2.2.1 双曲线及其标准方程 课件-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的定义、标准方程及应用，通过拉链实验情境导入，类比椭圆引导学生探究双曲线上点的几何条件，搭建从具体操作到抽象定义的学习支架，衔接椭圆知识帮助构建知识脉络。 其亮点在于融合数学抽象与直观想象，以“通性通法”总结方程辨识、轨迹问题等解题思路，结合敌炮阵地定位等实际应用题型培养数学建模能力。学生能提升逻辑思维与应用意识，教师可依托例题及自我诊断题高效开展教学。

2.1　双曲线及其标准方程 新课程标准解读 核心素养 1.了解双曲线的实际背景，感受双曲线在刻画现实世 界和解决实际问题中的作用 数学抽象 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程 直观想象 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 如图，取一条拉链，打开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点， 分别固定在点 F1， F2上，把笔尖放在拉链的拉手 M 处，随着拉链逐渐 拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线，这条曲线就是双曲 线的其中一支. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【问题】　类比椭圆，你认为该情境中的曲线上的点应满足怎样的几 何条件？  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点一　双曲线的定义 平面内到两个定点 F1， F2的 等于常数（大于零 且小于｜ F1 F2｜）的点的集合（或轨迹）叫作双曲线.这 ⁠ 叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离 ⁠叫作双 曲线的焦距. 距离之差的绝对值　 两个定点 F1， F2　 ｜ F1 F2｜　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【想一想】 　 定义中“常数小于｜ F1 F2｜”这一条件去掉，动点的轨迹还是双 曲线吗？ 提示：不是. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 知识点二　双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 ⁠ （ a ＞0， b ＞0） ⁠ （ a ＞0， b ＞0） 图形 － ＝1　 － ＝1　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 焦点坐标 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ a ， b ， c 的关 系 c2＝ ⁠ F1（－ c ，0）， F2 （ c ，0）　 F1（0，－ c ）， F2（0， c ） a2＋ b2　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 提醒　巧记双曲线焦点位置与方程的关系：焦点跟着正项走，即 若 x2项的系数为正，则焦点在 x 轴上；若 y2项的系数为正，则焦点 在 y 轴上. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）方程 － ＝1表示双曲线. （　×　） （2）双曲线两焦点之间的距离称为焦距. （　√　） （3）若焦点在 x 轴上的双曲线方程为 － ＝1，则 a2＞ b2. （　×　） （4）双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为定值. （　√　） × √ × √ 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 已知双曲线 － ＝1，则双曲线的焦点坐标为（　　） B. （－5，0），（5，0） C. （0，－5），（0，5） 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 双曲线的两焦点坐标是 F1（0，3）， F2（0，－3）， b ＝2，则双曲 线的标准方程是 ⁠. － ＝1　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 双曲线标准方程的识别 【例1】　已知方程 － ＝1对应的图形是双曲线，那么 k 的取 值范围是（　　） A. k ＞5 B. k ＞5或－2＜ k ＜2 C. k ＞2或 k ＜－2 D. －2＜ k ＜2 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　∵方程对应的图形是双曲线，∴（ k －5）（｜ k ｜－2）＞ 0.即 或解得 k ＞5或－2＜ k ＜2. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 双曲线方程的辨识方法 　　将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为 ＋ ＝1，则当 mn ＜0时，方程表示双曲线.若则方程表示焦点 在 x 轴上的双曲线；若则方程表示焦点在 y 轴上的双曲线. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. 已知双曲线 ＋ ＝1，焦点在 y 轴上，若焦距为4，则 a ＝ （　　） B. 5 C. 7 解析：　根据题意可知，双曲线的标准方程为 － ＝1.由其 焦距为4，得 c ＝2，则有 c2＝2－ a ＋3－ a ＝4，解得 a ＝ . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 在方程 mx2－ my2＝ n 中，若 mn ＜0，则方程所表示的曲线是 （　　） A. 焦点在 x 轴上的椭圆 B. 焦点在 x 轴上的双曲线 C. 焦点在 y 轴上的双曲线 D. 焦点在 y 轴上的椭圆 解析：　方程 mx2－ my2＝ n 可化为 － ＝1.由 mn ＜0知 ＜0， 故方程所表示的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型二 求双曲线的标准方程 【例2】　根据下列条件，求双曲线的标准方程： 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （1） a ＝4，经过点 A （1，－ ）； 解：当焦点在 x 轴上时，设所求标准方程为 － ＝1（ b ＞0），把点 A 的坐标代入，得 b2＝－ × ＜0，不符合题 意；当焦点在 y 轴上时，设所求标准方程为 － ＝1（ b ＞ 0），把 A 点的坐标代入，得 b2＝9.故所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）以椭圆 ＋ ＝1长轴的端点为焦点，且经过点（3， ）； 解：由题意得，双曲线的焦点在 x 轴上，且 c ＝2 . 设双曲线的标准方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）， 则有 a2＋ b2＝ c2＝8， － ＝1，解得 a2＝3， b2＝5. 故所求双曲线的标准方程为 － ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （3）过点 P （3， ）， Q （－ ，5）且焦点在坐标轴上. 解：设双曲线的方程为 Ax2＋ By2＝1， AB ＜0. ∵点 P ， Q 在双曲线上， ∴解得 故双曲线的标准方程为 － ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 1. 求双曲线标准方程的两个关注点 （1）定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，即在“标准方 程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的 形式； （2）定量：“定量”是指确定 a2， b2的具体数值，常根据条件列方程 （组）求解. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 求双曲线的标准方程的步骤 （1）根据已知条件设出双曲线的标准方程； （2）利用已知条件确定 a ， b 或 a2， b2，注意双曲线定义的应用； （3）确定双曲线的标准方程. 特别地，若已知双曲线上两点的坐标，则双曲线的标准方程 可能有两个，需分类讨论.也可直接设双曲线方程为 Ax2＋ By2 ＝1（ AB ＜0），把所给点的坐标代入方程，解方程组求出 A ， B 的值，此种方法计算过程简单，也避免了分类讨论. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. （多选）与椭圆 ＋ y2＝1有相同焦点的双曲线方程是（　　） 【跟踪训练】 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　因为椭圆 ＋ y2＝1的焦点坐标为（－ ，0）， （ ，0），A中的双曲线焦点坐标为（－ ，0），（ ， 0），不符合；B中的双曲线焦点坐标为（0，－ ），（0， ），不符合；C、D中的双曲线焦点坐标为（－ ，0）， （ ，0），故选C、D. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为 F1（－ ，0），点 P 位 于该双曲线上，线段 PF1的中点坐标为（0，2），则该双曲线的方 程是（　　） 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：　由双曲线的焦点可知 c ＝ ，线段 PF1的中点坐标为 （0，2），所以点 P 在双曲线右支上.设右焦点为 F2，则有 PF2⊥ x 轴，且｜ PF2｜＝4，所以｜ PF1｜＝ ＝ ＝6， 所以｜ PF1｜－｜ PF2｜＝6－4＝2＝2 a ，所以 a ＝1， b2＝ c2－ a2＝ 4，所以双曲线的方程为 x2－ ＝1，故选B. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型三 双曲线的定义及应用 角度1　与双曲线有关的动点的轨迹问题 【例3】　如图，在△ ABC 中，已知｜ AB ｜＝4 ，且三内角 A ， B ， C 满足2 sin A ＋ sin C ＝2 sin B ，建立适当的坐标系，求顶点 C 的 轨迹方程. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：以 AB 边所在的直线为 x 轴， AB 的垂直平分线 为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则 A （－2 ，0）， B （2 ，0）.由正弦定理，得 sin A ＝ ， sin B ＝ ， sin C ＝ （ R 为△ ABC 的外接圆半径）. ∵2 sin A ＋ sin C ＝2 sin B ，∴2｜ BC ｜＋｜ AB ｜＝2｜ AC ｜，即｜ AC ｜－｜ BC ｜＝ ＝2 ＜｜ AB ｜. 由双曲线的定义知，点 C 的轨迹为双曲线的右支（除去与 x 轴的交点）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 由题意，设所求轨迹方程为 － ＝1（ x ＞a ）， ∵ a ＝ ， c ＝2 ，∴ b2＝ c2－ a2＝6. 即所求轨迹方程为 － ＝1（ x ＞ ）. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 与双曲线有关轨迹问题的解题思路及注意点 （1）求解与双曲线有关点的轨迹问题，常见的方法有两种：①列出 等量关系，化简得到方程；②寻找几何关系，结合双曲线的定 义，得出对应的方程. （2）特别注意：①双曲线的焦点所在的坐标轴；②检验所求的轨迹 对应的是双曲线的一支还是两支. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 角度2　焦点三角形问题 【例4】　（1）已知 F1， F2分别为双曲线 C ： x2－ y2＝1的左、右焦 点，点 P 在 C 上，∠ F1 PF2＝60°，则｜ PF1｜·｜ PF2｜＝（　B　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 B 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：设｜ PF1｜＝ m ，｜ PF2｜＝ n ， 则 ∴∴ mn ＝4，即｜ PF1｜·｜ PF2｜＝4.故 选B. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2）设点 P 在双曲线 － ＝1上， F1， F2为双曲线的两个焦点， 且｜ PF1｜∶｜ PF2｜＝1∶3，则△ F1 PF2的周长等于 ⁠. 解析：由题意知｜ F1 F2｜＝2 ＝10，｜｜ PF2｜ －｜ PF1｜｜＝6，又｜ PF1｜∶｜ PF2｜＝1∶3，∴｜ PF1｜＝ 3，｜ PF2｜＝9，故△ F1 PF2的周长为3＋9＋10＝22. 22　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 　　在解与焦点三角形（△ PF1 F2）有关的问题时，一般地，可由双 曲线的定义，得｜ PF1｜，｜ PF2｜的关系式，或利用正弦定理、余弦 定理，得｜ PF1｜，｜ PF2｜的关系式，从而求出｜ PF1｜，｜ PF2｜. 但是，一般我们不直接求解出｜ PF1｜，｜ PF2｜，而是根据需要， 把｜ PF1｜＋｜ PF2｜，｜ PF1｜－｜ PF2｜，｜ PF1｜·｜ PF2｜看作 一个整体来处理. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 角度3　与双曲线有关的最值问题 【例5】　（1）已知 F1， F2分别为双曲线 － ＝1的左、右焦点， P （3，1）为双曲线内一点，点 A 在双曲线的右支上，则｜ AP ｜＋｜ AF2｜的最小值为（　C　） C 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：因为｜ AP ｜＋｜ AF2｜＝｜ AP ｜＋｜ AF1｜－2 ，所以要求｜ AP ｜ ＋｜ AF2｜的最小值，只需求｜ AP ｜＋｜ AF1｜的最小值.如图，连接 F1 P 交双曲线的 右支于点 A0.当点 A 位于点 A0处时，｜ AP ｜ ＋｜ AF1｜最小，最小值为｜ PF1｜＝ ＝ .故｜ AP ｜＋｜ AF2｜的最小值为 －2 .故选C. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） （2） P 为双曲线 x2－ ＝1右支上一点， M ， N 分别是圆（ x ＋4）2 ＋ y2＝4和（ x －4）2＋ y2＝1上的点，则｜ PM ｜－｜ PN ｜的最 大值为 ⁠. 解析：双曲线的两个焦点 F1（－4，0）， F2（4，0）分别 为两圆的圆心，且两圆的半径分别为 r1＝2， r2＝1，易知｜ PM ｜max＝｜ PF1｜＋2，｜ PN ｜min＝｜ PF2｜－1，故｜ PM ｜ －｜ PN ｜的最大值为｜ PF1｜＋2－（｜ PF2｜－1）＝｜ PF1｜ －｜ PF2｜＋3＝2＋3＝5. 5　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 　　设双曲线方程为 － ＝1（ a ＞0， b ＞0）， F1， F2分别为双曲 线的左、右焦点， Q （ x0， y0）为平面上一定点， M 为双曲线右支上 任意一点. （1）若定点 Q （ x0， y0）与双曲线右焦点 F2在双曲线右支的同 侧，则｜ MQ ｜＋｜ MF2｜的最小值是｜ QF1｜－2 a ，最大 值不存在； （2）若定点 Q （ x0， y0）与双曲线右焦点 F2在双曲线右支的异侧， 则｜ MQ ｜＋｜ MF2｜的最小值是｜ QF2｜，最大值不存在. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. 若点 P 是双曲线 － ＝1上的一点，且∠ F1 PF2＝60°，则△ F1 PF2的面积为 ⁠. 16 　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解析：由 － ＝1，得 a ＝3， b ＝4， c ＝5.由双曲线的定义和余 弦定理得｜ PF1｜－｜ PF2｜＝±6，｜ F1 F2｜2＝｜ PF1｜2＋｜ PF2｜2－2｜ PF1｜｜ PF2｜ cos 60°，∴102＝（｜ PF1｜－｜ PF2｜）2＋｜ PF1｜·｜ PF2｜，∴｜ PF1｜·｜ PF2｜＝64， ∴ ＝ ｜ PF1｜·｜ PF2｜· sin ∠ F1 PF2＝ ×64× ＝16 . 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 已知定点 A 的坐标为（1，4），点 F 是双曲线 － ＝1的左焦 点，点 P 是双曲线右支上的动点，则｜ PF ｜＋｜ PA ｜的最小值 为 ⁠. 解析：由双曲线的方程可知 a ＝2，设右焦点为 F1，则 F1（4， 0）.｜ PF ｜－｜ PF1｜＝2 a ＝4，即｜ PF ｜＝｜ PF1｜＋4，所以｜ PF ｜＋｜ PA ｜＝｜ PF1｜＋｜ PA ｜＋4≥｜ AF1｜＋4，当且仅当 A ， P ， F1三点共线时取等号，此时｜ AF1｜＝ ＝ ＝5，所以｜ PF ｜＋｜ PA ｜≥｜ AF1｜＋4＝9，即｜ PF ｜＋｜ PA ｜的最小值为9. 9　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 题型四 双曲线的实际应用 【例6】　 A ， B ， C 是我方三个炮兵阵地， A 在 B 正东6 km， C 在 B 北偏西30°，相距4 km， P 为敌炮阵地，某时刻 A 处发现敌炮阵地的 某种信号，由于 B ， C 两地比 A 距 P 地远.因此4 s后， B ， C 才同时发 现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s， A 若炮击 P 地，求炮击的 方向角. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：如图，以直线 BA 为 x 轴，线段 BA 的垂直平分线 为 y 轴建立平面直角坐标系，则 B （－3，0）， A （3，0）， C （－5，2 ）.因为｜ PB ｜＝｜ PC ｜，所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上.设敌炮 阵地的坐标为（ x ， y ）， BC 的中点为 D . 因为 kBC ＝－ ， D （－4， ）， 所以直线 PD 的方程为 y － ＝ （ x ＋4）. ① 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 联立①②，得 x ＝8， y ＝5 ， 所以 P 的坐标为（8，5 ）. 因此 kPA ＝ ＝ . 故炮击的方向角为北偏东30°. 又｜ PB ｜－｜ PA ｜＝4，所以 P 在以 A ， B 为焦点的双曲线的右支 上，且方程为 － ＝1（ x ≥2）. ② 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 通性通法 　　双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题的关键是从 实际问题中挖掘出所有相关条件，将实际问题转化为求双曲线的标准 方程的问题. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道，挖出的土只能沿道路 AP ， BP 运到 P 处（如图），｜ AP ｜＝100 m，｜ BP ｜＝150 m，∠ APB ＝60°，试说明怎样运土才能最省工. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 解：如图，以 AB 所在的直线为 x 轴， AB 的垂直平分线 为 y 轴建立平面直角坐标系，设 M 是分界线上的点， 则｜ MA ｜＋｜ AP ｜＝｜ MB ｜＋｜ BP ｜，即｜ MA ｜－｜ MB ｜＝｜ BP ｜－｜ AP ｜＝150－100＝50 （m），这说明分界线是以 A ， B 为焦点的双曲线的右 支，且 a ＝25. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 在△ APB 中，｜ AB ｜2＝｜ AP ｜2＋｜ BP ｜2－2｜ AP ｜·｜ BP ｜· cos 60°＝17 500， 从而 c2＝ ＝4 375， b2＝3 750， 故所求分界线的方程为 － ＝1（ x ≥25）. 即在运土时，将此分界线左侧的土沿道路 AP 运到 P 处，右侧的土沿道路 BP 运到 P 处最省工. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 1. 已知 M （－2，0）， N （2，0），｜ PM ｜－｜ PN ｜＝4，则动点 P 的轨迹是（　　） A. 双曲线 B. 双曲线左支 C. 一条射线 D. 双曲线右支 解析： 　因为｜ PM ｜－｜ PN ｜＝4＝｜ MN ｜，所以动点 P 的轨 迹是一条射线.故选C. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 2. 方程 － ＝1表示双曲线，则 m 的取值范围是（　　） A. －2＜ m ＜2 B. m ＞0 C. m ≥0 D. ｜ m ｜≥2 解析： 　∵已知方程表示双曲线，∴（2＋ m ）·（2－ m ）＞0. ∴－2＜ m ＜2. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 3. 椭圆 ＋ ＝1与双曲线 － ＝1有相同的焦点，则 a 的值是 （　　） B. 1或－2 D. 1 解析： 　依题意知解得 a ＝1. 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 4. 经过点 P （－3，2 ）和 Q （－6 ，－7）的双曲线的标准方程 是 ⁠. 解析：设双曲线的方程为 mx2＋ ny2＝1（ mn ＜0），则 解得故双曲线的标准方程为 － ＝1. － ＝1　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 5. 已知双曲线的方程是 － ＝1，点 P 在双曲线上，且到其中一个 焦点 F1的距离为10，点 N 是 PF1的中点， O 为坐标原点，则｜ ON ｜ ＝ ⁠. 解析：设双曲线的另一个焦点为 F2，连接 PF2（图略）.易得 ON 是 △ PF1 F2的中位线，所以｜ ON ｜＝ ｜ PF2｜.因为｜｜ PF1｜－｜ PF2｜｜＝2 a ＝8，｜ PF1｜＝10，所以｜ PF2｜＝2或｜ PF2｜＝ 18，故｜ ON ｜＝1或｜ ON ｜＝9. 1或9　 目录 数学·选择性必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ $