真子集的元素之和为6，则______． 13．集合的全部非空子集的元素和等于_________. 14．若集合，则实数的取值范围是_____. 四、解答题 15．已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 16．利用图示法判断下列两个集合之间的关系： (1)，是8的因数； (2)，． 17．已知集合，. (1)若是的真子集，求的取值范围； (2)若是的子集，求的取值范围； (3)若，求的值. 18．已知，若，求的值 19．设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $