第四章 第4节 简单的三角恒等变换 训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以公式应用为主线，通过模拟题系统训练三角恒等变换的给值求值、化简及角的范围判断，提炼“公式选择-符号确定-角度转化”解题逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|12题|诱导公式、二倍角公式、两角和差公式应用；角度范围分析确定三角函数符号|从单角三角函数值求解到复角（α±β、2α）计算，构建“公式推导-综合应用”逻辑链| |解答题|2题|函数解析式化简、三角恒等变换与方程结合求角|结合函数周期与三角公式，体现“数学思维”中的推理能力与运算能力|

第4节　简单的三角恒等变换 一、单选题 1.(2026·咸阳模拟)已知α∈(0，π)，cos(π－α)＝－，则sin＝(　　) A. B. C. D. 2.＝(　　) A. B.1 C. D. 3.化简等于(　　) A.1 B.－1 C.cos α D.－sin α 4.已知，则tan 2α＝(　　) A.－ B.－ C.± D. 5.(2026·齐齐哈尔模拟)已知cos，则sin等于(　　) A.－ B. C. D.－ 6.(2026·秦皇岛模拟)已知tan(α－β)＝－，tan，则cos 2α＝(　　) A.－ B. C.－ D. 7.已知cos(α－β)＝，cos 2α＝，α∈，β∈(0，π)，且α<β，则α＋β＝(　　) A. B. C. D. 二、多选题 8.(2026·岳阳质检)计算下列各式，结果为的是(　　) A.sin 15°cos 15° B.cos215°－sin215° C. D. 9.(2026·苏州质检)已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是(　　) A.sin 2α＝ B.cos(α－β)＝ C.cos αcos β＝ D.tan αtan β＝ 三、填空题 10.已知α∈，若sin＋cos＝0，则α＝　　　　.  11.(2026·青岛模拟)已知tan(2α－β)＝，tan(α－β)＝1，则tan＝　　　　.  12.已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝　　　　，2α－β＝　　　　.  四、解答题 13.(2026·天津模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx的最小正周期为4π. (1)求ω的值; (2)设α，β∈，f， f，求cos(α＋β)的值. 14.已知2sin α＝2sin2－1. (1)求sin αcos α＋cos 2α的值; (2)已知α∈(0，π)，β∈，且tan2β－6tan β＝1，求α＋2β的值. 第4节　简单的三角恒等变换 一、单选题 1.(2026·咸阳模拟)已知α∈(0，π)，cos(π－α)＝－，则sin＝(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　因为α∈(0，π)，cos(π－α)＝－， 所以cos α＝， 所以α为锐角，则cos α＝1－2sin2， 解得sin. 2.＝(　　) A. B.1 C. D. 答案　A 解析　. 3.化简等于(　　) A.1 B.－1 C.cos α D.－sin α 答案　A 解析　原式＝ ＝ ＝＝1. 4.已知，则tan 2α＝(　　) A.－ B.－ C.± D. 答案　A 解析　因为， 所以＝tan α＝， 则tan 2α＝＝－. 5.(2026·齐齐哈尔模拟)已知cos，则sin等于(　　) A.－ B. C. D.－ 答案　B 解析　∵cos， 可得sin＝－cos ＝－cos＝1－2cos2 ＝1－2×. 6.(2026·秦皇岛模拟)已知tan(α－β)＝－，tan，则cos 2α＝(　　) A.－ B. C.－ D. 答案　D 解析　tan， 解得tan β＝－， 又tan(α－β)＝ ＝－， 解得tan α＝－， 所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝. 7.已知cos(α－β)＝，cos 2α＝，α∈，β∈(0，π)，且α<β，则α＋β＝(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意得，α－β∈(－π，0)， 所以sin(α－β)＝－， 因为2α∈(0，π)，cos 2α＝>0， 所以2α∈， 所以α∈， 所以α＋β∈，sin 2α＝， 所以cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)＝××＝－， 又因为α＋β∈，所以α＋β＝. 二、多选题 8.(2026·岳阳质检)计算下列各式，结果为的是(　　) A.sin 15°cos 15° B.cos215°－sin215° C. D. 答案　BC 解析　对于A，sin 15°cos 15°＝sin 30°＝，故A错误; 对于B，cos215°－sin215°＝cos 30°＝，故B正确; 对于C，， 故C正确; 对于D，＝ tan(45°＋15°)＝tan 60°＝，故D错误. 9.(2026·苏州质检)已知cos(α＋β)＝－，cos 2α＝－，其中α，β为锐角，以下判断正确的是(　　) A.sin 2α＝ B.cos(α－β)＝ C.cos αcos β＝ D.tan αtan β＝ 答案　AC 解析　由题意，易得α＋β∈，2α∈， 所以sin 2α＝，故A正确; sin(α＋β)＝， 所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β) ＝××，故B错误; cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝×，故C正确; sin αsin β＝[cos(α－β)－cos(α＋β)]＝×， 所以tan αtan β＝，故D错误. 三、填空题 10.已知α∈，若sin＋cos＝0，则α＝　　　　.  答案　 解析　由sin＋cos ＝－cos 2α＋(cos α＋sin α)＝0， 所以cos 2α＝cos2α－sin2α ＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α) ＝(cos α＋sin α)， 又α∈， 所以cos α－sin α＝，得cos， 而α＋∈， 所以α＋，得α＝. 11.(2026·青岛模拟)已知tan(2α－β)＝，tan(α－β)＝1，则tan＝　　　　.  答案　－ 解析　由tan(2α－β)＝，tan(α－β)＝1， 则tan α＝tan[(2α－β)－(α－β)] ＝＝－， 所以tan 2α＝＝－， 则tan ＝＝－. 12.已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝　　　　，2α－β＝　　　　.  答案　　 解析　因为cos α＝， 所以cos 2α＝2cos2α－1＝. 又因为α，β均为锐角，sin β＝， 所以sin α＝，cos β＝， 因此sin 2α＝2sin αcos α＝， 所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β ＝××. 因为α为锐角，所以0<2α<π. 又cos 2α>0，所以0<2α<， 又β为锐角，所以－<2α－β<， 又sin(2α－β)＝， 所以2α－β＝. 四、解答题 13.(2026·天津模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx的最小正周期为4π. (1)求ω的值; (2)设α，β∈，f， f，求cos(α＋β)的值. 解　(1)由f(x)＝sin ωx＋cos ωx ＝2sin， 又因为函数f(x)的最小正周期为4π， 所以T＝＝4π，解得ω＝. (2)由(1)得f(x)＝2sin， 则f＝2sin α＝，则sin α＝， 又因为α，β∈， 所以cos α＝， 又因为f＝2sin， 则cos β＝， 所以sin β＝， 所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝××. 14.已知2sin α＝2sin2－1. (1)求sin αcos α＋cos 2α的值; (2)已知α∈(0，π)，β∈，且tan2β－6tan β＝1，求α＋2β的值. 解　(1)由已知得2sin α＝－cos α， 所以tan α＝－. sin αcos α＋cos 2α＝ ＝. (2)由tan2β－6tan β＝1， 可得tan 2β＝＝－， 则tan(α＋2β)＝ ＝＝－1. 因为β∈， 所以2β∈(0，π)， 又tan 2β＝－>－， 则2β∈， 因为α∈(0，π)，tan α＝－>－， 则α∈，则α＋2β∈， 所以α＋2β＝. 学科网（北京）股份有限公司 $