第四章 第5节 第二课时　三角函数的周期性、奇偶性、对称性训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦三角函数周期性、奇偶性、对称性，通过分层题型系统整合性质应用，以题载法构建从概念到综合应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|7题|对称轴方程求解、奇偶性判定、周期公式应用|从三角函数定义到性质综合，形成"概念→公式→图像→应用"递进逻辑| |填空|3题|对称中心计算、开放型函数构造、多零点对称求和|结合图像特征深化性质理解，强化数形结合思维| |解答|2题|三角恒等变换、参数求解及单调区间确定|综合运用性质解决复杂问题，培养逻辑推理与数学表达能力|

第二课时　三角函数的周期性、奇偶性、对称性 一、单选题 1.函数y＝sin的图象的一条对称轴是(　　) A.x＝－ B.x＝－ C.x＝ D.x＝ 2.若函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ等于(　　) A.kπ(k∈Z) B.2kπ(k∈Z) C.(k∈Z) D.(2k＋1)π(k∈Z) 3.(2026·潍坊调研)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递增的是(　　) A.y＝|sin x| B.y＝|cos x| C.y＝cos 2x D.y＝tan 4.已知函数f(x)＝tan，则(　　) A.f(x)是奇函数 B.f(x)在区间上单调递减 C.为其图象的一个对称中心 D.f(x)的最小正周期为π 5.已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)的图象关于 (　　) A.直线x＝对称 B.直线x＝对称 C.点对称 D.点对称 6.函数f(x)＝2sin(ω>0)图象的相邻两对称轴之间的距离为，若该函数图象关于点(m，0)中心对称，则当m∈时，m的值为(　　) A. B. C. D. 7.已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象与直线l:y＝1的三个相邻交点的横坐标依次为x1，x2，x3，且x1＋x2＝，x2＋x3＝.当x∈时，|f(x)－t|<3恒成立，则t的取值范围为(　　) A.(－∞，－2)∪[1，＋∞) B.(－1，2] C.(－∞，－1]∪(2，＋∞) D.(－2，1] 二、多选题 8.已知函数f(x)＝tan，下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期为 B.函数f(x)的定义域为 C.函数f(x)图象的对称中心为，k∈Z D.函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z 9.已知函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|，下列结论正确的是(　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)在区间上单调递增 C.f(x)在[－π，π]有4个零点 D.f(x)的最大值为2 三、填空题 10.(2026·保定模拟)若函数f(x)＝tan 2x的最小正周期为T，且f(x)的图象关于点(m，0)(0<m<T)对称，则m＝　　　　.  11.写出一个同时满足下列两个条件的函数f(x)＝　　　　　　　　.  ①∀x∈R，f＝f(x); ②∀x∈R，f(x)≤f恒成立. 12.(2026·武汉质检)已知函数f(x)＝若满足f(x1)＝f(x2)＝…＝f(x9)(x1，x2，…，x9互不相等)，则x1＋x2＋…＋x9的取值范围是　　　　.  四、解答题 13.(2026·郑州质检)已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx－sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值和函数f(x)的单调递增区间; (2)求函数f(x)图象的对称轴方程和对称中心坐标. 14.设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)的单调区间; (3)求不等式－1≤f(x)≤的解集. 第二课时　三角函数的周期性、奇偶性、对称性 一、单选题 1.函数y＝sin的图象的一条对称轴是(　　) A.x＝－ B.x＝－ C.x＝ D.x＝ 答案　C 解析　对于函数y＝sin， 令2x＋＋kπ，k∈Z， 解得x＝，k∈Z， 故函数图象的对称轴为直线 x＝，k∈Z， 令k＝0，可知函数图象的一条对称轴为直线x＝. 2.若函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)为奇函数，则φ等于(　　) A.kπ(k∈Z) B.2kπ(k∈Z) C.(k∈Z) D.(2k＋1)π(k∈Z) 答案　C 解析　若0在定义域内，由x＝0时，y＝0，得φ＝kπ(k∈Z); 若0不在定义域内，由x＝0时，tan φ无意义，得φ＝kπ＋(k∈Z). 综上，φ＝(k∈Z). 3.(2026·潍坊调研)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递增的是(　　) A.y＝|sin x| B.y＝|cos x| C.y＝cos 2x D.y＝tan 答案　A 解析　对于A，y＝|sin x|的图象可由y＝sin x的图象将x轴下方部分翻折到x轴上方得到，故其最小正周期为π，当x∈时， y＝|sin x|＝sin x单调递增，A符合题意; 对于B，当x∈时，y＝|cos x|＝cos x单调递减，B不符合题意; 对于C，y＝cos 2x的最小正周期为π，在上单调递减，C不符合题意; 对于D，y＝tan的最小正周期为2π，D不符合题意.故选A. 4.已知函数f(x)＝tan，则(　　) A.f(x)是奇函数 B.f(x)在区间上单调递减 C.为其图象的一个对称中心 D.f(x)的最小正周期为π 答案　C 解析　函数y＝tan是非奇非偶函数，A错误; 在区间上单调递增，B错误; 最小正周期为，D错误; ∵当x＝时，tan＝0， ∴为其图象的一个对称中心，故选C. 5.已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)的图象关于 (　　) A.直线x＝对称 B.直线x＝对称 C.点对称 D.点对称 答案　B 解析　因为函数f(x)的最小正周期为π， 由π＝得ω＝1，所以f(x)＝2sin. f＝1，故直线x＝不是f(x)图象的对称轴，点也不是f(x)图象的对称中心; f＝2，故直线x＝是f(x)图象的对称轴，点不是f(x)图象的对称中心.故选B. 6.函数f(x)＝2sin(ω>0)图象的相邻两对称轴之间的距离为，若该函数图象关于点(m，0)中心对称，则当m∈时，m的值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为函数f(x)的图象的相邻两对称轴之间的距离为， 所以f(x)的最小正周期T＝2×＝π， 所以ω＝＝2，所以f(x)＝2sin. 令f(x)＝0，则2x＋＝kπ(k∈Z)， 得x＝(k∈Z)， 又m∈， 当k＝1时，x＝，故m＝，故选D. 7.已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象与直线l:y＝1的三个相邻交点的横坐标依次为x1，x2，x3，且x1＋x2＝，x2＋x3＝.当x∈时，|f(x)－t|<3恒成立，则t的取值范围为(　　) A.(－∞，－2)∪[1，＋∞) B.(－1，2] C.(－∞，－1]∪(2，＋∞) D.(－2，1] 答案　B 解析　由已知得f(x)图象的相邻的两条对称轴分别为直线x＝， x＝， 所以函数f(x)的最小正周期 T＝2×＝π，所以ω＝＝2， 所以f(x)＝2sin. 当x∈时，2x－∈， f(x)∈(－1，2]. 由|f(x)－t|<3，得－3<f(x)－t<3， 所以－3＋t<f(x)<3＋t， 所以解得－1<t≤2. 二、多选题 8.已知函数f(x)＝tan，下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期为 B.函数f(x)的定义域为 C.函数f(x)图象的对称中心为，k∈Z D.函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z 答案　ACD 解析　对于A，函数f(x)＝tan的最小正周期T＝，所以A正确; 对于B，令2x－≠＋kπ，k∈Z， 得x≠，k∈Z， 即函数f(x)的定义域为，所以B错误; 对于C，令2x－，k∈Z， 解得x＝，k∈Z， 所以函数f(x)的图象关于点，k∈Z对称，所以C正确; 对于D，令kπ－<2x－<kπ＋，k∈Z， 解得<x<，k∈Z， 故函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，所以D正确. 9.已知函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|，下列结论正确的是(　　) A.f(x)是偶函数 B.f(x)在区间上单调递增 C.f(x)在[－π，π]有4个零点 D.f(x)的最大值为2 答案　AD 解析　f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故A正确; 当<x<π时，f(x)＝sin x＋sin x＝2sin x， ∴f(x)在上单调递减，故B不正确; f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故C不正确; ∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到， ∴f(x)可以取到最大值2，故D正确. 三、填空题 10.(2026·保定模拟)若函数f(x)＝tan 2x的最小正周期为T，且f(x)的图象关于点(m，0)(0<m<T)对称，则m＝　　　　.  答案　 解析　T＝，由0<m<T，得0<2m<π， 则2m＝，即m＝. 11.写出一个同时满足下列两个条件的函数f(x)＝　　　　　　　　.  ①∀x∈R，f＝f(x); ②∀x∈R，f(x)≤f恒成立. 答案　－cos 4x(答案不唯一) 解析　由∀x∈R，f＝f(x)可知，函数的周期为， 由∀x∈R，f(x)≤f恒成立可知，函数在x＝处取到最大值， 则f(x)＝－cos 4x满足题意， 一方面根据余弦函数的周期公式，T＝，满足∀x∈R，f＝f(x)， 另一方面，f＝－cos π＝1＝f(x)max，满足∀x∈R，f(x)≤f恒成立. 12.(2026·武汉质检)已知函数f(x)＝若满足f(x1)＝f(x2)＝…＝f(x9)(x1，x2，…，x9互不相等)，则x1＋x2＋…＋x9的取值范围是　　　　.  答案　[0，2 025) 解析　根据题意，作出函数f(x)＝的图象，不妨设x1<x2<…<x9，如图，根据三角函数的对称性得＝－＝－， 所以x1＋x2＋…＋x8＝－4，另一方面x9＝4或0<log2 026(x9－3)<1， 即x9∈[4，2 029)，所以x1＋x2＋…＋x9＝－4＋x9∈[0，2 025). 四、解答题 13.(2026·郑州质检)已知函数f(x)＝sin ωx·cos ωx－sin2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值和函数f(x)的单调递增区间; (2)求函数f(x)图象的对称轴方程和对称中心坐标. 解　(1)f(x)＝sin 2ωx＋＝sin， 因为f(x)最小正周期为π， 所以π＝，解得ω＝1， 所以f(x)＝sin. 令－＋2kπ<2x＋<＋2kπ(k∈Z)， 解得－＋kπ<x<＋kπ(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z). (2)令2x＋＋kπ(k∈Z)， 解得x＝(k∈Z)， 所以对轴方程为x＝(k∈Z); 令2x＋＝kπ(k∈Z)， 解得x＝－(k∈Z). 所以对称中心为(k∈Z). 14.设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称. (1)求f(x)的解析式; (2)求f(x)的单调区间; (3)求不等式－1≤f(x)≤的解集. 解　(1)由题意知，函数f(x)的最小正周期 T＝， 即.因为ω>0，所以ω＝2. 所以f(x)＝tan(2x＋φ). 因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称，所以2×＋φ＝，k∈Z， 即φ＝，k∈Z. 又0<φ<，所以φ＝， 所以f(x)＝tan. (2)令－＋kπ<2x＋<＋kπ，k∈Z， 得－<x<，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为 ，k∈Z，无单调递减区间. (3)由(1)知，f(x)＝tan. 由－1≤tan≤，得－＋kπ≤2x＋≤＋kπ，k∈Z， 即－≤x≤，k∈Z. 所以不等式－1≤f(x)≤的解集为 . 学科网（北京）股份有限公司 $