专题4.1 三角函数基本公式与三角恒等变换（10重难点题型+高分技法+高考真题）专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以高考真题与模拟题为载体，通过10大重难点题型系统构建三角函数公式应用与恒等变换的解题方法体系，强化角的变换、公式逆用等核心技巧，体现数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |扇形相关计算|5题|弧度制应用、二次函数求最值|从扇形公式到圆台、圆锥侧面展开的空间转化| |定义与诱导公式|8题|终边坐标定义法、符号判断|三角函数定义→诱导公式→符号规律的递进| |恒等变换|20+题|角的拆配（如α=β-(β-α)）、公式正逆用|同角公式→和差倍角公式→三角式化简求值的逻辑链| |给值求值/角|15+题|凑角法、范围限定|已知三角函数值→角的关系推导→目标角求解|

专题4-1 三角函数基本公式与三角恒等变换 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________． 5．（2025·上海·高考真题）已知，则__________． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是______． 7．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则________． 8．（2026·天津·高考真题）已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 重难点题型1 扇形、弓形、扇面的周长与面积 应用弧度制解决问题的方法： （1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． （2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． （3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 1．（2026·四川遂宁·模拟预测）在一张半圆形纸片（圆心为内部剪掉一个小半圆形（圆心为，将剩余部分卷成一个圆台的侧面，则该圆台的母线与底面所成角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西·二模）某小区内有一块直角扇形的草坪如图所示，两条互相垂直的小路与分别长4米和3米．物业公司准备在四边形围成的区域种植丁香花．如果小路面积忽略不计，则丁香花种植面积为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 3．已知某圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则经过该圆锥顶点的截面面积最大值是（   ） A． B． C． D．2 4．（2025·广西南宁·模拟预测）某烘焙店制作了一个圆柱形状的蛋糕，顾客要求均分成24块，店家计划将蛋糕按左图方式切割．先将蛋糕均分成8块，再按照右图将每个角蛋糕近似的均分成三块，从弧的中点B出发，左右对称各切1刀，已知右图中，则的长度约为（   ） （其中，计算结果小数点请保留到） A． B． C． D． 5．（2025·甘肃·一模）如图，甲、乙两人在这段弧形路段跑步，该路段的内、外弧线为两个同心圆的圆周，内弧半径为米，路宽为米，两人均从外弧点处跑入该路段，甲沿内弧切线方向跑至切点，又沿内弧跑至点处后跑出该路段，乙沿内弧切线方向直接跑至外弧上点处，再沿外弧跑至点处后跑出该路段，则在该路段跑动距离更短的是__________（填“甲”或“乙”），两人跑动距离之差的绝对值约为__________米.（结果精确到米，参考数据：，） 6．（24-25高三上·北京西城·期末）折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是_________，_________. 重难点题型2 三角函数的定义与诱导公式 （1）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置． （2）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． 1．（2026·广西·模拟预测）角的终边与单位圆的交点坐标为，则（    ）． A． B． C．1 D．0 2．（2026·山东东营·模拟预测）若角的终边经过点，则（     ） A． B． C．或 D．或 3．（2026·河北沧州·模拟预测）已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·上海黄浦·三模）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为________． 6．（2026·湖南·模拟预测）如图，点A，B均在单位圆上，且点的横坐标为，，则点的纵坐标与横坐标的比值为______． 7．（2025·甘肃白银·二模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则__________. 8．已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴最合，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点逆时针方向旋转后与角的终边重合，则_________． 重难点题型3 利用同角公式与诱导公式，化简求值 （1）利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形． （2）注意角的范围对三角函数符号的影响． 1．（2026·山东聊城·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·福建宁德·模拟预测）已知，，则______. 重难点题型4 和差公式与二倍角公式 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南玉溪·模拟预测）若，则（     ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北鄂州·模拟预测）若，则___________． 