1.1 集合的概念 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的概念，涵盖元素特性、与集合关系、常用数集及表示方法，通过新生分班等现实实例导入，结合六个具体例子引导观察共同点，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解集合的描述性概念。 其亮点在于以数学眼光从现实抽象概念，通过“高个子同学”辨析培养数学思维的确定性判断，用列举法与描述法互化强化数学语言表达。分层设计如优生班探究不同代表元素集合，小结结构化易梳理，易错提醒明确。学生能降低抽象理解难度，教师可直接用提升教学效率。

第一章　集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 人教A版必修第一册　·　高中数学第一课 1 章节导览 　　本章是高中数学的起点，先学一种新的语言，再用它讨论推理。1.1节认识集合与元素，学会把一个集合写出来；1.2节讨论集合与集合之间的关系；1.3节学习集合的交、并、补运算；1.4节、1.5节转向逻辑，学习充分条件、必要条件与两种量词。 　　今天是第一节。这节课学到的符号，会一直用到高三最后一场考试。 2 学习目标 1．能通过实例说出集合与元素的含义，会判断一组对象能否构成集合。 2．记住元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。 3．会用∈、∉表示元素与集合的关系，记熟N、N*、Z、Q、R五个常用数集。 4．会用列举法和描述法表示集合，并能互相转化。 3 导入 　　报到那天，学校把七百多名新生分成了十二个班，给每个人发了一套教材，安排了宿舍。每个班有确定的名单，每套教材有确定的书目，每间宿舍住着确定的几个人。 　　把一些确定的对象放在一起看成一个总体——数学里把这样的总体叫做集合。这是高中数学的第一个概念。 4 观察·六个例子 ①　1～10之间的所有偶数 ②　立德中学今年入学的全体高一学生 ③　所有的正方形 ④　到直线l的距离等于定长d的所有点 ⑤　方程x²－3x＋2＝0的所有实数根 ⑥　地球上的四大洋 问　这六个例子有什么共同点？每个例子中的"对象"分别是什么？ 明确　每个例子都是一些确定的对象组成的总体。对象可以是数、人、图形、点、大洋——什么都可以。 5 集合与元素 　　一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）。 　　集合与元素是描述性的概念，就像几何里的"点"和"直线"，不再往下定义。我们的任务是学会使用它：会判断、会读、会写。 　　记号约定：集合用大写字母 A，B，C，… 表示；元素用小写字母 a，b，c，… 表示。 6 想一想 问　"我们班所有高个子同学"能构成一个集合吗？ 　　先别急着回答——多高算"高个子"？1米75算不算？1米72呢？ 明确　不能。"高个子"没有客观界限，同一个人有人说高、有人说不高，一个对象在不在集合里说不清。 改成"身高不低于175 cm的同学"，标准确定了，就能构成集合。 7 元素的特性（一）确定性 　　给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素，必须是确定的——二者必居其一。 　　这是判断"能否构成集合"的唯一标准：任取一个对象，能明确回答"是"或"不是"的，构成集合；答不上来的，不构成。元素有多少、能不能数得清，都不影响判断——"到直线l距离等于d的所有点"有无穷多个，照样构成集合。 8 练一练 限时2分钟，完成学案探究一 问　下列各组对象能构成集合吗？ (1)身高不低于175 cm的同学　(2)较小的数　(3)所有的等边三角形 (4)接近0的数　(5)到直线l距离等于d的所有点　(6)π的近似值 明确　(1)(3)(5)能构成集合，判断标准明确客观； (2)(4)(6)不能——"较小""接近""近似"都没有确定的界限。 9 元素的特性（二）互异性 问　方程x²－2x＋1＝0的解集里有几个元素？ 明确　(x－1)²＝0，两根相等，都是1。集合里1只写一次，解集是{1}，只含一个元素。 一个集合中的元素互不相同——这就是互异性。含字母的题目里，解出参数必须代回检验互异性，不检验必丢分。 10 元素的特性（三）无序性 问　{1，2，3}与{3，2，1}是同一个集合吗？ 明确　是。集合中的元素不讲顺序。只要构成两个集合的元素一样，这两个集合就相等。 对比：坐标(1，2)与(2，1)是两个不同的点。圆括号讲顺序，花括号不讲顺序。 11 三个特性·各管一件事 确定性——管"判断"：一组对象能否构成集合，就看标准是否确定。 互异性——管"检验"：含参数的问题，解出参数后必须代回检验元素是否互不相同。 无序性——管"相等"：元素完全相同的两个集合相等，与顺序无关。 12 元素与集合的关系 　　设A是1～10之间所有偶数组成的集合，即A中的元素是2，4，6，8，10。 a属于A：a是集合A的元素，记作 a∈A a不属于A：a不是集合A的元素，记作 a∉A 如：4∈A，3∉A。 　　书写规范：开口朝集合；左边写元素，右边写集合，位置不能颠倒。∈和∉只用来连接元素与集合。 13 练一练 问　设B是方程x²－3x＋2＝0的所有实数根组成的集合，用∈或∉填空：1＿＿B，2＿＿B，3＿＿B。 明确　x²－3x＋2＝0，即(x－1)(x－2)＝0，根为1和2。所以 1∈B，2∈B，3∉B。 14 常用数集 N 自然数集 非负整数集 N* 正整数集 也记N₊ Z 整数集 Zahlen Q 有理数集 quotient R 实数集 real 　　五个记号要当堂记熟，下节课课前默写。 15 特别注意·0与N 问　0是自然数吗？0∈N对不对？ 明确　对。现行教材规定：自然数集N是非负整数集，0∈N。 N*是N去掉0，所以0∉N*。小学"从1数起"的印象要更新，考试以教材为准。 16 口答 问　用∈或∉填空：0＿＿N　　－3＿＿N　　0.5＿＿Z　　√2＿＿Q　　π＿＿R 明确　0∈N　　－3∉N　　0.5∉Z　　√2∉Q　　π∈R √2是无理数，不能写成两个整数之商。证明见本章"阅读与思考"。 17 怎么把一个集合写出来 　　概念有了，关系有了，还差一件事：把一个集合明明白白写在纸上。 列举法　·　描述法 18 列举法 　　把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号"{ }"括起来表示集合的方法，叫做列举法。 　　如：地球上的四大洋组成的集合写作　{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}。 　　元素较多但规律明显时可用省略号：正整数集{1，2，3，…}——先把规律写清楚，再加省略号。 19 例1（1） 问　用列举法表示：小于10的所有自然数组成的集合。 解　设该集合为A，则　A＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}。 注意：0是自然数，不能漏；元素之间用逗号，最好按从小到大排。 20 例1（2） 问　用列举法表示：方程x²＝x的所有实数根组成的集合。 解　由x²＝x得x²－x＝0，即x(x－1)＝0，解得x＝0或x＝1。 设该集合为B，则B＝{0，1}。 警示：两边约去x会丢掉根x＝0——含未知数的因式不能随手约。 21 列举法·三个注意 1．花括号本身已含"全体"之意——{全体整数}是错误写法，括号里不能再写"所有""全体"。 2．由互异性，元素不重复：x²－2x＋1＝0的解集写{1}，不写{1，1}。 3．由无序性，{0，1，…，9}与{9，8，…，0}是同一个集合，但按顺序写更清楚。 22 练一练 问　用列举法表示集合A＝{x∈Z|－2≤x＜3}。 明确　满足－2≤x＜3的整数有－2，－1，0，1，2，故A＝{－2，－1，0，1，2}。 端点看仔细：－2取得到，3取不到。 23 列不出来怎么办 问　请用列举法表示不等式x－3＜7的解集。 发现　列不出来。元素是所有小于10的实数，一一列举写不完，也没有规律可以用省略号。 但这些元素的共同特征说得清：都是实数，且都小于10。——不列元素，改写特征。 24 描述法 　　设A是一个集合，把A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为 { x∈A | P(x) } 竖线左边：代表元素及其取值范围——集合里装的是什么，由它说了算。 竖线右边：元素满足的共同特征。 　　如：x－3＜7的解集写作{x∈R|x＜10}；不致混淆时可简写为{x|x＜10}。 25 把符号念出来 问　把{x∈Z|－2≤x＜3}翻译成一句话；把"大于3的所有实数组成的集合"翻译成符号。 明确　{x∈Z|－2≤x＜3}读作：所有满足－2≤x＜3的整数x组成的集合。 "大于3的所有实数"写作：{x∈R|x＞3}，或{x|x＞3}。 符号与汉语来回翻译，翻熟了描述法就通了。 26 例2（1） 问　分别用描述法和列举法表示：方程x²－2＝0的所有实数根组成的集合。 解　描述法：A＝{x∈R|x²－2＝0}。 列举法：解方程得x＝√2或x＝－√2，故A＝{√2，－√2}。 27 例2（2） 问　分别用描述法和列举法表示：由大于10且小于20的所有整数组成的集合。 解　描述法：B＝{x∈Z|10＜x＜20}。 列举法：B＝{11，12，13，14，15，16，17，18，19}。 28 两种方法怎么选 　　元素有限且个数不多，用列举法，直观；元素无限或不便一一列举，用描述法。同一个集合常常两种写法都行，如例2的两个集合。多做几道互化题，选择的感觉自然就有了。 　　描述法在不致混淆时可以简写：所有直角三角形的集合可写作{x|x是直角三角形}，也可写{直角三角形}——但{全体直角三角形}是错的。 29 练一练 问　(1)用描述法表示"被3除余1的所有整数"；(2)用列举法表示{x∈N|x－3＜2}。 明确　(1){x|x＝3k＋1，k∈Z}——用等式刻画特征，比写文字更规范。 (2)x＜5且x∈N，得{0，1，2，3，4}。0不能漏，5不能取。 30 ★拔高探究（优生班） 小组讨论3分钟 下面三个集合一样吗？各自装的是什么？ A＝{x|y＝x²＋1}　　B＝{y|y＝x²＋1}　　C＝{(x，y)|y＝x²＋1} 　　提示：先看竖线左边的代表元素。拿不准就取几个具体的数试试——0在不在A里？0在不在B里？ 31 ★拔高探究·解答 明确　A的代表元素是x，条件对x没有限制（任何实数x都有对应的y），所以A＝R。 B的代表元素是y，y＝x²＋1≥1，所以B＝{y|y≥1}。 C的代表元素是点(x，y)，C是抛物线y＝x²＋1上所有点组成的集合。 结论　三个集合两两不同：A、B装的是数，C装的是点。读描述法，先看竖线左边——代表元素是什么，集合里装的就是什么。这三个集合到函数一章还会再见。 32 例·含参数的元素问题 问　已知集合A含有三个元素a＋2，(a＋1)²，a²＋3a＋3，且1∈A，求实数a的值。 　　先自己算。提醒一句：解出a的值就交卷的同学，这道题大概率是错的。 思路　1∈A，说明三个元素中有一个等于1——分三类讨论，逐类解出a，再代回检验三个元素是否互不相同。 33 例·解答过程 解　若a＋2＝1，则a＝－1，此时三个元素为1，0，1，违反互异性，舍去。 若(a＋1)²＝1，则a＝0或a＝－2。a＝0时三个元素为2，1，3，互不相同，成立；a＝－2时三个元素为0，1，1，违反互异性，舍去。 若a²＋3a＋3＝1，则a²＋3a＋2＝0，a＝－1或a＝－2，均已舍去。 综上，a＝0。 34 方法·固定三步 第一步　分类：让每个元素分别等于已知值，列方程。 第二步　求解：解出参数的全部候选值。 第三步　检验：逐一代回，算出集合的元素，检查是否两两不同——相同者舍去。 　　三步缺一不可。本题五个候选值舍去了四个，"检验"两个字要写大。 35 当堂检测（一） 限时完成学案检测第1、2题 问　1．下列能构成集合的是：A.跑得快的同学　B.充分接近√2的实数　C.大于－1的所有整数　D.高考数学的所有难题 问　2．用∈或∉填空：0＿＿N；√2＿＿Q；－2＿＿Z。 答案　1．C。其余三项的标准都不确定。 答案　2．0∈N；√2∉Q；－2∈Z。 36 当堂检测（二） 问　3．用列举法表示集合{x∈N|x＜4}。 问　4．集合A含有两个元素1和a²，则实数a不能取的值是＿＿＿。 答案　3．{0，1，2，3}。0不能漏。 答案　4．由互异性a²≠1，故a≠1且a≠－1。只答a≠1不完整。 37 本课小结 一个概念：元素→集合（描述性概念，重在会用） 三个特性：确定性管判断　·　互异性管检验　·　无序性管相等 两个符号：∈　∉（左元素，右集合） 五个数集：N　N*　Z　Q　R（0∈N） 两种表示：列举法　·　描述法（看竖线左边的代表元素） 38 易错提醒 1．0∈N，0∉N*——自然数含0。 2．含参数问题必须检验互异性，解出即答必错。 3．花括号内不写"所有""全体"。 4．∈只连元素与集合，左元素右集合。 5．方程组的解集写{(2，1)}，不写{2，1}——解是有序数对。 39 课时作业 1．课时作业A组（第1～8题）：全体必做，明天早读前交。 2．课时作业B组（第9～11题）：优生班必做，普通班选做。 3．预习1.2节，想一想：{1，2}和{1，2，3}这两个集合之间是什么关系？ 4．五个常用数集记号，下节课课前默写。 40 下节课见 1.2　集合间的基本关系 41 $