2.3.2 课时2 抛物线的性质应用课件-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2.3.2 课时2 抛物线的性质应用 作者编号：、32200 1.会利用抛物线定义求解相关问题. 2.掌握与抛物线有关的轨迹问题. 3.能利用抛物线方程解决一些实际问题. 学习目标 作者编号：、32200 例1:已知抛物线y2=4x上的点P到焦点F的距离为5，求点P的坐标. 解法1:由抛物线方程y2=4x，可得焦点F(1，0). 将①代入②，消去y0，然后两边平方，得(x0-1)2+4x0=25， 解得x0=-6或x0=4. 设点P的坐标为(x0，y0)，依题意有 ① ② 将x0=-6代入①，得y02=-24无解，故舍去； 将x0=4代入①，得y02=16，即y0=±4. ∴点P的坐标为(4，4)或(4，-4). 新知讲解 作者编号：、32200 例1:已知抛物线y2=4x上的点P到焦点F的距离为5，求点P的坐标. 解法2:设点P的坐标为(x0，y0)，由点P在抛物线y2=4x上，得y02=4x0. 由点P到焦点F的距离为5可知，点P到抛物线的准线的距离也为5， 即x0-(-1)=5,解得x0=4. 由抛物线方程y2=4x，可得其准线方程x=-1. 将x0=4代入y2=4x，得y02=16，即y0=±4. ∴点P的坐标为(4，4)或(4，-4). 新知讲解 作者编号：、32200 例2:如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l依次交抛物线及其准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|=3，求抛物线的方程. 解：分别过点A，B作准线的垂线AE，BD，分别交准线于E，D， 则|BF|＝|BD|， ∵|BC|＝2|BF|， ∴|BC|＝2|BD|，∴∠BCD＝30°， 又∵|AE|＝|AF|＝3， ∴|AC|＝6，即点F是AC的中点，根据题意得p＝， ∴抛物线的方程是y2＝3x. 新知讲解 作者编号：、32200 例3:已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y2＝x上，O为坐标原点，顶点A到抛物线的焦点F的距离等于，则△AOB的面积. 解：∵△AOB是等边三角形，A、B在抛物线y2＝x上， ∴顶点A，B关于抛物线的对称轴(x轴)对称， 不妨设A(y0，)(y0>0)，则B(y0，－)． 由|AF|＝y0＋＝，解得y0＝3，∴＝， ∴△AOB的边长|AB|＝2＝2， ∴△AOB的面积为×(2)2×＝3. 新知讲解 作者编号：、32200 例4:有一隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和一抛物线构成，如图所示.为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.若行车道总宽度 <m></m> 为8米. （1）计算车辆通过隧道时的限制高度； （2）现有一辆载重汽车宽3.5米，高4.2米，试判断该车能否安全通过隧道？ 新知讲解 作者编号：、32200 解：（1）建立如图所示的坐标系，设抛物线的方程为 <m></m> ， 根据题意，此抛物线经过点 <m></m> ，代入抛物线方程解得 <m></m> ， 所以抛物线的方程为 <m></m> . 在此方程中令 <m></m> ，得 <m></m> ， 因此， <m></m> ， 所以车辆通过隧道时的限制高度为3.3米. （2）对于抛物线 <m></m> ，令 <m></m> ，得 <m></m> ， 因为 <m></m> ，所以，该车不能安全通过隧道. 作者编号：、32200 归纳总结 求抛物线实际应用的五个步骤： 新知讲解 作者编号：、32200 1.若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是( ) A.x＋4＝0 B.x－4＝0 C.y2＝8x D.y2＝16x 2.设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为抛物线上一点， ， 为垂足.如果直线 的斜率为 ，那么 ( @41@ ) A. B. C. D. D B 当堂检测 作者编号：、32200 3.如图，花坛水池中央有一喷泉，水管|O'P|=1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状，先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线的对称轴1 m，则水池的直径至少应设计为 米(精确到1 m). 5 当堂检测 作者编号：、32200 根据今天所学，回答下列问题： 1.求解抛物线的实际应用问题的基本步骤是什么？ 课堂小结 作者编号：、32200 $$