1.1集合的概念与表示第一课时课件----2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的概念与表示，通过“森林”“成绩好的学生”等实例导入，引导学生理解集合的确定性，衔接元素与集合的关系、元素三特性及四种表示方法，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于结合生活情境（如购物车用水果解释无序性）培养数学眼光，通过含参数集合例题（例7求a值）训练数学思维，用描述法步骤、区间法表格规范数学语言。助力学生发展抽象能力和推理意识，教师可借助分层例题提升教学效率。

集合的概念与表示 高中数学必修一第一章第一节第一课时 01 集合的含义 02 元素与集合的关系 03 集合中元素的特性 04 集合的表示方法 CONTENTS 目录 05 比较特殊的集合 2 集合的含义 01 Part One 如何理解集合 集合是由一组无重复元素的对象组成 集合元素不能重复 集合是由一个或多个确定的元素所构成的整体。任何事物和概念都可以成为元素，包括集合本身也可以是别的集合的元素。但是一个集合不可能是它自己的元素，即 A ∉ A 元素是多样的 ‌ 集合是具有某种特定性质的、确定的、互不相同的对象的总体。 集合含义 我们把数学的研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫作集合。 集合是由元素构成的 集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合。 对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象. 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 　集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、… 01 02 03 集合的概念 集合的概念 5 例1 下列各项中属于集合的是 （ ） （1）A 高中数学必修一 B 森林 C 桌子 D 汽车 （2）下列对象不能构成集合的是 ( ) A 拥有手机的学生 B 高1-23班成绩好的学生 C 所有有理数 D小 于 (3) 以下具有确定性的是 （ ） A 高个子同学 B 接近0的数 C 所有三角形 D 漂亮的女同学 B B 解： （1） B 其它选项不是总体 （2） B 成绩好是个模糊概念，不具有确定性 (3 ) C 由同一平面内不在同一直线上的三条线段，首尾顺次相接所围成的封闭图形；有三个顶点、三条边和三个内角 C 元素与集合的关系 02 元素与集合的关系 不属于 符号 ∉ 元素与集合 属于 符号 集合A={1,3,5,7,9} , 1,3,5,7,9是集合A的元素。 4∉A 集合A={1，3，5，7，9}， 集合A中的元素不包含4. 故”4∉A” 3 A={1,3,5,7,9}, 3是集合A中的一个元素， 故“3 元素与集 合的关系 例3 用属于“和不属于“∉”填空 (1) 0 ( ) {0} （2） 0 （ ）{|-2 (3) a ( ) {a,b,c} (4) 3( ) {| (5) 4 ( ){| （6） 1. __Q 2.___N 3.π___Q 4.___R 5.___Z 6.（___N 例3 ∉ 集合元素的三特性 03 集合元素的三特性 03 02 01 元素 特性 确定性 给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。 、互异性 一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。 无序性 一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。 集合中的元素必须是确定的.也就是说，对于一个给定的集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的，或者是A的元素，或者不是A的元素，是与不是必有一种且只有一种成立，二者必居其一，不会模棱两可.不然的话，就构不成一个集合。 集合的描述不能包含"很大""较小""著名"等主观性词语。例如"某学校个子高的学生"不能构成集合，因为"高个子"缺乏明确判定标准。 01 对元素确定性的理解 02 明确判断标准 避免模糊表述 例4 下列各组对象不能构成集合的是 （1) A 上课迟到的学生 B 2026年高考的数学难题 C 所有的有理数 D 小于 （ ） （2) A参加 2026年美加墨世界杯的球员 B 小于的正整数 C 高三聪明的学生 D 我国著名的科学家 （ ） B CD 元素的互异性指集合中的元素必须互不相同，不允许重复出现 集合中的元素是唯一的，同一元素不能在集合中重复出现。 例如，{1, 2, 2} 会被视为 {1, 2}，因为重复的元素 2 仅保留一次 核心定义 该特性是集合区别于其他数学概念的关键，确保集合元素的明确性和简洁性。在实际应用中，需通过检验互异性避免重复元素，例如方程解集 {x|x²=4} 的元素为 {-2, 2}，而非 {-2, 2, 2} 应用意义 16 例5 (1) 下列四个集合中，满足元素互异性的是 （ ） A {0,1,2,2,3} B { | a , , D{ | B (2) 已知集合A={1，2，a} 集合B={2,4,b},若A=B,求a,b的值 （ ） A a=4 b=1 B a=1 b=4 C a=4 b=1 或 a=1 b=4 D a=1 b=4 或 a=4 b=1 A 例6 已知集合M={m,,1},且0m= ( ) 解： ∵0 例7 已知集合A含有三个元素，a-3,2a-1, 解：∵-3 ③ ∴a= 故 a=0 或a=1 无序性的理解 集合简单说就是把一些东西放在一起看作一个整体。比如说，咱们把班里所有喜欢数学的同学看作一个集合。集合里的这些“东西”，也就是同学，就是这个集合的元素。集合元素的无序性就是说，集合里元素的排列顺序是没有关系的。就像刚才说的喜欢数学的同学这个集合，不管是先列出小明，再列出小红，还是先列出小红，再列出小明，这都不影响这个集合本身。它还是那个由喜欢数学的同学组成的集合，不会因为元素顺序变了，集合就变成别的集合了 如何理解集合元素的无序性 咱们再举个例子，有一个集合A=｛1,+2,+3}，还有一个集合B=｛3,+2,+1}。按照集合元素无序性的特点，这两个集合其实是一样的。你看，虽然1、2、3在集合A里是按从小到大的顺序排的，在集合B里是从大到小的顺序排的，但它们包含的元素都是1、2、3这三个，所以集合A和集合B是同一个集合。 这就好比你有三个苹果，不管你是先拿起最大的那个，再拿起中等的，最后拿起最小的，还是先拿起最小的，再拿起中等的，最后拿起最大的，这一堆苹果始终就是那三个苹果，不会因为拿的顺序不同，苹果的数量和种类就变了 在生活中，也有很多类似集合元素无序性的情况。比如说，你要去超市买苹果、香蕉和橙子。你把这三种水果放进购物车里的顺序可以是先拿苹果，再拿香蕉，最后拿橙子；也可以是先拿香蕉，再拿橙子，最后拿苹果。不管你怎么放，购物车里都是这三种水果，不会因为放的顺序不同，而改变。 集合的表示方法 04 列举法 01 列举法 集合列举法是一种将具有某种共同特征的事物或元素，按照一定的规则和方式进行罗列和表述的方法。在数学、计算机科学、统计学等众多领域，以及日常生活和工作的各种场景中，它都有着广泛的应用。 比如说，我们要描述一个班级里所有男生的集合。假设这个班级有张三、李四、王五等同学，其中张三、李四、王五是男生，那么我们就可以用集合列举法表示这个班级男生的集合为{张三,+李四,+王五}。这里，花括号{｝表示集合，里面的元素就是班级里的男生。 再比如，一个商店里售卖的水果种类，有苹果、香蕉、橙子等。用集合列举法表示这个商店水果种类的集合就是{苹果,+香蕉,+橙子}。从这些简单的例子可以看出，集合列举法就是把特定的对象清晰地罗列出来，让我们能够直观地看到所涉及的元素有哪些。 列举法的优缺点 直观：列举法通过一一列出集合中的所有元素，使得集合的内容一目了然，非常直观。 灵活简便：对于元素数量较少或者有一定规律的集合，列举法可以迅速而简便地得出结果 元素多时不便：当集合中的元素数量非常多，或者元素之间没有明确的规律时，列举法会变得非常繁琐和不切实际。此时，一一列举所有元素将耗费大量的时间和精力。 缺点 优点 例8、（1)用列举法将1，2，3三个数字排成的无重复数字的三位数的集合表示出来 (2) A={(x,y)|x+y=5,x,y 解：（1）{ 123，132，213， 231，321，312} （2）集合A的元素是有序 数对（x,y),这些数对，需要满足两个条件 ① 等式条件 x+y=5 ② 范围条件 x,y 集合A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)} 描述法 02 描述法 描述法 再举个例子，｛x｜x是三角形的内角｝，这个集合就是由所有三角形的内角组成的。通过描述法，我们能精准地界定集合的范围。 集合，简单来说，就是把一些具有共同特征的东西放在一起。而描述法呢，就是一种用来准确描述这些集合里元素特征的方法。比如说，有一群人，他们的共同特征是都喜欢打篮球，那我们就可以用描述法来表示这个集合。可以写成{x｜+x是喜欢打篮球的人｝，这里的x代表集合里的元素，竖线后面描述的就是元素的特征。 描述法的关键在于清晰地说出集合里元素到底有什么特点。像{x｜x是大于5的整数｝，这个集合里的元素就是所有大于5的整数。描述法能让我们很明确地知道一个集合包含哪些东西。 描述法的优缺点 描述 法是一种使用数学符号和逻辑语言来描述集合的方法。描述法的优点是可以简洁地描述无限集合，适用范围广。 但描述的准确性和严谨性要求较高，需要明确给出元素的特征或性质 缺点 优点 描述法的步骤 写 代表元素， 明确元素的特征 第二步 第一 步 描述法应注意的问题 1 写清楚该集合代表元素的符号.例如，集合{x∈R|x<1}可以写成{x|x<1}，而不能写成{x<1} 2 所有描述的内容都要写在花括号内.例如，{x∈Z|x=2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x=2k，k∈Z}. 3 竖线不能省，不能出现未被说明的字母.多层描述时应当准确适用“且”“或”. 4 在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如，方程x-2x+1=0的实数解集可表示为{x∈R|x^2-2x+1=0}，也可写成{x|x^2-2x+1=0} 注意 31 例8 1.集合B={x|x是整数且-1<x<1}用描述法表示错误的是（ ） A.{x|x=0} B.{x|x=0.5} C.{x|x=-0.5} D.{x|x=1} 【答案】B正确【解析】-1<x<1的整数只有0，故B选项错误。 2.集合C={x|x是大于等于0的偶数}用描述法表示正确的是（ ） A.{x|x=2n,n为整数} B.{x|x=2n+1,n为整数} C.{x|x=n,n为整数} D.{x|x=n,n为正整数} 【答案】A正确【解析】大于等于0的偶数可以表示为2n,n为整数，故A选项正确。 例 9 1.下列哪个集合可以用描述法表示为{x|x是小于10的质数}？ （ ） A.{2,3,5,7} B.{1,2,3,4,5,6,7,8,9} C.{10,11,12,13} D.{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 【答案】A正确【解析】小于10的质数有2,3,5,7，故A选项正确。 2.集合A={x|x是方程x^2-4=0的解}用描述法表示正确的是（ ） A.{x|x=2} B.{x|x=-2} C.{x|x=±2} D.{x|x=4} 【答案】C正确【解析】方程x^2-4=0的解为x=2或x=-2，故C选项正确。 例10 1.集合E={x|x是小于10的奇数}用描述法表示正确的是（ ） A.{x|x=2n+1,n为整数} B.{x|x=2n-1,n为整数} C.{x|x=n,n为整数} D.{x|x=10} 【答案】B正确【解析】小于10的奇数可以表示为2n-1,n为整数，故B选项正确。 2.集合F={x|x是小于0的偶数}用描述法表示正确的是（ ） A.{x|x=2n,n为整数} B.{x|x=2n+1,n为整数} C.{x|x=n,n为整数} D.{x|x=n,n为负整数} 【答案】D正确【解析】小于0的偶数可以表示为n,n为负整数，故D选项正确。 3.集合G={x|x是小于10的合数}用描述法表示正确的是（ ） A.{x|x=2,3,5,7} B.{x|x=4,6,8,9} C.{x|x=1,3,5,7 }D.{x|x=0,2,4,6,8} 【答案】B正确【解析】小于10的合数有4,6,8,9，故B选项正确。 Venn图法 03 Venn图法 区间法 04 区间法 比较特殊的集合 05 含有有限个元素的集合叫做有限集 把不含任何元素的集合叫做空集Ф 含有无穷个元素的集合叫做无限集。 01 02 03 集合 集合分类 40 常见的数集： 1、非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合，记作N； 2、正整数集：非负整数集内排除0的集，记作N* 或N+； 3、整数集：全体整数的集合，记作Z ； 4、有理数集：全体有理数的集合，记作Q ； 5、实数集：全体实数的集合，记作R。 注：（1）自然数集包括数0。 （2）非负整数集内排除0的集，记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*。 空集是不含任何元素的集合，数学符号为∅ 两个集合相等，它们有相同的元素；空集合是没有元素的，即空集是唯一的 唯一性 空集是没有任何元素，{0}是含有一个0，不是空集∅ 空集和{0} 空集是“内部”没有元素的集合，但这个集合是“存在”的，即“有”这个集合。可以将集合想象成一个装有其元素的袋----袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的。 空集不是无 例11给出的下列关系式。①A=,B=，③{ x|=0}= ） 解：空集是不含有任何元素，因此所有的空集都相等 ①正确 是空集 ②错误 是0 ③错误 ∵=0方程无解，故其解集是 ①④ $