4．（2026·河北秦皇岛·一模）已知 ，则 __________. 5．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知，，则________． 重难点题型5 三角恒等变换公式的正用与逆用 与集合新定义有关的创新问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识来解决新定义的集合创新问题．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点,弄清新定义的性质；按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决． 1．（2026·福建·模拟预测）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·河北秦皇岛·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·江西抚州·二模）已知，且，则__________. 重难点题型6 角的变换问题 常用的拆角、配角技巧：；；；；；等． 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·阶段检测）已知，，则（ ） A． B． C． D． 3．（2026·云南·模拟预测）若，则＝（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南·一模）已知∈（0，），且满足，，则______. 5．（2026·江苏南京·模拟预测）已知，，则＝_________. 6．（2026·浙江·模拟预测）已知，则__________. 重难点题型7 给角求值 （1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． （2）给角求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子； ②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值． 1．（2024·安徽·模拟预测）（    ）． A． B． C． D． 2． A． B． C． D． 3．（多选题）下列代数式的值为的是（    ） A． B． C． D． 4．_________． 5．（23-24高三上·安徽·期中）______． 6．（2026·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知，则的值是______． 重难点题型8 给值求值 给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式． 1．（2026·海南海口·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·海南三亚·一模）已知，则（     ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西咸阳·三模）已知，且，则(   ) A．2 B．3 C． D． 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知，则（     ） A． B． C． D． 6．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知，则（    ） A． B．5 C． D． 7．（2026·陕西咸阳·二模）已知，若，则=（   ） A． B． C． D． 8．（2026·山东青岛·二模）已知角的终边不重合，且，则___________. 9．（2026·陕西咸阳·二模）设，若，则______. 10．（2026·江苏常州·三模）已知，，则_________. 重难点题型9 给值求角 给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角． 1．已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 2．（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽芜湖·模拟预测）若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏·一模）已知锐角，满足，，则下列结论不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知，若，，则_____． 6．（河北沧州市南皮县第一中学2026届高考备考压轴巩固训练数学试题）已知，，若，，则______. 7．（2024·陕西铜川·模拟预测）若，且，则的值为______． 8．设，，且，则______. 重难点题型10 三角函数式的化简、求值与证明 （1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． （2）形如化为，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性． 1．（2026·重庆渝中·模拟预测）我国古代数学家僧一行应用 “九服晷影算法” 在《大衍历》中建立了影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表. 根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即. 对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，若第一次的 “晷影长” 是 “表高” 的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（    ） A．倍 B．1倍 C．倍 D．倍 2．（2026·浙江·模拟预测）已知中，，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D．4 3．（25-26高三上·湖南长沙·期末）设且则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·江西景德镇·模拟预测）定义在上的函数满足，又当时，恒成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河北承德·模拟预测）已知，，且，，则的值为_______． 6．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．已知点为的费马点，且，若，则实数的最小值为_________． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4-1 三角函数基本公式与三角恒等变换 1．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 4．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【难度】0.65 【知识点】找出终边相同的角、诱导公式二、三、四 【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解. 【详解】因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合， 故且， 即， 故取可满足题设要求； 故答案为：；（答案不唯一） 5．（2025·上海·高考真题）已知，则__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】利用同角三角函数关系和余弦的两角和公式求解即可. 【详解】由可得， 所以， 故答案为： 6．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是______． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 7．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知角或角的范围确定三角函数式的符号、已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果. 【详解】因为，则， 又因为，则， 且，解得或（舍去）， 所以. 故答案为：. 8．（2026·天津·高考真题）已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【难度】0.75 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解； （2）利用换元法，结合正弦函数性质求解； （3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解. 【详解】（1）； （2）若，则， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即， 当，即时，函数有最大值，即. 所以函数的最大值为，最小值为； （3）若，，所以， 则，， 则. 重难点题型1 扇形、弓形、扇面的周长与面积 应用弧度制解决问题的方法： （1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． （2）求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． （3）在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 1．（2026·四川遂宁·模拟预测）在一张半圆形纸片（圆心为内部剪掉一个小半圆形（圆心为，将剩余部分卷成一个圆台的侧面，则该圆台的母线与底面所成角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】弧长的有关计算、圆台的展开图、求线面角 【分析】设大半圆半径为，小半圆半径为，圆台上底面圆的半径为，圆台下底面圆的半径为，由题意求得，，过作垂直，可得底面圆，是母线与底面所成角，进而求解即可. 【详解】设大半圆半径为，小半圆半径为，则， 设圆台上底面圆的半径为，圆台下底面圆的半径为， 将此半圆环卷成圆台侧面时，展开的扇环大弧长，对应圆台底面周长， 所以，则；小弧长对应顶面周长，所以，则， 圆台母线长，过作垂直，则，所以底面圆， 则母线与底面所成角为，底面与顶面半径差为， 在直角三角形中，，所以， 所以，即母线与底面所成角的度数是． 2．（2026·陕西·二模）某小区内有一块直角扇形的草坪如图所示，两条互相垂直的小路与分别长4米和3米．物业公司准备在四边形围成的区域种植丁香花．如果小路面积忽略不计，则丁香花种植面积为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】扇形面积的有关计算、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【详解】如图，将扇形补全为半圆，为圆的直径，连接、， 在中，,所以 由，从而垂直平分，则， 由，所以过点，则, 所以， 则丁香花种植面积为平方米. 3．已知某圆锥侧面展开图是圆心角为，半径为2的扇形，则经过该圆锥顶点的截面面积最大值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】弧长的有关计算、圆锥表面积的有关计算、由导数求函数的最值（含参） 【分析】利用展开图的圆心角和半径，结合扇形弧长等于圆锥底面周长，求出底面半径，再用勾股定理求出高，设底面圆上弦的中点到圆心的距离为m，其面积由底边长和顶点到底边的距离决定，即，通过函数极值法，求导数确定m后求解. 【详解】扇形弧长为，圆锥底面周长为，故： 母线长，根据勾股定理： 设底面圆上弦的中点到圆心的距离为m，则弦长，顶点到的距离为，则面积： 代入,得函数仅在时定义，即. 解，即 此时 故选：D. 4．（2025·广西南宁·模拟预测）某烘焙店制作了一个圆柱形状的蛋糕，顾客要求均分成24块，店家计划将蛋糕按左图方式切割．先将蛋糕均分成8块，再按照右图将每个角蛋糕近似的均分成三块，从弧的中点B出发，左右对称各切1刀，已知右图中，则的长度约为（   ） （其中，计算结果小数点请保留到） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】扇形面积的有关计算、三角形面积公式及其应用 【分析】根据题意可得扇形面积，又均分成三块，即，再利用三角形面积公式可求解. 【详解】设， 即 故选：B. 5．（2025·甘肃·一模）如图，甲、乙两人在这段弧形路段跑步，该路段的内、外弧线为两个同心圆的圆周，内弧半径为米，路宽为米，两人均从外弧点处跑入该路段，甲沿内弧切线方向跑至切点，又沿内弧跑至点处后跑出该路段，乙沿内弧切线方向直接跑至外弧上点处，再沿外弧跑至点处后跑出该路段，则在该路段跑动距离更短的是__________（填“甲”或“乙”），两人跑动距离之差的绝对值约为__________米.（结果精确到米，参考数据：，） 【答案】 甲 【难度】0.65 【知识点】弧长的有关计算 【分析】连接、，求出的值，可求出、的长，可求出甲、乙两人的跑动的距离，即可得解. 【详解】连接、，可知，，则，， 在中，， 所以，， 所以，，， 所以，，则甲跑步的距离约为米， 因为，，则乙跑步的距离约为米， 所以甲跑动的距离更短，少跑米. 故答案为：甲；. 6．（24-25高三上·北京西城·期末）折扇，古称聚头扇、撒扇等，以其收拢时能够二头合并归一而得名.某折扇的扇面是一个圆台的侧面展开图，如图所示.设，，则扇面（图中扇环）部分的面积是_________，_________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】扇形面积的有关计算、已知数量积求模 【分析】根据扇形面积公式，即可求解扇面的面积；根据向量数量积公式求模. 【详解】由条可知，，， 所以扇形的面积，扇形的面积, 所以扇面的面积是； .故答案为：； 重难点题型2 三角函数的定义与诱导公式 （1）利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出角α终边的位置． （2）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． 1．（2026·广西·模拟预测）角的终边与单位圆的交点坐标为，则（    ）． A． B． C．1 D．0 【答案】C 【难度】0.74 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据题意，利用三角函数的定义和两角差的余弦公式，准确计算，即可求解. 【详解】因为角的终边与单位圆的交点坐标为，可得， 则. 2．（2026·山东东营·模拟预测）若角的终边经过点，则（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正切公式 【分析】根据角终边上的点得到正切值以及的范围，进而结合正切的差角公式得到结果. 【详解】由于角的终边经过点，则，且，则， 当为偶数时，在第一象限，；当为奇数时，在第三象限，；所以对任意的，有， 根据正切的二倍角公式，有，化简得， 即，解得（负值舍去）， 根据正切的差角公式，有，故B正确. 3．（2026·河北沧州·模拟预测）已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六、二倍角的正弦公式 【分析】利用三角函数的定义以及诱导公式、正弦二倍角公式求解即可. 【详解】因为角的终边过点，所以， 所以. 4．已知角的终边经过点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】由三角函数的定义结合诱导公式即可求解. 【详解】角的终边经过点， 点到原点距离， ，， 所以.​ 5．（2026·上海黄浦·三模）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【详解】设，则以为终边的角为， 又，， 所以， 所以点的横坐标为    6．（2026·湖南·模拟预测）如图，点A，B均在单位圆上，且点的横坐标为，，则点的纵坐标与横坐标的比值为______． 【答案】 【难度】0.76 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正切公式化简、求值 【详解】设OA，OB与轴正半轴所成的角分别为，，则. 由题意得，，且为第一象限角，则，， 因点的纵坐标与横坐标分别为与， 则． 故点的纵坐标与横坐标的比值为. 7．（2025·甘肃白银·二模）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据三角函数定义计算角的正切值，再用诱导公式求解即可. 【详解】由正切函数的定义可知， 再利用诱导公式知. 故答案为： 8．已知角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴最合，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点逆时针方向旋转后与角的终边重合，则_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式五、六 【分析】根据三角函数的定义可得，再由和诱导公式可得答案. 【详解】由已知， 则. 故答案为：. 重难点题型3 利用同角公式与诱导公式，化简求值 （1）利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形． （2）注意角的范围对三角函数符号的影响． 1．（2026·山东聊城·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正切公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】设，整理可得，运算求解即可. 【详解】设， 因为，则，且， 可得， 则，解得. 且，则，所以. 2．（25-26高三下·广东揭阳·阶段检测）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【详解】. 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦公式化简即得. 【详解】由，得. 4．（2026·福建宁德·模拟预测）已知，，则______. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式 【详解】因为， 且， 所以， 所以. 由，得， 所以. 重难点题型4 和差公式与二倍角公式 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.74 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、二倍角的正弦公式、给值求值型问题 【分析】利用平方法，结合同角三角函数关系式中的平方和关系、二倍角的正弦公式进行求解即可. 【详解】 . 2．（2026·云南玉溪·模拟预测）若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的余弦公式 【详解】. 3．（2026·湖北鄂州·模拟预测）若，则___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用同角三角函数关系式与二倍角公式化简计算. 【详解】由同角三角函数关系可得：，代入右侧通分整理得： 因此得： 由二倍角余弦公式得： . 4．（2026·河北秦皇岛·一模）已知 ，则 __________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正切公式 【分析】利用已知条件得到，然后结合二倍角的正切公式即可求解. 【详解】已知 ，展开得，即， 则，由于，所以，所以，即， 由二倍角的正切公式，可得. 5．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知，，则________． 【答案】/ 【难度】0.75 【知识点】二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】根据二倍角的余弦公式及同角三角函数的基本关系求解. 【详解】因为，， 所以，， 所以. 重难点题型5 三角恒等变换公式的正用与逆用 与集合新定义有关的创新问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识来解决新定义的集合创新问题．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点,弄清新定义的性质；按新定义的要求，“照章办事”逐步分析、验证、运算，使问题得以解决． 1．（2026·福建·模拟预测）已知，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【详解】由题意得，，所以， 即，即， 因为，所以，，所以，. 2．（2026·河北秦皇岛·二模）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】正、余弦齐次式的计算、给值求值型问题 【详解】由题意得 ， 所以. 3．（2026·江西抚州·二模）已知，且，则__________. 【答案】 【难度】0.76 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式 【详解】由结合诱导公式，得，又，所以， 则. 重难点题型6 角的变换问题 常用的拆角、配角技巧：；；；；；等． 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】利用二倍角公式及两角和的正余弦公式可得 【详解】因为，所以，故．又， 所以，．所以． 所以． 2．（24-25高三上·重庆·阶段检测）已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】根据余弦和角公式和求出，求出，利用二倍角公式求出答案. 【详解】， ， ， . 故选：C. 3．（2026·云南·模拟预测）若，则＝（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】将已知等式两侧平方相加，应用差角正弦公式化简得，从而有，代入整理得，并将化为求，即可得. 【详解】由题设，则， 所以，可得， 由，则，故， 代入，则， 所以，则， 所以， 所以. 4．（2026·河南·一模）已知∈（0，），且满足，，则______. 【答案】/ 【难度】0.55 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】运用降幂公式、两角和的余弦公式进行化简，结合角的范围可得，进而可求，利用二倍角公式和齐次化即可求的值. 【详解】因为，，所以， 由得， 即，所以， 所以，得， 所以． 故答案为： 5．（2026·江苏南京·模拟预测）已知，，则＝_________. 【答案】/0.25 【难度】0.65 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】利用和角公式与同角三角函数关系求出，再整体代入的展开式计算即得. 【详解】，即，即， 因， 联立①与②，解得， ． 6．（2026·浙江·模拟预测）已知，则__________. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】给值求值型问题 【分析】用降幂公式将半角转化为整角，化简题干等式；通过移项推导得到与的倍数关系；代入解出，最后结合二倍角公式即可得解. 【详解】因为，又， 所以 整理得，所以， 又，所以，解得， 因此. 故答案为：. 重难点题型7 给角求值 （1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． （2）给角求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子； ②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值． 1．（2024·安徽·模拟预测）（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式、给角求值型问题 【分析】根据题意利用诱导公式以及倍角公式运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 2． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】三角恒等变换的应用、给角求值型问题 【详解】试题分析： 考点：三角函数求值． 3．（多选题）下列代数式的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】诱导公式二、三、四、给角求值型问题 【分析】利用二倍角的余弦公式可判断A选项；利用切化弦以及二倍角的正弦公式可判断B选项；利用二倍角的正弦公式可判断CD选项. 【详解】对于A选项，； 对于B选项，； 对于C选项，； 对于D选项， . 故选：BCD. 4．_________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】三角恒等变换的化简问题、给角求值型问题 【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合诱导公式、和角公式及二倍角公式计算可得结果. 【详解】 . 故答案为：. 5．（23-24高三上·安徽·期中）______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、给角求值型问题 【分析】由两角和与差的正弦和余弦公式即可化简求值. 【详解】 . 故. 故答案为：. 6．（2026·黑龙江佳木斯·模拟预测）已知，则的值是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】根据二倍角公式求解即可. 【详解】设 ，则，且. 则. 重难点题型8 给值求值 给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式． 1．（2026·海南海口·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题 【详解】由，得， 即，得， 则. 因为， 所以，. 2．（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】给角求值型问题 【详解】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可． 【分析】. 故选：D. 3．（2026·海南三亚·一模）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】先利用齐次式的处理方法求，结合二倍角公式和齐次式的计算方法求和，最后利用两角和的正弦公式求值即可. 【详解】因为，所以，整理得. 所以， . 所以. 4．（2026·陕西咸阳·三模）已知，且，则(   ) A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【难度】0.55 【知识点】给值求值型问题 【分析】先利用已知条件求出，再通过二倍角公式求出，最后利用和角公式将目标角转化为已知角与的和，计算得结果. 【详解】由，得，故. 由，得， 因此. 设，则，故. 由二倍角公式，解得或. 又，故，则，，故. . 5．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【详解】因为， 则. 6．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【难度】0.62 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】先将已知等式化简，结合，求出，，再将化为，代入求值即可. 【详解】解：由，化简得， ，则， 又，代入解得，， 因为， 所以. 7．（2026·陕西咸阳·二模）已知，若，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.62 【知识点】二倍角的正弦公式、给值求值型问题 【分析】先通过同角三角函数的平方关系联立求解、的值，再代入三倍角公式计算. 【详解】对已知等式两边平方，得： 解得. 由，可知，，且，故， 计算得： 即. 联立方程组，解得，. 代入三倍角公式计算： . 8．（2026·山东青岛·二模）已知角的终边不重合，且，则___________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、正弦函数对称性的其他应用、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用辅助角公式，化简得到，求得，进而得到答案. 【详解】由，可得， 因为， 且，所以， 因为角的终边不重合，所以， 则，可得， 所以. 9．（2026·陕西咸阳·二模）设，若，则______. 【答案】 【难度】0.7 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】切化弦求出，再利用三角平方关系求出，再利用切化弦、二倍角公式化简可得答案. 【详解】因为，， 所以，可得， 解得，再由，， 得， 则， 即. 10．（2026·江苏常州·三模）已知，，则_________. 【答案】 /4.6 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】先利用两角差的正切公式求解，再将所求式展开后弦化切，代入已知正切值计算即可. 【详解】已知，则，解得. 因为均存在，故， 所以. 重难点题型9 给值求角 给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角． 1．已知，，且，，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、解正弦不等式、二倍角的余弦公式、给值求角型问题 【分析】利用余弦函数与正弦函数的性质缩小与的取值范围，结合三角函数的基本关系式与倍角公式求得的正余弦值，从而利用正弦函数的和差公式即可得解. 【详解】因为所以则 所以 则， 因为，所以， 又则， 所以 故 因为所以 则. 故选：A. 2．（2024·四川·模拟预测）已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、解正弦不等式、逆用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求角型问题 【分析】根据已知条件及同角三角函数的平方关系，利用两角差的余弦公式及三角函数的特殊值，注意角的范围即可求解. 【详解】由，，得，， ∴，即， ∴，解得. 又，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 故选：A. 3．（2026·安徽芜湖·模拟预测）若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、辅助角公式、无条件的恒等式证明 【详解】因为， 所以． 令， 记，，则， 设，因为，所以，， 当时，，此时，将其代回验算，，当时，，与上面一致． 因为恒成立，故实数的取值范围为． 4．（2026·江苏·一模）已知锐角，满足，，则下列结论不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】正切函数图象的应用、三角恒等变换的化简问题 【分析】由题设结合三角恒等变换公式可得，，，进而结合选项分析求解即可. 【详解】由 ， 则. 由， 则，即，则，， 综上所述，，且，. 结合选项，当，时，满足上述两个式子； 当，时，满足上述两个式子； 当时，由可知，此时不满足，. 故选：C 5．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知，若，，则_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求角型问题 【详解】由，， 则， 故，， ， 由，所以. 6．（河北沧州市南皮县第一中学2026届高考备考压轴巩固训练数学试题）已知，，若，，则______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、给值求角型问题 【分析】借助同角三角函数基本关系计算可得，再结合角的范围，利用两角和的正切公式计算即可得. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，又，所以， 又因为，所以，所以， 又， 所以. 7．（2024·陕西铜川·模拟预测）若，且，则的值为______． 【答案】或. 【难度】0.85 【知识点】二倍角的余弦公式、给值求角型问题 【分析】由二倍角公式及两角差的正弦公式得到，再分与两种情况讨论，分别求出即可. 【详解】由， 得， 即， 当时，，即，由，得； 当时，，所以， 即，由，得， 所以，所以． 故的值为或． 故答案为：或. 8．设，，且，则______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】余弦函数图象的应用、辅助角公式、给值求角型问题 【分析】根据三角恒等变化化简可得，再结合，，解方程即可得的值. 【详解】因为， 所以，即 又，，所以， 则可得，则故. 故答案为：. 重难点题型10 三角函数式的化简、求值与证明 （1）进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用． （2）形如化为，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性． 1．（2026·重庆渝中·模拟预测）我国古代数学家僧一行应用 “九服晷影算法” 在《大衍历》中建立了影长与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表. 根据三角学知识可知，晷影长等于表高与太阳天顶距正切值的乘积，即. 对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为，若第一次的 “晷影长” 是 “表高” 的2倍，且，则第二次的“晷影长”是“表高”的（    ） A．倍 B．1倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【详解】由题意可得：，， 则， 所以第二次的“晷影长”是“表高”的1倍. 2．（2026·浙江·模拟预测）已知中，，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用三角形内角和转化，设元后用万能公式统一表示，通过代数化简消去参数，快速得到比值2. 【详解】设， ； 因为，所以， 又，所以, 则， 所以 3．（25-26高三上·湖南长沙·期末）设且则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求角型问题 【分析】先由题设切化弦、结合两角和正弦公式和诱导公式得到即可分析计算求解. 【详解】由题， 所以， 因为，， 所以，，， 所以或， 解得或（舍去）. 故选：A 4．（2025·江西景德镇·模拟预测）定义在上的函数满足，又当时，恒成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.15 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、根据函数的单调性解不等式 【分析】由构造，借助其单调性解抽象不等式即可. 【详解】令， 则， 所以为偶函数， 当时，， 所以在上单调递增， 又因为，， 所以 因为 所以， 所以， 所以， 故选：A. 5．（2026·河北承德·模拟预测）已知，，且，，则的值为_______． 【答案】24或 【难度】0.45 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、给值求值型问题、和差化积公式 【分析】先由范围确定、的区间并判断三角函数符号,求出与,再把通分化简为,利用积化和差公式算出,最后代入数值计算得出结果. 【详解】 由角范围得：,. 由,所以 得,. 由,,得. 若,则 . 代入目标式：. 若 . 代入目标式：. 综上所述, 或 6．著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．已知点为的费马点，且，若，则实数的最小值为_________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形 【分析】根据题意，不妨设，故，进而得，所以在和中，由正弦定理得，，故，在结合三角恒等变换化简整理求函数最值即可. 【详解】根据题意, 点为的费马点，的三个内角均小于, 所以， 设， 所以在和中，，且均为锐角， 所以 所以由正弦定理得：，， 所以，， 因为 所以 ， 因为，所以，所以， 所以 故实数的最小值为. 故答案为： 【点睛】本题考查数学文化背景下的解三角形，三角恒等变换解决三角函数取值范围问题，考查运算求解能力，数学建模能力，化归转化思想，是难题.本题解题的关键在于根据题目背景，通过设，进而建立解三角形的模型，再根据正弦定理及三角恒等变换化简求最值即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $