2.3.1 抛物线及其标准方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦抛物线的定义、标准方程及应用，通过直尺固定、三角尺滑动、细绳描点的动手操作导入，从具体轨迹抽象出定义，衔接标准方程推导与应用，构建直观到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境导入培养直观想象，通过定义辨析（如强调“l不经过F”的条件）发展数学抽象，例题中用待定系数法分类讨论焦点位置、定义转化距离培养数学思维。自我诊断和跟踪训练强化理解，教师可高效教学，学生能深化知识应用与核心素养。

3.1　抛物线及其标准方程 新课程标准解读 核心素养 1.了解抛物线的实际背景，感受抛物线在刻画现实世 界和解决实际问题中的作用 数学抽象 2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程 直观想象 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 把一根直尺固定在图板上直线 l 的位置，把一块三角尺的一条直角边 紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角 边的一点 A ，取绳长等于点 A 到直角顶点 C 的长（即点 A 到直线 l 的距 离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点 F . 用铅笔尖扣着绳子，使点 A 到笔尖的一段绳子紧靠 着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖 就在图板上描出了一条曲线. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【问题】　你能画出该曲线并说明该曲线具有哪些性质吗？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点一　抛物线的定义 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l （ l 不经过点 F ）的 ⁠ 的点的集合（或轨迹）叫作抛物线.这个定点 F 叫作抛物线的 ⁠ ，这条定直线 l 叫作抛物线的 ⁠. 距离相等　 焦 点　 准线　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【想一想】 　在抛物线定义中，若去掉条件“ l 不经过点 F ”，点的轨迹还是抛 物线吗？ 提示：不是. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点二　抛物线标准方程的几种形式 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ y2＝2 px 　 （ p ＞0）　 　 x ＝－ 　 y2＝－2 px 　 （ p ＞0）　 　 x ＝ 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ x2＝2 py 　 （ p ＞0）　 　 y ＝－ 　 x2＝－2 py 　 （ p ＞0）　 　 y ＝ 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 提醒　四个标准方程的区分：焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开 口方向由一次项系数的符号确定.当系数为正时，开口向坐标轴的正方 向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）标准方程 y2＝2 px （ p ＞0）中的 p 的几何意义是焦点到准线的 距离. （　√　） （2）平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛 物线. （　×　） （3）只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线 才具有标准形式. （　√　） √ × √ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （4）焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程 x2＝±2 py （ p ＞0），也可 以写成 y ＝ ax2，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的. （　√　） √ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 抛物线 x ＝4 y2的准线方程是（　　） B. y ＝－1 解析：　由 x ＝4 y2得 y2＝ x ，故准线方程为 x ＝－ .故选C. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在 y 轴上，抛物线上的点 M （ m ，－2）到焦点的距离为4，则 m ＝ ⁠. 解析：由已知，可设抛物线方程为 x2＝－2 py （ p ＞0）.由抛物线定 义有2＋ ＝4，∴ p ＝4，∴ x2＝－8 y .将（ m ，－2）代入上式，得 m2＝16.∴ m ＝±4. ±4　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 求抛物线的标准方程 角度1　直接法求抛物线的方程 【例1】　（1）焦点在 y 轴上，并且焦点到准线的距离等于6的抛物线 的标准方程是（　C　） A. x2＝±3 y B. y2＝±6 x C. x2＝±12 y D. x2＝±6 y 解析：由已知得 p ＝6且焦点在 y 轴上，所以抛物线的标准 方程是 x2＝±12 y . C 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）准线方程为 y ＝ 的抛物线的标准方程是 x2＝－ y . 解析：由题意知 ＝ ，所以 p ＝ ，所以抛物线的标准方 程是 x2＝－ y . x2＝－ y 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 　　在抛物线方程的类型已确定的前提下，由于标准方程中只有一个 参数 p ，所以只需一个条件就可以确定抛物线的方程. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 角度2　待定系数法求抛物线的方程 【例2】　（1）顶点在原点，且过点（－4，4）的抛物线的标准方程 是（　C　） A. y2＝－4 x B. x2＝4 y C. y2＝－4 x 或 x2＝4 y D. y2＝4 x 或 x2＝－4 y 解析：设抛物线方程为 y2＝－2 p1 x （ p1＞0）或 x2＝2 p2 y （ p2＞0），把（－4，4）代入得16＝8 p1或16＝8 p2，即 p1＝2或 p2＝2.故抛物线的标准方程为 y2＝－4 x 或 x2＝4 y .故选C. C 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）焦点在 y 轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线标准方程为 ⁠ ⁠. 解析：已知抛物线的焦点在 y 轴上，可设方程为 x2＝2 my （ m ≠0），由焦点到准线的距离为5，知｜ m ｜＝5， m ＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为 x2＝10 y 和 x2＝－10 y . x2＝ 10 y 或 x2＝－10 y 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 　　根据焦点所在的坐标轴，抛物线方程可统一为两类： （1）焦点在 x 轴上的抛物线的标准方程可以设为 y2＝ mx （ m ≠0）， m ＞0时焦点在 x 轴的正半轴上， m ＜0时焦点在 x 轴的负半轴上； （2）焦点在 y 轴上的抛物线的标准方程可以设为 x2＝ my （ m ≠0）， m ＞0时焦点在 y 轴的正半轴上， m ＜0时焦点在 y 轴的负半轴上. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 已知抛物线的焦点坐标是（－1，0），则抛物线的标准方程是 （　　） A. x2＝4 y B. x2＝－4 y C. y2＝4 x D. y2＝－4 x 解析：　由题意知抛物线的焦点在 x 轴负半轴上，且 ＝1，得 p ＝ 2，所以抛物线的标准方程为 y2＝－4 x .故选D. 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 准线与直线 x ＝1的距离为3的抛物线的标准方程是 ⁠ ⁠. 解析：由准线平行于 y 轴，可设抛物线的方程为 y2＝ mx （ m ≠0）.当 m ＞0时，2 p ＝ m ，所以 p ＝ ，抛物线的准线方程为 x ＝－ ，依 题意得1－ ＝3，所以 m ＝8，所以抛物线的方程为 y2＝8 x ； 当 m ＜0时，2 p ＝－ m ，所以 p ＝－ ，抛物线的准线方程为 x ＝－ ，依题意得 ＝3，所以 m ＝8或 m ＝－16，显然 m ＝8不合 题意，所以 m ＝－16，所以抛物线的方程为 y2＝－16 x .综上，抛物 线的标准方程为 y2＝8 x 或 y2＝－16 x . y2＝8 x 或 y2＝－ 16 x 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 抛物线定义的应用 角度1　两种距离的转化 【例3】　（1）设抛物线 C ： y2＝4 x 上一点 P 到 y 轴的距离为4，则点 P 到抛物线 C 的焦点的距离是（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　抛物线 C 的准线方程为 x ＝－1，设抛物线 C 的焦点为 F ， 由抛物线的定义知，｜ PF ｜＝ d （ d 为点 P 到抛物线 C 的准线的距 离），又 d ＝4＋1＝5，所以｜ PF ｜＝5. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）若位于 y 轴右侧的动点 M 到 F 的距离比它到 y 轴的距离大 .求点 M 的轨迹方程. 解：由于位于 y 轴右侧的动点 M 到 F 的距离比它到 y 轴的 距离大 ， 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 所以动点 M 到 F 的距离与它到直线 l ： x ＝－ 的距 离相等. 由抛物线的定义知动点 M 的轨迹是以 F 为焦点， l 为准线的 抛物线（不包含原点）， 其方程应为 y2＝2 px （ p ＞0）的形式， 而 ＝ ，所以 p ＝1，2 p ＝2， 故点 M 的轨迹方程为 y2＝2 x （ x ≠0）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 　（变设问）若本例（2）中点 M 所在轨迹上一点 N 到点 F 的距 离为2，求点 N 的坐标. 解：设点 N 的坐标为（ x0， y0），则｜ NF ｜＝2.又点 M 的轨迹 方程为 y2＝2 x （ x ≠0），所以由抛物线的定义得 x0＋ ＝2，解 得 x0＝ .因为 ＝2 x0，所以 y0＝± ，故点 N 的坐标为 或 . 【母题探究】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 　　根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准 线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点、点距离与点、线距离的 相互转化，从而简化某些问题. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 角度2　最值问题 【例4】　已知点 P 是抛物线 y2＝2 x 上的一个动点，求点 P 到点（0， 2）的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点 的距离.由图可知， 当点 P ，点（0，2）和抛物线的焦点 F 三点共线时距离之和最 小， 所以最小距离 d ＝ ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. （变条件）若将本例中的点（0，2）改为点 A （3，2），求｜ PA ｜ ＋｜ PF ｜的最小值. 【母题探究】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：将 x ＝3代入 y2＝2 x ，得 y ＝± . 所以点 A 在抛物线内部. 设点 P 为其上一点，点 P 到准线 x ＝－ 的距离为 d ， 则｜ PA ｜＋｜ PF ｜＝｜ PA ｜＋ d . 由图可知，当 PA ⊥ l 时，｜ PA ｜＋ d 最小，最小值是 . 即｜ PA ｜＋｜ PF ｜的最小值是 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. （变条件）若将本例中的点（0，2）换为直线 l1：3 x －4 y ＋ ＝0， 求点 P 到直线3 x －4 y ＋ ＝0的距离与点 P 到该抛物线的准线的距离 之和的最小值. 解：如图，作 PQ 垂直于准线 l 于点 Q ， ｜ PA1｜＋｜ PQ ｜＝｜ PA1｜＋｜ PF ｜ ≥ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） ｜ A1 F ｜的最小值为点 F 到直线3 x －4 y ＋ ＝0的距离， d ＝ ＝1.即所求最小值为1. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 利用抛物线定义研究最值的一般思路 （1）若点 M 在抛物线的内部，过点 M 作准线的垂线，该垂线与抛物 线的交点到抛物线焦点 F 和到已知点 M 的距离最小； （2）若点 M 在抛物线的外部，连接 MF ，则 MF 与抛物线的交点 P 可 使｜ PF ｜＋｜ PM ｜的值最小. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 设点 A 的坐标为（1， ），点 P 在抛物线 y2＝8 x 上移动， P 到直 线 x ＝－1的距离为 d ，则 d ＋｜ PA ｜的最小值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：　由题意知抛物线 y2＝8 x 的焦点为 F （2，0），点 P 到准 线 x ＝－2的距离为 d ＋1，于是｜ PF ｜＝ d ＋1，所以 d ＋｜ PA ｜ ＝｜ PF ｜－1＋｜ PA ｜的最小值为｜ AF ｜－1＝4－1＝3. 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 已知抛物线 y2＝2 px （ p ＞0）的焦点为 F1，若点 A （2，－4）在抛 物线上，则点 A 到焦点的距离为 ⁠. 解析：把点（2，－4）代入抛物线 y2＝2 px ，得16＝4 p ，即 p ＝4， 从而抛物线的焦点为（2，0）.故点 A 到焦点的距离为4. 4　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 若抛物线 y2＝8 x 上一点 P 到其焦点的距离为10，则点 P 的坐标为 （　　） A. （8，8） B. （8，－8） C. （8，±8） D. （－8，±8） 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 已知抛物线 y ＝2 px2过点（1，4），则抛物线的焦点坐标为 （　　） A. （1，0） D. （0，1） 解析：　由抛物线 y ＝2 px2过点（1，4），可得 p ＝2，∴抛物线 的标准方程为 x2＝ y ，则焦点坐标为 ，故选C. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 准线为 y ＝－ 的抛物线的标准方程是（　　） A. x2＝3 y C. x ＝3 y2 解析：　准线为 y ＝－ 的抛物线的标准方程是 x2＝3 y ，故选A. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 4. 一动圆过点（0，1）且与定直线 l 相切，圆心在抛物线 x2＝4 y 上， 则 l 的方程为（　　） A. x ＝1 C. y ＝－1 解析：　因为动圆过点（0，1）且与定直线 l 相切，所以动圆圆心 到点（0，1）的距离与它到定直线 l 的距离相等，又因为动圆圆心 在抛物线 x2＝4 y 上，且（0，1）为抛物线的焦点，所以 l 为抛物线 的准线，所以 l ： y ＝－1. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 5. 若抛物线 y2＝－2 px （ p ＞0）上有一点 M ，其横坐标为－9，它到 焦点的距离为10，则点 M 的坐标为 ⁠. 解析：由抛物线方程 y2＝－2 px （ p ＞0），得其焦点坐标为 F ，准线方程为 x ＝ .设点 M 到准线的距离为 d ，则 d ＝｜ MF ｜＝10，即 －（－9）＝10，得 p ＝2，故抛物线方程为 y2＝－ 4 x .由点 M （－9， y ）在抛物线上，得 y ＝±6，故点 M 的坐标为 （－9，6）或（－9，－6）. （－9，6）或（－9，－6）　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 　定义：平面内到定点 F 和到定直线 l （定点 F 不在定直线 l 上）的 距离之比为常数 e （ e ＞0）的动点的轨迹是圆锥曲线.当0＜ e ＜1时 为椭圆；当 e ＞1时为双曲线，当 e ＝1时为抛物线. 定点 F 叫作焦点，定直线 l 叫作焦点 F 对应的准线.定义表达式为 ＝ e . 　圆锥曲线的统一定义 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （1）对于椭圆 ＋ ＝1（ a ＞ b ＞0），其准线方程为 x ＝± ， 如图①所示； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）对于双曲线 － ＝1（ a ＞0， b ＞0），其准线方程为 x ＝ ± ，如图②所示； 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （3）对于抛物线 y2＝2 px （ p ＞0），其准线方程为 x ＝－ ，如图 ③所示. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【例】　已知点 A （3，1），双曲线 x2－ ＝1， F 为双曲线 的右焦点， P 是双曲线右支上的动点，求2｜ PA ｜＋｜ PF ｜ 的最小值，并求此时点 P 的坐标. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：由已知得双曲线的离心率 e ＝ ＝2， 双曲线右准线方程为 x ＝ ＝ ， 那么点 P 到右准线的距离 d ＝ ｜ PF ｜， 从而2｜ PA ｜＋｜ PF ｜ ＝2（｜ PA ｜＋ ｜ PF ｜） ＝2（｜ PA ｜＋ d ）. ｜ PA ｜＋ d 的最小值为点 A 到右准线的距离，即3－ ＝ ， 因而2｜ PA ｜＋｜ PF ｜的最小值为5， 将 y ＝1代入双曲线方程，得此时点 P 坐标为（ ，1）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 方法总结 对双曲线第二定义的理解 （1）双曲线上的点到焦点的距离大于到相应准线的距离； （2）运用双曲线的第二定义，要求点到焦点距离与到相应准线距离 之比为离心率 e ； （3）焦点到相应准线的距离叫作焦准距. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $