4.8解三角形应用举例专项练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦解三角形实际应用，以“建模-定理应用-运算”为主线，系统整合方位角、仰角等场景，强化数学建模与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单选|4题|方位角转化、仰角俯角建模、正弦定理应用|由实际场景抽象三角形模型，用正弦定理解决距离问题| |多选|2题|测量方案评估、三角函数模型构建|结合几何直观判断方案可行性，建立高度与角度关系| |填空|2题|俯角与正弦定理、多三角形联动计算|通过俯角确定三角形内角，多三角形联立求解长度| |解答|2题|多步骤建模、余弦定理综合应用|复杂场景分步转化为三角形，综合正余弦定理解决高度与距离|

4.8　解三角形应用举例 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1. (2026春·黄埔区校级期中) 位于某海域的甲船获悉，在其北偏西45°方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东15°方向行驶n mile发现该灯塔位于甲船的正西方，那么此时甲船距离该灯塔 (　　) A. n mile B. n mile C. 3n mile D. n mile 2. (2025高二下·深圳期末) 如图，无人机在离地面高100m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知∠MCN = 60°，则山的高度MN为 (　　) A.50 km B.100 km C.100(+1)km D.120(+1)km 3. (2025·湖北模拟) 镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中．已知人眼距离地面高度，某建筑物高，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移米，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则镜子后移距离为(　　) A.  B.  C.  D.  4.(2025·湖州模拟)为了测量某铁塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处的仰角为30°，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为60°，若∠AOB=60°(A，O，B在同一水平面上)，则铁塔OT的高度为(　　) A.10米 B.10米 C.30米 D.30米 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 5.(2025·兰州模拟)某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有(　　) A.在水平地面上任意寻找两点A，B，分别测量旗杆顶端的仰角α，β，再测量A，B两点间距离 B.在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆)，测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和β C.在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角α，再测量A到旗杆底部的距离 D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5 m到达B处，再次测量旗杆顶端的仰角β 6. (2026·老城区模拟) 一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距离地面2米，最高点距离地面18米．已知游客在距离地面最近的位置进舱，游客距离地面的高度（米）关于进舱时间（分钟）的函数解析式为（其中），则正确的有（ ） A.  B.  C.  D. 从登上摩天轮的时刻开始计时，经过8分钟，游客与地面的距离为14米 三、填空题(每小题5分，共10分) 7. (2026·奉贤模拟) 如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，。计划沿直线AC开通穿山隧道，为了求出隧道DE的长度，还测得AD = 277米，BE = 49米，BC = 320米，则根据以上数据，隧道DE的长度约为________ 米。（结果精确到1米）.  8.  (2026·运河模拟) 为了测量一个不规则公园C, D两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1km的A, B两点，点B在点A的正东方向上，且A, B, C, D四点在同一水平面上。从点A处观测得点C在它的东北方向上，点D在它的西北方向上；从点B处观测得点C在它的北偏东15°方向上，点D在它的北偏西75°方向上，则C, D之间的距离为 ________ km. 四、解答题(共28分) 9.(13分)如图，为了测量两山顶M，N间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得∠GPM=75°，∠GPN=30°，在点G测得∠PGM=45°，∠MGN=75°，测得PG= km. (1)求点P和点M之间的距离；(6分) (2)求两山顶M，N之间的距离.(7分) 10.(15分)  (2026·郴州模拟) 苏仙岭又称 “天下第十八福地”，小明在苏仙岭山脚下的正西方的C处，此时他测得山顶A的仰角为30°。他沿着东偏南30°的方向前行200米后到达点D处，此时他测得到山顶点A的仰角为45°。假设山顶在水平面上的投影为点B，且点D位于点B的南偏西方向，测量仪器的高度忽略不计。 (1)求山高AB；(7分) (2) 已知景区内点 E 处有一缆车，缆车从山脚出发，上山分为两段：平缓上升阶段的倾斜角为 15°，在行至山高的一半处，缆车会转变为陡峭上升阶段，倾斜角为 30°.求山脚下缆车上车点 E 到 B 点的距离.(8分) 4.8　解三角形应用举例 一、单项选择题(每小题5分，共20分) 1. (2026春·黄埔区校级期中) 位于某海域的甲船获悉，在其北偏西45°方向有一座灯塔，甲船沿着北偏东15°方向行驶n mile发现该灯塔位于甲船的正西方，那么此时甲船距离该灯塔 (　　) A. n mile B. n mile C. 3n mile D. n mile 答案　C 解析　由题意作出大致简图，， ，，n mile， 由正弦定理可得，， 则n mile. 2. (2025高二下·深圳期末) 如图，无人机在离地面高100m的A处，观测到山顶M处的仰角为15°，山脚C处的俯角为45°，已知∠MCN = 60°，则山的高度MN为 (　　) A.50 km B.100 km C.100(+1)km D.120(+1)km 答案　B 解析　根据题意∠MAD = 15°，∠CAD = 45°， 在Rt△ACE中，∠CAE = 45°，AE = 100，则AC = 100， 又∠CAM = ∠CAD + ∠MAD = 45° + 15° = 60°，∠MCN = 60°， 所以∠MCA = 75°，∠CMA = 45°， 在△ACM中，，即，解得CM = 100， 在Rt△MNC中，MN = CM = 100× = 150. 3. (2025·湖北模拟) 镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中．已知人眼距离地面高度，某建筑物高，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移米，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则镜子后移距离为(　　) A.  B.  C.  D.  答案　A 解析　如图：设建筑物最高点为，建筑物底部为，第一次观察时镜面位置为， 第一次观察时人眼睛位置为处，第二次观察时镜面位置为， 设到之间的距离为， 由光线反射性质，得， 所以，即，① 同理可得，② ①②两式相比得， 解得， 代入①，得. 4.(2025·湖州模拟)为了测量某铁塔的高度，检测员在地面A处测得塔顶T处的仰角为30°，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为60°，若∠AOB=60°(A，O，B在同一水平面上)，则铁塔OT的高度为(　　) A.10米 B.10米 C.30米 D.30米 答案　B 解析　设铁塔OT的高度为h，依题意，OA==h，OB==h， 在△AOB中，由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB， 即702=3h2+h2-2·h·h·， 解得h=10， 所以铁塔OT的高度为10米. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 5.(2025·兰州模拟)某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中，可计算出旗杆高度的方案有(　　) A.在水平地面上任意寻找两点A，B，分别测量旗杆顶端的仰角α，β，再测量A，B两点间距离 B.在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆)，测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和β C.在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角α，再测量A到旗杆底部的距离 D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5 m到达B处，再次测量旗杆顶端的仰角β 答案　BCD 解析　对于A，当A，B两点与旗杆底部不在一条直线上时，就不能测量出旗杆的高度，故A不正确； 对于B，如图1，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD=h+ADsin β，故B正确； 对于C，如图2，在Rt△ADC中，直接利用锐角三角函数求出旗杆的高DC=ACtan α，故C正确； 对于D，如图3，在△ABD中，由正弦定理求AD，则旗杆的高CD=ADsin α，故D正确. 6. (2026·老城区模拟) 一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距离地面2米，最高点距离地面18米．已知游客在距离地面最近的位置进舱，游客距离地面的高度（米）关于进舱时间（分钟）的函数解析式为（其中），则正确的有（ ） A.  B.  C.  D. 从登上摩天轮的时刻开始计时，经过8分钟，游客与地面的距离为14米 答案　ABD 解析　由题意知，，解得，，选项A正确； 因为摩天轮每12分钟旋转一周，所以，即，解得，选项B正确； 由最低点距离地面2米，得，解得， 因为，所以，选项C错误； 综上，， 当时，，选项D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 7. (2026·奉贤模拟) 如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，。计划沿直线AC开通穿山隧道，为了求出隧道DE的长度，还测得AD = 277米，BE = 49米，BC = 320米，则根据以上数据，隧道DE的长度约为________ 米。（结果精确到1米）.  答案　805 解析　在中，，，， 由正弦定理，可得， 在中，，， 由正弦定理，可得， 则 . 8. (2026·运河模拟) 为了测量一个不规则公园C, D两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1km的A, B两点，点B在点A的正东方向上，且A, B, C, D四点在同一水平面上。从点A处观测得点C在它的东北方向上，点D在它的西北方向上；从点B处观测得点C在它的北偏东15°方向上，点D在它的北偏西75°方向上，则C, D之间的距离为 ________ km. 答案　 解析　由题意可知，， ， 在中，， 由正弦定理，可得， 在中，， 由，可得， 在中，，则. 四、解答题(共28分) 9.(13分)如图，为了测量两山顶M，N间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得∠GPM=75°，∠GPN=30°，在点G测得∠PGM=45°，∠MGN=75°，测得PG= km. (1)求点P和点M之间的距离；(6分) (2)求两山顶M，N之间的距离.(7分) 解　(1)依题意可知PG= km，∠GPM=75°，∠PGM=45°，所以∠PMG=60°， 在△PMG中，根据正弦定理得 =， 所以=，则PM=2 km. (2)由题设知，在△PNG中， ∠PNG=30°，∠PGN=120°， 由正弦定理可得=，PN=3， 在△PNM中，∠MPN=∠GPM-∠GPN=45°， 由余弦定理得MN2=PM2+PN2-2PM·PN·cos∠MPN =22+-2×2×3×=10， 所以MN= km， 所以两山顶M，N之间的距离为 km. 10. (15分)  (2026·郴州模拟) 苏仙岭又称 “天下第十八福地”，小明在苏仙岭山脚下的正西方的C处，此时他测得山顶A的仰角为30°。他沿着东偏南30°的方向前行200米后到达点D处，此时他测得到山顶点A的仰角为45°。假设山顶在水平面上的投影为点B，且点D位于点B的南偏西方向，测量仪器的高度忽略不计。 (1)求山高AB；(7分) (2) 已知景区内点 E 处有一缆车，缆车从山脚出发，上山分为两段：平缓上升阶段的倾斜角为 15°，在行至山高的一半处，缆车会转变为陡峭上升阶段，倾斜角为 30°.求山脚下缆车上车点 E 到 B 点的距离.(8分) 解　(1) 如图，在△BCD中，设AB = h， 由题意知，，且， 由余弦定理， 代入得：， 化简得：， 则， 解得或， 由 “点D位于点B的南偏西方向”， 可知点B必在点D的东北方向， 则B的横坐标应大于D的横坐标。 由点向东位移为米， 可得，则， 所以，只能取， 则山高AB = 200米。 (2) 由第（1）问知，山高米， 因为缆车在点 M 处转换坡度， 所以，两段缆车各上升 100 米， 设第一段（倾斜角 15°）的水平距离为，则， 第二段（倾斜角 30°）的水平距离为，则， 所以，， 则，， 因此，山脚下缆车上车点到 B 点的距离为：， 利用常用三角函数值，得：，， 则 所以，山脚下缆车上车点到 B 点的距离为米. 学科网（北京）股份有限公司 $