专题4.3 解三角形及其应用（8重难点题型+高分技法+高考真题）专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以高考真题与模拟题为载体，通过8大重难点题型系统构建解三角形方法体系，涵盖定理选择、形状判断、面积周长最值等核心应用，培养数学思维的推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解三角形|8题|正余弦定理选择策略（5种类型）、边角转化技巧|从定理直接应用到复杂边角转化，形成"选定理-巧转化-得结论"逻辑链| |形状判断|7题|化边化角法、三角恒等变换|通过边角关系推导内角关系，建立"边-角-形状"对应| |面积/周长最值|10题|面积公式（4种）、不等式求最值|结合定理与函数性质，实现"几何量-代数表达式-最值"转化| |中线/角平分线|9题|中线长定理、内角平分线定理、等面积法|从特殊线段性质切入，拓展定理应用场景| |三角综合|4题|三角函数图象与性质、解三角形结合|融合三角变换与几何应用，体现知识横向联系|

专题4-3 解三角形及其应用 1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________． 4．（2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 5．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度) 6．（2024·上海·高考真题）三角形中，，则______ 7．（2026·全国二卷·高考真题）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 8．（2026·全国一卷·高考真题）已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 9．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 10．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 11．（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 12．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 重难点题型1 利用正弦定理、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理． 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简． 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等．． 1．（2026·山东聊城·二模）在中，已知，则（ ） A． B． C． D．4 2．（2026·山东潍坊·三模）设的内角所对的边分别为，若，，则（     ） A． B． C． D． 3．（2026·福建泉州·模拟预测）钝角的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（） A． B． C． D． 4．（2026·湖南湘西·三模）在中，内角的对边分别为，已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知，，，则________． 6．（2026·海南海口·模拟预测）记的内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则的面积为________. 7．（2026·江苏扬州·三模）在中，D是线段上一点，且，，则的最大值为_________． 8．（2026·安徽合肥·模拟预测）在锐角三角形中,,,的对边分别为,,,若,则的取值范围是________． 重难点题型2 判断三角形的形状 1、通过正弦定理和余弦定理，化边为角（如，等），利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断。此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如，；或等． 2、利用正弦定理、余弦定理化角为边，如，等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断． 3、注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种情况的可能． 1．（2026·浙江·二模）记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或直角三角形 2．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则是（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（2026·湖南湘潭·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 4．在中，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 5．（2026·湖南怀化·一模）在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 6．在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 7．在中，的对边分别为，若，则的形状为（） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 重难点题型3 与三角形周长有关的最值问题 1．（2026·山东聊城·一模）记的内角的对边分别为，已知，的面积为，． (1)求； (2)求的周长. 2．（2026·山西忻州·模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求证：； (2)若，且的面积为，求的周长． 3．（2026·河南·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A； (2)若，求的周长的取值范围． 4．（2026·河北保定·三模）在 中，角的对边分别为． (1)若，求A； (2)若 为锐角三角形，且，求 周长的取值范围． 重难点题型4 与三角形面积有关的最值问题 1、常用的三角形面积公式： 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心． （1） （2） （3） （4） 2、与三角形面积有关问题的解题策略 （1）利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积； （2）把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量． 1．（2026·上海浦东新·三模）设． (1)求函数在区间上的最小值； (2)在中，若且，求的面积． 2．（2026·重庆江津·三模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 (1)求C； (2)若D在AB边上， 且AD=2DB， CD =2， 求△ABC面积的最大值. 3．（2026·湖北十堰·模拟预测）在中，内角的对边分别为，已知，，． (1)求边的长度； (2)若点在边上，且满足，求的面积． 4．（2026·重庆·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足：． (1)证明：； (2)若，且，求的面积． 5．（2026·湖南·三模）在中，内角所对的边分别为，已知函数，且． (1)求角的大小； (2)若，的周长为，求的面积． 6．（2026·安徽合肥·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若点为的中点，，，求的面积． 重难点题型5 中线问题 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 2、向量法： 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 1．（2026·河北秦皇岛·二模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求; (2)若，，为的中点，求的长. 2．（2026·河南新乡·三模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)若，点为边BC的中点，的角平分线交BC于，求. 3．（2026·山西大同·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，，点D在边上，且，求的长． 4．（2026·天津武清·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，． (1)求角的大小； (2)若，为的中点，且，求的值． 5．（2026·福建福州·三模）记的内角的对边分别为，已知的面积为. (1)求； (2)若，求边上的中线长. 重难点题型6 角平分线问题 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， 1、利用角度的倍数关系： 2、内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷． 3、等面积法： 因为，所以，所以 整理的：（角平分线长公式）． 1．（2026·安徽阜阳·模拟预测）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1且． (1)求A； (2)设角A的平分线交边BC于点D，求AD长度最大值． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，. (1)求角B； (2)求a，c，b的值； (3)若为的平分线，且在边上，求的长. 3．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且. (1)求； (2)角的平分线交于点，且，求的周长. 4．（2026·江西南昌·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，，且的面积为． (1)求的值； (2)如图，过点作，与平分线相交于点，若，求线段的长度． 5．（2026·四川成都·三模）已知的面积为，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，的角平分线交于点，求线段的长. 重难点题型7 倍角问题 1．（2026·天津河东·三模）在中，分别为三个内角的对边．且 (1)求角的大小； (2)若． （i）求； （ii）求的值． 2．（2026·湖北黄冈·二模）已知锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求证：； (2)求的取值范围． 3．（天津市滨海新区塘沽第一中学2026届高三毕业班十二校联考（三）模拟考数学试题）在中，角、、的对边分别为、、，且满足，，． (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的值． 4．（2026·宁夏吴忠·三模）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求证：； (2)若，的面积为，求，． 5．（2026·河北保定·模拟预测）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且 . (1)证明: ； (2)若是锐角三角形，求 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 重难点题型8 解三角形与三角函数的综合应用 1．（2026·重庆·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，其中，，且. (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长． 2．（2026·重庆·模拟预测）知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式和单调递减区间； (2)在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，求的最大值． 3．（2026·北京海淀·二模）如图，在四边形中，是的角平分线． (1)求证：； (2)若．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四边形存在，求四边形的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 4．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，其中． (1)求的值及函数的零点； (2)设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为AB的中点.若B为锐角，且，，，求b． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4-3 解三角形及其应用 1．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理直接计算求解即可. 【详解】由题意得， 又，所以. 故选：A 2．（2024·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 3．（2026·天津·高考真题）在中，，，，则__________． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理解三角形 【详解】在中，，所以， 由正弦定理可得. 4．（2026·全国二卷·高考真题）已知球的体积为，A，B，C，D四点均在球O的球面上，为等边三角形，，则的面积为__________． 【答案】 【难度】0.55 【知识点】三角形面积公式及其应用、多面体与球体内切外接问题 【分析】根据球的体积得出球的半径，由正三棱锥的对称性得出球心的位置，然后由勾股定理，列方程组求解. 【详解】由球的体积公式，，解得， 设的外心为，连接， 由题意知为该三棱锥的高，所以该三棱锥的外接球的球心在上， 不妨设在线段上，连接， 设的边长为，由正弦定理可得，， 再设，由题知，， 解得（负值表示球心在线段的延长线上，实际情况如右图）， 所以， 由三角形面积公式，. 5．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则______(精确到0.1度) 【答案】 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、角度测量问题 【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案. 【详解】设， 在中，由正弦定理得， 即’ 即① 在中，由正弦定理得， 即，即，② 因为，得， 利用计算器即可得， 故答案为：. 6．（2024·上海·高考真题）三角形中，，则______ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形 【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解． 【详解】三角形中，， ， 由正弦定理，，， 得． 故答案为：． 7．（2026·全国二卷·高考真题）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：由，则， 又，得，则， 由两角和的余弦公式，， 结合可知， 则异号，必然一个为负，一个为正. 又，即中必有一个是钝角； (2) 【难度】0.62 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1），结合题设得出，然后由两角和的余弦展开得到，进而得解； （2）先推出三角形面积公式的变形式，解得，由正弦定理进而得出，然后列余弦定理和面积公式的关于的方程组求解. 【详解】（1）略 （2）方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， ， （是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则， 由余弦定理，即， 又，则， 于是，即， ，解得， 故周长为. 方法二：由，则， 即， 由正弦定理可得，， 由三角形面积公式，， 得到，则，其余同上. 8．（2026·全国一卷·高考真题）已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.53 【知识点】余弦定理解三角形、向量在几何中的其他应用 【分析】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边，再用余弦定理求； （2）建立坐标系，设出点坐标，由平行关系得点的坐标，利用垂直条件求参数，由长度解出，再计算. 【详解】（1）在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. （2）以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故. 9．（2025·北京·高考真题）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 【答案】(1)6 (2)选①，不存在；选②，高为；选③，高为. 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由平方关系、正弦定理即可求解； （2）若选①，可得都是钝角，矛盾；若选②，由正弦定理求得，由余弦定理求得，利用等面积法求得高；若选③，首先根据三角形面积公式求得，再根据余弦定理可求得，由此可说明三角形存在，且可由等面积法求解. 【详解】（1）因为，所以， 由正弦定理有，解得； （2）如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时不存在，故边上的高也不存在； 若选②，，由有，由正弦定理得,所以， 所以由余弦定理得, 此时三角形是存在的，且唯一确定， 所以,即， 所以边上的高； 若选③，的面积是，则， 解得，由余弦定理可得可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定， 这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即. 10．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理化边为角再化简可求； （2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于的方程，求解可得，进而求得； （3）利用正弦定理先求，再由二倍角公式分别求，由两角和的正弦可得. 【详解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 11．（2025·上海·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，求a； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理角化边结合勾股定理求解即可； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可； 【详解】（1）由正弦定理可得即， 又，所以，即，解得， 所以. （2）因为，且，， 所以，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 12．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1），利用余弦定理即可得到方程，解出即可； （2）法一：求出，再利用正弦定理即可；法二：利用余弦定理求出，则得到； （3）法一：根据大边对大角确定为锐角，则得到，再利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可；法二：直接利用二倍角公式和两角差的余弦公式即可. 【详解】（1）设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. （2）法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 （3）法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 重难点题型1 利用正弦定理、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是： 1、选定理. （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理． 2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简． 3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等．． 1．（2026·山东聊城·二模）在中，已知，则（ ） A． B． C． D．4 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】设，由条件结合余弦定理列方程可求. 【详解】在中，设， 因为，所以， 根据余弦定理可得，，又， 所以，故， 求解可得， 所以. 2．（2026·山东潍坊·三模）设的内角所对的边分别为，若，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】正弦定理解三角形 【详解】，， 由正弦定理可得：. 又，，，. 又，可得. 3．（2026·福建泉州·模拟预测）钝角的内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】正弦定理边角互化的应用、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】先对已知等式进行化简，求出角，再利用余弦定理将转化为关于角的表达式，最后根据角的范围求出的取值范围. 【详解】已知，则. 即. 所以. 由于， 所以或. 当时，可得，那么，不满足为钝角三角形， 舍去. 当时，则，满足为钝角三角形，此时. 由正弦定理得， ， 由各内角大于0，即，可得，故， 对勾函数在上单调递减，且， 所以，所以的取值范围为. 4．（2026·湖南湘西·三模）在中，内角的对边分别为，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理解三角形 【分析】利用同角三角函数关系式以及正弦定理求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 在中，由以及正弦定理得：，得． 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知，，，则________． 【答案】 【难度】0.88 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理可得，代入已知数值可求. 【详解】根据正弦定理知，， 又，，， 所以. 6．（2026·海南海口·模拟预测）记的内角，，所对的边分别为，，.已知，且，则的面积为________. 【答案】 【难度】0.82 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【详解】由正弦定理得，. 则. ， 的面积是. 7．（2026·江苏扬州·三模）在中，D是线段上一点，且，，则的最大值为_________． 【答案】 【难度】0.42 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、正弦定理解三角形 【分析】设角并利用正弦定理转化，将的最值问题转化为三角函数的最值问题，借助辅助角公式求得最大值即可. 【详解】如图，设，则，所以， 由正弦定理可得，在中：； 在中，可得，即， 因为， 所以代入得， 得到， 令，则，设， 则，得到， 可得，解得，即， 得到，因为为锐角，所以，即. 8．（2026·安徽合肥·模拟预测）在锐角三角形中,,,的对边分别为,,,若,则的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.3 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】通过余弦定理与已知边长关系消去，得到关于的二次方程，解出；再利用正弦定理将转化为，结合展开并整理出关于的表达式；最后由锐角三角形条件导出，代入不等式平方解得 ，即，结合得到. 【详解】设中角对边分别为，已知锐角三角形且. 由余弦定理，代入得， 整理得. 两边除以并令，则，即. 解得（负根舍去）. 由正弦定理，且，故. 展开，得， 所以. 锐角三角形中. 由知，即，此式恒成立. 由得，即， 所以由正切函数单调性有. 因为 所以得， 所以， 即， 整理得. 两边为正，两边平方：， 即， 化简得，故. 因为为锐角，，所以，即. 又，因此， 于是的取值范围是. 重难点题型2 判断三角形的形状 1、通过正弦定理和余弦定理，化边为角（如，等），利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断。此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如，；或等． 2、利用正弦定理、余弦定理化角为边，如，等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断． 3、注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种情况的可能． 1．（2026·浙江·二模）记，，分别为的内角，，的对边，且，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或直角三角形 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】应用正弦定理得出，再应用余弦定理计算得出两角和余弦值即可得出角的范围判断形状. 【详解】因为，由正弦定理得，又，故， 由余弦定理得，故， 得，所以， 得， 所以，或，，所以为钝角三角形. 2．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则是（   ） A．钝角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由和正弦定理可得，即，又得，即可判断是等边三角形 【详解】由及正弦定理可得，得， 故（舍去）或，即， 又，所以， 因，，得，故， 故是等边三角形， 故选：B 3．（2026·湖南湘潭·三模）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 【答案】B 【难度】0.66 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】通过正弦定理将角化为边得，再结合余弦定理即可得结果. 【详解】由，可得，则， 则，则A为钝角， 故的形状是钝角三角形. 4．在中，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【难度】0.8 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用正余弦的边角关系及三角恒等变换得到（或），即可得. 【详解】法一：由及正弦边角关系得，又， 所以，即， 由，则，且，即， 法二：， 综上，是直角三角形且，但不能确定的关系. 5．（2026·湖南怀化·一模）在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【难度】0.64 【知识点】二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】先利用二倍角的余弦公式对等式进行化简，消去半角形式，化简后等式中含有边和角的混合形式，所以考虑利用正弦定理将边转化为角的正弦形式，再结合诱导公式对等式中的角进行转化，整理后得到角之间的关系，进而判断三角形的形状. 【详解】在中， , 则，即， 则，即得, 由于，故，结合，可得， 即一定为直角三角形， 6．在中，已知，则的形状为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦二倍角公式即可判断. 【详解】在中，， ∴由正弦定理，得． 又，，． ，即，即， 因为， 或，即或， 为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 7．在中，的对边分别为，若，则的形状为（） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由正弦定理将边化角，再由二倍角公式及三角函数的性质判断即可． 【详解】由题可得， 由正弦定理可得， 所以， 又，则， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形． 故选：D 重难点题型3 与三角形周长有关的最值问题 1．（2026·山东聊城·一模）记的内角的对边分别为，已知，的面积为，． (1)求； (2)求的周长. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦定理对边化角，即可求解； （2）由三角形面积公式先求得，再结合余弦定理得到，即可求解. 【详解】（1），由正弦定理知， 因为，， 所以，即． 又因为，所以． （2）因为的面积为，所以． 由（1）知，所以，所以． 由余弦定理知，， 所以， 所以，所以， 所以的周长为． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求证：； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1)因为， 所以． 由题意， 得． 展开左边：． 整理得． 所以，即． 又因为，为三角形内角，故． 因此，即． (2)6 【难度】0.72 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）根据三角恒等变换即可证明； （2）先求出以为底的高，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）略． （2）由（1）知，所以， 又，且的面积为，以边为底边时，其对应高为， 因为，所以顶点到的垂线平分， 又半底长为， 故， 所以三角形周长为． 3．（2026·河南·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求A； (2)若，求的周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.57 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）先将转化为，化简求出的值即可求出； （2）利用余弦定理结合基本不等式，先求出的取值范围，再结合三角形三边的关系，最终求出三角形周长的取值范围. 【详解】（1）在中，，则， 所以， 因为，所以， 则，所以， 又因为，所以，因此，即， 因为，所以； （2）由（1）知，又， 由余弦定理可得，即， 由基本不等式（当且仅当时等号成立），则， 所以，即，所以， 又因为在三角形中，，所以， 因此周长. 4．（2026·河北保定·三模）在 中，角的对边分别为． (1)若，求A； (2)若 为锐角三角形，且，求 周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.52 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】(1)利用正弦定理边化角，通过三倍角公式变形，再解三角方程即可求解； (2)利用边化角，再利用三角恒等变形，即可得到周长的取值范围. 【详解】（1）已知，且，因此， 由正弦定理，结合得， 即，展开 ， 因为，，所以， 又因为，故，所以可得 ​​，即， 因此. （2）已知，，由正弦定理​， 可得：，又， 再由正弦定理​，则， 故三角形的周长： 因为为锐角三角形，三个角均为锐角： ，可得，即， 所以. 重难点题型4 与三角形面积有关的最值问题 1、常用的三角形面积公式： 在中，内角，，所对的边分别为，，，边，，边上的高分别记作，，，为内切圆半径，为外接圆半径，为内切圆心． （1） （2） （3） （4） 2、与三角形面积有关问题的解题策略 （1）利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积； （2）把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量． 1．（2026·上海浦东新·三模）设． (1)求函数在区间上的最小值； (2)在中，若且，求的面积． 【答案】(1)4 (2) 【难度】0.68 【知识点】三角形面积公式及其应用、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】（1）使用换元法转化为一元二次函数的最值问题求解； （2）使用三角形的面积公式求解. 【详解】（1）由题意得 ， 令，，． 对于，开口向下，对称轴． 由二次函数性质得在对称轴处取最大值；最小值在端点处： 当（即）时：； 当（即）时：． 故最小值为4（当时取得）． （2）由，设， 则，得到， 而在内无解．或． 若（此时超出三角形内角和，舍去）． ， 由知为等腰三角形，，． ． 2．（2026·重庆江津·三模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 (1)求C； (2)若D在AB边上， 且AD=2DB， CD =2， 求△ABC面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.71 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）根据正弦定理进行边化角，得到利用两角和的正弦公式求解即可得解. （2）由题意在边上一点，且，可得，将此式子两边平方，通过计算，结合基本不等式得到的最大值，从而得到的最大值. 【详解】（1）（1）由题意，根据正弦定理得， ∵，∴，∴， ∵，即：， ∵，∴. （2）（2）由题意在边上一点，且， 可得， ∴，∴， 故，， ∴当且仅当时取到等号，故， ∴的最大值为，当且仅当时取到等号. 3．（2026·湖北十堰·模拟预测）在中，内角的对边分别为，已知，，． (1)求边的长度； (2)若点在边上，且满足，求的面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.75 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）直接代入余弦定理求解边； （2）利用两个小三角形面积和等于总面积，列方程可求解目标三角形的面积. 【详解】（1）在中，由余弦定理 代入，，， 可得 ， 由于，因此. （2）设，由已知得， 根据三角形面积公式 ， 又 的面积为 ， 由，可得 ， 解得，即. 4．（2026·重庆·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且满足：． (1)证明：； (2)若，且，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.63 【知识点】二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变形化简得，进而可得； （2）利用二倍角公式化简得，进而得到，，，再求，求出面积即可． 【详解】（1）证明：， 由正弦定理可得 ， 即 ， ，， 即； （2） 解得，又，所以， ，， 又，所以， ． 5．（2026·湖南·三模）在中，内角所对的边分别为，已知函数，且． (1)求角的大小； (2)若，的周长为，求的面积． 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.74 【知识点】辅助角公式、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数后代入即可求解； （2）利用正余弦定理及三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1），       已知，即，∵，∴，        ∴或，解得或． （2）由题意知：，周长，∴， ①当时，由余弦定理：， 代入，，，得， 即．由完全平方公式，且， 代入得：，即，解得．           的面积；         ②当时，由正弦定理：，∵，， ∴，∴，． ∵，∴，又，∴， 展开化简： ∴，因此不符合题意， 综上得，的面积为． 6．（2026·安徽合肥·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若点为的中点，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【难度】0.57 【知识点】二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由正弦边角关系、和角正弦公式化条件为，再由三角形内角和性质求得，最后应用二倍角余弦公式求值； （2）利用余弦定理及得、，从而得，再由平方关系求得，最后应用三角形面积公式求面积. 【详解】（1）由及正弦定理，得， 所以，即， 因为，，所以，    所以； （2）在中，由余弦定理，得，     在中，由余弦定理，得，    因为，所以， 所以，     在中，由余弦定理，得， 所以， 综上，，又，，所以， 所以. 重难点题型5 中线问题 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则 2、向量法： 【点睛】适用于已知中线求面积（已知的值也适用）. 1．（2026·河北秦皇岛·二模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求; (2)若，，为的中点，求的长. 【答案】(1) (2) 【难度】0.76 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】(1)利用正弦定理边化角，经过三角恒等变换得到，再利用三角形中角的范围得到的值. (2)根据余弦定理得到的值，然后利用爪形定理得到三角形边长与中线的关系即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得 由，得. 因为，所以 ，故. 即.又因为 ，所以， 所以，故. （2）在中，由余弦定理得， 所以 ，又，所以. 因为为的中点，， 则，所以. 2．（2026·河南新乡·三模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求； (2)若，点为边BC的中点，的角平分线交BC于，求. 【答案】(1) (2) 【难度】0.56 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理得边的关系，根据余弦定理得的大小； （2）根据余弦定理和中线向量可求，再根据面积关系可求的长. 【详解】（1）由正弦定理得，即， 由余弦定理得. 因为，所以. （2）由（1）得，即.① 因为，所以， 即，所以.② 由①②得， 所以，所以. 因为，且， 所以，即， 所以. 3．（2026·山西大同·三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A； (2)若，，点D在边上，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、用基底表示向量、已知数量积求模 【分析】（1）由正弦定理进行边角互化，并根据诱导公式、两角和的正弦公式及同角三角函数关系式，求得，从而得到； （2）由点D在边上，且，知，根据求向量模的方法可得，即的长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 所以， 又，所以， 又，则． （2）因为点D在边上，且， 所以， 所以， 所以，即AD的长为． 4．（2026·天津武清·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，． (1)求角的大小； (2)若，为的中点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.64 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由题设结合正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可； （2）先在中利用余弦定理求得，再在中，由余弦定理求解即可. 【详解】（1）由， 根据正弦定理得，， 则， 在中，，则， 又，则. （2）由，为的中点，则， 在中，由余弦定理得， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 则. 5．（2026·福建福州·三模）记的内角的对边分别为，已知的面积为. (1)求； (2)若，求边上的中线长. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用余弦定理和面积公式可得； （2）利用正弦定理求出，结合（1）求出，即可求出，利用可得. 【详解】（1）因为以及余弦定理可得，，即， 因为的面积为，所以，即， 得，因为，所以； （2）由（1）可得，， 由正弦定理可得，， 因为，所以，， 则由可得， 设线段的中点为， 则 ， 得，得， 故边上的中线长为 重难点题型6 角平分线问题 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， 1、利用角度的倍数关系： 2、内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷． 3、等面积法： 因为，所以，所以 整理的：（角平分线长公式）． 1．（2026·安徽阜阳·模拟预测）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a=1且． (1)求A； (2)设角A的平分线交边BC于点D，求AD长度最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.54 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用三角形内角和为，结合诱导公式与正弦定理边角互化求解； （2）利用三角形面积公式和三角形面积的几何关系，结合余弦定理把长度的关系式表示出来并化简成基本不等式的形式，利用基本不等式求最值 【详解】（1）由题意，∵， ∴， 整理得：， ∵，∴，∴，又，∴， 由正弦定理得：，∴， ∵，∴，即， ∵，∴. （2）由题意及（1）得， 由几何知识得，， ∵， ， ∴，解得：， 由余弦定理得：， 即，解得：， ∴，解得：， ∵， ∴（当且仅当时取等号） ∴， ∴的最大值是． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，，，. (1)求角B； (2)求a，c，b的值； (3)若为的平分线，且在边上，求的长. 【答案】(1) (2)，， (3) 【难度】0.72 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据余弦定理即可求解； （2）先根据面积公式求出，再根据余弦定理求出； （3）利用面积分割结合面积公式即可求解. 【详解】（1）由余弦定理，，即. 又由题设，则得. 即，因，则. （2）由，可得， 又，则可将a，c看成方程的两个根， 解得或.由于，所以，. 再由余弦定理，， 则. （3）因为，平分，所以， 又， 则， 则. 3．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且. (1)求； (2)角的平分线交于点，且，求的周长. 【答案】(1)； (2) 【难度】0.6 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换，特殊角的三角函数值得到，由正弦定理可得； （2）根据三角形面积和余弦定理可得方程组，联立可得，求出三角形周长 【详解】（1）， 由正弦定理得， 即， ， 又，，， 所以，，， 因为，所以，故，解得， 外接圆的半径为，由正弦定理得， 所以， （2），故， 由三角形面积公式可得， ，， ，即，， 在中，由余弦定理可得， 即，故， 因为，所以，解得或（舍去）， 故的周长为. 4．（2026·江西南昌·三模）在中，内角，，的对边分别为，，，，且的面积为． (1)求的值； (2)如图，过点作，与平分线相交于点，若，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【难度】0.68 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由已知的结构，应用余弦定理得到的表达式，结合三角形面积公式得，利用同角三角函数关系即可求出； （2）结合第一问结论和求出对应边长，再由平行线和角平分线推得，最后应用余弦定理即可算出的长度. 【详解】（1）由已知条件，得， 根据余弦定理，代入得 ①， 又的面积，由三角形面积公式得： ②， 将①②平方相加，结合可得 ， 即， 代入①得； （2）已知，即，结合得 ： ，从而， 因为是的平分线，所以； 又，内错角相等得，因此， 故为等腰三角形，， 由，同旁内角互补得， 因此， 在中，由余弦定理， 代入可得： ， 因此. 5．（2026·四川成都·三模）已知的面积为，内角所对的边分别为，且. (1)求； (2)若，的角平分线交于点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【难度】0.68 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式对已知条件进行转化，进而求出角. （2）先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用正弦定理求出b，最后利用三角形面积公式求出线段的长. 【详解】（1）因为，， 所以 ， 即，所以. 又，所以. （2）因为，所以， 所以 . 由正弦定理可得，，， 又， 所以，解得. 所以线段的长为. 重难点题型7 倍角问题 1．（2026·天津河东·三模）在中，分别为三个内角的对边．且 (1)求角的大小； (2)若． （i）求； （ii）求的值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【难度】0.73 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）由余弦定理结合同角三角函数的商数关系计算即可； （2）（i）利用余弦定理求解；（ii）根据正弦定理可求的值，结合，利用三角函数恒等变换的应用可求，进而可求答案. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理得，所以， 又，故. （2）（i）因为，，， 所以，故. （ii）由正弦定理可得， 因为，所以，故，所以， 所以，， 所以. 2．（2026·湖北黄冈·二模）已知锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.56 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）由二倍角公式及同角三角函数的商数关系可得，从而证得； （2）结合（1）的结论，由锐角三角形的定义得的范围，根据正弦定理、诱导公式、二倍角公式及两角和的正弦公式，将转化为的函数，分析该函数的单调性，即可求得其取值范围． 【详解】（1），， 由正弦定理得，． 因为是锐角三角形，所以，， ，． （2）因为为锐角三角形，故，解得， 的取值范围是． ． 令，记． 函数在上为增函数，． 故的取值范围是． 3．（天津市滨海新区塘沽第一中学2026届高三毕业班十二校联考（三）模拟考数学试题）在中，角、、的对边分别为、、，且满足，，． (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.78 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可. （2）由余弦定理求出，结合正弦定理求解即可. （3）根据同角的三角函数关系、二倍角公式及两角和的余弦公式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得， 即， 中，，，所以， 所以，所以. 若，则，不满足，故， 所以，所以. （2）在中，由余弦定理得，，所以. 由正弦定理得，，所以. （3）因为，，所以，则，所以为锐角. 所以. 则， . 故. 4．（2026·宁夏吴忠·三模）已知，，分别为三个内角，，的对边，且． (1)求证：； (2)若，的面积为，求，． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、给值求值型问题、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用二倍角的正弦公式证明即可； （2）利用三角恒等变换可得，三角形面积公式等建立方程，求出． 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，即， 且，则，即， 可得，则，所以. （2）因为， 则，， 可得，，， 所以， 又因为，则， 且，则， 所以，． 5．（2026·河北保定·模拟预测）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答.已知在中，角，，所对的边分别为，，，且 . (1)证明: ； (2)若是锐角三角形，求 的取值范围. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、三角函数与解三角形综合 【分析】（1）选①，由余弦定理、正弦定理化简可得，再利用三角恒等变换可得，进而可证；选②化简条件可得，结合余弦定理及二倍角公式可得，进而可证；选③，由余弦定理可得，化简证明同①； （2）由题意可得，根据三角恒等变换化简可得，令，则，根据函数的单调性求解即可. 【详解】（1）选①，由可得，即， 因为，所以， 化简可得，即， 由正弦定理可得， 因为， 所以， 所以或（舍去）， 所以； 选②，由可得， 即， 因为，所以， 即， 因为在上单调递减，所以； 选③，由余弦定理可得， 所以，即， 因为，所以， 化简可得，即， 由正弦定理可得， 因为， 所以， 所以或（舍去）， 所以； （2）是锐角三角形， 则，所以， ， 令，则， 因为在区间单调递增，在区间单调递增， 所以在区间上单调递增， 所以，即. 重难点题型8 解三角形与三角函数的综合应用 1．（2026·重庆·模拟预测）在中，内角所对的边分别为，其中，，且. (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【难度】0.7 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示及余弦定理求解. （2）由（1）的信息，利用三角形面积公式求解. 【详解】（1）由，，得， 在中，由余弦定理得，整理得， 因此，而，所以. （2）由（1）知，由的面积为，得，则， 得到，由（1）得，解得， 所以的周长为. 2．（2026·重庆·模拟预测）知函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式和单调递减区间； (2)在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，求的最大值． 【答案】(1) ，单调递减区间为 (2) 6 【难度】0.61 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】（1）根据图象求出、、的值确定解析式，再利用正弦函数的单调性求解； （2）由函数值求出角，结合余弦定理和基本不等式求得的最大值。 【详解】（1）由图象可知，函数的最大值为1，最小值为，又，所以； 观察图象，函数的半个周期， 所以周期； 由且，解得，此时； 由图象可知，函数图象过点，且该点位于单调递增区间上， 所以，， 即，； 因为，令，解得， 所以函数的解析式为； 令，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为. （2）由知， 因为，所以，即，因为为三角形内角，所以， 由余弦定理，由基本不等式，设，则，当且仅当时等号成立，故 3．（2026·北京海淀·二模）如图，在四边形中，是的角平分线． (1)求证：； (2)若．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四边形存在，求四边形的面积． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) 在四边形中，由是的角平分线，， 在中，由正弦定理得， 所以. (2)选条件①②，四边形的面积为，选条件③，四边形不存在. 【难度】0.54 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、几何图形中的计算 【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理推理得证. （2）选条件①②，利用余弦定理建立方程组，再利用三角形面积公式求解；选条件③，利用正弦定理判断三角形无解即可. 【详解】（1）略 （2）选条件①：，则，由（1）得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，又， 所以四边形的面积. 选条件②：，由（1）得，设， 在中，由余弦定理得， 即，则是方程的两个根， 于是，即，， 由，得，则，， 所以四边形的面积. 选条件③：，由（1）得， 在中，由正弦定理得，即不存在，四边形不存在. 4．（2026·福建福州·模拟预测）已知函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，其中． (1)求的值及函数的零点； (2)设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D为AB的中点.若B为锐角，且，，，求b． 【答案】(1)2，或， (2) 【难度】0.63 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、余弦定理解三角形 【分析】（1）先应用对称性得出周期进而得出，再应用正弦函数性质计算求解零点； （2）先根据得出，再应用余弦定理计算求解边长. 【详解】（1）由的相邻两对称轴间的距离为，可得，即最小正周期， 又，且，故，解得， 所以． 令， 得到，则或，． 解得或，． 所以函数的零点为或，． （2）因为，为锐角，所以，解得． 在中由余弦定理得， 因为，所以，解得， 在中，由余弦定理得，所以． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $