专题3-1 导数的概念及运算专项训练（9重难点题型+高分技法+高考真题）-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以导数概念为起点，通过“概念-运算-几何应用”三级逻辑链，系统整合定义辨析、公式法则、切线方程（含公切线）等核心方法，精选近5年高考真题及模拟题，培养逻辑推理与数学运算素养，实现从知识理解到解题应用的递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数的概念|5题（含奇函数导数性质题）|定义辨析（增量非零性）、瞬时变化率理解|从平均变化率极限定义导数，揭示本质内涵| |导数的计算|8题（含复合函数及四则运算）|基本公式+四则运算法则+复合函数链式求导|公式推导→法则应用→复合函数拓展的运算逻辑| |导数的几何意义|30+题（含在点/过点切线、公切线等）|在点切线：k=f'(x₀)求方程；过点切线：设切点求参数；公切线：联立两曲线切线方程|导数几何意义→切线方程构建→参数求解/公切线判定的应用逻辑|

专题3-1 导数的概念及运算 1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的乘除法 【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 3．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的加减法 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 重难点题型1 导数的概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 1．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】由奇偶性求函数解析式、导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式 【详解】因为，. 选项A，为上的奇函数，且，，符合题意； 选项B，是非奇非偶函数，不合题意； 选项C，是定义在上的偶函数，不合题意； 选项D，是定义在上的奇函数，， ，不合题意. 2．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知，则（     ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】导数定义中极限的简单计算、求某点处的导数值 【分析】将所求极限式拆分为两个符合导数定义的形式，代入已知的导数值计算即可得到结果. 【详解】 . 3．（2026·上海虹口·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】由奇偶性求函数解析式、导数定义中极限的简单计算、基本初等函数的导数公式 【分析】因为，所以，再结合是定义在上的奇函数进行求解. 【详解】因为，所以， 对于A：但是不是奇函数，所以A错误； 对于B：，且，定义域为， 所以是奇函数，所以B正确； 对于C：，是偶函数，所以C错误； 对于D：,是奇函数，所以D错误； 4．（2026·上海·三模）已知，则________． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】导数定义中极限的简单计算、求某点处的导数值 【分析】对求导，再将代入计算即可. 【详解】， 所以， ， 所以为. 5．（2026·上海杨浦·模拟预测）计算：__________． 【答案】12 【难度】0.82 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【详解】 重难点题型2 导数的计算 1、求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 2、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 3、复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 1．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，则的值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】对求导得，代入，求解即可. 【详解】， 故， 所以． 2．（2026·河南新乡·三模）已知函数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】先求出导函数，再应用赋值法计算求解. 【详解】函数， 则， 令，则， 则； 3．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）（多选题）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 4．（25-26高二下·河南许昌·阶段检测）（多选题）下列求导正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数 【分析】借助导数运算法则逐项计算即可得. 【详解】对A：若，则，故A正确； 对B：若，则，故B错误； 对C：若，则，故C错误； 对D：若，则 ，故D正确. 重难点题型3 导数的几何意义-求在某点的切线方程 在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 1．（2026·四川自贡·模拟预测）已知，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知f（g（x））求解析式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【详解】令，则，所以原函数变为：， 所以函数为，，则，， 即：则曲线在点处的切线斜率为2. 2．（2026·安徽·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.82 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】利用导数求出切线斜率，再结合直线的点斜式方程可得切线方程. 【详解】，则， ，所以切线方程为，化简可得， 即函数的图象在点处的切线方程为. 3．（2026·重庆·模拟预测）已知函数在处的切线方程为，则的值为______． 【答案】 【难度】0.82 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】先求出函数的导数，再根据导数的几何意义以及切点同时在函数和切线上这两个条件，列出关于的方程，进而求解的值，最后计算. 【详解】根据题意，，则， 又函数在处的切线方程为， 所以切线斜率为，即，解得， 又切点在切线上，所以当时，，即切点坐标为， 又切点在函数上，所以，解得， 所以. 4．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知曲线在点处的切线方程为，则________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【详解】曲线求导得， 由题意知，解得， 则点在直线上，故，解得， ． 5．（2026·云南昭通·模拟预测）曲线在点处的切线方程为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】先求出常数和，再根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由于，则， 故，故，所以， 代入，可得．又．故切线方程为，则． 重难点题型4 导数的几何意义-求过某点的切线方程 过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 1．（2026·安徽安庆·三模）过曲线：外一点作的切线，恰好可作两条，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.44 【知识点】求过一点的切线方程、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用导数的几何意义求出函数的切线方程，代入点，整理得，令，利用导数确定函数的单调区间及极值，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】设切点为， 据题意：这样的切点有两个， 即关于的方程有且仅有两根. 因为， 所以切线方程为， 即为过切点的切线， 又在此切线上， 所以， 即， 所以， 令， 所以， 所以，则或， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为，极小值为， 当趋于时，趋于，当趋于时，趋于， 作出函数的图象，如图所示： 又不在曲线C上，所以， 由的图象可知. 2．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）曲线过坐标原点的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求过一点的切线方程、简单复合函数的导数 【详解】由 ，得 . 设切点为 ，则切线斜率 . 切线方程为 . 将原点 代入得 ， 即 ，因为，所以，解得 . 所以切线斜率 ，切线方程为 . 故所求切线方程为 . 3．（2024·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程. 【详解】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：． 4．（25-26高二下·山东济南·阶段检测）已知函数，求过点且与曲线相切的方程__________. 【答案】和 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、基本初等函数的导数公式 【分析】设出切点，利用导数的几何意义与直线的点斜式方程可表示出切线方程，再将点代入计算即可得切点坐标，即可得解. 【详解】，设切点为，则切线方程为， 由该直线过点，则，整理得， 即为，解得或， 则切线方程为与， 即为与. 5．（2024·天津和平·二模）过点作曲线的切线，则切点的坐标为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、基本初等函数的导数公式 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义建立方程，将代入求解即可. 【详解】设切点的坐标为，由，， 所以过切点的切线方程为：， 把代入得：，即， 所以，则切点坐标为：即. 故答案为： 6．（2023·江苏南通·二模）过点作曲线的切线，则切线的方程为______. 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】求过一点的切线方程、导数的运算法则 【分析】设切点坐标为，利用导数表示出切线方程，代入点，解出得切线方程. 【详解】，则． 设切点坐标为，则切线斜率为， 切线方程为， 代入点，得，即，解得或． 当时，切线方程为；当时，切线方程为． 故答案为：或 重难点题型5 公切线问题 1．（2026·陕西商洛·二模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【难度】0.5 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的运算法则 【详解】由，得 由，得. 直线的斜率为. 令，得， 将代入，得， 所以直线与函数的图象的切点为，所以，. 设直线与函数的图象的切点为， 则，得. 因为函数单调递增，且， 所以，. 所以. 2．（2026·重庆·二模）若经过点的直线既与曲线相切，也与曲线相切，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【难度】0.49 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、基本初等函数的导数公式 【分析】设曲线的切点为，曲线的切点为，利用导数的几何意义，分别求得在切点处的切线方程，结合切线过，得出关系式，即可求解. 【详解】设曲线的切点为，则由， 可得切线方程为， 因为切线过点，所以，解得，所以切线方程为； 设曲线的切点为，由，所以切线的斜率为， 因为直线的方程为，可得，解得，即切点 所以切线方程为，即， 所以，解得. 3．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设，设切点为，由导数求出切线的斜率，进而使用点斜式求出切线的方程，与比较系数，即可求得切线方程为，设，设切点为，同理可求出切线的方程，再与比较系数，即可求得的值. 【详解】设，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 即与的公切线为， ，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 故选：A. 4．（25-26高三上·贵州·阶段检测）若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、基本初等函数的导数公式 【分析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养．首先求导，设出曲线上的切点坐标后列方程组求得公切线的斜率，再结合曲线列方程求解. 【详解】令，，则，． 设直线与曲线相切于点， 则，解得，所以公切线，即. 令，解得，所以，解得． 故选：B. 5．（2026·山东东营·模拟预测）已知，则函数与公切线斜率的最大值为_________． 【答案】 【难度】0.35 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设出两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义写出切线方程，根据公切线的概念，表示出切线斜率，再构造函数，求函数的最大值即可. 【详解】设公切线与的切点为，与的切点为. 因为，. 所以公切线方程为， 也可以写成. 由， 所以（）. 设，， 则. 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 即公切线的斜率. 6．（2026·安徽·模拟预测）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】先求出曲线在点处的切线方程，再设出曲线的切点为，利用公切线的斜率相等及切点也在公切线上，进而建立方程组求解即可． 【详解】由，则，则在点处的切线的斜率为， 所以切线方程为，即， 设切线与曲线的切点为， 又，得， 则切点处的斜率必为1，且切点在切线上， 则，解得， 所以． 7．（2026·广西河池·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则__________． 【答案】 【难度】0.62 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】先利用公切线斜率求出的切点，代入得的值，再设上的切点，结合导数的几何意义和切点在函数图象上联立方程，利用函数单调性求，进而得，最后代入计算结果. 【详解】设直线与的切点为， 对求导得，由切线斜率为，得，解得， 故切点为，代入得，解得， 设直线与的切点为， 对求导得， 由切线斜率为，得 ， 又切点在图象上，故 ， 则， 设，则，故在上单调递增， 又，故，则，解得， 因此. 重难点题型6 已知切线，求参数 1．（2026·陕西西安·模拟预测）若直线是曲线的切线，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【难度】0.82 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】 设切点的横坐标为．先利用切线斜率等于曲线在切点处的导数值求出，再利用切点同时在曲线和切线上求出参数． 【详解】 设，则． 设直线与曲线相切于横坐标为的点． 因为直线的斜率为，所以，即． 因此，解得． 切点同时在直线和曲线上，所以当时，两者的函数值相等，即． 整理得，解得． 2．（2026·福建·三模）若曲线在处的切线的倾斜角为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【难度】0.64 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数 【分析】先求复合函数的导数，再应用倾斜角得出斜率，计算求参即可. 【详解】因为曲线，所以， ， 在处的切线的倾斜角为，则 则. 3．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】先求在处的切线方程为；利用导数相等求出的切点横坐标；代入切线方程解得. 【详解】对求导得，当时，，， 曲线在处的切线方程为. 设切线与相切于点，对求导得， 由切线斜率为得，解得， 将切点代入切线方程得，解得. 4．（2026·湖北襄阳·模拟预测）若函数的图象在处的切线过点，则_____________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【详解】，当时，切点坐标为， 求导得，则， 切线方程为：，即， 代入点得，，解得． 5．（2026·河北秦皇岛·二模）曲线在点处的切线与直线平行，则________. 【答案】 【难度】0.82 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】根据导数的几何意义以及两直线平行，斜率相等可得结果. 【详解】对函数求导可得 ， 由于曲线在点处的切线与直线平行，那么 即 ，解得. 6．（2026·海南·模拟预测）若函数的图象在处的切线过点，则_____． 【答案】 【难度】0.79 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】先求导，再根据点斜式得到在处的切线方程，再将点代入切线方程即可求出的值． 【详解】由，则，且，， 则在处的切线方程为，即， 又切线过点，则，解得． 7．（2026·四川宜宾·模拟预测）若直线是曲线的一条切线，则__________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【详解】曲线的导数为，设切点坐标为，则该点处切线斜率， 切线方程为，即， 对比已知切线方程得， 则，故，解得， 则． 重难点题型7 切线的条数问题 1．（2025高三上·河南郑州·专题练习）已知直线是函数与的两条公切线，式子的值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】设函数的切点为，函数的切点为，根据导数的几何意义求得切线方程，由题意建立方程组，计算可得或，代入计算可得切线方程，进而计算可解. 【详解】设函数的切点为， 对函数求导可得， 则函数在点切线的斜率为， 故切线方程为，即， 设函数的切点为， 对函数求导可得， 则函数在点切线的斜率为， 故切线方程为，即， 由题意可得， 所以，， 即，解得或， 当时，，此时切线方程为， 当时，，此时切线方程为， 所以，，，， ，，，. 故选：A 2．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（含参） 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义，结合公切线建立方程组，消元构造函数，利用函数有两个零点，借助导数求出范围. 【详解】设公切线与曲线、曲线相切的切点分别为， 而，依题意，，则，因，则， 消去得，令函数， 由曲线与有两条公切线，得函数有两个不同的正零点， ，当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，， 而当从大于0的方向趋近于0时，，当时，， 则当且仅当，即时，函数有两个不同零点， 所以的取值范围是. 故选：C 3．（2024·江苏徐州·模拟预测）若曲线与，恰有2条公切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设在曲线上的切点为，求出切线方程，设该切线方程与曲线相交于点，由此可得，再利用导数研究函数的性质，结合题意即可得出答案． 【详解】设在曲线上的切点为， 由，可得过点的切线斜率为， 此时切线方程为，即， 设切线与曲线相交于点，， 则， 消去，可得， 依题意，直线与函数的图象有两个不同的交点， 令， 解得或， 令，解得， 则函数在，上单调递增，在上单调递减， 故，且恒成立，当且仅当时等号成立，当时，， 要使直线与函数的图象有两个不同的交点， 则需，解得． 故选：B． 【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，即可得结论． 4．（25-26高三上·江苏南通·期中）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】根据导数的几何意义可得曲线在处的切线斜率，再结合直线垂直运算求解. 【详解】因为，则，可得， 即曲线在处的切线斜率， 且直线的斜率， 由题意得，解得. 故选：A. 5．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.32 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数研究函数的零点 【分析】利用导数的几何意义分别求出切线方程，从而得出，利用换元法把问题转化为有两个不同解，求导并分析函数的单调性和最大值，结合极限分析求出的取值范围． 【详解】设曲线上的切点为，求导得， 则切线方程为，即， 设该切线与曲线切于点，求导得， 则切线方程为，即， ，即①，②， 把①代入②消去得，由得，解得， 令，则，代入①得， 令，问题转化为有2个不同解， 求导，时，，单调递增； 时，，单调递减； 最大值，和时，， ，， ，即． 6．（2025·河北·模拟预测）若函数与的图象有两条公切线，则实数的取值范围是________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由题设公切线分别切，于点，由题可得，据此可将问题化简为有两解，据此可得答案. 【详解】设公切线分别切，于点. 则有以下关系式：①，② 由①得：代入②式变形得：，又. 令，原命题化为：有两解. ，令， 则，为上的减函数. 又注意到，则在区间上，，在区间上递增， 结合，，则此时值域为； 在区间上，，在区间上递减， 结合，则此时值域为. 则当时，存在，使. 故的取值范围是. 故答案为：. 重难点题型8 切线的平行、垂直与重合问题 1．（2025·山东菏泽·一模）曲线在，两点处的切线互相垂直，则的值为（） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】根据对数的运算性质化简函数的解析式，结合导数的几何意义，互相垂直的两直线的斜率的关系分类讨论进行求解即可． 【详解】由， 不妨设，两切线的斜率分别为， 当时，则有，此时，显然， 因此不成立，不符合题意； 当时，则有，此时，显然， 因此不成立，不符合题意； 当，则有， 此时，变形得． 故选：A 2．（23-24高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】求导，与直线垂直，求出的值. 【详解】由，求导， 则在点处的切线的斜率为， 而在点处的切线与直线垂直, 则，故. 故选：D 3．（2023·湖南郴州·模拟预测）若存在直线与曲线都相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、由导数求函数的最值（不含参）、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先利用导数的几何意义求出两个曲线的公切线，建立方程消参得，构造函数，求导研究函数的单调性求值域，解关于a的一元二次不等式即可. 【详解】设该直线与相切于点， 因为，所以，所以， 所以该切线方程为，即. 设该直线与相切于点， 因为，所以，所以， 所以该切线方程为，即. 所以， 所以， 令，则， 所以当时，，当时，， 所以在和上单调递减；在和上单调递增. 又-1，所以， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：D. 4．（2023·云南保山·二模）若函数与函数的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】先求得公切线方程为，联立方程组，结合，得到，令，求得，令，求得和，得到函数的单调性和最小值，进而得到，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为，设切点为，则， 则公切线方程为，即， 与联立可得， 所以，整理可得， 又由，可得，解得， 令，其中，可得， 令，可得，函数在上单调递增，且， 当时，，即，此时函数单调递减， 当时，，即，此时函数单调递增， 所以，且当时，，所以函数的值域为，所以且，解得，即实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 5．（25-26高三上·云南昆明·期中）若函数的图象在、两点处的切线相互垂直，则___________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】对数的运算性质的应用、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、导数的加减法 【分析】利用导数的几何意义分析可得，然后得出，化简即可得解. 【详解】当时，，则， 当时，，则， 设函数的图象在、两点处的切线斜率分别为、， 若，则，不合题意； 若，则，不合题意； 若，则，可得，即， 所以 . 故答案为：. 6．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知函数.若函数在点处的切线与直线垂直，则的值为______；若函数有且仅有一个极值点，则的取值范围为______. 【答案】 【难度】0.15 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数研究不等式恒成立问题、根据极值点求参数 【分析】由题意可得，再构造函数，利用导数判断函数的单调性结合，即可求出；若函数有极值点，则方程，即有解，则函数与的图象必有交点，易得时，函数有一个极值点，则要使函数有且仅有一个极值点，只需要当时，恒有，求出函数与在上得公切线的斜率，进而可得出答案. 【详解】， 由题意可得， 令，则， 所以函数在上单调递增， 又因为，所以， 若函数有极值点，则方程，即有解， 所以函数与的图象必有交点， 由函数与的图象可知， 两函数图象在轴左侧必有一个交点，设为， 且当时，，则， 当时，，则， 所以是函数的一个极小值点， 所以要使函数有且仅有一个极值点， 只需要当时，恒有，即， 设函数与在点处有公切线， 由，得， 由，得， 所以，解得， 所以要使当时，恒成立，则， 所以的取值范围为. 故答案为：；. 7．（2025·山东青岛·一模）已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则__________. 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设函数在点和处的两条切线互相垂直，，，由题意分别表示出，，两直线相互垂直可得，进而根据切线方程求出A，B坐标，进而求解即可. 【详解】设函数在点和处的两条切线互相垂直， 如图，可得的零点为1，故不妨设，， 则，， 当时，，， 当时，，， 则，． 所以，即． 因为：，即， ：，即， 则，，因为，且， 故. 故答案为：2. 重难点题型9 最值问题 1．（2026·山东青岛·二模）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，则（    ） A．随着时间的增加，臭氧含量在增加 B．当从1变化到2时，臭氧含量减少 C．当从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为 D．当时，臭氧含量的瞬时变化率为 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、平均变化率、瞬时变化率的概念及辨析、简单复合函数的导数 【详解】臭氧含量与时间之间满足关系式为， 因为是臭氧的初始含量，所以，所以是减函数，所以A错误； 当从1变化到2时，臭氧含量减少，所以B错误； 当从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为，所以C错误； 对于，， 所以当时，臭氧含量的瞬时变化率为，所以D正确. 2．（2026·上海长宁·二模）已知. ①存在，使得函数在上严格增； ②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极值点. 对于以上两个结论，下列判断正确的是（    ） A．①正确，②错误； B．①错误，②正确； C．①正确，②正确； D．①错误，②错误. 【答案】C 【难度】0.52 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用导数的正负分析单调性，利用导数的几何意义来求切线斜率即可得到判断. 【详解】对求导得： 因为，对，的最小值为， 若取，则，即对任意恒成立， 此时在上严格递增，结论①正确； 设直线与曲线的切点为, 切线斜率等于直线斜率:， 代入导数得， 因为,故，得, 切点同时在曲线和直线上：， 得,同时满足的解为， 对任意，都有无数个这样的切点，因此直线恒与曲线相切且有无数切点， 当时，， 所以每个切点的横坐标都不是函数的极值点，故结论②正确. 3．（2026·山东潍坊·三模）如图，直线与函数，的图象相切于点，且，，，与轴的交点为，过作轴的垂线，垂足为，则________． 【答案】. 【难度】0.55 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用坐标求向量的模 【分析】首先，由点、求直线的斜率，根据得到切线的斜率；再利用导数的几何意义确定切点的坐标；最后通过坐标表示向量的模，结合同角三角函数的基本关系化简求值. 【详解】由，得，，因为，所以， 由求导得，设，则过点的切线斜率， 即，因为，所以， 则过点的切线方程为，令得，， 即点的横坐标为，，故. 因为垂直于轴，所以， ，，， ， 由得，， 故. 4．（25-26高二下·北京·期中）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿迭代法，这种方程求根的方法，在计算机等科学领域被广泛应用.如图，设是方程的根，选取作为的初始近似值.过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的一次近似值；过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的两次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列.这就是所谓的“牛顿迭代法”. （1）当时，的次近似值与次近似值可建立等式关系：__________；（2）若取作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算方程正实根的两次近似值为__________（用分数表示）. 【答案】 / 【难度】0.72 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究方程的根、直线的点斜式方程及辨析 【分析】（1）根据题意利用归纳推理可得的次近似值与的次近似值的关系式；（2）设，求导，化简，取，分析计算即可. 【详解】第一空：由曲线在处的切线方程为：， 令，解得， 又曲线在处的切线方程为：， 令，解得， 由此推理得的次近似值与的次近似值的关系式为：； 第二空：方程正实根为， 设函数，则， 由， 当时，， . 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3-1 导数的概念及运算 1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则_________. 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 重难点题型1 导数的概念 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或． 知识点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0．的意义：与0之间距离要多近有 多近，即可以小于给定的任意小的正数； ②当时，在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与 无限接近； ③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时 刻的瞬间变化率，即． 1．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知，则（     ） A． B．3 C．6 D．9 3．（2026·上海虹口·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（     ）． A． B． C． D． 4．（2026·上海·三模）已知，则________． 5．（2026·上海杨浦·模拟预测）计算：__________． 重难点题型2 导数的计算 1、求导的基本公式 基本初等函数 导函数 （为常数） 2、导数的四则运算法则 （1）函数和差求导法则：； （2）函数积的求导法则：； （3）函数商的求导法则：，则． 3、复合函数求导数 复合函数的导数和函数，的导数间关系为： 1．（2026·河南郑州·模拟预测）已知函数，则的值为（   ） A． B． C． D．5 2．（2026·河南新乡·三模）已知函数，则（    ） A．2 B． C．1 D． 3．（25-26高二下·河北保定·阶段检测）（多选题）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河南许昌·阶段检测）（多选题）下列求导正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 重难点题型3 导数的几何意义-求在某点的切线方程 在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 1．（2026·四川自贡·模拟预测）已知，则曲线在点处的切线斜率为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 2．（2026·安徽·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆·模拟预测）已知函数在处的切线方程为，则的值为______． 4．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知曲线在点处的切线方程为，则________． 5．（2026·云南昭通·模拟预测）曲线在点处的切线方程为______． 重难点题型4 导数的几何意义-求过某点的切线方程 过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 1．（2026·安徽安庆·三模）过曲线：外一点作的切线，恰好可作两条，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）曲线过坐标原点的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·山东济南·阶段检测）已知函数，求过点且与曲线相切的方程__________. 5．（2024·天津和平·二模）过点作曲线的切线，则切点的坐标为______． 6．（2023·江苏南通·二模）过点作曲线的切线，则切线的方程为______. 重难点题型5 公切线问题 1．（2026·陕西商洛·二模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则（    ） A． B．3 C．4 D． 2．（2026·重庆·二模）若经过点的直线既与曲线相切，也与曲线相切，则（ ） A． B．1 C．2 D． 3．（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试）若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．0 B．1 C． D． 4．（25-26高三上·贵州·阶段检测）若直线（）是曲线与曲线（）的公切线，则（    ） A．1 B．2 C．e D． 5．（2026·山东东营·模拟预测）已知，则函数与公切线斜率的最大值为_________． 6．（2026·安徽·模拟预测）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 7．（2026·广西河池·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则__________． 重难点题型6 已知切线，求参数 1．（2026·陕西西安·模拟预测）若直线是曲线的切线，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2026·福建·三模）若曲线在处的切线的倾斜角为，则（    ） A． B．2 C． D． 3．（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 4．（2026·湖北襄阳·模拟预测）若函数的图象在处的切线过点，则_____________． 5．（2026·河北秦皇岛·二模）曲线在点处的切线与直线平行，则________. 6．（2026·海南·模拟预测）若函数的图象在处的切线过点，则_____． 7．（2026·四川宜宾·模拟预测）若直线是曲线的一条切线，则__________． 重难点题型7 切线的条数问题 1．（2025高三上·河南郑州·专题练习）已知直线是函数与的两条公切线，式子的值为的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·宁夏石嘴山·三模）已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏徐州·模拟预测）若曲线与，恰有2条公切线，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·江苏南通·期中）已知曲线在处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D．1 5．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． 6．（2025·河北·模拟预测）若函数与的图象有两条公切线，则实数的取值范围是________. 重难点题型8 切线的平行、垂直与重合问题 1．（2025·山东菏泽·一模）曲线在，两点处的切线互相垂直，则的值为（） A． B．0 C．1 D． 2．（23-24高二下·安徽合肥·期中）若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 3．（2023·湖南郴州·模拟预测）若存在直线与曲线都相切，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·云南保山·二模）若函数与函数的图象存在公切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·云南昆明·期中）若函数的图象在、两点处的切线相互垂直，则___________. 6．（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知函数.若函数在点处的切线与直线垂直，则的值为______；若函数有且仅有一个极值点，则的取值范围为______. 7．（2025·山东青岛·一模）已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则__________. 重难点题型9 最值问题 1．（2026·山东青岛·二模）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，则（    ） A．随着时间的增加，臭氧含量在增加 B．当从1变化到2时，臭氧含量减少 C．当从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为 D．当时，臭氧含量的瞬时变化率为 2．（2026·上海长宁·二模）已知. ①存在，使得函数在上严格增； ②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极值点. 对于以上两个结论，下列判断正确的是（    ） A．①正确，②错误； B．①错误，②正确； C．①正确，②正确； D．①错误，②错误. 3．（2026·山东潍坊·三模）如图，直线与函数，的图象相切于点，且，，，与轴的交点为，过作轴的垂线，垂足为，则________． 4．（25-26高二下·北京·期中）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿迭代法，这种方程求根的方法，在计算机等科学领域被广泛应用.如图，设是方程的根，选取作为的初始近似值.过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的一次近似值；过点作曲线在处的切线，切线方程为，当且时，称与轴的交点的横坐标是的两次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列.这就是所谓的“牛顿迭代法”. （1）当时，的次近似值与次近似值可建立等式关系：__________；（2）若取作为的初始近似值，根据牛顿迭代法，计算方程正实根的两次近似值为__________（用分数表示）. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $